电磁场第五章 时变电磁场
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电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电磁场导论 第五章 时变场
它表明： f1是一个以速v度 v 沿 r 方向前进的波。
31
f2(t
r v
)
的
物
理
意
义
当时间从 t t 位置从 r v t 时
f2(ttrvvt)f2(tv r)
它表明： f2 在 t 时间内, 以速度 v 向( -r )方向
前进了( v t ) 距离, 故称之为反射波。
在无限大均匀媒质中没有反射波，则 f2 = 0
解：理想导体中 J E为有
限值，当,E 0;
E B0, B C(常)数 , t
若 C0,B由 0 C的建立过B 程 0,中 即E 必 0有 图5.2.1 媒质分界面 t
JE, 所,以 只有 BC0
因此：在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ；
分界面介质侧的衔接条件为
E t 0 ,D n, H t k ,B n 0 电磁波的全反射 18
WVwdV V1 2 （ DEBH ） dV 19
设体积元储存w能dV量 随时间的变化率为
(wdV) t
t
(
1 D 2
E1B 2
H)dV
(E D H B ) d V E ( H J ) H ( E ) d V
t t
M1
M2
利用矢 量 (E H 恒 )H 等 ( E )式 E ( H )
则有 (w) d V ( (E H ) E J )dV
t
取体积分，得 tVwd V S(E H )d SV E J dV
tV wd V S (E H )d S V E J dV
20
若体积内含 ,则J 有 电 (E源 Ee ), 将EJ/Ee代入上式,整 第理 二得 项
J2 W
第五章随时间变化的电磁场
R 2 x
2 R
Rb
ox x
根据法拉第电磁感应定律，
dm
dt
0a ln R b dI 2 R dt
0aJ0 ln R b 2 R
若电流增长，ε 实际方向 为逆时针
16
例题2 （P210例5.1—3）
一长直密绕螺线管，长度L，截面积S，绕有N1匝导线，通有电流I。螺 线管外绕有N2匝线圈，其总电阻R。当螺线管中电流反向时，通过外线圈导 线截面上的总电量为多少？
▲1、动生电动势的非静电力是 洛仑兹力
b
ab (v B) dl
a
说明：
b
B
- fe – fm
v
a
d l方向：沿所在处的切线方向；其指向由积分路线方向确定；
电动势参考方向：沿积分路线方向。
结果的正负会告知ε 的真实方向。 如果整个导体回路都在磁场中运动,那么回路中的总的动生电动势：
1833 ～ 1834年，他发现了两条电解定律，这是电化学的 开创性工作。从1834年起，法拉第对伏打电池、静电、电容和电 介质的性质进行了大量实验研究。为了纪念他在静电学方面的工 作，电容的SI单位称为法拉。
1845年8 月，法拉第发现原来没有旋光性的重玻璃在强磁 场作用下产生旋光性，使偏振光的偏振面发生偏转。磁致旋光效 应后来称为法拉第效应。同年发现大多数物质具有抗磁性。 6
法拉第 Faraday，Michael
（1791～1867）
法拉第热心科普工作，每年圣诞节都特别对儿 童作一系列科学演讲。他的科普讲座深入浅出，配 以丰富的演示实验，深受欢迎 。
法拉第专心从事科学研究，许多大学欲赠予名誉学位，均遭 拒绝。他不愿主持伦敦的皇家研究院和皇家学会，也谢绝封爵。 他1867年 8 月25日卒于维多利亚，逝世前拒绝安葬在威斯敏斯 特教堂牛顿墓旁边 。法拉第著有《电学实验研究》、《化学和 物理学实验研究》等著作。
第5章时变电磁场
变化的磁场 B 不涡旋电场Ei之间满足左手 t 关系。 涡旋电场的电力线是闭合曲线。
4．电磁感应定律的积分形式和微分形式 在电磁感应现象中，一般情况下磁场B变化，导体回 路也运动，回路中出现的感应电动势为
B ei Ei dl = dS v B dl l S t l
D1n D2n S
n B1 B2 ) 0 (
n D1 D2 ) S (
时变场的边界条件 切向边界条件
H1t H 2 t J S
E1t E2t
法向边界条件 三、理想导体界面的情况
B1n B2n
D1n D2n S
2
B2 E2 0 t
场的基本规律。 在时变电磁场中，磁场的场源包括传导电流和位秱电流， 电场的场源包括电荷和变化的磁场。
5.4 时变场的边界条件
一、切向边界条件
H1t H 2 t J S
E1t E2t
n× 1 - H 2 )= J S (H
n ( E1 E2 ) 0
二、法向边界条件
B1n B2n
第5章 时变电磁场
在静态电磁场中电场、磁场是独立存在的，电场是由电荷 产生的，磁场是由电流产生的。 若电荷、电流随时间变化，它们所产生的电场、磁场也随时 间变化。变化的电场会在其周围空间激发变化的磁场，变化 的磁场又会在其周围空间激发变化的电场，这样电场和磁场 相互联系、相互转化，成为丌可分割的整体，称为电磁场。
ei Ei dl
l
其中是感应电场的场强。 计算感生电动势也可以用法拉第定律
d B ei = dS S t dt
3．麦克斯韦关于感应电场（涡旋电场）的 假说 基本思想是：变化的磁场在其周围空间激发涡旋 电场，场方程可以写为
第5章时变电磁场
2
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
第五章 随时间变化的电磁场.
第五章随时间变化的电磁场麦克斯韦方程教学要求：1、深刻理解并掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律。
2、深刻理解感应电场的概念，熟练掌握动生电动势和感生电动势的计算方法。
3、了解自感、互感观象及其规律，掌握自感系数、互感系数计算方法。
4、了解暂态过程中的物理特征,掌握RL、RC串联电路暂态过程的计算方法。
对RLC 串联电路的暂过程能正确列出微分方程，并对其作定性分析。
5、理解磁能和磁能密度的概念,掌握自感磁能和互感能的计算方法.6、深入理解位移电流的概念及其物理实质,会运用它讨论和求解有关的简单问题.7、深刻领会麦克斯韦方程组及其物理意义8、理解和掌握电磁波的基本性质、能流密度矢量的概念和求能流密度矢量的方法。
9、知道偶极子辐射场的基本情况,了解似稳电磁场和似稳电路的基本概念.教学重点：1、法拉第电磁感应定律2、位移电流及其物理实质3、麦克斯韦方程组及其物理意义教学难点：1、位移电流2、电磁波的产生与辐射§5.1 电磁感应现象与磁感应定律1、电磁感应现象实验指出，当通过闭合导线回路所圈围面积的磁通量发生变化时，回路中将产生电流。
这种现象称为电磁感应现象，其电流称为感应电流，相应的电动势称为感应电动势。
2、楞次定律大量实验表明：闭合回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流产生的磁场去阻止引起该感应电流的磁感通量的变化，这一结论成为楞次定律。
①楞次定律是判断感应电动势方向的定律，只有在纯电阻电路中，感应电流和感应电动势的方向才是完全一致的。
② 能量守恒定律要求感应电动势的方向服从楞次定律。
3、法拉第电磁感应定律导线回路中感应电动势ε与通过回路圈围面积的磁感通量的变化率md dt Φ成正比。
在国际单位制中，法拉第电磁感应定律的数学表达式为md dt εΦ=-若回路由N 匝导线组成，当磁场对每一匝导线回路所圈围的磁感通量都是m Φ时，则N 匝回路中感应电动势为：m m m d d N d Nd t d t d t ψεΦΦ=-=-=- 式中m ψ=m N Φ称为磁通匝链数。
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H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
0
t
矛盾解决
全电流定律：
H
J
D
—— 微分形式
t
H dl
(J
D )
dS
—— 积分形式
C
s
t
全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可 以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关 系。
第5章 时变电磁场
5.1 电磁感应定律和位移电流
• 电磁感应定律 —— 揭示时变磁场产生电场 • 位移电流 —— 揭示时变电场产生磁场 • 重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一
的电磁场。 5.1.1 电磁感应定律
自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反 的问题，即磁场能否产生电流。
阻止回路中磁通量的改变，即
in
d
dt
负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。
n B
S C
dl
设任意导体回路C围成的曲面为S，其单
位法向矢量为 ，ern则穿过回路的磁通为
SB dS
in
d dt
B dS
S
导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场
的感应电动势可表示为
rr
Ñ in C Ein gdl
(B1 B2 ) 0
(D1 D2 ) S
分界面上的电荷面密度
媒质2
分界面上的电流面密度
边界条件的推证
（1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一 点P，作一个包围点P的扁平圆柱 曲面S，如图表示。
S
en
D1
媒质
1
S P h
媒质 2
D2
令Δh→0，则由
rr
Ñ S D dS V ρdV
因而有
Ñ C
rr Ein gdl
d dt
rr BgdS
S
对感应电场的讨论：
，Eri回n 路中
• 感应电场是由变化的磁场所激发的电场；
• 感应电场是有旋场；
• 感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的
空间；
• 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有
r r d rr
Ñ C Ein gdl
时间改变，从而引起电磁能量流动
电磁能量守恒关系：
进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量
坡印廷定理
表征电磁能量守恒关系的定理
微分形式：
(E H)
(1
E
D
1
H
B)
E
J
t 2
2
积分形式：
(E H ) dS
d
(1
E
D
1
H
B)
dV
E J dV
S
dt V 2
(
D1
D 2
)
0
en en en
(B1 B2 ) 0 (E1 E2 ) 0 (H1 H2) 0
D的r 法向分量连续 B的r 法向分量连续 E的r 切向分量连续 H的r 切向分量连续
2. 理想导体表面上的边界条件 • 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 • 特征：电磁场不可能进入理想导体内
H
D
t
,
E
B
t
可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得
电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，
电场的漩涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，
磁场增大反过来又使电场减小。
小结： 麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象
麦克斯韦方程组
时变场
0 t
迅变场
问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是
否会产生磁场？
在时变情况下，安培环路环路是否要发生变化？有什么变
化？即
H J （恒定磁场）
H ? （时变场）
1. 全电流定律
非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有
而由
H J
J
0
t
J ( H ) 0
发生矛盾
S
t
(erz
B0
cos t )gerz dS
C (erxv erz B0 cost) erydl
vtbB0 sin t vbB0 cost
5.2 位移电流
静态情况下 的E电场0基本方程在非静 E态 时发Bt生 了变化，即
这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重 要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场 。
时变电磁场的电场和磁场不再 相互独立，而是相互关联，构 成一个整体 —— 电磁场。电 场和磁场分别是电磁场的两个 分量。
在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度 矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电 磁振荡并传播，这就是电磁波。
在无源空间中，两个旋度方程分别为
D
t
B
t
Ε H
H
Ε
ΕJ Ε
H
B
t
D t
将以上两式相减，得到
Ε
H
H
Ε
Ε
J
Ε
D
H
B
t
t
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有
Ε
D
Ε
Ε
1
(Ε Ε)
(1
Ε D)
t
t 2 t
t 2
H
B
H
H
1
(H H)
(1
H B)
t
t 2
1881年法拉弟发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回 路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化 有密切关系，由此总结出了著明的法拉电磁感应定律。
1. 法拉弟电磁感应定律的表述
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生
变化时，回路中产生的感应电动势 in的大小 等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要
磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有
d dt
S
rr B dS
S
r B t
r dS
r
rr
ÑC Egdl
S
r B
r gdS
t
相应的微分形式为
r E
B
t
( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动
蜒 in
rr E dl
C
(vr
r B)
r dl
C
称为动生电动势，这就是发电机工作原理。
( 3 ) 回路在时变磁场中运动
蜒 in
(vr
rr B) dl
C
C (erxv erz B0 ) erydl vB0b
in
d dt
S
rr B dS
d dt
(bB0vt)
bB0v
( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L
在磁场中运动产生的，故得
Ñ in
S
r B
r dS
t
(vr
r B)
r dl
C
Ñ
5.5电磁能量守恒定律
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
电磁能量及守恒关系
电场能量密度：
we
1 2
E
D
磁场能量密度：
wm
1 2
H B
dW
dt V
S
电磁能量密度：
w
we
wm
1 2
ED
1 2
H B
空间区域V中的电磁能量：W wdV
(1
E
D
1
H
B)dV
V
V2
2
特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随
5.3 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组 —— 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场 的基本方程
2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式
蜒 C Hr
r
r dl