回归正交试验设计PPT精品文档
合集下载
回归正交组合试验设计PPT课件
这时只要将各供试因素 Zj 的每个水平填入相应的编码值 中，并在“0”水平处（中心区）安排适当的重复试验，即可 得到试验处理方案，如表3-2所示。
第11页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
表3-2 3元一次回归正交设计试验方案
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
1 x1 (Z1)
1 (17) 1 (17) 1 (17) 1 (17) -1 (7) -1 (7) -1 (7) -1 (7) 0 (12)
… 0 (12)
2 x2 ( Z2 )
1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 0 (16)
x1m1x1m
x2 m 1 x2 m
xNm 1 xNm
第15页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
记： Y=(y1,y2,…,yN)′ β=[β0,β1, β2,… , βm , β12 , β13 , …， β(m-1)m]′ ε=(ε1,ε2,…,εN )′
则(3-4)的矩阵形式为： Y = X β +ε
m
ya j xaj ij xaj xaj a
j 1
ij
(a＝1，2，…，N， i<j) (3-4)
其结构矩阵 X 为：
1 x11 x12 X 1 x21 x22
1 xN1 xN 2
x1m x11x12 x11x13 x2m x21x22 x21x23
xNm xN1xN 2 xN1xN 3
（3-2）
第6页/共83页
2）对因素Zj的各水平进行编码
① 编码过程 即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为：
第11页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
表3-2 3元一次回归正交设计试验方案
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
1 x1 (Z1)
1 (17) 1 (17) 1 (17) 1 (17) -1 (7) -1 (7) -1 (7) -1 (7) 0 (12)
… 0 (12)
2 x2 ( Z2 )
1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 0 (16)
x1m1x1m
x2 m 1 x2 m
xNm 1 xNm
第15页/共83页
3.2 一次回归正交设计及统计分析
记： Y=(y1,y2,…,yN)′ β=[β0,β1, β2,… , βm , β12 , β13 , …， β(m-1)m]′ ε=(ε1,ε2,…,εN )′
则(3-4)的矩阵形式为： Y = X β +ε
m
ya j xaj ij xaj xaj a
j 1
ij
(a＝1，2，…，N， i<j) (3-4)
其结构矩阵 X 为：
1 x11 x12 X 1 x21 x22
1 xN1 xN 2
x1m x11x12 x11x13 x2m x21x22 x21x23
xNm xN1xN 2 xN1xN 3
（3-2）
第6页/共83页
2）对因素Zj的各水平进行编码
① 编码过程 即对Zj的各水平进行线性变换，其计算式为：
回归正交试验设计PPT文档共45页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
回归正交试验设计
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
第八章回归正交试验设计
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
《正交试验设计》PPT幻灯片PPT
或实体
➢ 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的， 因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使 得数据可以按照因素如何影响变量来获取
➢ 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析
4
完全随机化设计-例题分析
【例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小 麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品 种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地 块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析 。这一过程就是试验设计的过程
得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本 容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复 基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个 地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4 个地块，这就相当于重复做了4次试验。
6
完全随机化设计-例题分析
试验数据：
7
完全随机化设计-例题分析
方差分析：
➢ 二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231)…
➢ 三水平正交表: L9(34) ， L27(313)… ➢ 四水平正交表: L16(45)， L64(421)… ➢ 五水平正交表: L25(56)…
这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：
n mk , m 2,3,4, k n1
12
11 12 13 21 22 23 31 32 33
34
11 22 33 23 31 12 32 13 21
➢ L:正交表记号
➢ 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验
➢ 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子
➢ 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平
➢
一个正交表中也可以各列的水平一种设计方法，并进 一步分析对所研究对象的指标的影响程度
➢ 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的， 因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使 得数据可以按照因素如何影响变量来获取
➢ 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析
4
完全随机化设计-例题分析
【例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小 麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品 种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地 块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析 。这一过程就是试验设计的过程
得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本 容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复 基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个 地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4 个地块，这就相当于重复做了4次试验。
6
完全随机化设计-例题分析
试验数据：
7
完全随机化设计-例题分析
方差分析：
➢ 二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231)…
➢ 三水平正交表: L9(34) ， L27(313)… ➢ 四水平正交表: L16(45)， L64(421)… ➢ 五水平正交表: L25(56)…
这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：
n mk , m 2,3,4, k n1
12
11 12 13 21 22 23 31 32 33
34
11 22 33 23 31 12 32 13 21
➢ L:正交表记号
➢ 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验
➢ 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子
➢ 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平
➢
一个正交表中也可以各列的水平一种设计方法，并进 一步分析对所研究对象的指标的影响程度
正交试验设计PPT课件精选全文
所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的 各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均 匀的 。 由 图10-1可以看出，在立方体中 ，任 一平面内都包含 3 个“(·)”， 任一直线上都包 含1个“(·)” ，因此 ，这些点代表性强 ，能够 较好地反映全面试验的情况。
上一张 下一张 主 页 退 出
整齐可比是指每一个因素的各水平间 具有可比性。因为正交表中每一因素的任 一水平下都均衡地包含着另外因素的各个 水平 ，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、 A3 条件下各有 B 、C 的 3个不同水计计 算算
Kk 值值
计 算 极 差
R
绘 制 因 素 指 标 趋
势
图
计算各列偏差平方和、 自由度
列方差分析表，
进行F 检验
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
分析检验结果， 写出结论
实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺 制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最 佳工艺条件。
例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳 定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。
A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素 是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度，设 C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因 素的水平之间全部可能组合有27种 。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强 的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
上一张 下一张 主 页 退 出
1.3 正交表及其基本性质
1.3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正 交表，因此，我们先对正交表作一介绍。
上一张 下一张 主 页 退 出
整齐可比是指每一个因素的各水平间 具有可比性。因为正交表中每一因素的任 一水平下都均衡地包含着另外因素的各个 水平 ，当比较某因素不同水平时，其它 因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C 3个因素中，A因素的3个水平 A1、A2、 A3 条件下各有 B 、C 的 3个不同水计计 算算
Kk 值值
计 算 极 差
R
绘 制 因 素 指 标 趋
势
图
计算各列偏差平方和、 自由度
列方差分析表，
进行F 检验
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
分析检验结果， 写出结论
实例：为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺 制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最 佳工艺条件。
例如，要考察增稠剂用量、pH值和杀菌温度对豆奶稳 定性的影响。每个因素设置3个水平进行试验 。
A因素是增稠剂用量，设A1、A2、A3 3个水平；B因素 是pH值，设B1、B2、B3 3个水平；C因素为杀菌温度，设 C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的试验，各因 素的水平之间全部可能组合有27种 。
9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强 的代表性 ， 能 够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
上一张 下一张 主 页 退 出
1.3 正交表及其基本性质
1.3.1 正交表
由于正交设计安排试验和分析试验结果都要用正 交表，因此，我们先对正交表作一介绍。
正交试验设计PPT课件
上一张 下一张 主 页 退 出
表10-2 上一张 下一张 主 页 退 出
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行 正交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、 L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等（详 见附表14及有关参考书）。 1.3.2 正交表的基本性质 1.3.2.1 正交性 （1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等
上一张 下一张 主 页 退 出
1.3.2.2 代表性
一方面： （1）任一列的各水平都出现，使得部 分试验中包括了所有因素的所有水平；
（2）任两列的所有水平组合都出现， 使任意两因素间的试验组合为全面试验。
另一方面：由于正交表的正交性，正交试验的试 验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强 的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全 面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
正交表的三个基本性质中，正 交性是核心，是基础，代表性 和综合可比性是正交性的必然 结果
1.4 正交表的类别 1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称
为等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中 的水平为2，称为2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各 列水平为3，称为3水平正交表。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次 。
上一张 下一张 主 页 退 出
（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合 都出现，且对出现的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次； L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一 因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两 列各个数字之间的搭配是均匀的。
表10-2 上一张 下一张 主 页 退 出
常用的正交表已由数学工作者制定出来，供进行 正交设计时选用。2水平正交表除L8(27)外，还有L4(23)、 L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等（详 见附表14及有关参考书）。 1.3.2 正交表的基本性质 1.3.2.1 正交性 （1）任一列中，各水平都出现，且出现的次数相等
上一张 下一张 主 页 退 出
1.3.2.2 代表性
一方面： （1）任一列的各水平都出现，使得部 分试验中包括了所有因素的所有水平；
（2）任两列的所有水平组合都出现， 使任意两因素间的试验组合为全面试验。
另一方面：由于正交表的正交性，正交试验的试 验点必然均衡地分布在全面试验点中，具有很强 的代表性。因此，部分试验寻找的最优条件与全 面试验所找的最优条件，应有一致的趋势。
正交表的三个基本性质中，正 交性是核心，是基础，代表性 和综合可比性是正交性的必然 结果
1.4 正交表的类别 1、等水平正交表 各列水平数相同的正交表称
为等水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中 的水平为2，称为2水平正交表；L9(34)、L27(313)等各 列水平为3，称为3水平正交表。
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次 。
上一张 下一张 主 页 退 出
（2）任两列之间各种不同水平的所有可能组合 都出现，且对出现的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次； L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一 因素的各个水平所有可能组合次数相等，表明任意两 列各个数字之间的搭配是均匀的。
第8章_回归正交试验设计
2 SSel y0i y0 y0 i 2 i 1 i 1 m0 m0
1 y 0i m0 i 1
m0
2
重复试验误差对应的自由度为：
dfel m0 1
Page 12
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（2）正交表的选择和试验方案的确定 选
L8(27)
Page 16
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8
1 4.038 a yi 0.50475 , b1 n i 1 8
n
z
i 1
n
1i
yi
Page 2
第8章 回归正交试验设计
8.1.1 Orthogonal Regression Design 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 ，xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 下水平xj1的编码：zj1＝－1 Δj= (xj2 － xj1)/2 零水平xj0的编码：zj0＝0 （2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
（3）方差分析 2 2 n n 1 4 . 038 2 SST yi yi 2.049044 0.10864 n i 1 8 i 1 2 SS1 mcb12 8 0.00975 0.000761 2 2 SS2 mcb2 8 0.03375 0.009113 2 2 SS3 mcb3 8 0.00575 0.000265 2 2 SS12 mcb12 8 0.00475 0.000181 2 2 SS13 mcb13 8 0.00725 0.000421 SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741 SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
1 y 0i m0 i 1
m0
2
重复试验误差对应的自由度为：
dfel m0 1
Page 12
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（2）正交表的选择和试验方案的确定 选
L8(27)
Page 16
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8
1 4.038 a yi 0.50475 , b1 n i 1 8
n
z
i 1
n
1i
yi
Page 2
第8章 回归正交试验设计
8.1.1 Orthogonal Regression Design 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 ，xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 下水平xj1的编码：zj1＝－1 Δj= (xj2 － xj1)/2 零水平xj0的编码：zj0＝0 （2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
（3）方差分析 2 2 n n 1 4 . 038 2 SST yi yi 2.049044 0.10864 n i 1 8 i 1 2 SS1 mcb12 8 0.00975 0.000761 2 2 SS2 mcb2 8 0.03375 0.009113 2 2 SS3 mcb3 8 0.00575 0.000265 2 2 SS12 mcb12 8 0.00475 0.000181 2 2 SS13 mcb13 8 0.00725 0.000421 SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741 SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
回归正交试验设计.ppt
（3）回归正交旋转组合设计编码表 二次项中心化：按公式（8-34）
（4）数据处理 与回归正交组合设计相同
8.4 Excel在回归正交设计的应用
8.4.1 利用Excel建立回归正交设计编码表 8.4.2 Excel在回归正交设计数据处理中的应用
回归分析 最优试验方案的确定
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围
以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj：
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
mc
mγ
22＝4
4
23＝8
6
24－1＝8 8
24＝16 8
24－1＝16 10
25＝32 10
③试验方案的实施
④回归方程的建立
常数项：a
a
1 n
n i 1
yi
y
n
z ji yi
一次项偏回归系数bj ：
bj
i 1 n
z ji2
i 1
交互项偏回归系数bkj ：
n
(zk z j )i yi
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
dfR df一次项 df交互项
残差自由度：
dfe dfT dfR
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： ➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
1
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
2
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
8
（4）试验方案的确定 表头设计 ： ➢ 可参考正交设计的表头设
计方法 ➢ 交互作用列的编码等于表
中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（中心试验 ）
9
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
14
例8-1： （1）因素水平编码
15
（2）正交表的选择和试验方案的确定
16
（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj：
重复试验误差的自由度： dfe1 m0 1
②回归方程失拟部分：
失拟平方和 ： SSLf SST SSR SSe1 SSe SSe1
失拟平方和自由度： dfLf dfe dfe1
19
③失拟检验 ：
FLf
SSLf SSe1
dfLf dfe1
对于给定的显著性水平α（一般取0.1）
当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显 著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回 归方程是拟合得很好
例8-2
20
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： ➢ 根据最小二乘法原理得到正规方程组 ➢ 求解正规方程组，得回归系数 ➢ 要求：试验次数＞回归方程的项数 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上
再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方 案
21
8.2.1 二次回归正交组合设计表
方程
17
8.1.3.2 有零水平试验时 目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求
m0≥2 ） 失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的
拟合情况 失拟性检验步骤：
18
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0 ①重复试验误差：
平方和：
SSe1im 0 1(y0iy0)2im 0 1y0i2m 1 0(im 0 1y0i)2
残差平方和 ： SSeSSTSSR
12
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
d fR d f一 次 项 d f交 互 项
残差自由度：
dfe dfT dfR
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
13
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： ➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案 二元二次回归方程：
y a b 1 x 1 b 2 x 2 b 1 2 x 1 x 2 b 1 1 x 1 2 b 2 2 x 2 2
试验方案
22
23
24
正交组合设计的三类试验点及次数： ➢ 二水平试验： • 全实施：mc＝2m • 1/2实施：mc＝2m－1 • 1/4实施：mc＝2m－2 ➢ 星号试验： • 与原点（中心点）的距离都为γ • mγ＝2m ➢ 零水平试验： • 各因素水平编码都为零时的试验 • 试验次数m0
10
a
1 n
n i 1
yiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
n
z ji y i
bj
i1
mc
j＝1，2，…，m
n
(zk z j )i yi
bkj i1 m c
j＞k, k＝1，2，…，m－1
说明：
➢ 求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小
➢ 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
11
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
5
编码目的： ➢ 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量
zj的取值范围都是[－1，1] ➢ 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的
回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题
6
（3）一次回归正交设计表 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
7
回归正交设计表的特点： ➢ 任一列编码的和为0 ➢ 任两列编码的乘积之和等于0
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
4
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
zj
xj xj0 j
➢ zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 ➢ xj：自然变量 ➢ 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 ➢ 下水平xj1的编码：zj1＝－1 ➢ 零水平xj0的编码：zj0＝0
8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和：
总平方和： SSTL yyi n 1(yiy)2i n 1yi21 n(i n 1yi)2
一次项偏回归平方和 ： SS j mcb2j
交互项偏回归平方和： SSkj mcbk2j
回归平方和 ： S S R S S 一 次 项 S S 交 互 项
Orthogonal Regression Design
1
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
2
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
8
（4）试验方案的确定 表头设计 ： ➢ 可参考正交设计的表头设
计方法 ➢ 交互作用列的编码等于表
中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（中心试验 ）
9
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
14
例8-1： （1）因素水平编码
15
（2）正交表的选择和试验方案的确定
16
（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
3
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例： 设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj：
重复试验误差的自由度： dfe1 m0 1
②回归方程失拟部分：
失拟平方和 ： SSLf SST SSR SSe1 SSe SSe1
失拟平方和自由度： dfLf dfe dfe1
19
③失拟检验 ：
FLf
SSLf SSe1
dfLf dfe1
对于给定的显著性水平α（一般取0.1）
当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显 著，失拟平方和SSLf是由随机误差造成的，所建立的回 归方程是拟合得很好
例8-2
20
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： ➢ 根据最小二乘法原理得到正规方程组 ➢ 求解正规方程组，得回归系数 ➢ 要求：试验次数＞回归方程的项数 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上
再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方 案
21
8.2.1 二次回归正交组合设计表
方程
17
8.1.3.2 有零水平试验时 目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求
m0≥2 ） 失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的
拟合情况 失拟性检验步骤：
18
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0 ①重复试验误差：
平方和：
SSe1im 0 1(y0iy0)2im 0 1y0i2m 1 0(im 0 1y0i)2
残差平方和 ： SSeSSTSSR
12
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
d fR d f一 次 项 d f交 互 项
残差自由度：
dfe dfT dfR
不考虑交互作用时:dfR=m，dfe=n-m-1。
13
③均方 ④F检验： 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： ➢ 判断因素或交互作用对试验的影响程度 ➢ 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 ➢ 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案 二元二次回归方程：
y a b 1 x 1 b 2 x 2 b 1 2 x 1 x 2 b 1 1 x 1 2 b 2 2 x 2 2
试验方案
22
23
24
正交组合设计的三类试验点及次数： ➢ 二水平试验： • 全实施：mc＝2m • 1/2实施：mc＝2m－1 • 1/4实施：mc＝2m－2 ➢ 星号试验： • 与原点（中心点）的距离都为γ • mγ＝2m ➢ 零水平试验： • 各因素水平编码都为零时的试验 • 试验次数m0
10
a
1 n
n i 1
yiቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
n
z ji y i
bj
i1
mc
j＝1，2，…，m
n
(zk z j )i yi
bkj i1 m c
j＞k, k＝1，2，…，m－1
说明：
➢ 求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小
➢ 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
11
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
5
编码目的： ➢ 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量
zj的取值范围都是[－1，1] ➢ 编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间的
回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题
6
（3）一次回归正交设计表 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
7
回归正交设计表的特点： ➢ 任一列编码的和为0 ➢ 任两列编码的乘积之和等于0
➢ Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 ➢ Δj= (xj2 － xj1)/2
4
（2）因素水平的编码
编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
zj
xj xj0 j
➢ zj：因素xj的编码 ，称为规范变量 ➢ xj：自然变量 ➢ 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 ➢ 下水平xj1的编码：zj1＝－1 ➢ 零水平xj0的编码：zj0＝0
8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和：
总平方和： SSTL yyi n 1(yiy)2i n 1yi21 n(i n 1yi)2
一次项偏回归平方和 ： SS j mcb2j
交互项偏回归平方和： SSkj mcbk2j
回归平方和 ： S S R S S 一 次 项 S S 交 互 项