一轮--多物体平衡及平衡中的临界、极值问题剖析电子教案
平衡中的临界与极值
一. 教学内容：平衡问题中的临界与极值问题归纳二. 学习目标：1、掌握共点力作用下的物体平衡条件的应用问题的分析方法。
2、掌握平衡问题中临界与极值问题的特征。
3、熟练掌握典型的临界与极值问题的常用处理方法和技巧。
考点地位：共点力作用下的物体平衡问题中的极值与临界问题是处理平衡问题的难点所在，这部分内容重点体现与数学知识的融合，体现了高考大纲中所要求的运用数学方法分析物理问题的能力，同时这部分内容在高考中常与库仑力、安培力等相互结合，难度较大。
三. 重难点解析：1. 共点力作用下物体平衡的条件在共点力作用下物体平衡的条件是：物体所受的合力为零。
即（矢量式）。
用正交分解法解决有关在共点力作用下的物体平衡问题时，平衡条件可叙述为：用平衡条件的正交表达形式解题具有三大优点：其一，将矢量运算转变为代数运算，使难度降低。
其二，将求合力的复杂的解斜三角形问题，转变为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行。
其三，当所求平衡问题中需求两个未知力时，这种表达形式可列出两个方程，使得求解十分方便。
2. 力的平衡作用在物体上所有力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。
（1）当物体只受两个力作用而平衡时，这两个力大小一定相等，方向一定相反，且作用在同一直线上。
这两个力叫做一对平衡力。
（2）当物体受到三个力的作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且三个力的作用线或作用线的延长线相交于一点，这就是三力汇交原理。
3. 一对平衡力与一对作用力和反作用力的区别（1）平衡力作用于同一物体上。
作用力和反作用力分别作用在两个物体上。
（2）作用力与反作用力性质相同。
平衡力的性质不一定相同。
例如静止在水平桌面上的物体，重力与桌面的支持力是一对平衡力；支持力是弹力，与重力的性质不同。
（3）作用力与反作用力同时产生、同时变化、同时消失，平衡力中的某一力变化或消失时，其他力不一定变化或消失。
例如抽去桌面时，物体所受的支持力消失，但物体的重力仍然保持不变。
专题八 静、动态平衡 平衡中的临界与极值问题 (课件) 人教版2023-2024学年高三一轮复习
【答案】D 【详解】AB．对小球受力分析，如图所示,根据受力平衡可得 F mg tan , T mg ,移动过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，
cos
cosθ逐渐减小，则水平拉力F逐渐增大，细线的拉力逐渐增大，故 AB错误；CD．以铁架台、小球整体为研究对象，根据受力平衡可得 FN (M m)g ，f F,可知桌面对铁架台的支持力不变，即铁架台对桌面的压力不变； 铁架台所受地面的摩擦力变大，故C错误，D正确。 故选D。
经典例题
[典例1]（2024·全国·高三专题练习）如图所示，壁虎在竖直玻璃面上斜 向上匀速爬行，关于它在此平面内的受力分析，下列示意图中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【详解】壁虎在竖直玻璃面上匀速爬行，属于匀速直线运动，对壁虎进行受力分析 由图可知，F与mg大小相等，方向相反。 故选A。
当物理情景中涉及物体较多时,就要考虑采用整体法和隔离法。
(1)整体法
研究外力对系统的作用 各物体运动状态相同
同时满足上述两个条件即可采用整体法。
(2)隔离法
分析系统内各物体各部分间相互作用 各物体运动状态可不相同
物体必须从系统中隔离出来,独立地进行受力分析,列出方程。
变式训练
变式3（2023秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）一 铁架台放在水平桌面上，其上用轻质细线悬挂一小置运动到虚线位置，铁架台始 终保持静止。则在这一过程中（ ） A．水平拉力F不变 B．细线的拉力变小 C．铁架台对桌面的压力变大 D．铁架台所受地面的摩擦力变大
A．5N
B．6N C．7.5N D．8N
【答案】B
【详解】设F与水平方向夹角为θ，根据平衡知识可知：F cos (mg F sin ) ，解得
一轮复习：静态平衡中的临界极值问题
一轮复习：静态平衡中的临界极值问题一轮复习：静态平衡中的临界极值问题原创2022-05-24 15:56·小牛物理1.临界问题某物理量发生变化，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。
如：两物体刚要分离的临界条件是物体间的弹力为零；物体间刚要发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
2.极值问题平衡中的极值问题一般是指在力的变化过程中出现的“最大值”和“最小值”问题，分析的关键是找出出现极值时的情景和条件，如：利用极限法将某个变量推向极端（“极大”“极小”等），从而把隐蔽的临界情景暴露出来；利用数学函数思想寻找极值条件，并确定相应极值等。
解决平衡中的临界极值问题通常有以下三种方法方法一：数学分析法根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值.通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
求解物理量极值常用的数学方法：（1）利用二次函数求极值.若物理量y与x的函数形如y＝ax²＋bx＋c，则当x＝-b/2a时，y有极值为y=(4ac-b²)/4a，若a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值。
（2）利用不等式的性质求极值.若物理量a与b满足a＞0，b＞0，则a＋b≥2√ab，且a＝b时取等号，即a、b的和一定时，积有最大值；a、b的积一定时，和有最小值。
（3）利用三角函数求极值.若物理量y与角度θ满足y＝asinθ＋bcosθ，则y≤√a²＋b²，令tanф＝2，则当θ＋ф＝π/2时，y有极大值。
（4）利用导数求极值.若物理量y与x的函数为y＝f(x)，则根据f′(x)＝0可确定y取极值时的x值，然后代入函数y＝f(x)可确定y的极值。
例题：如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。
平衡中的临界和极值问题探讨
图4 解析：以球为研究对象，球所受重力mg产生的效果有两个：对斜面产生 了压力
，对挡板产生了压力
，根据重力产生的效果将重力分解，如图4所示，当挡板与斜面的夹角 α由图示位置变化时，
大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；
的大小、方向均改变（图4中画出的一系列虚线表示变化的
）。由图可看出，当
与
垂直即
时，挡板AO所受压力最小，最小压力
图3 解析：由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着α角的不同，物体与 水平面的弹力不同，因而滑动的摩擦力也不一样，而拉力在水平方向的 分力与摩擦力相等，因而α角不同，拉力F也不一样。以物体为研究对 象，受力分析如图3所示，因为物体处于平衡状态，根据
得：
。 联立可解得：
可见当
，即
，F有最小值：
说明：此例给出了求解极值问题的一种方法：函数法。此例中，F的大 小随α的变化而变化，要求F的极小值，就要根据题意求出F随α而变的 函数关系式，再利用函数的单调性，讨论F的极值。此例中三角函数的 变换是一种常用的方法，应牢记。 三. 物体处于动态平衡状态 例4. 如图4所示，质量为m的球放在倾角为 的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角α多大时，AO所受压力最 小？
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值 的情况。临界问题往往是和极值问题联系在界条件或达到极 值的条件。要特别注意可能出现的多种情况。 一. 物体处于静止状态 例1. 如图1所示，重20N的物体静止在倾角为
。 说明：本题考查分析推理能力及运用数学知识处理物理问题的能力。部 分考生不进行推理凭主观臆断，得出挡板处于竖直状态所受压力最小的 错误结论。还有部分考生思维不灵活，不采用“图解法”而采用“正交 分解法”，陷入繁琐的计算和推理，往往由于计算过程出错，导致错误 结果。 例5. 一质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因 数为
2025版新教材高考物理总复习第二章相互作用第5讲动态平衡问题和平衡中的临界极值问题教案
第5讲动态平衡问题和平衡中的临界、极值问题一、动态平衡问题“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向要发生变更,但变更过程中的每一时刻的状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡,这是力平衡问题中的一类难题。
解动态平衡问题两种常用的方法是①解析法和②图解法。
二、平衡中的临界、极值问题1.临界状态:是从一种物理现象转变为另一种物理现象,或从一个物理过程转入另一个物理过程的转折状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
2.解答临界、极值问题的关键是找到临界条件。
1.如图所示,将所受重力为G的光滑小球用轻质细绳拴在竖直墙壁上,当把绳的长度增长,则下列推断正确的是()A.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均减小B.绳对球的拉力T增大,墙对球的弹力N减小C.绳对球的拉力T减小,墙对球的弹力N增大D.绳对球的拉力T和墙对球的弹力N均增大答案 A2.如图所示,轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点,轻绳OC一端悬挂一重物。
已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。
问悬挂的重物的重力不得超过多少?答案100√3 N考点一动态平衡问题所谓动态平衡问题,是指通过限制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变更,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。
解决此类问题的常用方法有解析法和图解法。
例1如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO 与竖直方向的夹角为θ。
已知重力加速度为g。
设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。
(1)假如保持节点O的位置不变,将B点向左缓慢移动(同时增加绳长),则()A.F2变小,F1变大B.F2变大,F1变小C.F1和F2的合力不变D.F1和F2的合力变小(2)假如保持节点O的位置不变,将A点向上缓慢移动(同时增加绳长),F1和F2分别怎样变更?答案见解析解析(1)方法1:在B点缓慢左移的过程中,θ缓慢增大,而O点始终保持受力平衡状态,F1和F2均发生变更,但它们的合力肯定不变,F'=mg,方向竖直向上;因F1=mg tanθ,F2=mm,所以θ增大,tan θ增大、cos θ减小。
高考物理一轮复习 第二章 专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
个状态均可视为平衡状态.
2.做题流程 受力分析 —化—“—动—”—为—静→画不同状态平衡图构造矢量三角形 —“—静—”—中—求—动→
—定—性—分—析→ 根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化
三角函数关系
—定—量—计—算→ 正弦定理
找关系求极值
相似三角形
3.三力平衡、合力与分力关系 如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合 力 为 零 ， 则 F1 、 F2 的 合 力 F3′ 与 F3 等 大 反 向 ， F1 、 F2 、 F3′ 构 成 矢 量 三 角 形 ， 即F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、 F3直接构成封闭三角形.
√A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
√D.OM上的张力先增大后减小
以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上 拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示， F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中， 矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的 张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小， 所以A、D正确，B、C错误.
以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平 衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反. 根据三角形相似得AFC合 ＝AFB＝BFCN 又 F 合＝G 得 F＝AACB G，FN＝BACC G ∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC 不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹 力大小不变，故选A.
2.一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状 态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极 值出现. 基本矢量图，如图所示
高考物理一轮复习 动态平衡、平衡中的临界和极值问题导学案 旧人教版
高考物理一轮复习动态平衡、平衡中的临界和极值问题导学案旧人教版【考点自清】一、平衡物体的动态问题(1)动态平衡：指通过控制某些物理量使物体的状态发生缓慢变化。
在这个过程中物体始终处于一系列平衡状态中。
(2)动态平衡特征：一般为三力作用，其中一个力的大小和方向均不变化，一个力的大小变化而方向不变，另一个力的大小和方向均变化。
(3)平衡物体动态问题分析方法：解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法。
解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况。
图解法的基本程序是：对研究对象的状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化(一般为某一角)，在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图(力的平形四边形或三角形)，再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变化及角度变化确定某些力的大小及方向的变化情况。
二、物体平衡中的临界和极值问题1、临界问题：(1)平衡物体的临界状态：物体的平衡状态将要变化的状态。
物理系统由于某些原因而发生突变(从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态)时所处的状态，叫临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态。
(2)临界条件：涉及物体临界状态的问题，解决时一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”等临界条件。
平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”。
2、极值问题：极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值。
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
【重点精析】一、动态分析问题【例1】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。
动态平衡问题平衡中的临界、极值问题课件59
问题解决能力
02
学生能够独立分析和解决一些复杂的动态平衡问题，具备了一
定的问题解决能力。
创新思维Байду номын сангаас养
03
课程鼓励学生提出新的想法和解决方案，培养了学生的创新思
维和解决问题的能力。
未来研究方向展望
更复杂的动态平衡问题
研究更复杂的动态平衡问题，如非线性、时变等条件下的临界、 极值问题。
临界、极值问题的优化算法
不等式法
通过构建不等式并求解，找到物体 的极值状态。
数值模拟法
通过计算机模拟物体的运动过程， 找到极值状态和对应的物理量。
03
CATALOGUE
平衡中的极值问题
极值条件的确定
确定平衡状态
首先分析物理系统或数学 模型的平衡状态，明确平 衡条件。
寻找极值条件
在平衡状态下，寻找使某 一物理量达到极值的条件 ，如最小势能、最大承载 力等。
动态平衡
物体在受到外力作用下，通过内部调节保持平衡状态，如人 体在行走中的平衡。
临界条件的确定
临界状态
物体处于平衡与不平衡之间的临界状态，稍微偏离平衡就会导致失稳。
临界条件
使物体保持平衡的最小条件，如支撑面的大小、摩擦系数等。
临界问题的求解方法
01
02
03
解析法
通过建立数学模型和方程 ，求解临界条件下的物理 量。
结果讨论
结合已有知识和文献资料，对实验结果进行深入 分析和讨论，解释实验现象的原因和机制。
结果应用
将实验结果应用于实际问题中，提出针对性的建 议和措施。
06
CATALOGUE
课程总结与展望
课程重点回顾
1 2 3
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分 析 ： 解 析 o s法 θ μ ：sFi(ncmθ g ()siμ n θ c o smθ a .)
当a0即斜向下时 多， 大无 ，论 Q都 F 不 动会 . 向上滑
即 F ( cμ o ssθ i n0θ μ )t1a n.θ
5.在竖直墙壁间有质量分别是m和2m的半圆球A和圆球B，其中B的球面光滑，半圆球A 与左侧墙壁之间存在摩擦。两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下 滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力（g为重力加速度），则半圆球A与左侧墙壁之间 的动摩擦因数为（ A ）
A.3 a b c 静，止k x 不变. 2 . 绳子拉力和bgms i n θ的大小
C．c对地面的摩擦力方向始终向左
决定f的大小和方向.
D．弹簧的弹力可能增大
3 . c 和地面间摩擦力b 和c 整体.
4．如图所示，粗糙斜面P固定在水平面上，斜面倾角为θ，在斜面上有一个小滑块Q。 若给Q一个水平向右的推力F，无论推力为多大，Q都不会向上滑动，则P、Q间的动摩 擦因数（ A ）
性限度内）（ D ）
Am.g Bm.gsiCn2.θ mgD2.mgs .inθ
k
k
k
k
分析：求压缩量 对以 象A，为以B为对长象量求.伸
2.平衡中的极值问题
2.如图所示，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。若要
物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为F1
摩擦力和弹力均为被动力.
不知弹簧处于压缩还是拉伸，
f静具有不确定性. 系统静止kx不变.
5.如图所示，两个物体A、B的质量均为1 kg，各接触面间的动摩擦因数均为0.3，
同时用F＝1N的两个水平力分别作用在A、B上，则地面对物体B，B对物体A的摩擦
力分别为（取g＝10 m/s2）（ C ）
A．6 N 3 N
α αθ
2mg
T2 A
ta nθ
F mg
θ
mg
3. 如图2所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处
于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之
比为（ D ）
两球整体(属于AB系统外力）
A3 .:4 B.3 4： C.1： D.22：1
模型2.叠加连接体模型
4.如图，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上， 则（ BD ） A．P向下滑动 B．P静止不动 C．P所受的合外力增大 D．P与斜面间的静摩擦力增大
分 析 ： 1 . 静的 止临 和界 滑条 动件 ： 达f最 是m大 .否f到 2 . 整 体 平 法衡 条 件 求 解 间P的 与静 斜摩 面擦 力 .
分析：相当于倾角变化的斜面.
3.如图所示，倾角为θ的斜面体c置于水平地面上，小盒b置于斜面上，通过跨过光滑
定滑轮的细绳与物体a连接，连接b的一段细绳与斜面平行，连接a的一段细绳竖直，a
连接在竖直固定在地面的弹簧上，现向b盒内缓慢加入适量砂粒，a、b、c始终处于静
止状态，下列说法中正确的是（ A ） A．b对c的摩擦力可能先减小后增大 B．地面对c的支持力可能不变
和F2（F2＞0）。由此可求出（ C ）
A．物块的质量
B．斜面的倾角
分析：1F m g s i nθfm
C．物块与斜面间的最大静摩擦力 D．物块对斜面的正压力
F1 fm m g s i n θ fm μm g c o s θ.
课堂练习
1．如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A（A、B接触面竖 直），此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间 的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为（B ）
A1 . B1 . μ 1 μ 2 C1 . μ 1 μ 2 D2 . μ 1 μ 2 μ 1 μ 2 μ 1 μ 2 μ 1 μ 2 μ 1 μ 2
分析：正确分整 析体 受法 力 隔， 离法.
2．如图所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部爬到a处，则下列说 法正确的是（ B ） A．在a点碗对蚂蚁的支持力大于在b点的支持力 B．在a点碗对蚂蚁的摩擦力大于在b点的摩擦力 C．在a点碗对蚂蚁的作用力大于在b点的作用力 D．在a点蚂蚁受到的合力大于在b点受到的合力
3
墙壁与A 间的外 摩力 擦 整 力体 为法. 整体法 隔离法.
1.平衡中的临界问题
1.质量均为m的完全相同物块A、B用轻弹簧相连，置于带有挡板C的固定斜面上。斜
面的倾角为θ，弹簧的劲度系数为k，摩擦不计。初始时A恰好静止。现用一沿斜面
向上的力拉A，直到B刚要离开挡板C，则此过程中物块A的位移为（弹簧始终处于弹
T1
F AB
F
T2 A F
2mg
mg
分 析 ： 1绳 的 方 向法整：体1绳 的 拉 力
2.在【1】的图中如果作用在乙球上的力大小为F， 与2mg平衡。即向竖上直. 作用在甲球上的力大小为2F，则此装置平衡时的 2绳的方向隔离分球析，乙则2绳右倾
位置可能是（ C ）
T1
t
a n α
F 2m
g
AB
F
F
一轮--多物体平衡及平衡中的临界、极值 问题剖析
模型1.轻绳（或轻杆或轻弹簧）连接体模型
1.如图所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球间用细线连接，甲球用细线悬挂
在天花板上。现分别用大小相等的力F水平向左、向右拉两球，平衡时细线都被拉
紧。则平衡时两球的可能位置是下面的（ A ） 分析1绳方向整体法、2绳方向隔离法.
B．1 N 1 N
C．0 1 N D．0 2 N
整体隔离+静动突变. 整体法求解f地，隔离法判断A是否滑动，并求解fAB.
6.如图7所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B，质量为M。质量为m的物体A静止在B上。
4．如图所示，斜面体A放在水平地面上，用平行于斜面的轻弹簧将物块B拴在挡板上，
在物块B上施加平行于斜面向上的推力F，整个系统始终处于静止状态，则下列说法
正确的是（ C ） A．物块B与斜面之间一定存在摩擦力 B．弹簧的弹力一定沿斜面向下 C．地面对斜面体A的摩擦力一定水平向左 D．若增大推力，则弹簧弹力一定减小