4、力的平衡问题中的临界和极值问题
物体平衡时的临界状态和极值问题
物体平衡时的临界状态和极值问题所谓的临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象，或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。
我们也可以将其理解为“恰好出现”或者“恰好不出现”某种现象的状态。
而平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要变化的状态。
所谓极值问题是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或者最小值。
研究物理极值问题和临界问题的基本观点有二：1、物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界或者极值条件进行求解；2、数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律列出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。
这种方法一定要依据物理理论对解的合理性以及物理意义进行讨论或者说明。
研究临界问题的基本方法：一般采用先假设一种情况的存在，然后再根据平衡条件以及有关知识列方程求解。
研究平衡物体的极值问题有两种方法：1、解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。
通常我们会用到的数学知识有：二次函数极值、均分定理求极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值；2、图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值。
这种方法比较简便，而且很直观。
例1、如图1所示，物体的质量为2k g，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直的墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的大小范围。
（北京市海淀区试题）解析：这是一个典型的临界问题。
作出物体A的受力图如图2所示，由平衡条件有：ΣF y=F cosθ－F2－F1cosθ=0 （1）ΣF x=F sinθ+F1sinθ－mg =0 （2）由（1）、（2）可得：F=mg/sinθ –F1（3）F=F2/2cosθ +mg/2sinθ （4）要使两绳都能绷直，则有F1≥0（5），F2≥0 （6）由（3）、（5）得F有最大值F m ax=mg/sinθ=40/（3）N由（4）、（6）可知F 有最小值F m in =mg /2sinθ=20/（3）N综合有F 的取值范围为：20/（3）N≤F ≤40/（3）N例2、如图3所示，位于斜面上的物体M 在沿斜面向上的力F 的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力（ ）（1）、方向可能沿斜面向上；（2）、方向可能沿斜面向下；（3）、大小可能等于零；（4）、大小可能等于F 。
处于平衡状态中的极值问题和临界问题
处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。
另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的语句来表述。
解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m 的滑块，此时弹簧处于自然长度。
已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为3，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F 随夹角θ的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题—两物体刚好发生相对滑动的模型。
由关键词“缓慢”，可知滑块处于动态平衡。
在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角θ较小时，滑块与板相对静止；夹角θ较大时，滑块相对板滑动。
进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值α，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。
易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。
解析：设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动。
则由sin cos mg mg αμα=得：tan αμ==，030α= 则θ在0030 的范围内，弹簧处于原长，弹力F ＝0。
当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得：()()()()()sin sin cos sin cos sin cos cos (sin cos sin cos )sin sec sin cos cos F mg mg mg mg mg mg mg βθμθθμθθθβθββθθββθβββθβθβ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-=-=- (注意：其中tan βμ=)小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。
45共点力平衡中的临界和极值问题
共点力平衡中的临界和极值问题【【教教学学目目标标】】1、知道共点力平衡中的临界状态及极值问题；2、掌握解共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法。
【【重重点点难难点点】】分析共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法【【教教学学方方法法】】讲练结合【【教教学学用用具具】】幻灯片【【教教学学过过程程】】一、临界状态某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态称为临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要破坏而尚未破坏（即将发生变化）的状态。
涉及临界状态的问题叫临界问题。
解决这类问题时，一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
二、极值问题在平衡物体的极值问题中，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
三、解答临界问题的基本思维方法1、假设推理法：即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
2、极限分析法：即通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”和“极小”、“极左”和“极右”等），从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，便于解答。
四、解答极值问题的基本思维方法解答平衡物体的临界问题时，经常遇到讨论某些物理量的极值问题，处理这类问题时，应从极值条件出发，对处于平衡临界状态的物体，列出平衡方程，并应用恰当的数学工具（如应用三角函数的性质、配方法等）解决。
1、根据物体的平衡条件列的方程中，如果含有三角函数则可利用三角函数公式，把所列方程化成仅含单个正弦或单个余弦函数的式子，然后应用正弦或余弦函数的绝对值不大于1的性质，求出某些物理量的最大值或最小值。
2、根据平衡条件列出的方程中，如果含有y ＝a cos θ+b sin θ形式的部分，可以将其作如下处理求出极值：)y θθ=+ 令tan ba ϕ＝（或tan a bϕ＝）则22cos a b ϕ+＝，22sin a b ϕ+＝22sin()y a b θϕ+⋅+＝当=+ϕθ90º，y 有最大值y max ＝22b a +当=+ϕθ0时，y 有最小值y min ＝0。
高中物理-平衡中的临界极值问题-答案
微专题4平衡中的临界极值问题1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.2.多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．1．如图所示，两质量均为M＝10kg的物体甲、乙静置于水平地面上，两物体与地面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，两物体通过一根不可伸长的细绳绕过光滑的动滑轮连接，滑轮质量m＝1kg，现用一竖直向上的力F拉滑轮，当滑轮拉起至细绳伸直，甲、乙两物体刚要开始滑动时，连接乙的细绳与水平方向的夹角为θ＝53°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是()A．力F的大小为80NB．力F的大小为90NC．轻绳对甲物体的拉力大小为60ND．轻绳对甲物体的拉力大小为80N答案B解析对甲、乙两物体分别受力分析，由平衡可知μ(Mg－F T sin53°)＝F T cos53°，解得绳子的拉力F T＝50N，则对滑轮受力分析可知F＝2F T sin53°＋mg＝90N，故选B.2．如图两个体重相同的人静止坐在秋千上，两秋千绳子能承受的最大张力是一样的．往两人身上同时慢慢加相同重量的物体，直到绳子断开，则下面的叙述正确的是()A．甲中绳子先断B．甲、乙中绳子同时断C．乙中绳子先断D．不确定答案C解析人的重力和两根绳子拉力的合力等值反向，合力一定，两分力夹角越大，分力越大，所以夹角越大，绳子拉力越大．则乙中绳子容易断，A 、B 、D 错误，C 正确．3．(多选)如图所示，一个重为5N 的大砝码用细线悬挂在O 点，在力F 作用下处于静止状态，现不断调整力F 的方向，但砝码始终静止在如图所示的位置处，则下列说法正确的是()A ．调整力F 的方向的过程中，力F 最小值为2.5NB ．力F 在竖直方向时，力F 最小C ．力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力最小D ．当力F 处于水平方向和斜向右上与水平方向夹角60°时，力F 大小相等答案ACD 解析对砝码受力分析如图所示根据平行四边形定则，可知当F 的方向与另一侧细线垂直时，力F 最小，最小值为F min ＝G sin 30°＝2.5N ，故A 正确，B 错误；当力F 在竖直方向时，另一侧细线上的张力F T ＝0最小，故C 正确；当力F 处于水平方向时，力F 与细线拉力F T 的合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg tan 30°＝33mg .当力F 处于斜向右上与水平方向夹角为60°时，此时F 、细线拉力F T 与竖直方向的夹角相等，则两力大小相等，合力竖直向上，大小等于mg ，由几何关系得F ＝mg 2cos 30°＝33mg ，故D 正确．4.如图所示，足够长的光滑平板AP 与BP 用铰链连接，平板AP 与水平面成53°角并固定不动，平板BP 可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m 的均匀圆柱体O 放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g .在使BP 板由水平位置逆时针缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A ．平板BP 受到的最小压力为0.8mgB．平板BP受到的最小压力为0C．平板AP受到的最小压力为0.6mgD．平板AP受到的最大压力为1.25mg答案A解析圆柱体受重力，平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，将F1与F2合成为F，如图：圆柱体一直处于平衡状态，三个力中任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1与F2的合力F与重力等值、反向、共线；从图中可以看出，BP板由水平位置逆时针缓慢转动过程中，F1越来越大，F2先减小后增大；由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值F2min＝45mg，根据牛顿第三定律，平板BP受到的最小压力为45mg，故A正确，B错误；当平板BP沿水平方向时，平板AP对圆柱体的弹力F1＝0，即平板AP受到的最小压力为0，故C错误．由图可知，当BP转到竖直方向时，AP对圆柱体的弹力F1最大F1max＝mgcos53°＝53mg，根据牛顿第三定律知，平板AP受到的最大压力为53mg，故D错误．5．(2022·湖南长郡中学高三月考)固定斜面上的物体A用跨过滑轮的细线与小砂桶相连，连接A的细线与斜面平行，不计细线与滑轮间的摩擦力，若要使物体A在斜面上保持静止，砂桶中砂的质量有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为m1和m2(m2＞0)，重力加速度为g，由此可求出()A．物体A的质量B．斜面的倾角C．物体A与斜面间的动摩擦因数D．物体A与斜面间的最大静摩擦力答案D解析设物体A的质量为M，砂桶的质量为m0，物体与斜面间的最大静摩擦力为F fm，斜面倾角为θ，由平衡条件可得物体A将要上滑时，有m0g＋m1g＝Mg sinθ＋F fm.物体A将要下滑时，有m 0g ＋m 2g ＝Mg sin θ－F fm ，可得F fm ＝m 1g －m 2g 2，即能求解物体A 与斜面间的最大静摩擦力，不能求出其他的物理量，则A 、B 、C 错误，D 正确．6．三角形具有稳定性，生活中随处可见利用三角形支架固定的物体．浴室里洗手盆下的支架、空调外挂机的支架、手机支架等如图甲所示．现有一个悬挂物体的支架，如图乙所示，倾斜支撑杆a 端用铰链固定在墙上，且Oa 杆不可伸长，拉杆bO 左端可上下移动和旋转并且可伸缩以便调节拉杆的长度，轻绳一端固定在O 点，另一端悬挂重物．已知初始时bO 杆水平，aO 杆与竖直方向成60°角，悬挂物质量为m ，重力加速度为g .(1)初始状态下，aO 、bO 杆的作用力大小分别为多少？(2)保持O 点不动，调节拉杆的长度同时左端向上移动到某点c 后固定，可使拉杆上的作用力最小，此时cO 与竖直墙面的夹角为多少？此时aO 、cO 的作用力大小分别为多少？答案(1)2mg 3mg (2)30°12mg 32mg 解析(1)对O 点受力分析如图a 所示，可得F a cos 60°＝mg ，F a sin 60°＝F b ，联立可得F a ＝2mg ，F b ＝3mg(2)重力大小方向不变，aO 方向不变，分析可知，当cO 与aO 垂直时，cO 上的拉力最小，如图b 所示，由几何关系可得此时cO 与竖直墙面的夹角为30°，受力分析如图所示，可得可得F a ′＝12mg ，F c ＝32mg .7．筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一．筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”．如图所示，用筷子夹质量为m 的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .为使小球静止，求每根筷子对小球的压力F N 的取值范围．答案mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ)解析筷子对小球的压力最小时，小球恰好不下滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示．有2F N sin θ＋2F f cos θ＝mg ，F f ＝μF N ，联立解得F N ＝mg 2(sin θ＋μcos θ)，筷子对小球的压力最大时，小球恰好不上滑，小球所受最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示．有2F N ′sin θ＝mg ＋2F f ′cos θ，F f ′＝μF N ′，联立解得F N ′＝mg 2(sin θ－μcos θ)，综上可得，筷子对小球的压力的取值范围为mg 2(sin θ＋μcos θ)≤F N ≤mg 2(sin θ－μcos θ).8.如图，倾角为α＝37°的粗糙斜劈固定在水平面上，质量为5kg 的物体a 放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.一根平行于斜面的不可伸长的轻质细线一端固定在物体a 上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在c 处，滑轮2下吊有一物体b 且β＝74°，物体a 受到斜劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：保证系统静止时，b 的质量范围．答案1.6kg ≤m b ≤8kg 解析a 刚要下滑时b 的质量最小，a 受到沿斜面向上的静摩擦力作用，m a g sin α＝μm a g cos α＋F T.研究b的受力情况2F T cos β2＝m b1g，联立解得m b1＝1.6kg，a刚好上滑时，a受到沿斜面向下的静摩擦力作用，m a g sinα＋μm a g cosα＝F T′，研究b的受力情况2F T′cos β2＝m b2g，联立解得m b2＝8kg.综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为1.6kg≤m b≤8kg.。
第六讲平衡物体的临界状态与极值问题Microsoft Word 文档
平衡物体的临界状态与极值问题一、物体的临界状态的分析1、临界状态的特点：在临界状态下常常会出现一些特殊的词语如“恰好、最多、最少、至少”等。
相接处的两物体沿垂直接触面方向恰好分离的临界值是：两物体间的正压力恰好为零；两物体发生相对滑动的临界条件是：两物体间的摩擦力达到最大值；当物体的阻力与物体的运动速度有关时，物体最终的状态是：阻力与物体的动力相等，物体匀速运动。
二、平衡状态下临界问题的求解1、解析法：根据已知条件，列出关于未知物理量函数的解析式，然后根据数学知识求极值——————数学方法例1、如题所示，将质量为M的木块，分成m1和m2两部分，并用细线连接，至于光滑水平面上，通过定滑轮竖直悬挂，试分析应将怎样分割，才能使系统在加速运动的过程中，绳的拉力最大？最大值是多少？例2、如下图所示，重为G的木块，在力F的作用下沿着水平地面匀速前进，若木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，F与水平地面成α角，试说明：若α角超过某临界值时，不论推力F多大，木块都不可能发生滑动，并用μ表示该临界角的大小2、分析临界状态下的已知临界值，然后再根据题意列方程，带入已知值，求的未知值——————物理方法例3、如下图所示，物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，使得BA、AC间的夹角为θ=60°，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使绳都能伸直，求拉力F的取值范围。
例4、如下图所示，物体A的质量为2kg,与斜面间的动摩擦因数为0.4，要是A在斜面上静止，物体B的质量的最大值和最小值是多少？（设最大静摩擦等于滑动摩擦）例5、如图所示，不计重力的绳AB与竖直夹角为60°轻杆与BC夹角为30°杆可绕C自由转动，若绳能承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大拉力为300N，则在B点最多能挂多种的物体。
例6、1999年11月20日，我国发射了“神舟号”载人飞船，次日载人舱着路陆，试验获得成功，载人舱在即将着陆之前，由于空气阻力作用，有一段匀速下落过程，若空气阻力与速度的平方成正比，比例系数为K，载人舱的质量为m，则此过程中在人藏的速度为多少？例7、如图所示，用水平力沿水平方向缓慢的拉重为G的物体，试求θ为多少时，拉力F最小，最小值为多少？。
学案力平衡极值临界值问题及小结
1 / 4专题5、平衡物体的临界与极植问题[高考要求]1、掌握分析平衡物体的临界问题的基本思维方法——假设法。
2、掌握会用数学知识求解物体极值问题。
[学习内容] 一、临界问题1、临界状态：是一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一物理过程转入到另一物体过程的转折状态，临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态，解决这类问题的关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
2、处理临界问题的基本思维方法——假设推理法。
【例1】如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
【例2】如图所示，物体A 重10N ，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F 作用在物体上，要使物体A 静止于墙上，则F 的取值是多少？二、极植问题1、极值问题是指研究平衡问题中某物理量发生变化时出现的最大值或最小值。
2、研究平衡物体的极值问题的两种方法。
①解析法：根据平衡条件列方程，在解方程对采用数学知识求极值。
通常用到的数学知识有二次函数极值、判别式法、配方法、定和定积法、讨论分析极值、三角函数极值、以及几何法求极值等。
②图解法：即根据物体的平衡条件出力的矢量图，确定最大值和最小值。
【例3】重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块作匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？[解析法][图解法]【例4】如图所示，用细线AO 、BO 悬挂重物，BO 水平与竖直线成30°角，若AO 、BO 能承受的最大拉力各为10N 和6N ，OC允许的最大重力为多少？想一想：如图所示，质量为M的小球放在倾角为α的光滑斜面上，小球被与水平成β角的细线系住，斜面体位于光滑水平面上，用水平力F缓慢地向左推斜面体，β角将减小，当β=_________时细线拉力最小，此时F=_________。
平衡中的临界极值问题
平衡中的临界和极值问题所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。
极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏但尚未被破坏的状态。
求解平衡的临界问题一般用极限法。
极限分析法是一种预测和处理临界问题的有效方法，它是指：通过恰当选取某个变化的物理量将其推向极端（“极大”、“极小”、“极右”或“极左”等）,从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，使问题明朗化，以便非常简捷地得出结论。
在平衡中最常见的临界问题有以下两类： 一、以弹力为情景1. 两接触物体脱离与不脱离的临界条件是：相互作用力为零。
2. 绳子断与不断的临界条件是：作用力达到最大值；绳子由弯到直（或由直变弯）的临界条件是：绳子的拉力等于零。
例1：如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。
解：作出A 受力图如图所示，由平衡条件有：F ．cos θ-F 2-F 1cos θ=0, F sin θ+F 1sin θ-mg =0要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 33403320≤≤变式训练1：两根长度不一的细线a 和b ，一根连在天花板上，另一端打结连在一起，如图，已知a 、b 的抗断张力（拉断时最小拉力）分别为70N ，80N.它们与天花板的夹角分别为37°、53°， 现在结点O 处加一个竖直向下的拉力F ，(sin37°=cos53°=0.6, cos37°=sin53°=0.8) 求： (1)当增大拉力F 时，哪根细绳先断?(2)要使细线不被拉断，拉力F 不得超过多少？变式训练2两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m 的物体，上端分别固定在水平天花板上的M 、N 点，M 、N 两点间的距离为s ，如图所示，已知两绳所能承受的最大拉力均为T ，则每根绳的长度不得短于__ ____．例2：如图所示，半径为R ，重为G 的均匀球靠竖直墙放置，左下方有厚为h 的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F 推木块才能使球离开地面。
思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法
思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．处理临界问题的思维方法 假设推理法． 2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 处理极值问题的两种基本方法 (1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论． (2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例】 一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N ，g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是( )．A ．μ＝34，θ＝0B ．μ＝34 tan θ＝34C ．μ＝34 tan θ＝43D ．μ＝35 tan θ＝35即学即练 (2013·苏州调研)如图2－4－12所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小( )．A ．可能为33mg B ．可能为52mg C ．可能为2mg D ．可能为mg对应高考题1．(2011·江苏卷，1)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g .若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )．A ．mg 2sin α B ．mg 2cos α C ．12mg tan α D ．12mg cot α2．(2012·上海卷，8)如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A 、B 叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A 上表面水平，则在斜面上运动时，B 受力的示意图为( )．3．(2012·山东卷，17)如图所示，两相同轻质硬杆OO 1、OO 2可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、O 1、O 2转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 分别紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．F f 表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N 表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O 1、O 2始终等高，则( )．A ．F f 变小B ．F f 不变C ．F N 变小D ．F N 变大4．(2013·上海卷，8)如图所示，质量m A >m B 的两物体A 、B 叠放在一起，靠着竖直墙面．让它们由静止释放，在沿粗糙面下落过程中，物体B 的受力示意图是( )．思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．处理临界问题的思维方法 假设推理法． 2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 处理极值问题的两种基本方法(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论．(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例】 一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N ，g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是( )．A ．μ＝34，θ＝0B ．μ＝34 tan θ＝34C ．μ＝34 tan θ＝43D ．μ＝35 tan θ＝35审题指导 正确解答本题需要从以下几个角度分析：(1)水平地面上的物体受几个力的作用？ (2)三个以上力的平衡问题用什么方法求解？(3)求平衡的极值问题有几种方法？分别要用到什么知识？解析 由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着拉力与水平方向的夹角α的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样．而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等．以物体为研究对象，受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有F cos α＝μF N ，竖直方向有F sin α＋F N ＝mg . 联立可解得：F ＝μmg cos α＋μsin α＝μmg 1＋μ2sin (α＋φ)，tan φ＝1μ，当α＋φ＝90°，即α＝arctan μ时，sin(α＋φ)＝1，F 有最小值：F min ＝μmg 1＋μ2，代入数值得μ＝34此时α＝θ，tan θ＝tan α＝34，B 正确．答案 B图2－4－12即学即练 (2013·苏州调研)如图2－4－12所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小( )．A ．可能为33mg B ．可能为52mg C ．可能为2mg D ．可能为mg解析 取A 、B 两球为一整体，质量为2m ，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，由图可以看出，外力F 与悬线OA 垂直时为最小，F min ＝2mg sin θ＝mg ，所以外力F 应大于或等于mg ，选项B 、C 、D 均正确．答案 BCD附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2011·江苏卷，1)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g .若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )．A ．mg2sin αB ．mg2cos αC ．12mg tan αD ．12mg cot α解析 以楔形石块为研究对象，它受到竖直向下的重力和垂直侧面斜向上的两个支持力，利用正交分解法可解得：2F sin α＝mg ，则F ＝mg2sin α，A 正确． 答案 A2．(2012·上海卷，8)如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A 、B 叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A 上表面水平，则在斜面上运动时，B 受力的示意图为( )．解析 A 、B 整体沿斜面向下的加速度a 可沿水平方向和竖直方向分解为加速度a ∥和a ⊥，如图所示，以B 为研究对象，B 滑块必须受到水平向左的力来产生加速度a ∥.因此B 受到三个力的作用，即：重力、A 对B 的支持力、A 对B 的水平向左的静摩擦力，故只有选项A 正确．答案 A3．(2012·山东卷，17)如图所示，两相同轻质硬杆OO 1、OO 2可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、O 1、O 2转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 分别紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．F f 表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N 表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O 1、O 2始终等高，则( )．A ．F f 变小B ．F f 不变C ．F N 变小D ．F N 变大甲解析 选重物M 及两个木块m 组成的系统为研究对象，系统受力情况如图甲所示，根据平衡条件有2F f ＝(M ＋2m )g ，即F f ＝(M ＋2m )g2，与两挡板间距离无关，故挡板间距离稍许增大后，F f 不变，所以选项A 错误，选项B 正确；如图乙所示，将绳的张力F 沿OO 1、OO 2两个方向分解为F 1、F 2，则F 1＝F 2＝F2cos θ，当挡板间距离稍许增大后，F 不变，θ变大，cos θ变小，故F 1变大；选左边木块m 为研究对象，其受力情况如图丙所示，根据平衡条件得F N ＝F 1sin θ，当两挡板间距离稍许增大后，F 1变大，θ变大，sin θ变大，因此F N 变大，故选项C 错误、选项D 正确．答案BD在沿粗糙面下落过程中，物体B的受力示意图是()．解析两物体A、B叠放在一起，在沿粗糙墙面下落过程中，由于物块与竖直墙面之间没有压力，没有摩擦力，二者一起做自由落体运动，AB之间没有弹力作用，物体B的受力示意图是图A.答案 A。
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力的平衡问题中的临界和极值问题
例8：如图所示，绳子AO 的最大承受力为150N ，绳子BO 的最大承受力为
100N ，绳子OC 强度足够大.要使绳子不断，悬挂重物的重力最多为
（ ）
A ．100N B.150N C.
D.200N
例9：物体的质量为2 kg,两根轻细绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上,另一端系于
物体上,在物体上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F,相关几何关系如图所示,
θ=60°,若要使绳都能伸直,求拉力F 的大小范围。
(g 取10 m/s 2)
课后针对性训练：
1、如右图所示，物体B 靠在竖直墙面上，在竖直轻弹簧的作用下，A 、B 保持静止，则物体A 、B 受力的个数分别为( )
A ．3,3
B ．4,3
C ．4,4
D ．4,5
2、如图所示，一个质量为m 的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻
弹簧一端固定在竖直墙上的P 点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为
30°．则（ ）
A ．滑块可能受到三个力作用
B ．弹簧一定处于压缩状态
C ．斜面对滑块的支持力大小可能为零
D ．斜面对滑块的摩擦力大小可能等于mg
3、如图所示,在水平力F 的作用下,木块A 、B 保持静止。
若木块A 与B 的接触
面是水平的,且F≠0。
则关于木块B 的受力个数可能是( )。
A.3个或4个
B.3个或5个
C.4个或5个
D.4个或6个
4、如图1－3所示，一光滑的半圆形碗固定在水平面上，质量为m1的小球
用轻绳跨过光滑碗连接质量分别为m2和m3的物体，平衡时小球恰好与碗
之间没有弹力作用，两绳与水平方向夹角分别为60°、30°。
则m1、m2、
m3的比值为 ( )
A ．1：2：3
B ．2：：1
C ．2：1：1
D ．2：1：
5、两个相同的可视为质点的小球A 和B ，质量均为m ，用长度相同的两根细
线把A 、B 两球悬挂在水平天花板上的同一点O ，并用长度相同的细线连接A 、
B 两个小球，然后，用一水平方向的力F 作用在小球A 上，此时三根线均处
于伸直状态，且OB 细线恰好处于竖直方向如图所示．如果两小球均处于静止
状态，则力F 的大小为( )
A ．0
B ．mg C.3mg 3 D.3mg
6、如图所示，轻质光滑滑轮两侧用细绳连着两个物体A 与B ，物体B 放在水平面上，A 、B 均静止．已
知A 和B 的质量分别为m A 、m B ，绳与水平方向的夹角为θ，则 ( )
A ．物体
B 受到的摩擦力可能为0
B ．物体B 受到的摩擦力为m A g cos θ
C ．物体B 对地面的压力可能为0
D ．物体B 对地面的压力为m B g-m A g sin θ
7、如图所示，质量分别为m 1、m 2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F 的
作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m 1在地面，m 2在空中)，力F 与水
平方向成θ角．则m 1所受支持力F N 和摩擦力Ff 正确的是( )
A ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F sin θ
B ．F N ＝m 1g ＋m 2g －F cos θ
C ．Ff ＝F cos θ
D ．Ff ＝F sin θ
8、如图所示，完全相同的A 、B 两球，质量均为m ，用两根等长的细线悬挂在O 点，
两球之间夹着一根劲度系数为k 的轻弹簧，静止不动时，弹簧处于水平方向，两根
细线之间的夹角为θ，则弹簧的长度被压缩了( )
A.mg tan θk B .2mg tan θk C.mg tan θ2k
D.2mg tan θ2k 9、如图所示，位于水平桌面上的物块P ，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q 相连，从滑轮到P 和到Q 的
两段绳都是水平的。
已知Q 与P 之间以及P 与桌面之间的动摩擦因数都
是μ，两物块的质量都是m ，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若
用一水平向右的力F 拉P 使它做匀速运动，则F 的大小为（ ）
A ．4μmg
B ．3μmg
C ．2μmg
D ．μmg
10、如图所示，内壁粗糙的半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下恰好静止与P 点。
设滑块所受支持力为F N 。
OF 与水平方向的夹角为θ，滑块的摩擦力为f 。
下列关系可能正确的是（ ）
A ．
B ．f ＝mgcos θ－Fsin θ
C ．
D ．f=Fsin θ－mgcos θ
11、如图1－4所示，桌面上固定一个光滑的竖直挡板，现将一个质量一定的
重球A 与截面为三角形的垫块B 叠放在一起，用水平外力F 可以缓缓向左推
动B ，使球慢慢升高，设各接触面均光滑，则该过程中 ( )
A ．A 和
B 均受三个力作用而平衡 B ．B 对桌面的压力越来越大
C ．A 对B 的压力越来越小
D ．推力F 的大小恒定不
变 12、如图所示，物体A 与B 相对静止，共同沿斜面匀速下滑，则
（ ）
A ．A 、
B 间无静摩擦力
B ．B 受斜面间滑动摩擦力的作用，大小为
C ．B 与斜面间的动摩擦因数
D ．斜面受B 施加的滑动摩擦力的作用，方向沿斜面向下
13、
14、如右上图、甲物体在水平外力F 的作用下静止在乙物体上，乙物体静止在水平面上。
现增大外力F ，两物体仍然静止，则下列说法正确的是（ ）
A ．乙对甲的摩擦力一定增大
B ．乙对甲的摩擦力一定沿斜面向上
C ．乙对地面的摩擦力一定增大
D ．乙对地面的压力一定增大
15、如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m ，所带电量分别为q 和-q ，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E ，平衡时细线都被拉紧．
（1）平衡时可能位置是图1中的（ ）
（2）1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为（ ）
A ．mg F 21=，222)()(Eq mg F +=
B ．mg F 21>，222)()(Eq mg F +>
C ．mg F 21<，222)()(Eq mg F +<
D ．mg F 21=，222)()(Eq mg F +<
16、如图所示，倾角α＝60°的斜面上，放一质量为1 kg 的物体，用k ＝100 N/m
的轻质弹簧平行于斜面拉着，物体放在PQ 之间任何位置都能处于静止状态，而
超过这一范围，物体就会沿斜面滑动．若AP ＝22 cm ，AQ ＝8 cm ，试求物体与斜
面间的最大静摩擦力的大小．(g 取10 m/s2)
17、在机械设计中常用到下面的力学原理，如图1-9所示，只要使连杆AB与
滑块m所在平面间的夹角θ大于某个值，那么，无论连杆AB对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称这为“自锁”现象。
为使滑块能“自锁”θ应满足什
么条件？（设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ）。