向量组的线性相关及线性无关
向量组的线性相互与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
向量组地线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
第二节向量组的线性相关性与线性无关性
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无 关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。 大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ， k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。
写成向量的形式就是
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m,1 m,2 a1n a 2n kn 0 a m,n
写成分量的形式就是 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m 1,1k1 a m 1,2 k 2 a m 1,n k n 0 取其前面m个方程，即 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m,1k1 a m,2 k 2 a m,n k n 0
定义2 设α 1 ，α 2 ，…，α m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0，则称向量组 α 1 ，α 2 ，…，α m线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α 1，α 2，…，α m 线性无关。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α ，β ， γ 三个向量构成，则 α ， β ， γ 线性相关的充要条件 是α ，β ，γ 共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的 定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个 概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称 α 1 ， α 2 ，…， α m 线性相关是指存在不全为 0 的 m 个常数 k1 ， k2 ，…， km 使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α 1 + k2 α 2 + … +km α m = 0 有非零解（ k1 ， k2 ，…，km）。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
判定定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
向量组的线性相关与线性无关
定义１ 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 说明 增加方程个数相当于向量 j ( j 1, 2,L m)
增加分量，但向量组所含向量的个数不变
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
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向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规那么，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+那么称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，那么称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，那么称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 假设向量组I 与II 等价，那么向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 假设向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，那么向量组I 与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。
向量组II 可由III 线性表示，假设1tj kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。
向量组I 可由向量组II 线性表示，假设1si ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。
因此，11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。
向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述方法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。
因此，向量组I 与III 等价。
结论成立！ 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=那么称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否那么，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。
12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。
特别的，假设t n =，那么12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。
例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。
因为，假设a 线性相关，那么存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。
而假设0a =，由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。
例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。
因为，假设,a b 线性相关，那么存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。
12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，那么21k a b k =-，故,a b 平行，即对应分量成比例。
如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，那么0a b λ-=，于是,a b 线性相关。
例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示，且表示方法唯一。
事实上，121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.线性相关与无关的性质(1) 假设一向量组中含有零向量，那么其必然线性相关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，那么121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
(2) 假设一向量组线性相关，那么增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；假设一向量组线性无关，那么其任意局部向量组仍然线性无关。
证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=这样，1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。
后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 假设一个向量组线性无关，在其中每个向量一样位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量。
不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。
令112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==。
结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。
必要性 假设12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，那么存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，那么111111j j j j t tj jk a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-充分性 假设12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设j a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，那么存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+也就是1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零，因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 假设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关，n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，那么b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，且表示方法唯一。
证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=10t k +≠，否那么10t k +=，那么11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样，121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零，与其不全为零矛盾！这样，11221t tt k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，那么111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=，即1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=因此，表示法唯一。
【备注3】 刚刚的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，那么表示法唯一。
事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。
而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关，即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=。