第五章时变电磁场
第五时变电磁场-资料
得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为
r r r
n (D 2 D 1 )S (1 )
D2nD1n S
第五章 时 变 电 磁 场
D D 若分界面上没有自由面电荷， 则有
rr r
微分形式 H J D / t
第五章 时 变 电 磁 场
全电流 I全I ID
1）位移电流和传导电流一样要激发磁场； 2）传导电流产生焦耳热，位移电流不产生焦耳热; 3）全电流总是连续的.
rr r
Ñ 对任意封闭曲面S 有 S (JJD )dS0
rr (JJD)0
Ñ Ñ SS( JrH D )trdSdSrVI( IDH0)dV0
第五章 时 变 电 磁 场
例2 有一圆形平行平板电容器, R3.0cm.现对
其充电,使电路上的传导电流 IcdQdt2.5A ,
若略去边缘效应, 求:（1）两极板间的位移电流;（2）两
S2 S1
能否把安培环路定理推广
L
到非稳恒的情况呢？
I
由电荷守恒定律知 ：
dq dt
I
u ru r u ru r
由电场的高斯定理 D Ò S D d S S 2 D d S q
I dD d dt dt
ur ur
DdS
uDr duSr
其中E0、β为常数，求
r H
。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
rrr
ex ey ez
r E
x
y
r
z
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
电磁场第五章 时变电磁场
)媒
若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关 , 称为各向同性 (isotropic) 媒 质; ;
若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色
散(dispersive) 媒质。
5.3.2 无源区的波动方程
wave equations for source-free medium 在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由 麦克斯韦方程组,=0,J=0 D
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关 系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。
麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场 和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。
D H J t H J D 0 E 0 B t E B 0 B 0 t t B 0 D D
电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。 在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B 之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦 方程组的非限定形式
三、麦克斯韦方程组的限定形式
本构关系
Constitutive equations
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得
( J )dV dV V V t
J t
I S
V
电流连续性方程积分形式 电流连续性方 程的微分形式
J 0 t
位移电流
另一方面，由
0 J 在时变情况下 0 t t
H J J H 0
第五章随时间变化的电磁场
R 2 x
2 R
Rb
ox x
根据法拉第电磁感应定律，
dm
dt
0a ln R b dI 2 R dt
0aJ0 ln R b 2 R
若电流增长，ε 实际方向 为逆时针
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例题2 （P210例5.1—3）
一长直密绕螺线管，长度L，截面积S，绕有N1匝导线，通有电流I。螺 线管外绕有N2匝线圈，其总电阻R。当螺线管中电流反向时，通过外线圈导 线截面上的总电量为多少？
▲1、动生电动势的非静电力是 洛仑兹力
b
ab (v B) dl
a
说明：
b
B
- fe – fm
v
a
d l方向：沿所在处的切线方向；其指向由积分路线方向确定；
电动势参考方向：沿积分路线方向。
结果的正负会告知ε 的真实方向。 如果整个导体回路都在磁场中运动,那么回路中的总的动生电动势：
1833 ～ 1834年，他发现了两条电解定律，这是电化学的 开创性工作。从1834年起，法拉第对伏打电池、静电、电容和电 介质的性质进行了大量实验研究。为了纪念他在静电学方面的工 作，电容的SI单位称为法拉。
1845年8 月，法拉第发现原来没有旋光性的重玻璃在强磁 场作用下产生旋光性，使偏振光的偏振面发生偏转。磁致旋光效 应后来称为法拉第效应。同年发现大多数物质具有抗磁性。 6
法拉第 Faraday，Michael
（1791～1867）
法拉第热心科普工作，每年圣诞节都特别对儿 童作一系列科学演讲。他的科普讲座深入浅出，配 以丰富的演示实验，深受欢迎 。
法拉第专心从事科学研究，许多大学欲赠予名誉学位，均遭 拒绝。他不愿主持伦敦的皇家研究院和皇家学会，也谢绝封爵。 他1867年 8 月25日卒于维多利亚，逝世前拒绝安葬在威斯敏斯 特教堂牛顿墓旁边 。法拉第著有《电学实验研究》、《化学和 物理学实验研究》等著作。
时变电磁场
E(r,t) Re(E m(r)ej t )
无论何种表示方法，复矢量仅为空间函数，与 时间无关。
只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方 法进行运算。
已知正弦电磁场的场与源的频率相同，因此可用复矢量形式 表示麦克斯韦考方虑程到。正弦时间函数的时间导数为
E(r, t) Re( j E (r)e j t )
因此
D1n D2n
可见，两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的。
对于各向同性的线性介质，上式又可写为 1E1n 2E2n
第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律， 只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
H1t H2t
t
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。
在电导率较低的媒质中， Jd Jc 在良导体中， Jd Jc
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产 生磁场，因此前述的安培环路定律变为
H dl l
S (J Jd ) dS
即
H
l
dl
S
(J
D ) dS t
H J D t
场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。
电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷
守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
J
t
D E
BH
J E J
式中 J代 表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。
麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。
第5章时变电磁场
v 动态矢量磁位 A
v v v ∂B ∂ Q∇× E = − = − (∇× A) ∂t ∂t v v ∂A 时变电磁场为保守力场 ∴∇×(E + ) = 0 ——时变电磁场为保守力场 ∂t ∂t
动态标量电位 ϕ
仿照静电场： 仿照静电场：
v v B = ∇× A
v v ∂A E+ = −∇ϕ ∂t
积分形式
∫∫
Sห้องสมุดไป่ตู้
v v D ⋅ ds =
微分形式
∫
∫∫
v v v v v ∂D ∫l H ⋅ dl = ∫∫S ( J + v t ) ⋅ dS ∂ v v v ∂B ∫ l E ⋅ d l = − ∫∫S ∂ t ⋅ d S
S
v v B ⋅ ds = 0
V
ρ dV = ∑ q
v v v ∂D ∇× H = J + v∂t v ∂B ∇× E = − ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
v & = −iωρ & ∇⋅J
三.
v v iωt v iωt v* −iωt & ] = [Ee + E e ]/ 2 & & E(t) = Re[Ee v v iωt v iωt v * −iωt & ] = [He + H e ]/ 2 & & H(t) = Re[He v v v 坡印亭矢量： 坡印亭矢量：S(t) = E × H v v* v v & × H )/ 2 + Re(E × Hei 2ωt )/ 2 & & & = Re(E 一个周期内的平均值： 一个周期内的平均值： T = 2 / ω) ( π
第5章 时变电磁场 (全)
? 2E
2 抖 r E J + me 2 = m e ¶t ¶t
? 2H
¶ 2H me = - 汛 J 2 ¶t
需要求解 6 个坐标分量。 位函数满足一个矢量微分方程和一个标量微分方程
? 2A
¶ 2A me 2 = - mJ ¶t
? 2F
¶ 2F r me 2 = e ¶t
仅需求解 4 个坐标分量，直角坐标系中实际上等于求解 1 个标量方程。
炎 B = 0
磁通连续性定理 高斯定理
炎 D = r
¶r ¶t
Ò J ?ds 蝌
S
-
d dt
蝌
V
r dv
炎 J = -
电荷守恒定律 本构关系
ì ï Jc = sE ï J =J + í ï J = rv ï î v
i
D = eE
B = mH
时 变 电 磁 场
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但， 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变 电磁场是有旋有散场。 在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成 电磁波。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
dr dq i= = S s dt dt
J = dr s dt
极板间电通量随时间的变化率为
d Ye dt = d (SD ) dt = S drs dt = i
电位移矢量的大小随时间的变化率为
drs dD dD = = = J dt dt dt
方向上，充电时 相反。显然，
dD dt
dD dt
? E
2 2 r 抖 E J me 2 = m + ¶t e ¶t
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
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评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
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流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
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第五章 时变电磁场1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。
由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。
2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。
2）电场和磁场共存，不可分割。
3）电力线和磁力线相互垂直环绕。
3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。
第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。
然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。
第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。
第八章介绍了电磁波的产生－天线。
4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。
2）基本方法：复矢量§时变电磁场方程及边界条件1 1)因为t∂∂不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。
其基本方程就是Maxwell 方程。
微分形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅∇=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J B D t BE t D J H ρρρρρρρρρρ0 积分形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂-=⋅=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s V s s V c s c s dV t s d J s d B dV s d D s d t B l d E s d t D J l d H ρρρρρρρρρρρρρρρρρ0)(2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中HB E D ρρρρμε== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。
这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。
3）上面的电流J ρ包括传导电流E J c ρρσ=和运移电流v J v ρρρ=2 边界条件：§ 时变电磁场的唯一性定理1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界面上电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量已知，则该区域内每一点0>t 时Maxwell 方程组有唯一的确定解。
§ 时变电磁场的位函数 1 关于电场的波动方程：由t B E ∂∂-=⨯∇ρρ得tBE ∂∂⨯-∇=⨯∇⨯∇ρρ左边由矢量恒等变换得（考试点） E E E E ρρρρ22)()(∇-∇=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ερ右边 22)()()(t E t J t D J t H t B t t B ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=⨯∇∂∂=⨯∇∂∂=∂∂⨯∇ρρρρρρρμεμμμ 故得关于电场的波动方程：ερμμε∇+∂∂=∂∂-∇t J t E E ρρρ2222用类似的方法可以得到关于磁场的波动方程（补充作业）J tH H ρρρ⨯-∇=∂∂-∇222με 3 既然Maxwell 方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要波动方程：答案是求解的需要。
Maxwell 方程里电场和磁场耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们有各自的波动方程。
后者有时便于求解，但方程的阶数是二阶，比Maxwell 方程高一阶。
所以也有不用波动方程，直接用Maxwell 方程求解。
现在流行的FDTD 方法就是直接求解Maxwell 方程。
用于电磁场模拟仿真软件CST 就是基于FDTD 方法。
4 时变电磁场的位函数1） 矢量磁位的定义（同静磁场定义）：A B ρρ⨯∇=2） 标量电位的定义（不同于静电场）：由于电场的旋度不等于零，不能直接定义。
但有t AA t tB E ∂∂⨯-∇=⨯∇∂∂-=∂∂-=⨯∇ρρρρ)(可得 0)(=∂∂+⨯∇t AE ρρ 我们可以令 ϕ-∇=∂∂+)(tAE ρρ 上面就是标量电位的定义。
由上式可得tA E ∂∂--∇=ρρϕ这样我们就实现了用位函数表示电磁场量的目的。
5 位函数的波动方程： 1）矢量位的波动方程22t A t J t A t J t E J B A ∂∂-∂∂∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∇-∂∂+=∂∂+=⨯∇=⨯∇⨯∇ρρρρρρρρμεϕμεμϕμεμμεμ 根据恒等式 A A A ρρρ2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇上式可写成：)(222t A J t A A ∂∂+⋅∇∇+-=∂∂-∇ϕμεμμερρρρ 由于矢量位A ρ的散度尚待规定，从简化角度，我们可以令：0=∂∂+⋅∇tA ϕμερ这就是洛仑兹规范（请与库仑规范比较）。
由此可得矢量位的波动方程J tA A ρρρμμε-=∂∂-∇2222） 标量位的波动方程：)())(()()(22222tA t t A t A E ∂∂-∇-=⋅∇∂∂+∇-=∂∂⋅∇+∇-=∂∂+∇⋅-∇=⋅∇ϕμεϕϕϕϕρρρρ同时ερ-=⋅∇E ρ故得标量位的波动方程 ερϕμεϕ-=∂∂-∇222t6 Helmholtz 方程：在无源区域，ρ与J ρ均为零，上述场量和位函数的波动方程变为齐次波动方程，即Helmholtz方程：0222=∂∂-∇t E E ρρμε0222=∂∂-∇t HH ρρμε0222=∂∂-∇t AA ρρμε0222=∂∂-∇tϕμεϕ若静态场，0→∂∂t，上述波动方程退化为相应的泊松方程和拉普拉斯方程。
§5 4 正弦电磁场1 与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为许多不同时间频率的正弦电磁场（简谐场，也称时谐电磁场）的叠加。
2 时谐电磁场中场量的瞬时表示式：以余弦函数为基准（工程界惯例。
少数也有用正弦函数的），以电场强度矢量为例)cos(),,()cos(),,()cos(),,(),,,(z z z y y y x x x t z y x E a t z y x E a t z y x E a t z y x E ϕωϕωϕω+++++=ρρρρ注意场量与时间变量t 的关系非常简单和确定，这是引入复矢量的前提。
3时谐电磁场中场量的复数表示式 上式可以也表示为]),,(Re[])),,(),,(),,(Re[(),,(Re ),,(Re ),,(Re ]),,(Re[]),,(Re[]),,(Re[),,,()()()(t j tj zz y y x x t j z z t j y y t j x x t j z z t j y y t j x x e z y x E e z y x E a z y x E a z y x E a ez y x E a e z y x E a e z y x E a e z y x E a e z y x E a e z y x E a t z y x E z y x ωωωωωϕωϕωϕω&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρρρρρ=++=++=++=+++),,(z y x E &ρ称为电场强度的复矢量。
同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如 ]),,(Re[),,,(t j e z y x J t z y x J ω&ρρ=上面的表示式建立了时谐电磁场场量的瞬时表示式与复数表示式之间的联系。
4 Maxwell 方程的复数形式以电场旋度方程tBE ∂∂-=⨯∇ρρ为例，代入相应场量的复数表示式，可得)][Re()][Re(t j t j e B te E ωω&ρ&ρ∂∂-=⨯∇∇、t∂∂可与Re 交换次序，得)](Re[)](Re[t j t j e B te E ωω&ρ&ρ∂∂-=⨯∇复数相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式两边的Re ，接着可以消去t j e ω，得到B j E &ρ&ρω-=⨯∇上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。
从形式上讲，只有把微分算子t∂∂用ωj 代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。
如复数形式的Maxwell 方程微分形式⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅∇=⋅∇=⋅∇-=⨯∇+=⨯∇ρωρωω&&ρ&ρ&&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρj J B D B j E D j J H 0 积分形式⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅=⋅=⋅⋅-=⋅⋅+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰sV s s V c s cs dV j s d J s d B dV s d D s d B j l d E s d D j J l d H ρωρωω&ρ&ρρ&ρ&ρ&ρρ&ρρ&ρρ&ρ&ρρ&ρ0)(线性、各向同性媒质中，有vJ E J HB E D &ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρρσμε==== 5 边界条件的复数形式：边界条件由于不含有时间导数，故复矢量形式的边界条件与瞬时表示式形式的边界条件在形式上完全一样。
6 波动方程的复矢量形式：因为ωj t→∂∂，故222ω-→∂∂t 因此矢量位复数形式的波动方程是J A A &ρ&ρ&ρμμεω-=-∇22令μεω22=k 波动方程可写成J A k A &ρ&ρ&ρμ-=-∇227 复数介电常数，复数磁导率：1）E j j E j E D j J H &ρ&ρ&ρ&ρ&ρ&ρ)(ωσεωωεσω-=+=+=⨯∇令ωσεεj-=&为导电媒质的等效复介电常数，则上式可写成 E j H &ρ&&ρεω=⨯∇用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统一采用电介质的分析方法。
另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。
这时同样可以用复介电常数表示这种介质损耗，即εεε''-'=j &虚部表示有能量损耗，从能量损耗的角度，ε''与ωσ作用一样。
考虑上述两种能量损耗，总的复介电常数是)(ωσεεε+''-'=j c&2 ）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率，μμμ''-'=j c3） 损耗角正切：表示介质损耗的相对大小。