3-1 向量组的线性关系汇总
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3-1-2向量的线性表示、线性组合
可由向量组1, 2, …, m线性表示, 也称向量是向量组1,
2, …, m的线性组合.
例1 设T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1),
3T=(1, 0, 0, 1), 问能否由向量组1, 2, 3线性表示.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
向量组1,2, …,n称为A的列向量组. 即A=(1, 2, …, n).
m×n 矩阵A=(aij)也对应m 个n 维行向量
α1 a11 a12 a1n
… … … …Biblioteka …α2 a21 a22 a2n
αm am1 am2 amn
α1 α2 ,即A αm
1 0 1 即 1 1 α = (β1 , β 2 , β3 ) 2 0 0 1 0 -1 -1 2 1 0 -1 2 = 0 0 1 1 1
一般地, 对列向量, =k11+k22+…+kss 可写成
§2 线 性 关 系
若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向 量组. 如:m×n 矩阵A=(aij)对应n 个m 维列向量
a11 a β1 21 am1
a1n a12 a2 n a22 , , β n , β2 am 2 amn
向量组1, 2,…,m, 称为矩阵A的行向量组. 反之, 由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵. 线性方程组Ax=b也可以用向量表示成: x11+x22+ …+xnn= 定义3.2 给定向量组: 1, 2, …, m, 若存在一组数 k1,k2 , …,km , 使: =k11+k22+ …+kmm , 则称向量
3-1-1向量及其基本运算
1 | |
是与同方向的单位向量.
由Schwarz不等式, 对任意非零向量和都有
[ , ]
1
定义3.4 对任意非零向量, , 称
[ , ] , arccos , 0 ,
为向量和的夹角. 可见, ,
2
[, ]=0, 于是有
n 维向量就是n 个有次序的数a1,a2, …,an组成的数组. ai称为向量的第i个分量. 分量全是实数的向量称为实向量. 定义中两种形式分别称为列向量和行向量. 注意: 按定义行向量 和列向量 表示同一个向量, 但在涉及到运算时,行向量 和列向量总看作两个 不同的向量, 而且都按矩阵的运算规则进行运算. 如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
(1) [ , ] [ , ];
(2) [ ， ] [ , ] [ , ]
(3) [k , ] k[ , ]
。
(4) [ , ] 0 , 而且, 仅当=0时, [, ]=0.
向量内积的概念, 反过来定义n维向量的长度和夹角.
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn
称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数.
内积也可以用矩阵运算表示, 当与都是列向量时, 有
在解析几何中, 曾引进向量的数量积 x y=|x||y|cos 且在直角坐标系中，有
( x1 , x2 , x3 ) ( y1 , y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
向量组的线性关系
四、基础解系的证法
例6. 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是 基础解系． 分析 要证明某一向量组是方程组 AX = O的基础解 系，需要证明三个结论: (1)该组向量都是方程组的解； (2)该组向量线性无关； (3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
证明 设 1, η2,..., ηt是 ： η 方程 AX = O 的一 组 个基 解 础 系 a1, a2,..., at是与 1, η2,..., ηt等价 线性 ， η 的 无关 的向 量
例 设 α 1, α 2 ,L , α r 线 2. 性相 关， 证明 ：存 在不 全 为零 的数 t1,t 2,L ,t r， 使对 任何 向量 β 都 有 α 1 + t1β, α 2 + t 2β， , α r + t rβ (r ≥ 2) L 线 性相 关。 证 ：因 α 1, α 2,L , α r 线 明 为 性相 ,所以 关 存在 不 全 为零 数k1, k2,L , kr, 使 的数 的 k1 α 1 + k2 α 2 +L + k r α r = O 考 虑线 性方 程 k1x1 + k2x2 +L + kr xr = 0 因 r ≥ 2,它必 为 有非 零解设(t1, t 2,L ,t r)为 , 任一 非 β 零 , 解则对 任意 向量 ,都有
例 . 研究下列向量组的线性相关性 1 1 0 −1 α 1 = −2, α 2 = 2 , α 3 = 0 3 −5 2 解 令 k1α 1 + k2α 2 + k3α 3 = O ： 1 0 −1 0 即 k1 −2 + k2 2 + k3 0 = 0 ： 3 −5 2 0 k1 − k3 = 0 整 得 理 ： −2k1 + 2k2 = 0 (∗) 3k1 − 5k 2 + 2k3 = 0 1 0 −1 Q线 方 组 ∗)的 数 列 −2 2 0 = 0 性 程 ( 系 行 式 3 −5 2
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
线代3-1n维向量组及线性相关性
称为向量组的一个线性组合， k1，k 2， , k m 称为这 个线性组合的系数 .
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n. 即R( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此
向量组是线性无关的 .
例２ 已知
1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7 试讨论向量组 1， 2， 3 及 1， 2的线性相关性 .
（2）记Ar m ( 1 , m )，B( r 1)m (b1 ,, bm ), 有R( A) R( B ).若向量组A线性无关, 则R( A) m ， 从而有 R( B ) m . 但 R( B ) m (因 B 只有 m 列）， 故R( B ) m，因此向量组B线性无关.
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
说明
结论（ ）可推广为: 一个向量组若有线性 1
相关的部分组，则该向 量组线性相关.特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关.反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 . 关
第三章 向量的线性相关性
与向量空间
第一节 n维向量组及其 线性相关性
向量组间的线性关系
也线性无关。
例10 已知 证明 设存在数
线性无关，证明 线性相关.
使得
即 已知
线性无关， 只有
不全为零，故向量组线性相关。
三、线性组合与线性表示
定义2 设有m维向量组
则称 的线性组合 称
如果存在一组数 是向量组 为组合系数.
若存在一组数
使得
称 可由
线性表示。
1、线性表示
观察四个向量 之间的关系有
例1
即 线性相关。
例2 当向量组含两个非零向量时，
设
，
与 线性相关
与 对应分量成正比
证明 与 线性相关
或
或
即 与 的对应分量成比例
例3 对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例，
几何上说向量
共线。
线性相关。
求证含有零向量的向量组必线性相关。
例4 证明 设向量组中 取数 必有
则此向量组必定线性相关。
例13 判断 是否为向量组 的线性组合？ 对矩阵
4
3
0 11
1
2
4
1 2 4
1
1
2
1 5
2
2
1
1 1
2
1 5
1 1 1
3
0 11
~
0
0 0
1 0 0
1
1 0
线性无关，
01
定理6
02
03
线性相关，则
可由A线性表示且表法唯一。
已知向量组
例14 证明 ①
②
0 1 0 2
0 0
0 0
1 0
-1 0
1 1 2 2 0 2 -1 5
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性
0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12•••a 1n a 21a 22•••a 2n••••a m1a m2•••a mn),x=( x 1x 2••x n ) ,b=( b 1b 2••b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ， (3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2−x 3=23x 1−x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2−x 3+x 4 =14x 1+2x 2−2x 3+x 4=22x 1+x 2 −x 3−x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2−5x 3+ 7x 4 =02x 1−3x 2+3x 3− 2x 4 =04x 1+11x 2−13x 3+16x 4=07x 1−2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2−310)+C 2(−2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ−1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
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,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1),
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b ( -a )
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合, 称向量组. • 向量组的一部分称部分组. 例1 设 e1 (1,0,
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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示. 设向量 b 有两个线性表示式 b h1a1 hm am 和 b l1a1
l m am
则
( h1 - l1 )a1
( hm - lm )am 0
例3 设矩阵 A (a1, , am ), 则方程组 Ax b 有一组解
xi ki (i 1, , m), 也即
b k1a1 k m am
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
1 2 4 2 -1 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 5 1 11 1 2 4 4 1 0 -5 -5 -5 r 0 r 0 3 3 4 0 0 9 9 9 0
b 的两个表示式不同, 也即存在一ห้องสมุดไป่ตู้不全为零的数 k1 h1 - l1 , , km hm - lm
k1a1 km am 0 使成立 此时, 称向量组 a1, , am 线性相关. • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
§3.1 向量组的线性关系
一、n 维向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性
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一、n 维向量及其线性运算
n 维向量空间 Rn
R n {(a1 , a2 ,
, an ) | a1 , a2 ,
, an R}
• Rn 中任一元素称为一个 n 维向量.
Ax 0 的任一解向量 x, 存在一组数 k1, , kn-r , 使
x k1x1
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kn- rx n- r >>>
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线性组合
给定向量组 a1, , am , 对任一数组 k1, , km, 称向量
b k1a1
k m am
为向量组 a1, , am 的一个线性组合, 称 k1, , km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1, , am 线性表示.
4 3 0 11 0 1 0 0 2 1 0 0 2 1 1 0
T T T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . (a1 , a2 ) x b1 T T T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示. (a1 , a2 ) x b2
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向量的加法运算 设向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 定义
a b (a1 b1 , , an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1, , an), k 为实数, 定义
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例4 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
• 称 ai 为向量 a (a1, , an) 的第 i 个坐标[分量]. 以 ai (i 1, , n)为第 i 个坐标的向量可写成列形式
a1 a a n
• 坐标全为零的向量称为零向量, 记为 0. • 坐标完全一样的两向量 a, b 称为相等向量, 记为 a b.
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b ( -a )
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合, 称向量组. • 向量组的一部分称部分组. 例1 设 e1 (1,0,
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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示. 设向量 b 有两个线性表示式 b h1a1 hm am 和 b l1a1
l m am
则
( h1 - l1 )a1
( hm - lm )am 0
例3 设矩阵 A (a1, , am ), 则方程组 Ax b 有一组解
xi ki (i 1, , m), 也即
b k1a1 k m am
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
1 2 4 2 -1 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 5 1 11 1 2 4 4 1 0 -5 -5 -5 r 0 r 0 3 3 4 0 0 9 9 9 0
b 的两个表示式不同, 也即存在一ห้องสมุดไป่ตู้不全为零的数 k1 h1 - l1 , , km hm - lm
k1a1 km am 0 使成立 此时, 称向量组 a1, , am 线性相关. • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
§3.1 向量组的线性关系
一、n 维向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性
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一、n 维向量及其线性运算
n 维向量空间 Rn
R n {(a1 , a2 ,
, an ) | a1 , a2 ,
, an R}
• Rn 中任一元素称为一个 n 维向量.
Ax 0 的任一解向量 x, 存在一组数 k1, , kn-r , 使
x k1x1
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线性组合
给定向量组 a1, , am , 对任一数组 k1, , km, 称向量
b k1a1
k m am
为向量组 a1, , am 的一个线性组合, 称 k1, , km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1, , am 线性表示.
4 3 0 11 0 1 0 0 2 1 0 0 2 1 1 0
T T T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . (a1 , a2 ) x b1 T T T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示. (a1 , a2 ) x b2
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向量的加法运算 设向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 定义
a b (a1 b1 , , an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1, , an), k 为实数, 定义
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例4 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
• 称 ai 为向量 a (a1, , an) 的第 i 个坐标[分量]. 以 ai (i 1, , n)为第 i 个坐标的向量可写成列形式
a1 a a n
• 坐标全为零的向量称为零向量, 记为 0. • 坐标完全一样的两向量 a, b 称为相等向量, 记为 a b.