第五章时变电磁场题解
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第五章 时变电磁场
5-1 如图5-1所示,一个宽为a 、长为b 的矩形导体框,放置在磁场中,磁感应强度为
B e =B t y 0sin ω。
导体框静止时其法线方向e n 与y e 呈α角。求导体框静止时或以角速度ω绕x 轴旋转(假定t =0时刻,α=0)时的感应电动势。 解 由于 y t B e B ωsin 0=,据 ⎰⎰
⋅∂∂-=s
t
e s B
d , 导体框静止时,t B ab ab t
B
e ωωααcos cos cos 0-=⋅∂∂-= 导体框旋转时,
()()t
abB t ab B t ab t B t
t ab B t t e ωωωωωωω2cos 2cos 22
1
cos sin cos d 000s -=⨯⨯-=⋅∂∂
-=⋅∂∂-=⋅∂∂-
=⎰⎰s B
5-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z 轴分量,并沿y 轴按
B B y t B t ky z ==-(,)cos()m ω的规律分布。现有一匝数为N 的线圈平行于xoy 平面,以速度v 沿y 轴方向移动(假定t =0时刻,线圈几何中心处y =0)。求线圈中的感应电动势。
解 据 ()⎰⋅⨯=l
e l B v d 设 2
,
221a
vt y a vt y +
=-=,则有 ()()[]()kvt vB Nb a vt k a vt k vB Nb y B y B v Nb e m m sin 2cos 2cos 2211⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+⋅=
5-3 一半径为a 的金属圆盘,在垂直方向的均匀磁场B 中以等角速
度ω旋转,其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷,如图5-3所示。这一装置称为法拉第发电机。试证明
两电刷之间的电压为2
2B
a ω。
解 由于t
d d α
ω=
,αωd d =t ,t ωα=,ωr v = 则有 ()⎰⎰=⋅=⋅⨯=a l
Ba r B r e 02
2d d ωωl B v
5-4 设平板电容器极板间的距离为d ,介质的介电常数为ε0,极板间接交流电源,电压为
u U t =m sin ω。求极板间任意点的位移电流密度。 解 对于平板电容器,极间电场为均匀场,
则有 t d U E m ωsin =,t d
U E D m ωεεsin 0==,t d U e D J m
D ωωεcos 0=∂∂= 5-5 一同轴圆柱形电容器,其内、外半径分别为cm 11=r 、cm 42=r ,长度m 5.0=l ,极板间介
质的介电常数为04ε,极板间接交流电源,电压为t u π=100sin 26000 V 。求t =10. s 时极板间任意点的位移电流密度。
解 对于同轴圆柱形电容器,由于l r <<,则极间电场强度和电压分别为
r E πετ2=,1
2ln 2r r u πετ
=,因此
4ln ln 21
2
u r r u ==πετ,r u E 14ln ⋅=,r u D 14ln 40⋅=ε,r t t D 1
4ln 100cos 1002600040⋅⨯⨯=∂∂=ππεJ ()250A/m 1081.64ln 100260004s 1r r r
r t e e J -⨯=⋅⨯⨯==πε
5-6 当一个点电荷以角速度ω作半径为R 的圆周运动时,求圆心处位移电流密度的表达式。 解 在圆心处,电位移矢量3
244R
q R q r ππR
e D ==
,由于 αωe v r r t ==∂∂,则可得圆心处位移电流为 ()y x D t t R q R q R R q t R q t J e e e e R D ωωπω
ωπωππα
αcos sin 44442
233-=⋅=⋅=∂∂⋅=∂∂= 5-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ,内、外导体间材料的的介电常数为ε、电导
率为γ,在内、外导体间加低频电压u U t =m cos ω。求内、外导体间的全电流。
解 对于球形电容器,极间电场强度为 2
4r q
E πε=
, 电压 ab
a
b q b a q u --
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=πεπε4114,则有r a b uab E 1⋅-=,21r a b uab D ⋅-=ε 因此,传导电流密度 221
cos 1r t a b ab U r a b uab E J m c ⋅⋅-=⋅-=
=ωγγγ 位移电流密度 21
sin r t U a b ab t D J m D ⋅⋅⋅--=∂∂=ωωε 全电流密度 ()20
sin cos r
t t a b ab U m r J ⋅--=
ωεωωγ 全电流 ()t t r a
b ab
U J r I m ωεωωππsin cos 442--=
⋅= 5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u U t =m sin ω,设极间距离为d ,极间绝
缘材料的介电常数为ε,试求极板间的磁场强度。
解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀场,即
t d U
d u E m ωsin ==,t d
U E D m ωεεsin ==,t d U t D J m D ωωεcos =∂∂= 据安培环路定律,可得 D J r r H 22ππ=,则 αωωεe H r d t
U r J m
D 2cos 2⋅== 5-9 在交变电磁场中,某材料的相对介电常数为εr =81、电导率为γ=42. S /m 。分别求频率
f 11=kHz 、f 21=MHz 、以及f 31=GHz 时位移电流密度和传导电流密度的比值。
解 据 f f J J c 9121007.12.421085.881--⨯=⨯⨯⨯==πγεωα,
可得f 11=kHz 时,61007.1-⨯=c
D J J
;f 21=MHz 时,
31007.1-⨯=c D J J ;f 31=GHz 时,07.1=c
D J J
5-10
一矩形线圈在均匀磁场中转动,转轴与磁场方向垂直,转速min /r 3000=n 。线圈的