大学文科数学试卷A
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2018年高考(全国I卷)文科数学试题 A3版 含答案
文科数学试题 第1页（共5页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{0,2}A =，{2,1,0,1,2}B =--,则AB =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1 D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆22214x yC a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12CD5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A．B ．12πC．D ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A． B．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则||a b -= A ．15BCD ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞文科数学试题 第2页（共5页）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
202x年全国高考数学卷文科卷及解析
〔Ⅰ〕求 的极坐标方程.
〔Ⅱ〕假设直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
24．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲
已知函数 .〔Ⅰ〕当 时求不等式 的解集；〔Ⅱ〕假设 图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
〔A〕 斛〔B〕 斛〔C〕 斛〔D〕 斛
7．已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，假设 ，则 〔〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
8．函数 的局部图像如下图，则 的单调递减区间为〔〕
〔A〕
〔B〕
〔C〕
〔D〕
9．执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 〔〕
〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕
10．已知函数 ，且 ，则 〔 〕
执行第5次，S=S-m =0.03125, =0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，
执行第6次，S=S-m=0.015625, =0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，
执行第7次，S=S-m=0.0078125, =0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，应选C.
真题解析：〔Ⅰ〕由散点图可以推断， 合适作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型.
〔Ⅱ〕令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于 = ，
∴ =563-68×6.8=100.6.
∴ 关于 的线性回归方程为 ，
∴ 关于 的回归方程为 .
〔Ⅲ〕(ⅰ)由〔Ⅱ〕知，当 =49时，年销售量 的预报值
=576.6，
执行第2次，S=S-m =0.25, =0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，
最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(广东卷A)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科A 卷）解析本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．锥体地 体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体地 底面积，h 表示锥体地 高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 ． 1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-图 1D ．{2,0,2}-【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ，5分到手，妙！2．函数lg(1)()1x f x x +=-地 定义域是A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，目测C ！ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +地 模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】：复数地 运算、复数相等，目测4,3x y ==-，模为5，选D .4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式，图 2俯视图侧视图正视图51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C.5．执行如图1所示地 程序框图，3，则输出s 地 值是A ．1B ．2C ．4D ．7【解析】选C.本题只需细心按程序框图运行一下即可.6．某三棱锥地 三视图如图2所示，则该三棱锥地 体积是A ．16B ．13C ．23D ．1【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥地 高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限地直线方程是 A ．x y +-= B ．10x y ++=C ．10x y +-= D ．0x y ++=【解析】本题考查直线与圆地 位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线地 距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求地 直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线地 距离等于1r =，求得k =8．设l 为直线，,αβ是两个不同地 平面，下列命题中正确地 是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，就知道选B 了.9．已知中心在原点地 椭圆C 地 右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 地 方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y xD ．13422=+y x【解析】基础题，1,2,c a b === D. 10．设r a 是已知地 平面向量且≠0r r a ，关于向量r a地 分解，有如下四个命题：①给定向量r b，总存在向量r c，使=+r r r a b c；②给定向量rb和r c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+r r r a b c；③给定单位向量r b 和正数μ，总存在单位向量r c和实数λ，使λμ=+r r r a b c；④给定正数λ和μ，总存在单位向量r b和单位向量r c，使λμ=+r r r a b c；上述命题中地 向量r b，r c和r a在同一平面内且两两不共线，则真命题地 个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中地 压轴题，主要考查平面向量地 基本定理和向量加法地 三角形法则. 利用向量加法地 三角形法则，易地 ①是对地 ；利用平面向量地 基本定理，易地 ②是对地 ；以a 地 终点作长度为μ地 圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错地 ；利用向量加法地 三角形法则，结合三角形两边地 和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量地 基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.【品味选择题】文科选择题答案：ACDCC BABDB.选择题3322再次出现！今年地 选择题很基础，希望以后高考年年出基础题！二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}na 是首项为1，公比为2-地 等比数列，则1234||||a a a a +++=【解析】这题相当于直接给出答案了1512．若曲线2ln y axx=-在点(1,)a 处地 切线平行于x 轴，则a =．【解析】本题考查切线方程、方程地 思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴=13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+地 最大值是．【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 地 极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴地 正半轴建立直角坐标系，则曲线C 地参数方程为 ．【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程地 时候，参数地 意义要理解清楚.先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易地 则曲线C 地 参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=o从而30AE CAD =∠=o ，2DE ==.【品味填空题】选做题还是难了点，比理科还难些.图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数(),12f x x x Rπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭地 值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈⎪⎝⎭Q ，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．【解析】这个题实在是太简单，两角差地 余弦公式不要记错了.17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）地频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果地重量在[90,95)地频率；(2) 用分层抽样地方法从重量在[80,85)和[95,100)地苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)地有几个？(3) 在（2）中抽出地 4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个地概率．【解析】（1）苹果地重量在[)95,90地频率为20=0.4；50（2）重量在[)85,80地有54=1⋅个；5+15（3）设这4个苹果中[)85,80分段地为1，[)95分段地,100为2、3、4，从中任取两个，可能地情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)95中各有1个地,100事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31P==.(A)62【解析】这个基础题，注意格式！18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1地等边三角形ABC中，,D E分别是AB AC边上地点，AD AE,=，F是BC地Array于点G，将ABF∆沿AF折起，得到如图5图 4A BCF-，其中2BC =．(1) 证明：DE //平面BCF (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG-．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=，在折叠后地 三棱锥A BCF -中也成立，//DE BC ∴ ，DE ⊄Q 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 地 中点，所以AF BC⊥①，12BF CF ==.Q在三棱锥A BCF-中，BC =222BCBF CF CF BF∴=+∴⊥②BF CF F CF ABF⋂=∴⊥Q 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝⎭【解析】这个题是入门级地 题，除了立体几何地 内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何地 内容.19．（本小题满分14分）设各项均为正数地 数列{}na 地 前n 项和为nS ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．(1)证明：2a=(2) 求数列{}na 地 通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ．【解析】（1）当1n =时，22122145,45a aa a =-=+，20naa >∴=Q（2）当2n ≥时，()214411n n Sa n -=---，22114444nn n n n aS S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+，102nn n aa a +>∴=+Q∴当2n ≥时，{}na 是公差2d =地 等差数列.2514,,a a a Q 构成等比数列，25214aa a ∴=⋅，()()2222824aa a +=⋅+，解得23a=，由（1）可知，212145=4,1a aa =-∴=21312a a -=-=Q ∴{}na 是首项11a=，公差2d =地 等差数列.∴数列{}na 地 通项公式为21nan =-.（3）()()1223111111111335572121n n a aa a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+L L11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知nS 求na ，{}na 是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 地 顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=地 距离为2．设P 为直线l 上地 点，过点P 作抛物线C 地 两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 地 方程；(2) 当点()0,P x y 为直线l 上地 定点时，求直线AB 地 方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅地 最小值．【解析】（1）依题意2d ==，解得1c =（负根舍去）∴抛物线C 地 方程为24xy=；（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，),(0y x P ，由24xy=，即214yx ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处地 切线PA 地 方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.∵21141x y=， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上， ∴10102y x x y -=.①同理， 2022y x x y-=. ②综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 地 坐标都满足方程y x xy -=002.∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点地 直线是唯一地 ，∴直线AB 地 方程为y x xy-=002，即0220x x y y--=；（3）由抛物线地 定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y yy y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y yx y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=0020x y --=Q()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y=-时，AF BF ⋅取得最小值为92【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问地 解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 21．（本小题满分14分） 设函数xkx xx f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时，求函数)(x f 地 单调区间；(2) 当0<k 时，求函数)(x f 在[]k k -,上地 最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321f x x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>，()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=≤，即0k ≤<时，()'0fx ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ， 当x k=-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k=-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=+>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==，注意到210k xx <<<， (注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>，从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>Q()f x ∴地 最小值()m f k k ==，()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<Q()f x ∴地 最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 地 最小值()m f k k ==，最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k kk -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x k = 时最小，x k =-时最大，只需证()()()f k f x f k ≤≤-即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深地 功力.。
高考文科数学试卷带答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = 2x - 3在定义域上的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列命题中正确的是：A. 平方根和算术平方根都是非负数B. 所有有理数的平方根都是实数C. 所有实数的平方根都是实数D. 所有无理数的平方根都是实数4. 下列函数中，y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上的是：A. a = 1, b = 2, c = 3B. a = -1, b = -2, c = 3C. a = 1, b = -2, c = -3D. a = -1, b = 2, c = -35. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列等式中正确的是：A. a² + b² = c²B. b² + c² = a²C. a² + c² = b²D. a² + b² + c² = 07. 下列不等式中，恒成立的是：A. x² > 0B. x³ > 0C. x² > 1D. x³ > 18. 若函数y = f(x)的图像与直线y = kx（k ≠ 0）有唯一交点，则函数f(x)的图像可能是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 周期函数D. 反比例函数9. 下列事件中，属于随机事件的是：A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚骰子，得到6C. 抛掷一枚骰子，得到偶数D. 抛掷一枚骰子，得到奇数10. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² = 0D. 对于任意实数x，x³ = 011. 若等比数列{an}的前三项分别为a₁, a₂, a₃，且a₁ + a₂ + a₃ = 6，a₁a₂a₃ = 8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 8D. 1612. 下列函数中，y = f(x)的图像为一条直线的是：A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 3x - 2D. y = x³二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
(word版)高考文科数学(全国I卷)试题及答案,文档
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 本卷须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共 12小题，每题 5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合A={0,2}，B={-2,- 1,0,1,2},那么AIBA ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}1 i，那么|z|2．设z 2i1 iA ．0B ．1C ．1D ．223．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半224．椭圆C ：x2y1的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为a4A ．1B ．1C ． 2D ．223 22 35．圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数f(x)x 3(a 1)x 2 ax. 假设f(x)为奇函数，那么曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为A ．y 2xB ．y xC ．y2x uuu rD ．yx7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EBA．3uuur1uuurB．1uuur3uuur4AB AC4AB AC44文科数学试题第1页〔共10页〕C．3uuur1uuurD．1uuur3uuu r 4AB AC AB4AC 448．函数f(x)2cos2x sin2x2，那么A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π4，最大值为C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为，最大值为42π9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B，那么在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．217B．25C．3D．210．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，那么该长方体的体积为A．8B．62C．82D．8311．角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且cos22，那么3|ab|A．1B．5C．25D．1 5552x,x≤0,1)f(2x)的x的取值范围是12．设函数f(x)x 那么满足f(x1,0,A．(,1]B．(0,)C．(1,0)D．(,0)二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)_文科数学_解析版
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,4,2,5M N ==，则U N M =ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð，故选：A.2.()()()351i 2i 2i +=+-（）A.1- B.1C.1i- D.1i+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()351i 51i 1i(2i)(2i)5+-==-+-故选：C.3.已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A.117B.17C.55D.255【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得()(),,a b a b a b a b +-+⋅-，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则a b a b +==-== ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()cos ,17a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==+-.故选：B.4.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=.故选：D.5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A.25 B.22 C.20D.15【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选：C.方法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选：C.6.执行下边的程序框图，则输出的B =（）A .21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.7.设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠=，从而122121tan 4512FP F S b PF PF ===⨯⋅，所以122PF PF ⋅=．故选：B.方法二：因为120PF PF ⋅= ，所以1290FPF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==2212121221620PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选：B.8.曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e 4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C 【解析】【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x xxx x y x x +-'==++，所以1e|4x k y ='==所以()e e124y x -=-所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+.故选：C9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.B.C.355D.455【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则22222215c b a a==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长45||5AB ===.故选：D10.在三棱锥-P ABC 中，ABC 是边长为2的等边三角形，2,PA PB PC ===，则该棱锥的体积为（）A.1B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】证明AB ⊥平面PEC ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB 得解.【详解】取AB 中点E ，连接,PE CE ，如图，ABC 是边长为2的等边三角形，2PA PB ==，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，又,PE CE ⊂平面PEC ，PE CE E = ，AB ∴⊥平面PEC ，又322PE CE ==⨯=，PC =故222PC PE CE =+，即PE CE ⊥，所以11121332B PEC A PEC PEC V V V S AB --=+=⋅=⨯⨯=△，故选：A11.已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112222⎛⎫+---= ⎪ ⎪⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以41102222⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知63)22g g <，因为62624112222⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭，而22481682)0-=+==<，即621122-<-，所以62)22g g >，综上，263222g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.12.函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．【答案】12-【解析】【分析】先分析1q ≠，再由等比数列的前n 项和公式和平方差公式化简即可求出公比q .【详解】若1q =，则由6387S S =得118673a a ⋅=⋅，则10a =，不合题意.所以1q ≠.当1q ≠时，因为6387S S =，所以()()6311118711a q a q qq--⋅=⋅--，即()()638171q q ⋅-=⋅-，即()()()33381171q q q ⋅+-=⋅-，即()3817q ⋅+=，解得12q =-.故答案为：12-14.若()2π(1)sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．【答案】2【解析】【分析】根据常见函数的奇偶性直接求解即可.【详解】()()()222π1sin 1cos (2)1cos 2f x x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭ ，且函数为偶函数，20a ∴-=，解得2a =，故答案为：215.若x ，y 满足约束条件323,2331,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：1516.在正方体1111ABCD A B C D -中，4,AB O =为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小.【详解】设球的半径为R .当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R '为体对角线长1AC =，即2R R ''==，故max R =；分别取侧棱1111,,,AA BB CC DD 的中点,,,M H G N ，显然四边形MNGH 是边长为4的正方形，且O 为正方形MNGH 的对角线交点，连接MG ，则MG =MNGH 的外接圆，球的半径达到最小，即R 的最小值为.综上，R ∈.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）4【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C ---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥平面,90ABC ACB ∠=︒．（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BB C C ；（2）设11,2AB A B AA ==，求四棱锥111A BB C C -的高．【答案】（1）证明见解析.（2）1【解析】【分析】(1)由1A C ⊥平面ABC 得1A C BC ⊥，又因为AC BC ⊥，可证BC ⊥平面11ACC A ，从而证得平面11ACC A ⊥平面11BCC B ；(2)过点1A 作11A O CC ⊥，可证四棱锥的高为1AO ,由三角形全等可证1A C AC =，从而证得O 为1CC 中点，设1A C AC x ==，由勾股定理可求出x ，再由勾股定理即可求1AO .【小问1详解】证明：因为1A C ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,又因为90ACB ∠= ，即ACBC ⊥，1,A C AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=,所以BC ⊥平面11ACC A ，又因为BC ⊂平面11BCC B ,所以平面11ACC A ⊥平面11BCC B .【小问2详解】如图，过点1A 作11A O CC ⊥，垂足为O .因为平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，平面11ACC A 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ，所以1A O ⊥平面11BCC B ，所以四棱锥111A BB C C -的高为1AO .因为1A C ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ,所以1A C BC ⊥,1A C AC ⊥,又因为1A B AB =，BC 为公共边，所以ABC 与1A BC 全等，所以1A C AC =.设1A C AC x ==，则11A C x =，所以O 为1CC 中点，11112OC AA ==,又因为1A C AC ⊥,所以22211A C AC AA +=,即2222x x +=，解得x =，所以11A O ==，所以四棱锥111A BB C C -的高为1．19.一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于m 的数据的个数，完成如下列联表m<m≥对照组试验组（ⅱ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）19.8（2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表；（ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】试验组样本平均数为：1(7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.220+++++++++++39621.622.823.623.925.128.232.336.5)19.820++++++++==【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2,19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m<m≥合计对照组61420试验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.20.已知函数()2sin π,0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 0f x x +<，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减（2）0a ≤【解析】【分析】（1）代入1a =后，再对()f x 求导，同时利用三角函数的平方关系化简()f x '，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数()()sin g x f x x =+，从而得到()0g x <，注意到()00g =，从而得到()00g '≤，进而得到0a ≤，再分类讨论0a =与a<0两种情况即可得解；法二：先化简并判断得2sin sin 0cos xx x-<恒成立，再分类讨论0a =，a<0与0a >三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得0a >时不满足题意，从而得解.【小问1详解】因为1a =，所以()2sin π,0,cos 2x f x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()22432cos cos 2cos sin sin cos 2sin 11cos cos x x x x xx xf x xx--+'=-=-()3333222cos cos 21cos coscos 2cos cos x x xx x xx---+-==，令cos t x =，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1t x =∈，所以()()()23233222cos cos 22221211x x t t t t t t t t t +-=+-=-+-=-++-()()2221t t t =++-，因为()2222110t t t ++=++>，10t -<，33cos 0x t =>，所以()233cos cos 20cos x x f x x +-'=<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】法一：构建()()2sin πsin sin 0cos 2x g x f x x ax x x x ⎛⎫=+=-+<< ⎪⎝⎭，则()231sin πcos 0cos 2x g x a x x x +⎛⎫'=-+<< ⎪⎝⎭，若()()sin 0g x f x x =+<，且()()00sin 00g f =+=，则()0110g a a '=-+=≤，解得0a ≤，当0a =时，因为22sin 1sin sin 1cos cos x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，则211cos x>，所以()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；综上所述：若()sin 0f x x +<，等价于0a ≤，所以a 的取值范围为(],0-∞.法二：因为()2232222sin cos 1sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x x x x x---===-，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x <<，0cos 1x <<，故2sin sin 0cos x x x-<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以当0a =时，()2sin sin sin 0cos xf x x x x+=-<，满足题意；当a<0时，由于π02x <<，显然0ax <，所以()22sin sin sin sin sin 0cos cos x xf x x ax x x x x+=-+<-<，满足题意；当0a >时，因为()322sin sin sin sin cos cos x xf x x ax x ax x x+=-+=-，令()32sin π0cos 2x g x ax x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()22433sin cos 2sin cos x x xg x a x +'=-，注意到()22433sin 0cos 02sin 000cos 0g a a +'=-=>，若π02x ∀<<，()0g x '>，则()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，注意到()00g =，所以()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；若0π02x ∃<<，()00g x '<，则()()000g g x ''<，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上最靠近0x =处必存在零点1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，此时()g x '在()10,x 上有()0g x '>，所以()g x 在()10,x 上单调递增，则在()10,x 上有()()00g x g >=，即()sin 0f x x +>，不满足题意；综上：0a ≤.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论0a >这种情况的关键是，注意到()00g '>，从而分类讨论()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的正负情况，得到总存在靠近0x =处的一个区间，使得()0g x '>，从而推得存在()()00g x g >=，由此得解.21.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，,M N 为C 上两点，且0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．【答案】（1）2p =（2）12-【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0MF NF ⋅=，找到,m n 的关系，以及MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px-+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p -+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==，所以A B AB y ==-==即2260p p --=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n --=，所以，12124,4y y m y y n +==-，22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0MF NF ⋅=，所以()()1212110x x y y --+=，即()()1212110my n my n y y +-+-+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++-++-=，将12124,4y y m y y n +==-代入得，22461m n n =-+，()()22410m n n +=->，所以1n ≠，且2610n n-+≥，解得3n ≥+或3n ≤-．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d =12MN y y =-=1==-，所以MNF的面积()2111122S MN d n =⨯⨯=-=-，而3n ≥+或3n≤-，所以，当3n =-时，MNF的面积(2min 212S =-=-【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知点()2,1P ，直线2cos ,:1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B ，且4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ραρα+-=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=-，令0y =，21sin t α=-，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=-，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由cos ,sin x y ραρα==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ραρα+-=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭（2）263【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =--<,即3x a >,解得3a x >,即3ax a <≤,若x a >,则()22f x x a a x =--<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】2,()23,x a x af x x a x a -+≤⎧=⎨->⎩.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a +=⋅+⋅== ,解得263a =。
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解
2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。
高考全国1卷 文科数学试卷及答案(清晰word版)
.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．集合{0,2}A，{2,1,0,1,2}B ,那么A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，那么||z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.4．椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，那么C 的离心率为A ．13B ．12C ．22D ．2235．圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，那么该圆柱的外表积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，那么EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．函数22()2cos sin 2f x x x =-+，那么 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，那么该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，那么||a b -=.A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 那么满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
大学文科数学及试题答案
东莞理工学院（本科）清考试卷参考答案2010 2011 学年第二学期《大学文科数学》清考试卷参考答案开课单位：数学教研室 考试形式：闭、开卷，允许带 入场题序得分评卷人一二总分一、选择填空题（共70 分每空2 分）1、设函数f (x )=4-x 2+ln(x -1)，则函数f (x )的定义域为（C ） A) (1,2), B) [1,2], C) (1,2], D) [1,2). éù=2、设f (x )=x ,j (x )=cos x ，则lim f ëj (x )û(Bp2x ®2) A) cosp 242, B) 0, C) 1, D) 1. 2éù¢=3、设f (x )=x ,j (x )=sin x ,j ëf (x )û({}C )A) sin 2x, B) 2sin x , C) 2x cos x 2, D) cos x 2. 4、极限limx ®1x2-1=(3x +3x -4B) A) 11, B) , C) 0, D) 1. 2335.极限lim 3x 3-x +1=(B x ®¥2x +x -1A) 1, B) ). 32, C) 0, D) . 236.下列命题中正确的是( A ) 11A) lim x ®¥x sin x =1, B) lim x ®0x sin x =1, 1sin xC) lim x sin =0, D) lim =0. x ®¥x ®0x x =æ+1öx÷，则lim f (x )=(B 7、若函数f (x )ç1) x ®+¥x èø1A) 1, B) e , C) e , D) 0. =æ+1öx÷，则lim f (x )=(A) 8、若函数f (x )ç1x ®0+x èøA) 1, B) e , C) 3x ®0f (x )=2，则9、设f (x )=x +ax +b ，且f (1)=3，lim 1, D) 0. e(D ) A) a =2,b =0, B) a =-2,b =1, C) a =2,b =-1, D) a =0,b =2. 10、设f (x )=1-x，则f ¢(0)=(1+x2A) A) -2, B) -1, C) 0, D) 2. 11、曲线y =-x +1单调上升区间为( A ) A) (-¥,0], B) (-¥,1], C) [0,+¥), D) [1,+¥). 212、曲线y =x 在点(1,1)的切线方程为( C ) A) y -1=-(x -1), B) y 11-=(x -1), 2C) y -1=2(x -1), D) y -1=x -1. 13、若f (x )=x +5x -1，则f5(5)(x )=( D ) A) 0, B) 12, C) 24, D) 120. 14、当x =(3B)时，函数f (x )=x-3x +2取得极大值，该极大值等于4；A) 1, B) -1, C) 0, D) 3. 15.当x =1时，函数f (x )=x -3x +1取得极小值，该极小值等于( B ). 3A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 16、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,pî3x 2,x <0.则òf (x )dx =(C) 0A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 17、设函数f (x )=ìísin x ³2x ,0,则f Cî3x ,x <0.-ò1(x )dx =() A) -1, B) 0, C) 1, D) -2. 18、设函数f (x )=ìísin x ,x ³0,p则Dî2x ,x <0.òf (x )dx =() -1A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 319、积分ò11x 2dx =(B) +A) p 2, B) pp p 3, C) 4, D) 6. 20.p积分ò(2x -cos x )dx =(A) 222A) p , B) p -1, C) p -2, D) p21、积分òx cos xdx =(C) 0A) 0, B) -1, C) -2, D) -3. 1x22、积分òe 2+1dx =(C)2(e 3A) e -1), B) e , C) 1e (e 2-1), D) 1e 3. 22123、若òke x dx =1，则数k =(B)A) 1, B) 1e -1, C) 11e, D) e +1. 2p. 24.曲线y =x ,y =x 围成的平面图形的面积的( C ) A) 1, B) 1, C) 1, D) 1. 223612æ10-1öææ1-10öç÷=-ç÷A B ç÷çç011÷，则AB =ç25、设矩阵=ç011÷，-ç÷çè001øè000øè--1-2öææ0öç11-÷ç1-÷1÷, B) ç011÷, A) ç01ç÷ç÷è000øè002øæ10ç-C) ç11çè0-1æ1ç026. 设矩阵A =ççæ100ö0ö÷ç÷0÷, D) ç110÷. ÷ç÷0øè-21-2øæ1-10öæ0-1öç÷T T =-÷B B ç01ç11÷1÷，则A =ç，÷-ç÷çè001øè00øèAö÷÷ ÷øCö÷÷ ÷øæ1-10öæ1-1-2öç÷ç÷01-1÷01-1÷A) ç, B) ç, 000002èøèøæ1ç-C) çç1è0æ100ö0ö÷ç÷ç÷. 10÷110, D) ÷ç---÷10ø2øè21-112öæç÷=-11÷，当l =(27、设矩阵A ç0ç÷è00l øæ121ö=çç021÷÷÷，则r (A )=(28.设矩阵A çè021øD)时，A =2；A) -2, B) -1, C) 1, D) 2. )A) 0, B) 1, C) 2, D) 3. 29.设A 为三阶方阵,且A =3,则-2A =(D )A) -6, B) 6, C) 24, D) -24. ææx 1öæ0ö1-10öç÷=-çx 2÷÷，b =çç0÷÷. 则当l ¹(1÷，x =ç30.设矩阵A ç0l ç÷ç÷ç÷è002øèx 3øè1øC)时，线性方程组Ax =b 有唯一解 A) -2, B) -1, C) 0, D) 1. D)是线性方程组Ax =b 的解 31、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A) x 1+x 2, B) x 1-x 2, C) 2x 1+x 2, D) 2x 1-x 2. 32、设向量x 1,x 2是线性方程组Ax =b 的两个解，则(A)是线性方程组Ax =0的解 A) x 1-x 2,B) x 1+x 2,C) 2x 1+x 2,D) 2x 1-x 2.æ110öç÷=-1÷33、设矩阵A çç0l 1-÷，当l ¹(01øè0D)时，矩阵A 可逆；A) -2,B) -1,C) 0,D) 1.112öæ-÷,M =æçA 34、设矩阵M =çè37øèö÷.øææ7-2ö7-3öç÷ç÷,,B) A) è-31øè-21øC) ç7ææ-ö3ö÷,D) ç12÷.è21øè3-7øæ100ö1ç÷-35.设矩阵M =ç020÷,则M =(B ).ç÷è003ø300100æöæöç÷ç÷,0÷A) ç020÷,B) ç01/2ç÷ç÷è001øè001/3ø--ææ00öç100ö÷ç1÷0÷.C) ç0-20÷,D) ç0-1/2--3ø01/3øè00è0二、填空题（共30 分每空3 分）1.设函数f (x )=arctan2.若函数y =5x =5e3.若函数f (x )=e x +1x 1，则函数f (x )的定义域为(x ÎR \{-2}) 2+xx ln x ，则y ¢=5x (1+ln x ) (n )(x )，则f (x )=(e +x 1) 1cos x 1-() 4. 极限lim =2x ®0x 2x +sin x ®+¥x 5. 极限x lim =(1) +æ+ö1ln x =ç1+26.不定积分 òx dx è2(1ln x )C ÷ø7. 定积分ò1-12xdx =(2) 111100A =çA 100=çæöæö÷÷8.设矩阵,则0101èøèø1239.行列式231=(321-12) x x x ìæx 1öæ-1öï1+32-23=0,ç÷=ç÷的通解为çx 2÷c ç1÷10.齐次线性方程组íç÷ç÷ïx x x 2-3=0.îè3øè1ø南京晓庄学院大学文科数学课程考试试卷2010 –2010– 2011 学年度第 2011学年度第一学期院（系）级 共共页教研室主任审核签名：院（系）领导审核签名：院（系）领导审核签名：命题教师：数信院公共教研室数信院公共教研室 校对人：校对人：班级姓名学号得分序号得分阅卷人复核人一二三四总分一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数为初等函数的是( B )(A).sin x -2(B).y =2-cos xìx 2-1ì1+x x ¹1ï(C).y =ïíx 0-1x 1(D).y =íîx =î2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A )x <0x ³0(A)x +x (B)x sin x (C)3tan x (D)2x2f (0)-f (-x )x ®03设f ¢(0)存在，则lim ＝( D )x (A)-f ¢(0) (B)-2f ¢(0) (C)2f ¢(0) (D)f ¢(0)4.物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ） D ）(A)函数值(A)函数值 (B)函数值 (B)极限 (B)极限 (C)极限 (C) 积分 (C)积分 (D)积分 (D)导数 (D)导数导数5.若f (x )的导函数是sin x ，则f (x )有一个原函数为（ C 有一个原函数为（ C ） C ）(A)1+cos x(B)x +sin x (C)x -sin x (D)1-cos x二、填空题（每小题3分，共15分）1.设函数cos x , x <0ì()在x =0点连续，则a =____1_____.f x =í-x a x ,0-³î2.设f (x )=x , 则,则f ¢[f (x )]= ____2x _ ____ .223．lim sin x =x ®+¥x4. 曲线.曲线y =1在点（1,1)在点（1,1)处的法线方程为1,1)处的法线方程为处的法线方程为y =xx5.(1-cos x )dx =x -sin x +c .ò三、计算题（每小题5分，共40分）1.求函数f (x )=ln(2x -1)+219-x 2的定义域.解：9-x >0且2x -1>0,所以函数f (x )=ln(2x -1)+2.设y =ln(2-x )，求其反函数19-x 2的定义域：1<x <32y y x 解：由e =2-x 得x =2+e 所以函数y =ln(2-x )的反函数是：y =2+e ，x Î(-¥,+¥)x (e x -1)3.求极限limx ®0sin 2xx (e x -1)lim x lim e x -11lim e x 1解：lim ==×=x ®0sin 2x x ®0sin x x ®0x ®01x 4.求极限limtan x -xx ®0x 3tan x -x=解：sec 2x -1limx ®0limx ®0x 323x =1-cos 2xx ®022x ®0sin 2x21=32lim3x cos x =lim 3x 5.已知y =ln(x +1)-ln x ，求dy解：因为y ¢x 2-12x1d x =2-所以dy =2x x x +1x(+1)6求y =e 2x cos x 的微分y ¢y x x 2x 解：¢=2e cos x -e sin x =e (2cos x -sin x )-1x7.求不定积分òx 2dx 22-é-ù=1x 11dx 解：=òx 2òêx 2x údx ûeë8.求定积分x 2ln xdxò1e1x x =d d ---ln x +Còx 2òx x 11解：ò1e é3ù-x 1ú =1(2e 3+1)x 2ln xdx =êx 3ln x9û19ë3四、综合应用题（每小题10分，共30分）1.证明方程x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根.x 解：令f (x )=x ×2-1，f (0)=-1<0 ,f (1)=1>0,f (x )闭区间[0,1]上连续，x 由根的存在性定理，有x Î(0,1)，使得f (x )=0 ,即x ×2-1=0至少有一个小于1的正实数根2.欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？解：设底面长方形的两边的边长为x 厘米，2x 厘米，则高为表面积S =(x .2x ).2+(x .求导,x7236=2厘米x .2x x 36362162x x ).2(2.).24+=+x x 2x 2216S =8x -x 2=0所以在区间(0,+¥)上只有唯一的驻点x =3又因为在实际问题中存在最值，所以驻点x =3就是所求的最值点。
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东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）
2008 --2009 学年第 1 学期
《 大学文科数学 》试卷
开课单位： 数学教研室 考试形式：闭卷，允许带 入场
题序 一 二 总 分 得分 评卷人
一、填空题A （共70分 每空2分）
1、设函数()1
ln 1f x x x =
+- 则函数()f x 的定义域为（ ）
，(2)(
).f =
2、设()()3,cos f x x g x x ==，则()(
),f g x =⎡⎤⎣⎦
()(
)g f x =⎡⎤⎣⎦.
3、22
01
lim ()34x x x x →-=+-， 2211
lim (
)34x x x x →-=+-，
221lim ()34
x x x x →∞-=+-.
4、若函数()sin x
f x x
=
，则 ()0lim (
)x f x →=，()lim (
)x f x →∞
=.
5、若函数()11x
f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭， 则()()lim x f x →+∞
=， 若函数()()
11x
g
x x =+ , 则(
)0
lim ()x g x →=.
6、设()2f x x ax b =
-+，且()11f =，()0
lim 2x f x →=， 则(
)(),.a b ==
7、设2
()1f x x
=
+，则()(),(0)()f x f ''==.
8、曲线21y x =-+单调上升区间为（ ），其在点(1,0)处的切线方程为（
）.
9、若()41f x x x =-+-，则=')0(f ( ),
''(0)f =( ).
10、若cos ln 1y x x =++，则(
)y '=，
(
).dy =
11、当()x =时，函数32()391f x x x x =--+取得极小值，该极
小值等于(
).
12、1
(
)dx x =⎰， 1(
).x e dx +=⎰
13、1
3
0(
)x dx =⎰，
(sin 2cos )(
).x x dx π
+=⎰
14、画出由2y x =与2y x =+所围成的图形（
），
它的面积是（）.
15、设矩阵110011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，113011002B -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 则
2()A B ⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，
()AB ⎡⎤⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
. 16、已知123212134A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则A =（ ）， 2A =（ ）.
17、若矩阵10010
21100200
000A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
，则()R A =（ ）；若矩阵1123B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则
1()B -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
.
二、填空题B （共 30 分 每空3分）
1、设2sin 2,0()2,0x
x f x x x x ⎧>⎪
=⎨⎪+≤⎩，则()0
lim x f x →=（ ）.
2、0
11
x x →+-=( ).
3、201cos lim x x
x
→-=( ).
4、若22(),x f x dx x e C =+⎰则()()f x =.
5、积分(
)2
cos .x e xdx π
=⎰
6、设函数()f x x = 则()(
)1
1f x dx -=⎰.
7、设矩阵11
001
1002A λ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，当()λ≠时，矩阵A 可逆；若1λ=，
则1().A -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
8、设矩阵2111455A λλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121b ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
. 则当(
)λ=时，线
性方程组Ax b =有无穷多解，其通解为（ ）.。