3-2向量组的线性关系
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3-2_向量与向量组的线性组合
单位向量组 ε 1 = (1,0 , L ,0 ), ε 2 = ( 0 ,1, L ,0 ), L
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
3-2-1 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
3-2向量组的线性相关与线性无关
的线性组合 解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得
β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4
即
1 1 1 1 1 2 1 1 −1 =x +x −1 + x3 + x4 1 2 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关， 因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有
x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
1 0 1 由于 1 1 0 = 2 ≠ 0 0 1 1
全为零的数 k1 , k 2 ,L , k m 使 r r r r k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 是线性相关的，否则称它线性无关． 1. α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ⇔ 只有当 k1 = L = k n = 0时 ,
才有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例 .
3-2向量的线性相关性
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
3-2-2向量组的线性相关性的判定
a11k1 a12 k2 a1s k s 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2s s a k a k a k 0 ns s n1 1 n 2 2 b1k1 b2 k2 bs k s 0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
3.2向量3-3向量组的线性相关性
b11 b12 b1n
（c1,c2,,cn)（1,2,,s)b21
b22
b2n
bs1 ks2 ksn
线性代数课件 hty
19
同时C的 ，行向量B组 的能 行由 向量组,线 A 性 为这一表示的 ：系数矩阵
1T 2T mT
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数课件 hty
5
解析几何
三、向量空间
向量
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT(a 1,a2, ,an)
线性代数课件 hty
6
解析几何
线性代数课件 hty
22
五、线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零k1,的 k2, 数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2, ,n线性无 ,则关 只有 1 n 0时 ,才有
类似，A 若 经矩 初阵 等列B变 ，A 换 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
线性代数课件 hty
21
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的 一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等 价的方程组一定同.解
线性代数课件 hty
13
定义１ 给定向 A:量 1,2, 组 ,m ，对于任
3-2 向量组的秩和最大无关组
R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
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19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
42
定理6
线性相关，则 证明: 因为
使 由①， 可由 代入上式， 可由 线性无关相矛盾。
45
线性表示， 与 线性表示，
，
性质
A为
阵， 经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。 证明: 设 则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
38
例11.已知
线性无关， 证明 线性相关。 使得
证明: 设存在数
即 已知 线性无关， 只有
不全为零， 故向量组线性相关。
39
线性相关 其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性： 不全为0的数 不妨设
， 则
线性相关，则存在一组 使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余 是其余向量的线性 向量的线性组合，不妨设 使
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令 由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解， 此向量组线性相关。
29
小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 首先设有数 使得
24
已知
若
线性无关， 则 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。 若 1 , 2 ,, m 线性相关，
25
证明：假设 的数
线性相关， 则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
26
三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性
成立，则称向量组 线性相关。 否则称 线性无 关 。 若 线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当 时， 式才成立 。 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立 。 成立外 还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别 解: 即 线性相关。 特别 当向量组只含一个向量时， 当 当 为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
第二节 向量间的 线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念 三、向量组线性相关性设有n维向量组 如果存在一组数
是向量组 称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断 是否为向量组
的线性组合？
解: 设 对矩阵
14
引例 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组， 又可以写成
16
二、线性相关与线性无关的概念 定义1 设 为m 个n 维向量组， 使 如果存在一组不全为0的数 ，
定理4
32
例8. 判断 的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关， 成立。 线性无关， 必定
则存在一组不全为零的数 使 由于 故
，
43
又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关， 必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组 线性相关， 线性无关。 线性表示； 证明 ① 可由 线性表示。 ② 不可由 证明: ① 线性无关， 线性无关， 故 可由 线性表示。 线性表示，即存在 ②假设 可由
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组，
我们称
也称
是 可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由 其中
是为 n维列向量组， 线性表示 有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身 线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组 也线性无关。 证明: 设存在数 即 整理得 因为向量组
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解， 从而 线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 证明: 因为 线性相关 则存在一组不全为0的数 使
成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
23
定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 利用定理2，用反证法。 整体无关，部分无关！ 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
42
定理6
线性相关，则 证明: 因为
使 由①， 可由 代入上式， 可由 线性无关相矛盾。
45
线性表示， 与 线性表示，
，
性质
A为
阵， 经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。 证明: 设 则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
38
例11.已知
线性无关， 证明 线性相关。 使得
证明: 设存在数
即 已知 线性无关， 只有
不全为零， 故向量组线性相关。
39
线性相关 其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性： 不全为0的数 不妨设
， 则
线性相关，则存在一组 使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余 是其余向量的线性 向量的线性组合，不妨设 使
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令 由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解， 此向量组线性相关。
29
小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 首先设有数 使得
24
已知
若
线性无关， 则 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。 若 1 , 2 ,, m 线性相关，
25
证明：假设 的数
线性相关， 则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
26
三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性
成立，则称向量组 线性相关。 否则称 线性无 关 。 若 线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当 时， 式才成立 。 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立 。 成立外 还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别 解: 即 线性相关。 特别 当向量组只含一个向量时， 当 当 为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
第二节 向量间的 线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念 三、向量组线性相关性设有n维向量组 如果存在一组数
是向量组 称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断 是否为向量组
的线性组合？
解: 设 对矩阵
14
引例 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组， 又可以写成
16
二、线性相关与线性无关的概念 定义1 设 为m 个n 维向量组， 使 如果存在一组不全为0的数 ，
定理4
32
例8. 判断 的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关， 成立。 线性无关， 必定
则存在一组不全为零的数 使 由于 故
，
43
又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关， 必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组 线性相关， 线性无关。 线性表示； 证明 ① 可由 线性表示。 ② 不可由 证明: ① 线性无关， 线性无关， 故 可由 线性表示。 线性表示，即存在 ②假设 可由
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组，
我们称
也称
是 可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由 其中
是为 n维列向量组， 线性表示 有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身 线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组 也线性无关。 证明: 设存在数 即 整理得 因为向量组
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解， 从而 线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 证明: 因为 线性相关 则存在一组不全为0的数 使
成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
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定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 利用定理2，用反证法。 整体无关，部分无关！ 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。