三个向量组线性相关的充要条件
关于向量组线性相关性的教学
要证明 向量组线性相关 ，就 需要找 到一组不全为零的数
相关性知识是本课程 的一个重点与难 点，它贯 穿于线性代数课 ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使它们的线性组合等于 ０，而对于证明向量组线
程 的始终 。向量 组的线性相关和线性无关的判定这个课题 ，实 性无关 ，不可能对所有不全为零的数 ｋ１，ｌ【２，… ，ｋｍ，验证（１）式
必要性 若 ｎ维 向量 组 ａ１，ａ２，…，ａｎ 线性无关，又任 意 ｎ＋１
定 理 是 说 ，ｎ维 空 间 中 的 ｍ 个 向量 ，若 ｍ ＞ １＂１，必 线性 相 关 。按 个 ｎ维向量必线性相关 ，设 ａ是任一 ｒｌ维 向量 ，则 向量组 ａ，ａｌ，
上面 的理解 ，这 个定理就 是：一条直线上 只能有一个互不共线 ａ２，…，ａｌｌ线性相关 ，故 ａ可 以由 ａ１，ａ２，…，ａｌｌ线性表示 。
Ｂ＝ｋ１＋ｋ２＋…＋ｋｍ （２）
ｅ２＋１２７＊ｅ３所以 ａ和 ｅｌ，ｅ２，ｅ３是线性相关的。但是 ｅ１，ｅ２与
则称单个 向量Ｂ可 由向量组线性表 出。
ｅ３这三个之间不能由其余两个线性表 出（比如 ｅ２与 ｅ３组合 出
实质上，向量组线 性相关所具有的充分必要条件是 向量组 来 的第 一个 分量永远是 ０，不 能变为 １），所 以ｅ１，ｅ２，ｅ３是线性
３）线 性无 关，他 们不在同一平 面内。ｎ个 向量 线性 无关就是他
而 ｎ维单位坐标 向量组是线性无关组 ，从而 向量组 ａ１，ａ２，
们都 各 占一个 空间维度 ，不能互相加减抵消 ，共 同张成 了一个 … ，ａ ｎ 也 是 线 性 无 关 组 。
１１维空间（想象一下空 间直角坐标系 中的三个坐标轴）。有一个
高等代数是数学专业必修课程 的专业基础课程 ，能够在一 当中必须要有一个向量可 以由其他部分线性表 出，其中需要注
4-2 向量的线性相关性
主要内容
线性相关与线性无关的定义 向量组线性相关的充要条件 向量组的线性相关性的判定定理
1
一 、线性相关与线性无关的定义
1. 定义 给定向量组 A: a1, a2, ... ,am , ,a
如果存在不全为零的实数 如果存在不全为零的实数 k1, k2, ..., km , 使
因为 λ1, ... , λm − 1, −1 这 m 个数不全为 0 (至少 −1 ≠ 0)，所以向量组线性相关 证毕 至少 ，所以向量组线性相关.
6
向量组的线性相关与线性无关的概念也 可移用于线性方程组. 可移用于线性方程组 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时, 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时 这个方程就是多余的, 方程组(各个方程)是线性相关的; 这个方程就是多余的 称方程组(各个方程)是线性相关的 当方程组中没有多余的方程, 当方程组中没有多余的方程 称该方程组 (各个方程)线性无关(或线性独立). 各个方程)线性无关(或线性独立)
12
证法二 利用方程组有解的条件
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a 2 , a 3 ) 1 1 0 , 记作 B = AK . 0 1 1 设 Bx = 0，以 B = AK 代入得 A(Kx) = 0 . ，
8
1 0 0 0 1 0 例 4 n 维向量组 e1 = , e2 = , L, en = M M M 0 0 1
称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性 试讨论它的线性相关性. 称为n维单位坐标向量组 试讨论它的线性相关性
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
向量组的线性关系
因为1 ，2 ，3 线性无关，则
2k1
3k3 0 ，
k1
k2
0，
5k2 4k3 0 ．
203
方程组的系数行列式为
D 1 1 0 23 0
054
因此，只有零解 k1 k2 k3 0 ，故向量组 1 ，2 ，3 也线性无关．
线性代数
线性代数
1.1 线性组合与线性表示
定义1
相同维数的向量的集合称为向量组。 一般记为向量组 T 或向量组（Ⅰ）、（Ⅱ）等． 例如，若有向量
1 (1，2 ，1) ，2 (2 ，1，0) ，3 (2 ， 3，1) ， 这些向量组成的向量组可记为向量组（Ⅰ）：1 ，2 ，3 ． 向量1 (1，2，3) ，2 (1，1) ，3 (0， 3，1) 不能形成一个向量组，因为它们的维数不 同。
若 l 0 ，上式为 k11 k22 kmm 0 ，且 k1 ，k2 ， ，km 不全为 0，这与1 ，2 ， ，m
线性无关矛盾，故 l 0 ．于是
1 l
(k11
k22
kmm )
表达式唯一，可用反证法证明得到．
1.3 线性相关性结论
定理
定理 5 设 n 维向量组1 ，2 ， ，s 线性相关，则向量组 1 ，2 ， ，s ， ，m (m s)
也线性相关，即若向量组中有一部分向量组（称为部分组）线性相关，则整个向量组线 性相关．
证明：因为 1 ，2 ， ，s 线性相关，所以存在一组不全为零的数 k1 ，k2 ， ，ks ，使得 k11 k2 2 kss 0，于是
k11 k22 kss 0s1 0m 0 ． 因此，1 ，2 ， ，s ， ，m (m s) 线性相关．
例 2 证 明 ： 任 一 n 维 向 量 (a1 ，a2 ， ，an ) 都 可 由 n 维 向 量 1 (1，0， ，0) ， 2 (0，1， ，0) ， ，n (0，0 ， ，1) 线性表出。
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
三章向量组的相关性
自然语言处理
在自然语言处理中，向量组相关 性可以用于表示文本中的词义和 语义关系。例如，通过分析词向 量的相似性和相关性，可以实现 文本分类、情感分析、信息抽取 等功能。
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THANKS
向量组相关性性质的推论
推论1
如果向量组A线性相关，则存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_na_n = 0$。
推论2
如果向量组A线性无关，则其秩等于其维数，即$rank(A) = dim(A)$。
推论3
如果向量组A线性相关，则存在一个向量可以由其他向量线性表 示，即存在$a_i$，使得$a_i = k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_{i1}a_{i-1} + k_{i+1}a_{i+1} + ... + k_na_n$。
力学问题。
02
电磁学
在电磁学中，向量组相关性可以用于研究电场、磁场和电荷、电流之间
的关系。例如，通过分析电磁场的矢量性质和变化规律，可以解决电磁
学中的各种问题。
03
相对论
在相对论中，向量组相关性可以用于描述时空结构、物质运动和能量之
间的关系。例如，通过研究光速矢量、四维矢量等概念，可以解释相对
论中的一些重要现象。
解释
线性无关表示向量组中的向量互相独立，即不存在任何依赖关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
向量组相关性的判定定理
定理
如果向量组中有零向量，则该向量组 线性相关；如果向量组中没有零向量 ，且任意两个向量都不共线，则该向 量组线性无关。
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三个向量组线性相关的充要条件
线性相关指的是三个向量组存在一定的线性关系。
三个向量的线性相关的充要条件是，他们必须满足如下条件：
1、三个向量必须满足不等式，也就是说他们是独立的。
比如向量A=(2,3,4)，
B=(4,6,8),C=(8,12,16),系数矩阵存在一定的正负关系。
2、三个向量之间的线性相关可以用矩阵的乘法描述，也就是说，如果三个向量组满足系
数矩阵乘法，那么他们就存在线性相关的关系。
3、三个向量组的线性相关也可以用单位向量的相成描述，也就是说，如果三个向量的每
个分量的绝对值都一样，那么他们也是线性相关的。
4、三个向量的线性相关也可以用几何视图来表示，也就是说，如果三个向量的点乘是1
或者-1的话，那么他们也是线性相关的。
综上所述，三个向量组存在线性相关的充要条件是，他们必须满足独立性、系数矩阵乘法、单位向量相成和几何视图等描述方式，点乘结果也必须是1或者-1。
了解了三个向量线性相关的充要条件，可以帮助我们更好地分析三个向量之间的关系，也能够更深入地了解三
个向量组的特点。