电磁场第五章 时变电磁场
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电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电磁场导论 第五章 时变场
它表明： f1是一个以速v度 v 沿 r 方向前进的波。
31
f2(t
r v
)
的
物
理
意
义
当时间从 t t 位置从 r v t 时
f2(ttrvvt)f2(tv r)
它表明： f2 在 t 时间内, 以速度 v 向( -r )方向
前进了( v t ) 距离, 故称之为反射波。
在无限大均匀媒质中没有反射波，则 f2 = 0
解：理想导体中 J E为有
限值，当,E 0;
E B0, B C(常)数 , t
若 C0,B由 0 C的建立过B 程 0,中 即E 必 0有 图5.2.1 媒质分界面 t
JE, 所,以 只有 BC0
因此：在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ；
分界面介质侧的衔接条件为
E t 0 ,D n, H t k ,B n 0 电磁波的全反射 18
WVwdV V1 2 （ DEBH ） dV 19
设体积元储存w能dV量 随时间的变化率为
(wdV) t
t
(
1 D 2
E1B 2
H)dV
(E D H B ) d V E ( H J ) H ( E ) d V
t t
M1
M2
利用矢 量 (E H 恒 )H 等 ( E )式 E ( H )
则有 (w) d V ( (E H ) E J )dV
t
取体积分，得 tVwd V S(E H )d SV E J dV
tV wd V S (E H )d S V E J dV
20
若体积内含 ,则J 有 电 (E源 Ee ), 将EJ/Ee代入上式,整 第理 二得 项
J2 W
第五章随时间变化的电磁场
R 2 x
2 R
Rb
ox x
根据法拉第电磁感应定律，
dm
dt
0a ln R b dI 2 R dt
0aJ0 ln R b 2 R
若电流增长，ε 实际方向 为逆时针
16
例题2 （P210例5.1—3）
一长直密绕螺线管，长度L，截面积S，绕有N1匝导线，通有电流I。螺 线管外绕有N2匝线圈，其总电阻R。当螺线管中电流反向时，通过外线圈导 线截面上的总电量为多少？
▲1、动生电动势的非静电力是 洛仑兹力
b
ab (v B) dl
a
说明：
b
B
- fe – fm
v
a
d l方向：沿所在处的切线方向；其指向由积分路线方向确定；
电动势参考方向：沿积分路线方向。
结果的正负会告知ε 的真实方向。 如果整个导体回路都在磁场中运动,那么回路中的总的动生电动势：
1833 ～ 1834年，他发现了两条电解定律，这是电化学的 开创性工作。从1834年起，法拉第对伏打电池、静电、电容和电 介质的性质进行了大量实验研究。为了纪念他在静电学方面的工 作，电容的SI单位称为法拉。
1845年8 月，法拉第发现原来没有旋光性的重玻璃在强磁 场作用下产生旋光性，使偏振光的偏振面发生偏转。磁致旋光效 应后来称为法拉第效应。同年发现大多数物质具有抗磁性。 6
法拉第 Faraday，Michael
（1791～1867）
法拉第热心科普工作，每年圣诞节都特别对儿 童作一系列科学演讲。他的科普讲座深入浅出，配 以丰富的演示实验，深受欢迎 。
法拉第专心从事科学研究，许多大学欲赠予名誉学位，均遭 拒绝。他不愿主持伦敦的皇家研究院和皇家学会，也谢绝封爵。 他1867年 8 月25日卒于维多利亚，逝世前拒绝安葬在威斯敏斯 特教堂牛顿墓旁边 。法拉第著有《电学实验研究》、《化学和 物理学实验研究》等著作。
第5章时变电磁场
2
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
《电磁场与电磁波教程》教学课件—时变电磁场
其方向表示能量的流动方向；
其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位
面积的能量。
H E E
t
(H) 0
E H
t
( E) 0
第五章 时变电磁场
(E H) H E E H
(E
H
)
t
H
2
2
t
E2 2
E2
将上式两边对区域V求积分，得
体积V中单位时间内减 少的储能
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与 磁场相互依存，构成统一的电磁场。
第五章 时变电磁场
电磁感应定律
全电流定律
Maxwell方程组
分界面上边界条件
动态位A ,
达朗贝尔方程
正弦电磁场
坡印亭定理与坡印亭矢量
电磁幅射( 应用 )
第五章 时变电磁场
计算导线损耗的量
例5. 2 同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，其间为真空，如 图所示。导体内通有电流I，内外导体间电位差为U，求能流密 度S和功率P。
第五章 时变电磁场
§5.2 电磁场的能量 坡印廷定理
解 若内外导体均为理想导体利用高斯定律和安培环路定律，
得
Er
U r ln
b
er
H
I
2 r
e
a
S
§5.1 时变电磁场的波动性
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零， 即J=0、 0
在线性、各向同性的均匀媒质中，E和H满足的麦 克斯韦方程为
E = - H
t
H = E
t
E =0
H =0
第五章 时变电磁场
( E) = - ( H )
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V
Ic Iv Id 0
物理意义： 穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性 原理。
将它应用于只有传导电流的回路中 , 得知节点处传导电流的代
数和为零 ( 流出的电流取正号 , 流入取负号 ) 。这就是基尔霍夫 (G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
B E t
法拉第电磁感应定律微分形式
说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时 间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路 以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势
变化的磁场 能产生电场
物理意义： 1 、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为 dB dt ，即磁场随时间变化的 地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。
t
全电流定律 H J Jd 由 D D H J Jd t t
变化的电场 能产生磁场
推广的安培环 路定理 全电流定律
D J全 J J d J t
积分形式：
全电流
C
H dl J 全
S
物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁
E0 k x
例 5 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与
U的关系。
图 平板电容器
解：
D E I I d AJ d A A t t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从 而得
I
A U
d t
U I C t
E H E t H E t ( H ) 0 ( E )
麦克斯韦方程 组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。
四、媒质的分类
若媒质参数与位置无关 , 称为均匀 ( 质; ;
homogeneous
法拉第电磁感应定律和全电流定律
5 .1 .1 法拉第电磁感应定律 (Faraday’s Law of Induction) 静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场) 特性：电场和磁场相互独立，互不影响。
时变场:场的大小随时间发生改变。
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整 体，称为电磁场。 一、电磁感应现象与楞次定律
5 .2 .2 位移电流和全电流定律 电流连续性方程 dt 时间内，V内流出S的电荷量为 dq 电荷守恒定律：dt 时间内，V内电荷改 变量为 dq 由电流强度定义： dq I dt J (r ) ds dt S dq d (r )dV J (r ) ds V dt s dt
时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变
化的，因此称时变电磁场为电磁波。
建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电
场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特 殊情况可以通过直接求解波动方程求解。
5.3.3 动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potential 一、定义
sin( z ) cos( t k x x) d E0 ex cos( z )sin( t k x x) d d E0 B H ex cos( z ) sin( t k x x) 0 d 0 d E0 k x ez sin( z ) cos( t k x x) 0 d B ez
时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的
函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间 位置的函数。
由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量
位和动态矢量位也是一个统一的整体。 二、洛伦兹规范条件 为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对 应关系，须引入额外的限定条件——规范条件。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是
有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成
电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
二、麦克斯韦方程组的积分形式
D C H dl S ( J t ) dS E dl B dS S t C B dS 0 S D dS dV Q V S
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
（推广的安培环路定律）
（法拉第电磁感应定律） （磁通连续性定律） （高斯定律）
物理意义： 时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁 场是有旋有散场。
例题
例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想 导体板，在极板间存在时变电磁场，其 电场强度为
z d
E ey E0 sin( z ) cos( t k x x) d
求：(1)该时变场相伴的磁场强度 H ；
y
解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式
B E ex ey ez t E y E y B ez ex t x y z x z Ex E y Ez B ez E0 k x sin( z )sin( t k x x) t d E0 ex cos( z ) cos( t k x x) d d B B dt t
变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁
场相互依存，构成统一的电磁场。
◇ห้องสมุดไป่ตู้
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定
场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。
电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
§5 .1
Time-varying Electromagnetic Fields
场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面 上的全电流。
D dS＝ ( J ) dS S t
全电流连续性原理
Jt J c J v J d
( Jc Jv J d ) 0
对任意封闭面S有
S
( J c J v J d ) ds ( J c J v J d )dv 0
第五章
时变电磁场
Electromagnetic field equations
§5.1 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §5.2 麦克斯韦方程组 §5.3 电磁场的边界条件 §5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量 §5.5 时谐电磁场
时变电磁场
静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开
讨论。
◇
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；
得到了两个相互矛盾的结果。 在 H
J 的右端加一修正项 J d 则
H J J d
J Jd 0
D J d J Jd t t D
: J d 是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称 为位移电流密度
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
A t
洛伦兹规范条件
三、动态位满足的方程
A E ( ) t
2
( A) t
A
E H J t 1 A J E 1 t H A A 2 ( A) A J ( ) t t 2 A 2 A 2 J ( A ) t t
B 0 B A
B E ( A) E t t A (E ) 0 t A A 令： ( E ) ， E ( ) t t A E ( ) A(r , t ) : 动态矢量位 t 故： ( r , t ) : 动态标量位 B A
电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发
生变化时，回路中会出现感应电流。
楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身
的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。
二、法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变
时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成 d m 正比关系。数学表示：
dt
说明：“ - ”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻 止回路磁通量的改变。
Ic Iv Id 0
物理意义： 穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续性 原理。
将它应用于只有传导电流的回路中 , 得知节点处传导电流的代
数和为零 ( 流出的电流取正号 , 流入取负号 ) 。这就是基尔霍夫 (G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
B E t
法拉第电磁感应定律微分形式
说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时 间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路 以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势
变化的磁场 能产生电场
物理意义： 1 、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时 变电场强度的旋度。 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为 dB dt ，即磁场随时间变化的 地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。
t
全电流定律 H J Jd 由 D D H J Jd t t
变化的电场 能产生磁场
推广的安培环 路定理 全电流定律
D J全 J J d J t
积分形式：
全电流
C
H dl J 全
S
物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁
E0 k x
例 5 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与
U的关系。
图 平板电容器
解：
D E I I d AJ d A A t t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从 而得
I
A U
d t
U I C t
E H E t H E t ( H ) 0 ( E )
麦克斯韦方程 组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。
四、媒质的分类
若媒质参数与位置无关 , 称为均匀 ( 质; ;
homogeneous
法拉第电磁感应定律和全电流定律
5 .1 .1 法拉第电磁感应定律 (Faraday’s Law of Induction) 静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场) 特性：电场和磁场相互独立，互不影响。
时变场:场的大小随时间发生改变。
特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整 体，称为电磁场。 一、电磁感应现象与楞次定律
5 .2 .2 位移电流和全电流定律 电流连续性方程 dt 时间内，V内流出S的电荷量为 dq 电荷守恒定律：dt 时间内，V内电荷改 变量为 dq 由电流强度定义： dq I dt J (r ) ds dt S dq d (r )dV J (r ) ds V dt s dt
时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变
化的，因此称时变电磁场为电磁波。
建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电
场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特 殊情况可以通过直接求解波动方程求解。
5.3.3 动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potential 一、定义
sin( z ) cos( t k x x) d E0 ex cos( z )sin( t k x x) d d E0 B H ex cos( z ) sin( t k x x) 0 d 0 d E0 k x ez sin( z ) cos( t k x x) 0 d B ez
时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的
函数，因此动态矢量位和动态标量位也为时间和空间 位置的函数。
由于时变场电场和磁场为统一整体，因此动态标量
位和动态矢量位也是一个统一的整体。 二、洛伦兹规范条件 为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对 应关系，须引入额外的限定条件——规范条件。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是
有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成
电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
二、麦克斯韦方程组的积分形式
D C H dl S ( J t ) dS E dl B dS S t C B dS 0 S D dS dV Q V S
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
（推广的安培环路定律）
（法拉第电磁感应定律） （磁通连续性定律） （高斯定律）
物理意义： 时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁 场是有旋有散场。
例题
例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想 导体板，在极板间存在时变电磁场，其 电场强度为
z d
E ey E0 sin( z ) cos( t k x x) d
求：(1)该时变场相伴的磁场强度 H ；
y
解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式
B E ex ey ez t E y E y B ez ex t x y z x z Ex E y Ez B ez E0 k x sin( z )sin( t k x x) t d E0 ex cos( z ) cos( t k x x) d d B B dt t
变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁
场相互依存，构成统一的电磁场。
◇ห้องสมุดไป่ตู้
英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定
场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。
电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。
§5 .1
Time-varying Electromagnetic Fields
场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。 磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面 上的全电流。
D dS＝ ( J ) dS S t
全电流连续性原理
Jt J c J v J d
( Jc Jv J d ) 0
对任意封闭面S有
S
( J c J v J d ) ds ( J c J v J d )dv 0
第五章
时变电磁场
Electromagnetic field equations
§5.1 法拉弟电磁感应定律和全电流定律 §5.2 麦克斯韦方程组 §5.3 电磁场的边界条件 §5.4 坡印廷定理和坡印廷矢量 §5.5 时谐电磁场
时变电磁场
静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开
讨论。
◇
在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；
得到了两个相互矛盾的结果。 在 H
J 的右端加一修正项 J d 则
H J J d
J Jd 0
D J d J Jd t t D
: J d 是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称 为位移电流密度
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
A t
洛伦兹规范条件
三、动态位满足的方程
A E ( ) t
2
( A) t
A
E H J t 1 A J E 1 t H A A 2 ( A) A J ( ) t t 2 A 2 A 2 J ( A ) t t
B 0 B A
B E ( A) E t t A (E ) 0 t A A 令： ( E ) ， E ( ) t t A E ( ) A(r , t ) : 动态矢量位 t 故： ( r , t ) : 动态标量位 B A
电磁感应现象——实验表明：当穿过导体回路的磁通量发
生变化时，回路中会出现感应电流。
楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身
的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。
二、法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变
时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成 d m 正比关系。数学表示：
dt
说明：“ - ”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻 止回路磁通量的改变。