向量组a1a2a3a4线性相关
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
关于向量组线性相关性的教学
要证明 向量组线性相关 ，就 需要找 到一组不全为零的数
相关性知识是本课程 的一个重点与难 点，它贯 穿于线性代数课 ｋ１，ｋ２，…，ｋｍ，使它们的线性组合等于 ０，而对于证明向量组线
程 的始终 。向量 组的线性相关和线性无关的判定这个课题 ，实 性无关 ，不可能对所有不全为零的数 ｋ１，ｌ【２，… ，ｋｍ，验证（１）式
必要性 若 ｎ维 向量 组 ａ１，ａ２，…，ａｎ 线性无关，又任 意 ｎ＋１
定 理 是 说 ，ｎ维 空 间 中 的 ｍ 个 向量 ，若 ｍ ＞ １＂１，必 线性 相 关 。按 个 ｎ维向量必线性相关 ，设 ａ是任一 ｒｌ维 向量 ，则 向量组 ａ，ａｌ，
上面 的理解 ，这 个定理就 是：一条直线上 只能有一个互不共线 ａ２，…，ａｌｌ线性相关 ，故 ａ可 以由 ａ１，ａ２，…，ａｌｌ线性表示 。
Ｂ＝ｋ１＋ｋ２＋…＋ｋｍ （２）
ｅ２＋１２７＊ｅ３所以 ａ和 ｅｌ，ｅ２，ｅ３是线性相关的。但是 ｅ１，ｅ２与
则称单个 向量Ｂ可 由向量组线性表 出。
ｅ３这三个之间不能由其余两个线性表 出（比如 ｅ２与 ｅ３组合 出
实质上，向量组线 性相关所具有的充分必要条件是 向量组 来 的第 一个 分量永远是 ０，不 能变为 １），所 以ｅ１，ｅ２，ｅ３是线性
３）线 性无 关，他 们不在同一平 面内。ｎ个 向量 线性 无关就是他
而 ｎ维单位坐标 向量组是线性无关组 ，从而 向量组 ａ１，ａ２，
们都 各 占一个 空间维度 ，不能互相加减抵消 ，共 同张成 了一个 … ，ａ ｎ 也 是 线 性 无 关 组 。
１１维空间（想象一下空 间直角坐标系 中的三个坐标轴）。有一个
高等代数是数学专业必修课程 的专业基础课程 ，能够在一 当中必须要有一个向量可 以由其他部分线性表 出，其中需要注
向量组的线性相关性
所以向量组 b1 ,b2 ,b3
2013年6月14日6时11分
线性无关.
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证三： 令A (a1 , a2 , a3 ), B (b1 , b2 , b3 ), B AK 令Bx 0, 即AKx 0 1 0 1 1 1 0 , Kx 0 K 因a1 , a2 , a3 线性无关
k1a1 k2a2 kmam 0 则称向量组 A 是线性相关的. ()
设有向量组
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 才能使(＊)式成立， k1 k2 L L km 0 时， 则称向量组 A 是线性无关的.
2013年6月14日6时11分
说明：
线性相关
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
2013年6月14日6时11分
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
有非零解.
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证二：令A (a1 , a2 , a3 ), B ( b1 , b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R( B) R( AK ) R( A) 3,
K 2, R( K ) 3, x 0
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
向量组的线性相关性
r2 2r1
~
r3 r1
0 0
1 3
2 6
3 9
r3 3r2
~
r2 (1)
0 0
1 0
2 0
3 0
得
x1 x2
3x3 2x3
4x4 3x4
令自由未知数 x3 c1 ， x4 c2 ，得通解
x1 3 4
x2 x3 x4
c1
2
1
0
c2
3
第四章 向量组的线性相关性
§１ 向量组及其线性组合
定义 1：
向量： n 个有次序的数 a1, a2,L , an 所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向
量称为复向量。 定义 2：
线性组合：给定的向量组 A : k1a1 k2a2 ,L , kmam ，对于任何一组实数 k1, k2 ,L , km ，表达
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
证：根据定理 2，向量组 e1, e2,L , en 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是 R(A) R A, E. 而 R A, E R(E) n ， 又 矩 阵 A, E 含 n 行 ， 知 R A, E n 合 起 来 有 R A, E n ， 因 此 条 件 R(A) R A, E就是 R(A) n .
a21x1
a22 x2
a2n xn 0
am1x1 am2 x2 amn xn 0
若记
A
a11 a21
线代第三章习题解答
第三章 行列式习题3.13-1-6.用定义计算行列式（1）()2,1,0,,,0000000222211114=≠=i d c b a d c b a d c b a D ii i i解：设444⨯=ija D 则4D 中第1行的非0元为113111,b a a a ==，故11,3j =同法可求：2342,4;1,3;2,4j j j ===∵4321,,,j j j j 可组成四个4元排列 1 2 3 4，1 4 3 2，3 2 1 4，3 4 1 2， 故4D 中相应的非0项有4项，分别为2211d b c a ，,2211c b d a -2211d a c b -，2211c a d b 其代数和即为4D 的值，整理后得 ()()122112214d c d c b a b a D --=(2)010...0002 0000...000 0n D n =M M MM解：由行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑L L L仅当12,,,n j j j L 分别取2，3,…,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零12121()(231)1212231(1)(1)(1)(1)(1)12(1)!n n n j j j n n j j nj n n n n D a a a a a a a n n ττ---=-=-=-⋅=-⋅L L L L L习题3.23.2-2.证明(1)0sin cos 2cos sin cos 2cos sin cos 2cos 222222=γγγβββααα证明:22222222222222132222222cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin c c αααααααβββββββγγγγγγγ-=-+-左0= (2) 322)(11122b a b b a a b ab a -=+证明:23222212()()2()11001c c a ab ab b b a a b b a b a b c c a ba b b a b a b a b --------==---左右=-=3)(b a(3) 121211221100001000001n n n n n nn n x x x a x a x a x a x a a a a a x-------=+++++-+L L M MM O M M L L L证明: 按最后一行展开，得1211000000010001000(1)(1)00010000100101n n n n x x a a x x x ++----=-+-----L L L L O M M M M M O M M L L LL左321220000100000000100(1)(1)0001000000001001n n n x x x x a a x x +----+-++----LL L L L M M M O M M M M M O M M L L LL21100100()(1)000100nx x x a x x--++--LL M M M O M M L L222222121221(1)(1)(1)(1)()(1)n n n n n n n n n n a a x a x a x x a x ----=-+-+-++-++-L 2211221n n n n n n a a x a x a x a x x ----=++++++=L 右3=2-3．计算下列行列式 （1）11111100((1))((1))x a a a x a ax a x a x n a x n a a a xa a xx a-=+-=+--LL L LLLM M O M M M OM MM O M LLL])1([)(1a n x a x n -+-=-(2)()()()()()()111(1)211111111()1(1)(1)111111nnnn n n n n n n n n nnna a a n a a a n a a a n D a a a n a a a n a a a n ---++---------==-------L L L LM MOMMM O ML L LL（最后一行（n+1）行依次与第n,n-1,…,2,1行交换，经过n 次交换；再将新的行列式的最后一行（即原来的n 行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。
5.2 向量组的线性相关性
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
线性代数全真模拟试卷
线性代数全真模拟试卷第一题 选择题1、已知行列式22221111b a b a b a b a -+-+=4，则2211b a b a =（ ）A 、2B 、4C 、-4D 、-22、若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+03,02,022132132132x x x x x x x x x λ有非零解，则λ=（ ）A 、0B 、1C 、-1D 、23、设A 是n 阶非零方阵，下列矩阵不是对称矩阵的是（ ） A 、A+A TB 、AA TC 、A-A TD 、21（A+A T） 4、设ABC 均为n 阶可逆方阵，且ABC=E,则下列结论成立的是（ ） A 、ABC=E B 、BAC=E C 、BCA=E D 、CBA=E5、设a1，a2，a3线性无关，而a2，a3，a4线性相关，则（ ） A 、a1必可由a2，a3线性表示 B 、a2必可由a3，a4线性表示 C 、a3必可由a2，a4线性表示 D 、a4必可由a2，a3线性表示6、向量组a 1,a 2…，a s 的秩为s 的充要条件为（ ）A 、此向量组中不含零向量B 、此向量组中没有两个向量的对应分量成比例C 、此向量组中有一个向量不能由其余向量线性表示D 、此向量组线性无关7、设A 为m*n 矩阵，且任何n 维列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则（ ） A 、A=0B 、r （A ）=mC 、r （A ）=nD 、0<r （A ）<n8、设三元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为1η=（2,0,3），2η=（1，-1，2）T,r （A ）=2，则此线性方程组的通解为（ ） A 、k1（2,0,3）T+k2（1，-1,2）TB 、（2,0,3）T+k （1,1,1）TC 、（2,0,3）T+k （1，-1,2）TD 、（2,0,3）T+k （3，-1,5）T9、下列命题正确的是（ ）A 、两个同阶的正交矩阵的行列式都等于1B 、两个同阶的正交矩阵的和必是正交矩阵C 、两个同阶的正交矩阵的乘积必是正交矩阵D 、特征值为1的矩阵就是正交矩阵10、设A 为n 阶矩阵，则在（ ）情况下，它的特征值可以是零。
向量组的线性相关性
3 1
,
4线1性,表21示 ？
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,amx M 2aM 21 aM 22 L
a2mx2 M M
xm an1 an2 L anmxm
l l l b 1 a 12 a 2 L m a m
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm1 cm2 L cmn am1 am2 L amlbl1 bl2 L bln
1 1 1 1 1 0 3 2
(A,b)1 2 1 0~r 0 1 2 1 2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 2x3 1
3 2 3c2
通解为
x c
2 1
2c1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
2. 增广矩阵的形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
西南大学网络学习线性代数作业答案
行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。
2．排列45312的逆序数为 8 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 -11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。
6．计算00000d c ba = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102---解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i 和j 等于5或8。
（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。
（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。
所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。
3．(7分)已知0010413≠xx x ，求x 的值．解：D =314010xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解： D=1111111λλ=2(1)λ-如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。
5．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==--2131452921083101D ==- 3124512135311D ==--所以：13D x D ==，24Dy D ==，35D z D== 矩阵部分填空题1．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453641126= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---126641453 2．已知矩阵A=（1，2，3），则=A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 3．若4阶方阵A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。
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向量组a1a2a3a4线性相关
线性相关，又称相关系数，是研究两组数据间是否存在联系的一种统计概念，一般描述一个变量与另一个变量之间的线性关系。
比如说，我们有向量组
a1a2a3a4，如果这丛向量是线性相关的，那么意味着当a1发生变化时，a2 a3a4也
会发生相应的变化，并且变化的趋势是一致的。
为了让向量组a1a2a3a4达到线性相关，需要从原理上把握向量组构成的数
学关系。
首先，我们需要把这组向量看作多个变量，然后构造出它们之间的数学关系，以便研究它们之间的联系。
比如a1a2 之间的数学关系，可以用a1=k*a2+b的
方式来表示。
其中，k为系数，b 为常数，经过计算后可以得出系数k，如果得到
的系数与0之间的关系是相关的，那么a1a2 便是线性相关的。
如果想使向量组a1a2a3a4达到线性相关，就需要使它们之间的数学关系成
为线性关系，这一点需要对它们进行详细分析，运用数学技巧，以及用数据分析手段，从而得出它们之间的一种线性关系，最终实现线性相关。
此外，线性相关也可以用其他的方法实现，比如用机器学习的方法拟合一个函数形式，来反应向量组a1a2a3a4之间的联系。
另外，如果想让向量组a1a2a3a4的
实现线性相关，也可以在实践中对这组向量进行拟合，以发现它们之间的趋势规律。
综上所述，线性相关是研究两个或多个变量之间关系的重要概念，向量组
a1a2a3a4也可以实现线性相关，需要根据实际情况运用数学理论和机器学习算法来拟合出它们之间的线性关系。