矩阵的秩与线性方程组
有关矩阵的秩及其应用
r (AB)≤min {r (A), r (B)}
定理 3 设 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则
r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ) 推论 设 A 是是 m×n 矩阵，则 r (A) = r，当且仅当存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，
r
A− O
C
AB B
− −
CD D
=
r(
A
−
C
)
+
r(B
−
D)
。
定理 6 （Frobenius 不等式）
设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，C 是 s×t 矩阵。则
r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B)
证明：由分块矩阵的乘法得
AB B
ABC O
证明：由定理 1 得
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ k
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 + A3 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + r( A3 + A4 + " + Ak ) "" ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + " + r( Ak ) =k 定理 2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。即：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，则
a1
A2
=
a2
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧矩阵是线性代数中的重要概念，对于解决线性方程组以及其他相关问题非常有用。
在矩阵的运算中，秩是一个重要的指标，它可以帮助我们判断矩阵的性质以及求解线性方程组的解。
一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关行数，用r(A)表示。
换言之，矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的个数。
二、线性方程组的解与矩阵的秩的关系线性方程组可以用矩阵来表示，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
1. 当矩阵A的秩小于n时，即r(A) < n，存在自由变量，线性方程组有无穷多个解。
这是因为秩小于n时，矩阵A的行向量之间存在线性相关性，会导致方程组中存在冗余的方程，从而使得方程组的解不唯一。
2. 当矩阵A的秩等于n时，即r(A) = n，不存在自由变量，线性方程组有唯一解。
这是因为秩等于n时，矩阵A的行向量之间线性无关，不会存在冗余的方程，方程组的解是唯一的。
三、矩阵的秩的计算方法1. 初等行变换法：通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。
2. 矩阵的秩与其特征值的关系：矩阵A与其特征值λ有关，矩阵A 的秩等于特征值λ不等于0的个数。
四、矩阵的秩在实际应用中的意义矩阵的秩在很多实际问题中都有广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
1. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们可以通过计算相关系数矩阵的秩来判断自变量之间的相关性。
如果相关系数矩阵的秩小于自变量的个数，说明自变量之间存在冗余，可以进行变量选择。
2. 图像处理：在图像处理中，我们可以使用矩阵的秩来判断图像的压缩比例或图像的清晰度。
秩越小的矩阵代表图像的冗余信息越多，而秩越大的矩阵则代表图像的信息丢失越少，图像越清晰。
3. 线性规划：在线性规划中，我们可以通过计算约束矩阵的秩来判断约束条件是否完全满足，进而判断解的可行性。
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组与矩阵的秩线性方程组是数学领域中的一个重要概念，与之密切相关的是矩阵的秩。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义及性质线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，一般表示为:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ为系数，xₙ为未知数，bᵢ为常数，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
线性方程组的性质包括可解性和解的唯一性。
对于一个线性方程组，当其中的方程数量与未知数数量相等，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组可解且解唯一；当方程数量大于未知数数量时，方程组可能无解；当方程数量小于未知数数量时，方程组可能有无穷多解。
二、矩阵的定义及性质矩阵是一个按照行和列排列的数表，用来表示线性方程组的系数。
一个m×n的矩阵A可表示为：A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙa₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ]矩阵的基本性质包括矩阵的加法、数乘和乘法运算。
两个矩阵的加法定义为矩阵对应元素相加，数乘定义为矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵的乘法定义为矩阵的行与列的线性组合。
矩阵的秩是矩阵的一个重要概念，表示矩阵中非零行的最大线性无关组的元素个数。
通常用r(A)表示矩阵A的秩。
矩阵的秩具有以下性质：1. r(A) ≤ min(m, n)，即矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数的最小值。
2. 当r(A) = m时，矩阵的列向量线性无关，矩阵的列满秩；当r(A) = n时，矩阵的行向量线性无关，矩阵的行满秩。
3. 矩阵的秩与其行列式的性质相关，当矩阵满秩时，其行列式不为0，反之亦然。
三、线性方程组与矩阵的关系及应用线性方程组可用矩阵的形式表示，设A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，则线性方程组可以表示为Ax = b。
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
3.3矩阵的秩与方程组的解
1 1 2 8 02 1 1
有唯一解 0 0 1 5 R(A|b) =R(A)=n
12112
有无数解 0 0 1 4 3
00000
R(A|b) =R(A)<n
(一)线性方程组 Amn X b 解的情况，可以归纳为
（1）R (A )R (A|b) ，方程组无解 （2）R (A )R (A |b ) r n ，方程组有唯一解 （3）R (A )R (A |b ) r n ，方程组有无穷多解
x3 x4 4x4
3
x5 1 x5 a
x2 x3 3 x4 2 x5 1
（1） 无解（2）有解，并求出解
解
1 1 1 2
1 0
1 4
1 3
1 a
r1 r2
1 0
1
1
1
1
11
32
1 a 1
0 1 1 3 2 1
0 1 1 3 2 1
3.3(2) 矩阵秩与线性方程组的解
行阶梯形线性方程组的有三中基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
free variables
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
行阶梯阵的形状与线性方程组的解.
（A）r=n时，方程组AX=b有唯一解
（B）m＝n时，方程组AX＝b有唯一解
（C）r<n时，方程组AX＝b有无穷多解
（D）r＝m时，方程组AX＝b有解
（二）当 b=0 得齐次线性方程组 Amn X 0 ，解的情况 可以归纳为
3.2矩阵的秩与线性方程组有解的判定
2
5
4、 设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于其阶 数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
一般地，若R( A) min(m , n), 则称A为满秩矩阵 , 若R( A) min(m , n), 则称A为降秩矩阵 .
1) 无解的充要条件R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件 ( A) R A, b n . R
RA RB Ax b无解
RA RB n Ax b有唯一解
一矩阵秩的概念二矩阵秩的求法数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵称为矩阵阶行列式中所处的位置次序而得变它们在不改元素阵的秩等于零并规定零矩的秩记作称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵那末全等阶子式如果存在的话且所有中有一个不等于设在矩阵定义子式的最高阶数中不等于零的显然有显然有
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
例2 另解
1 3 2 2 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5
6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间
6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注：)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。
分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。
由题述关系PA B =得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m im i im i i p p A p p ααβ 111),,(),,( =),,2,1(;11m i p p m im i =++αα即B 的每个行向量都可以由A 的行向量线性表示；因为P 可逆，有B P A 1-=，同上得A 每个行向量都可以由B 的行向量线性表示，这样这两组向量等价。
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3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的. 矩阵的
秩
例1
求矩阵
A
1 1
2 2
3 3
的秩.
2 3 1
解
在 A中， 1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例2
利用MATLAB实现 线性代数的运算及应用
3.1 矩阵的秩 3.2 线性方程组解的判定
顾回
第一章 矩阵及其应用 第二章 行列式
回顾: 根据克拉默法则
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵，
故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项bi i 1,2,,n
线性方程组的一般形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn代表n个未知量；
定定义义14 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
二、矩阵的秩的概念
定义5 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非零子式
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形 矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩
阵的秩. 3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 3
00
3 2 0, 4
R(B) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
0
2
1
3
0
2
1
3
,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为
2，
RA 2.
此方法简 单！
三、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过初等变换， 两个矩阵的秩是否相同？
定理1 初等变换不改变矩阵地秩。
◆初等变换求矩阵秩的方法：
aij (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
称为方程组的系数；
b1, b2 , , bm
称为常数项。方程的个数 m
没有限制，可以：m n，方程组是否有解？ m n，方形线性方程组，Cramer法则；
m n，显然，可解。解是怎样的？
第一节 矩阵的秩
一、矩阵的k阶子式的概念
2
16 0.
25
A1 (a1,a2 ,a4 )
3 2 0 5 0
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
这个子式也是 A 的一个最高阶非零 子式.
1 2 2 1 1
例 5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
的阶数称为矩阵A的秩,记作R( A).
易 (1)R(A) min(m, n) 知: (2)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A) r
(3)若矩阵A的所有r 1阶子式全为零,则R(A) r
(4)规定零矩阵的秩为0
(5) 满秩矩阵, 降秩矩阵
对n阶方阵A (aij ), 若 | aij | 0,则R( A) n, 称A 为满秩矩阵;若 | aij | 0,则R( A) n, 称A为降秩 矩阵.
解
1 0
3 2 0,
2
计算A的3阶子式，
1 3 2
1 32
1 2 2
0 2 1 0, 0 2 3 0, 0 1 3 0,
2 0 1
2 0 5
2 1 5
3 2 2
2 1 3 0,
RA 2.
015
另 解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0阶梯形矩阵有三个非零 R(A) 3. 行可知
求 A的一个最高阶非零子式 . R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 . 考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A1 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 6 4 1 4
A
~
0 0
4 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 0 0
R( A1) 3, A1 中必有 3 阶非零子式.
计算A1的前三行构成的子式
3 2 5 6 0 11 3 2 6 3 2 6 20520 5
6 11
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0