22-3 实际问题与二次函数(3)
1 2 这条抛物线表示的二次函数为 y x 教材导读 2
2
解得 x1 6 , x2 6 水面的宽度 2 x 2 6 m
水面下降1cm，水面宽度增加____________m. 2 6 4
1 2 解： 3 x 2
x 6
2
1
-2
-1
1 -1 -2
2
-3
解法二
22-3 实际问题与二次函数（3）
人教版九年级数学上册
第
3 课时
利润问题
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等。这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现。本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
阅读教材第51页至52页，明确学习目标
学习目标：
4 所以该车不能通过隧道
2、一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图2，已知球在 A处出手时离地面20/9 m，与篮筐中心C的水平距离是 7m，当球运行的水平距离是4 m时，达到最大高度4m （B处），设篮球运行的路线为抛物线。篮筐距地面 3m。 ①问此球能否投中?
测评反馈
(选做)②、此时对 方球员乙前来盖帽。 已知乙跳起后摸到的 最大高度为3.19m， 他如何做才能盖帽成 功？
问题1： 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m 。水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ （1）求宽度增加多少需要什 么数据？
教材导读 （2）表示水面宽的线段的端 点在哪条曲线上？
探究“拱桥”问题
（3）如何求这组数据？需要先求什么？
（4）图中还知道什么？
（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
解决抛物线型建筑问题“三步骤” 1、根据题意，建立恰当的坐标系，合理地设出所求的 函数的表达式。 2、准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到抛 物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数解析式。 3、应用所求解析式及其性质解决问题。
反பைடு நூலகம்小结
课后作业 教科书
P51
第
练习题
题． 习题22.3
教科书
解：（1）建立如图所示坐标系，则 20 A(0， ), B(4, 4), 且 B 点为顶点 9 所以可求出抛物线的解析式为 1 y ( x 4) 2 4 9 当x 7时，y 3
测评反馈 所以此求能够投中
y
（2）当y 3.19时，x=1.3或6.7 所以若想盖帽成功，则乙应选择 距离甲起跳1.3m或6.7m的位置
x
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 1 是8m，宽是2m，抛物线可以用 y x 2 4 表示. 4 （1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否 可以通过？
测评反馈 （1）卡车可以通过 . 提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
(1)、建立如图所示的直角坐标系, 求此抛物线的解析式. (2)、当水位在正常水位时， 有一艘宽为6m的货船经过这里， 船舱上有高出水面 练习展示 3.6m的长方体货物(货物与货船同宽)。问：此 船能否顺利通过这座拱桥？ 【思路点拨】(1)、分析题意→设抛物线解析式及点B、点D的坐 标→代入点B、D坐标→求出解析式。 (2)、理解水面到顶点的距离→求出CD的宽是6m时到顶点的距离 →解决问题.
－3
3 1
－1 －1
O
1
3
（2）卡车可以通过. 提示：当x=±2时，y =3, 3＋2>4.
－3
建立恰当的坐标系解实际问题(难点) 如图 ，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水 位时，水面宽 AB＝10 m，如果水位上升 2 m，就将达到警 戒线 CD，这时水面的宽为 8 m．若洪水到来，水位以每小 时 0.1 m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶？
拓展延伸
解：(1)设抛物线解析式为 y＝ax2，由已知可知：OC＝0.6， AC＝0.6，则点 A 的坐标为(0.6,0.6)，代入到 y＝ax2 中，
5 5 2 得 a＝3，则抛物线的解析式为 y＝3x .
5 2 (2)点 D1，D2 的横坐标分别为 0.2,0.4，代入到 y＝3x 中， 可得点 D1，D2 的纵坐标分别为 5 1 5 4 2 2 y1＝3×0.2 ＝15，y2＝3×0.4 ＝15. 拓展延伸
y=a(x-6)2+h
练习展示
【点拨】
与运动有关的抛物线型问题
此类问题中物体的运动轨迹都是抛物线,需要解决
的主要是物体运动的时间、高度、最大高度、最大水 平距离等。解决这类问题的关键是建立恰当的直角坐 标系,求出运动路径所在的抛物线的解析式，用二次函 数的图象及性质解决问题。 【方法一点通】 由抛物线图象读出最远距离或最大高度 (以水平面为x轴) 练习展示 1、抛物线顶点的纵坐标是最大高度. 2、抛物线与x轴交点的横坐标是最远距离.
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m 。水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 如图，建立如下直角坐标系 可设这条抛物线表示的二次函数为y =ax2 . 1 2 由抛物线经过点（2，－2），可得 2 a 2 , a 当水面下降1m时，水面的纵坐标为y = －3. 请你根据 上面的函数表达式求出这时的水面宽度．
a 0 .5
∵抛物线过点(0,0) 教材导读 0 a ( 2 )2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5( x 2 )2 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6 m
【解答】(1)设抛物线解析式为y=ax2，点B(10，n)，
点D(5，n+3)，由题意：
练习展示 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥.
n －4, n 100a, 1 2 解得 1 y － x . 25 a － , n 3 25a, 25 1 9 9 2 当x 3时，y － 9 .－ －－4 3.6， 25 25 25
由 B，D
2 50 解这个方程组，得 a＝－9，k＝－ 9 .
16a＋k＝2， 两点在抛物线上，有 25a＋k＝0.
2 50 所以，抛物线解析式为 y＝－9x2－ 9 ，
50 其顶点坐标为0，－ 9 .
50 50 500 则 OE＝ 9 .故 9 ÷ 0.1＝ 9 (h)． 500 所以， 若洪水到来， 水位以每小时 0.1 m 速度上升， 经过 9 小时会达到拱顶．
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确 建立坐标系； 2、会利用二次函数的图象与性质解决简单的实际问题 3、经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一 类最优化问题的数学模型，感受到数学的应用问题。
学习重点：
建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题
学习难点：
正确建立坐标系
x 6
这时水面宽度为 2 6m
∴当水面下降1m时，水面宽度增加了( 2 6 4 )m
解法三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的 一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系。
此时，抛物线的顶点为(2，2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
∴当水面下降1m时，水面宽 度增加了( 2 6 4 )m
1 0.5( x 2 )2 2
1、建立坐标系解决实际问题的一般步骤
第一步：根据题意建立适当的____________________; 平面直角坐标系
第二步：根据条件求出函数的________________; 解析式
取值范围 第三步：确定自变量的________________; 实际问题 第四步：解决_________________.
教材导读
2、根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式 y=ax2 (1)顶点在原点,对称轴为y轴,可设解析式:_____. y=ax2+k (2)对称轴为y轴,可设解析式:_______.
y=a(x-h)2 (3)顶点在x轴,对称轴平行于y轴,可设解析式:_________.
知识点一 抛物线型建筑问题 【示范题1】如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水 面AB的宽为20m,如果水位上升3m,则水面CD的宽是10m.
拓展延伸 思路点拨：根据题意，建立合适的平面直角坐标系，根据
已知确定抛物线上有关点的坐标，求解析式，并运用解析式解
答题目的问题．
解：以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 中点为原点，建立平面 直角坐标系，则抛物线的顶点 E 在 y 轴上，且 B，D 两点的坐 标分别为(5,0)，(4,2)．
设抛物线为 y＝ax2＋k，
如图所示，以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛 物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时，抛物线的顶点为(0，2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 教材导读 即:抛物线过点(2,0) 2 ∴这条抛物线所表示的二 0 a 2 2 次函数为: a 0 .5 y 0.5 x 2 2 当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-1，这时有: 1 0.5 x 2 2
1、有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横
截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高
OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶 部离地面2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由.
解：以O点为原点，AB为x轴，OC为y轴 建立直角坐标系 则A(-2,0),B(2,0),C(0,3.2) 测评反馈 经过这三点的抛物线解析式为 y 0.8 x 2 3.2 车宽为2.4m，则将（1.2,0）代入 上述解析式得 3.2 y 2.048 2.1
22.3_实际问题与二次函数课后练习
22.3 实际问题与二次函数2、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？3、有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？二、获取新知识:22.3.3实际问题与二次函数（3）(一)阅读课本：P51探究3(二)学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．(三)自我尝试1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．图①。
22-3实际问题与二次函数解答题专练(试题)九年级数学人教版上册
22.3实际问题与二次函数解答题专练1．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式．3．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？4．如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？5．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为多少元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？6．已知：如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在抛物线对称轴上，且PA＝PB，求P点的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A、C分别在在x轴、y 轴上，点B的坐标是（6，4），抛物线y＝x2﹣x+c与矩形OABC的边BC和AB 分别交于点D（，4）和点E，连接DE（1）求抛物线的解析式；（2）求直线DE的函数表达式；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，①当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标；②将△BDE沿直线DE翻折至△B′DE处，点B的对称点为点B′，连接B′P，请直接写出线段B′P长度的最小值．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝x2．（1）写出抛物线y＝x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B，将抛物线y＝x2从点O沿OA 方向平移，与直线x＝2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y＝x2于D，E两点，点F为y轴负半轴上一点，且∠CFD＝∠CFE，求证：OC＝OF．9．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）若已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方式求抛物线的解析式．（2）若直线DH为抛物线的对称轴，在（1）的基础上，求线段DK的长度，并求△DBC 的面积．（3）将图（2）中的对称轴向左移动，交x轴于点p（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与线段BC、抛物线的交点分别为点K、Q，用含m的代数式表示QK的长度，并求出当m 为何值时，△BCQ的面积最大？10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B的坐标为（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出符合点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴的交点为C（1）求二次函数的关系式；（2）已知点M是线段OB上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于点E，与直线BC交于点F，连接CE，若△CEF与△OBC相似，求点M的坐标；（3）已知点M是x轴正半轴上一动点，过点M作平行于y轴的直线l，直线l与抛物线交于P，与直线BC交于点Q，连接CP，将△CPQ沿CP翻折后，是否存在这样的直线l，使得翻折后的点Q刚好落在y轴上？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A，B与y轴交点C（0，2）．（1）抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．13．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝2x2﹣4x+4与C2：y2＝﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2的解析式．（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ 的最大值．（3）在（2）的条件下，点B是抛物线C2上另一个动点，过点B作BP⊥x轴，P为垂足，求能使A、Q、B、P四点组成的四边形是平行四边形的点P的坐标，直接写出答案．14．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣4与直线y＝x交于点A、B，点M是抛物线上的一个动点，连接OM．（1）当M为抛物线的顶点时，求△OMB的面积．（2）当△OMB的面积为10时，求点M的坐标．（3）当点M在直线AB的下方，M运动到何处时，△OMB的面积最大．17．如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，求MN的最大值．（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．。
22.3.3实际问题与二次函数③
y(件)
25
20
10
…
观察表格，
（1）根据学过的函数有关知识 求 日销售量 y 与 销售价 x 的函数关系式。（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售 价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（ 6分）
解:(1)根据表格可知，日销售量 y 与销售价 x 的一 次函数，设这个一次函数解析式为 y kx 时每日获得最大销售利 润为225元。 12分
3、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克， 放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后 每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天 需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去， 假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放 养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数 关系式.
B
C
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱 形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴 的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长 度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交 于点M、N(点M在点N的上方). (1)求A、B两点的坐标； (2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒 (0<t<6)，试求S 与t的函数表达式； (3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？ 最大面积是多少？
即：Q= -10x2+900x+30000
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x 即：W= -10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
4.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一 个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等腰梯 形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB 应该是多长？ D A
2017年秋九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数(第3课时)教案 (新版)新人教版
实际问题与二次函数教学内容22.3 实际问题与二次函数（3）．教学目标1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点1．根据不同条件建立合适的直角坐标系．2．将实际问题转化成二次函数问题．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习二次函数y ＝ax 2的性质和特点，导入新课的教学．二、新课教学探究3 下图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4 m ．水面下降1 m ，水面宽度增加多少？教师引导学生审题，然后根据条件建立直角坐标系．怎样建立直角坐标系呢？ 因为二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． 教师可让学生自己建立直角坐标系，然后求出二次函数的解析式．设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－21x 2．当水面下降1m 时，水面宽度就增加26－4 m ．三、巩固练习 一个涵洞成抛物线形，它的截面如右图所示，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分析：根据已知条件，要求ED 的宽，只要求出FD 的长度．在如右图的直角坐标系中，即只要求出D 点的横坐标．因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．2．让学生完成解答，教师巡视指导．3．教师分析存在的问题，书写解答过程．解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系． 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 (a ＜0) ①因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2＝0.8（m ），又OC ＝2.4 m ，所以点B 的坐标是(0.8，－2.4)．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人①，得－2.4＝a ×0.82所以a ＝－154因此，函数关系式是 y ＝－154x 2 ②∵OC ＝2.4 m ，FC ＝1.5 m ，∴OF ＝2.4―1.5＝0.9（m ）．将y ＝－0.9代入②式得－0.9＝－154x 2 解得 x 1＝56，x 2＝―56． 涵洞宽ED ＝256≈0.98＜1．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3 第6、7题．。
22.3实际问题与二次函数-拱桥问题解析
试一试：
如图所示，有一座抛物线型拱桥，在正常水位 AB时，水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒 线CD,这时水面宽为10米。
（1）求抛物线型拱桥的解析式。
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度 上升，从警戒线开始，在持续多少小时才能达到 拱桥顶？
抛物线的顶点在象限内，对称轴平行于_y__轴， 抛物线的形式为____y_=_a_(_x_-_h_)_2+_k.
探究1：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相
同的抛物线落下，如果喷头所在处A距地面1.25米,水流路
线最高处B距地面2.25米,且距水池中心的水平距离为1米.
以A处的竖直方向为y轴,水平方向为x轴建立直角坐标系,
该抛物线的解析式为 y= －(x-1)2 +2.25 ,如果不考虑其他
因素，那么水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流
不致落到池外。
y
. 1 BB．(1,2.25 ） .AA(0,1.25)
1.25 2.25
O
Cx
探究2：
如图的抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱桥顶离水面
2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
所以，水面下降1m，水面的
宽度为2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
y
(0,0)
●
0
解：设这条抛物线表示的二次函数为
y a(x 2)2 2
(2,2)
由抛物线经过点（0，0），可得
(4, 0)
a1
●
2
x 所以，这条抛物线的解析式为：
y 1 (x 2)2 2
22.3实际问题与二次函数(三)
22.3实际问题与二次函数（三）一、课前导学1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为______________．2. 如果抛物线经过原点，可设这条抛物线的关系式为________________．3. 如果抛物线的顶点在y 轴上，可设这条抛物线的关系式为________________．二、自主探究，合作交流问题：下图是抛物线拱桥，当其拱顶离水面m 2，水面宽m 4，水面下降m 1，水面宽度增加多少？三、自主探究，交流展示☆探究1：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得，当水面宽m AB 6.1 时，涵洞顶点与水面的距离为m 4.2．这时，离开水面m 5.1处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过m 1？4m2m图26.3.2☆探究2：如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为m 8，两侧距地面m 4高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为m 6．求这个门洞的高度．（精确到m 1.0）、☆探究3：隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=－x 2＋4表示．（1）一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？（2）如果隧道内设双行道（中间隔离带宽度忽略不计），那么这辆货运车是否可以通过？为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？(第13题)☆练检巩固：1. 拱桥呈抛物线形，其函数关系式为241x y -=，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．m 3B ．m 62C ．m 34D ．m 92.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．图①3. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？☆能力提升：1.某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．（1）建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？。
人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第3课时) 课件
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法
课后作业
作业 内容
22.3 实际问题与二次函数/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面
的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
为y
1 8
x2
1 2
x
32，那么铅球运动过程中y
最高点离地面的距离为 2 米.
O
x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成
的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢
的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护
栏需要不锈钢00m
C.160m
D.200m
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
能力提升题
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一 面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物 线拱高为5.6m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
81.5=a•4502+0.5.
y
解得
a
81 4502
1. 2500
故所求表达式为 y
1
x2 0.5(450 x 450).
2500
-450
O
450 x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y 1 3502 0.5 49.5(m).
2500
y
当x=450﹣50=400（m）时，得
22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线课件人教版九年级数学上册
距离x(米)的函数解析式为
，那么铅球运动过程中
最高点离地面的距离为
米2.
y
O
x
课 堂
3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了 牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏
练 的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长
习 度至少为(
)C
轴为y轴，建立直角坐标系．
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
索
y
求
知 由于顶点坐标是(0，0)，因此这
个二次函数的形式为y＝ax2.
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
探 问题3 如何确定a是多少？ 索 解：设这个抛物线解析式为 y＝ax2.
精 状，喷出的水流高度y(m)与喷出水流喷嘴的水平距离x(m)之间满足
析
y(米)
(1)喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
(2)喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
∴x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. O 解得 x1＝0,x2＝4.
∴喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
x(米)
变 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰 式 在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方 训 向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 练 OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的
y
-450
O
450 x
能 力
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角 坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；
223 实际问题与二次函数(第3课时)(教案)
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
22.3 实际问题与二次函数正式稿3
y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路 线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若 该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时， 他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2） （2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多 少需要什么数据？ （2）表示水面宽的 线段的端点在哪条 曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？