微专题2 平衡中的临界与极值问题

(1)物体与斜面间的动摩擦因数; (2)这一临界角θ0的大小。
考点二
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答案 (1) (2)60° 解析 (1)物体沿斜面匀速下滑时,物体受力平衡。 对物体进行受力分析,由平衡条件得 mg sin 30°=μmg cos 30°
3 解得μ=tan 30°= 。 3
3 3
(2)设斜面倾角为α时,物体沿斜面匀速向上滑行,其受力情况如图所示, 由平衡条件得: F cos α=mg sin α+Ff FN=mg cos α+F sin α Ff=μFN
B.μ≥
1 tan θ
D.μ≥ cos θ
考点二
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答案 B 滑块的受力如图所示,建立直角坐标系,将力F正交分解,由物 体的平衡条件可知,竖直方向有FN=mg+F sin θ,水平方向有F cos θ=Ff≤ μFN。由以上两式联立解得F cos θ≤μmg+μF sin θ。因为力F很大,所以 上式可以写成F cos θ≤μF sin θ,故应满足的条件为μ≥ ,B项正确。
界条件为绳中张力为0。 3.极值问题
平衡物体的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问 题。一般用图解法或解析法进行分析。
考点一
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例1 物体A的质量为2 kg,两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上,另 一端系于物体A上,在物体A上另施加一个方向与水平面成θ角的拉力F, 相关几何关系如图所示,θ=60°。若要使两绳都能伸直,求拉力F的大小 范围。(g取10 m/s2)
1 tan θ
考点二
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方法技巧 临界与极值问题的分析技巧 (1)求解平衡状态下的临界问题和极值问题时,首先要正确地进行受力 分析和变化过程分析,找出平衡中的临界点和极值点。 (2)临界条件必须在变化过程中寻找,不能停留在一个状态来研究临界 问题,而是要把某个物理量推向极端,即极大或极小,并依此做出科学的 推理分析,从而给出判断或结论。
b绳刚好伸直时,拉力F最大,物体A受力如图乙所示
乙
Fmax sin θ-mg=0
40 3 N mg = 解得Fmax=
故拉力F的大小范围是
20 3 40 3 N≤F≤ N。 3 3
sin θ
3
考点一
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变式1 如图所示,轻绳AC与水平面的夹角α=30°,BC与水平面的夹角β= 60°,若AC、BC能承受的最大拉力不能超过100 N,那么物重G不能超过 多少?(设悬挂重物的绳CD强度足够大)
考点一
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答案
200 3
3
N
解析 选结点C为研究对象,C点只受三个力且合力为零,所以最简单的 求解方法就是力的合成或分解。
由于重物静止时绳DC对C点的拉力T=G,拉力产生两个效果:拉伸绳BC
和绳AC,其力的矢量关系如图所示。从图中关系可以看出TBC>TAC,即当 重力G增加时,TBC先达到100 N,因此重力G的极限值就等于TBC=100 N时 所对应的T的数值,由几何关系得T= BC =
200 3 不能超过 N。 3
T N,所以重物的重力G cos30 200 3 3
考点一
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方法技巧 突破临界问题的三种方法 (1)解析法:根据物体的平衡条件列方程,在解方程时利用数学知识求极 值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角 函数求极值以及几何法求极值等。 (2)图解法:根据平衡条件作出力的矢量图。如只受三个力,则这三个力 构成封闭矢量三角形,然后根据矢量图进行动态分析,确定最大值和最 小值。 (3)极限法:极限法是一种处理临界问题的有效方法,它是指通过恰当选
考点二
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例2 (2017陕西宝鸡联考)如图所示,质量为m的物体放在一固定斜面
上,当斜面倾角为0°时物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小
为F、水平向右的恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力 等于滑动摩擦力,当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时,不论水平恒力 F多大,都不能使物体沿斜面向上滑行,试求:
取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”“极右”
“极左”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,使问题明朗化,便于 分析求解。
考点二
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考点二
1.临界条件
摩擦力临界问题
存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静 摩擦力达到最大。 2.常见的摩擦临界问题 (1)斜面上的物体刚好不上(下)滑:静摩擦力为最大静摩擦力,物体平衡。 (2)保持物体静止在斜面上的最小水平推力:静摩擦力为最大静摩擦力, 物体平衡。 (3)拉动物体的最小力:静摩擦力为最大静摩擦力,物体平衡。
解得F=
mg sin α μmg cos α cos α μ sin α
当cos α-μ sin α=0,即tan α= 3 时,F→∞,即“不论水平恒力F多大,都不能 使物体沿斜面向上滑行”,此时,临界角θ0=α=60°。
考点二
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变式2 在机械设计中常用到下面的力学原理,如图所示,只要使连杆AB 与质量为m的滑块所在平面间的夹角θ大于某个值,那么,无论连杆AB对 滑块施加多大的作用力,都不可能使之滑动,且连杆AB对滑块施加的作 用力越大,滑块就越稳定,工程力学上称为“自锁”现象。设滑块与所 在平面间的动摩擦因数为μ,为使滑块能“自锁”,应满足的条件是 ( B ) A.μ≥tan θ C.μ≥sin θ
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微专题2 平衡中的临 界与极值问题
总纲目录
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总纲目录
考点一
弹力临界问题
考点二
摩擦力临界问题
考点一
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考点一
1.临界问题
弹力临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡 状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚 能”“恰好”等语言叙述。研究临界问题的基本思维方法是假设推理法。 2.常见的临界状态 (1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两 物体间的弹力为0)。 (2)绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值;绳子绷紧与松弛的临
考点一
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答案
20 3 3
N≤F≤
40 3 N 3
解析 c绳刚好伸直时,拉力F最小,物体A受力如图甲所示。
甲 由平衡条件得 Fmin sin θ+Fb sin θ-mg=0 Fmin cos θ-Fb cos θ=0
考点一
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mg 20 3 解得Fmin= = N 2sin θ 3