第五章 时变电磁场

显然，上式中 ∂D 具有电流密度量纲。
∂t
§5.2 位移电流
英国物理学家麦克斯韦将
∂D ∂t
称为位移电流密度，以
Jd
表示，即
那么，求得
Jd
=
∂D ∂t
∫ S (J + Jd ) ⋅ dS = 0
∇⋅(J + Jd) = 0
引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传导电
流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。
第5章 时变电磁场
§5.1 法拉第电磁感应定律 §5.2 位移电流 §5.3 麦克斯韦方程组 §5.4 时变电磁场的边界条件 §5.5 时变电磁场的能量与能流 §5.6 复数形式的电磁场 §5.7 波动方程 §5.8 时变电磁场中的位函数
§5.1 法拉第电磁感应定律
ε
=
−
dΦ dt
=
−
电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。 在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
2
5.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方
立。JG JG
v∫ ∫ D ⋅ d S = Q = ρdV , 麦克斯韦第三方程 －积分形式
S JG
V
∇⋅D = ρ
麦克斯韦第三方程 －微分形式
JG JG
v∫S
B⋅ JG
d
S
=
0
∇⋅B =0
麦克斯韦第四方程 －积分形式 麦克斯韦第四方程 －微分形式
以上适用于时变与非变化的情况，普适式.
5.3.1 麦克斯韦方程组
• 读书不大讲系统性。霍普金斯诙谐地说：“小伙子， 如果没有秩序，你永远成不了优秀的数学物理家。”
• 法拉第专于实验探索，麦克斯韦擅长理论概括。 1862年，发表了《论物理的力线》，引出了位移电 流的概念 。麦克斯韦的方程式预见了电磁波的存 在。交变的电场会产生交变的磁场，而交变的磁场 又会产生交变的电场，交变的电磁场以波的形式， 向空间散布开去。年仅31岁。
电荷守恒原理表明
∫SJ
⋅
dS
=
−
∂q ∂t
∇ ⋅ J = − ∂ρ ∂t
对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原
理，即
∫SJ ⋅ dS = 0
∇⋅J =0
§5.2 位移电流
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连
续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概
H2
∫S
JG ∂D ∂t
⋅
d
JG S
→
0
H1t − H 2t = J s
G JJG JJG JG n ×(H1 − H2) = J S
• 磁场强度的切线分量连续 是有条件的。
界面电流为零：
B1t = B2t μ1 μ2
2.v∫l电JEG ⋅场dl的= 切−∫线S ∂∂分JBtG ⋅量d JSG = 0,
念。
真空电容器中通过的时变电流是什么？
≈
不是由电子运动形成的传导电流或运流
电流，而是人为定义的位移电流。
∫ 静电场的高斯定律 D ⋅ dS = q同样适用于时变电场。代入上述电 S
荷守恒定律，得
∫
S
⎜⎛ J ⎝
+
∂D ∂t
⎟⎞ ⎠
⋅ dS
=
0
相应的微分形式为
∇ ⋅ ⎜⎛ J + ∂D ⎟⎞ = 0
⎝ ∂t ⎠
时变磁场。 电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能
会在空间形成电磁波。
§5.2 位移电流
JG JG JG
由于
D = ε0E + P
所以位移电流
JG
JG JG
∂D ∂t
=
ε0
∂E ∂t
+
∂P ∂t
两部分：变化的电场—第一项； 电介质极化的电矩变化—第二项
ΔS
ΔS
Sh
h→0
∫∫ ∫∫ D1ndS − D2ndS = ρsΔS
ΔS
ΔS
⇒ ΔSD1n − ΔSD2n = ρsΔS
D1n − D2n = ρs
nˆ1
nˆ
D1 ΔS
h
ε1
P
ε2
D2
nˆ2
ρs = 0
• 电位移矢量的法线分量连续是 有条件的。
( D1n − D2n ) ⋅ ΔS = ρS ⋅ ΔS
程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
∇ ⋅ J = − ∂ρ
∂t
一般而言，表征媒质宏观电磁JG特性的JG本构JG关系为
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩JJDBJGG
= ε0 EJJG+ PJJG = μ0JG(H + M ) = σ EJG JG
对于各向同性的线性媒质
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩JJDBJGG ===σμε JEEJHGJG
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到 微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇 宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位 导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。
无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造 一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。
解：无源的自由空间中GJ=0
Jd
=
JG ∂D ∂t
=
JJG ∇×H
=
ex
∂ ∂x
G∇ ey
JJG ×GH
ez
=
JG ∂D ∂t
∂∂ ∂y ∂z
Hx Hy Hz
G = −ex
∂H y ∂z
= −ex 2.63×10−4 sin(3×109 t − 10z)
(A/ m2)
静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成
• 在全校数学竞赛和诗歌比赛中都取得过第一名，成了 有名的“神童”。
• 1856年到马里沙耳学院任自然哲学教授。 • 1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。 • 1865年辞去教职还乡，专心治学和著述。 • 1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责卡文
迪许实验室筹建，
• 麦克斯韦爱提一些别出心裁的问题 ，受到挖苦： “如果是你对了，我就把它叫做麦氏公式！”
麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于 人类历史的进程也起了重要作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“ 弗曼物理学讲义 ”中 写道“ 从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看 ──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯 韦对于电磁定律的发现， 与这一重大科学事件相比之下， 同 一个十年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性 琐事而黯然失色”。
nˆ
•以P为中心取一小园柱体， 上下面与分界面平行， 高h为无限小。
D1
ΔS
h
ε1
P
ε2
D2
nˆ2
∫∫ D ⋅ d S = qs = ρsΔS ρs S
面电荷密度
∫∫ ∫∫ ∫∫ ⇒ D1 ⋅ nˆ1dS + D2 ⋅ nˆ2dS + D ⋅ nˆdS = ρsΔS
ΔSΔSSh∫∫ ∫∫ ∫∫ ⇒ D1 ⋅ nˆ1dS + D2 ⋅ nˆ2dS + D ⋅ nˆdS = ρsΔS
由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电场的时
间变化率。 在静电场中，由于 ∂D =，0自然不存在位移电流。 ∂t 在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。
在电导率较低的媒质中， 在良导体中， J d << J c
J d >> J c
1
§5.2 位移电流
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产
电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
麦克斯韦故事
• 麦克斯韦(1831～1879)：英国物理学家，生于英国一 个地主家庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习 科学，16岁时进入爱丁堡大学，1850年转入剑桥大学 研习数学，1854年毕业并留校任职。
若分界面上没有自由面电荷， 则有 D1n = D2n
然而D=εE，所以 ε1E1n = ε2E2n
分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D的法向分量Dn越过 分界面时不连续，有一等于面电荷密度ρS的突变。 如ρS=0，则法向分量Dn连续；但是，分界面两侧的电场强度矢
量的法向分G 量EJnG不连续JG。 n ⋅ (D1 − D2 ) = ρS
由于B=μH，所以 μ1H1n = μ2H 2n
6.4.2 切向条件
切向分量边界条件
4
1.
v∫l
磁场的切线分量 JJG G JG JG
H ⋅ d l = ∫S J ⋅ d S +∫S
JG ∂D ∂t
⋅
d
JG S
nˆ
H1
μ1
Δlα 2 h
μ2
α1
Δh → 0 ⇒ ΔlH1t − ΔlH2t = JsΔl,
例5解-1 ：证明根通据过麦任克意斯封韦闭方曲程面的传导∇电×流JHJG和=位移JJG电+流∂的JDG总量为零。 ∂t
v∫ v∫ 可知，S通⎛⎜⎝ JJ过Gc任J+J意G∂∂封JDtG闭⎞⎟⎠JG曲⋅ d面JS的G =传导S电(∇流和×J位JHJGJG移) ⋅电d流JSG为