第13章全等三角形

第十三章全等三角形13.1全等三角形学习导航目标点击1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点．2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质．知识点拨（1）能够完全“重合”的两个三角形全等．（2）全等三角形的对应边相等、对应角相等．例1 填空题：(1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____．②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____．图13－1－1 图13－1－2(2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____．(3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____．图13－1－3解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF．②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE．(2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA．(3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE．点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出．例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2．求∠DFE的度数与EC的长．图13－1－4图13－1－ 5图13－1－7图13－1－8解：在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACB ＝180°(三角形内角和为180°)∵∠A ＝30°，∠B ＝50°(已知)∴∠ACB ＝180°-30°-50°＝ 100°∴△ABC ≌△DEF(已知)∴∠ACB ＝∠DFE(全等三角形对应角相等)BC ＝EF ．(全等三角形对应边相等)∴∠DFE ＝100°EC ＝E F －FC ＝B C －FC ＝BF ＝2点拨：BF 与EC 不是全等三角形的对应边，所以不能由△ABC 与△DEF 全等直接得出EC ＝BF ． 点拨：由三角形内角和定理可得∠ACB 的度数，再由全等三角形的对应角相等，对应边相等，求出所求的角的度数与线段的长．例3 如图13－1－5，△ABC ≌△DEF ，且B 与E ，C 与F 是对应顶点，问经过怎样的图形变换可使这两个三角形重合？解法1： 先将△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合(此时F 与C 重合)，再将移动后的△DEF 沿着BC 翻折，它即与△ABC 重合．解法2： 先把△DEF 沿 EF 翻折，再把翻折后的△DEF 沿着CB 方向平移，使E 与B 重合，则△DEF 即与△ABC 重合．点拨：变换后使对应顶点重合． 实习园地一、你能把惟一正确的结论的代号填在题后括号内吗？1．如图13－1－6，△ABC ≌△CDA ，且AB 、CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（ ）（A ）△ABC 和△CDA 的面积相等 （B ）△ABC 和△CDA 的周长相等（C ）∠B + ∠BAC = ∠D + ∠DAC（D ）AD ∥BC 且AD = BC 2．若△MNP ≌△NMQ ，且MN = 10 cm ，NP = 8 cm ，PM = 6 cm ，则MQ 的长为（ ）（A ）10 cm （B ）8 cm （C ）6 cm （D ）5 cm3．若△ABD ≌△CDB ，∠ABD=60°，∠CBD=70°，则∠C 的度数是（ ）（A ）30° （B ）40° （C ）50° （D ）60°4．如图13－1－7，已知△ABC ≌△DEF ，且AB>BC>CA ，则在△DEF 中有（ ）（A ）DE>EF>DF （B ）DE>DF>EF（C ）EF>DE>DF （D ）DF>DE>EF图13－1－6A DC B图13－1－9图13－1－10图13－1－11 图13－1－12图13－1－13图13－1－145．已知：如图13－1－8，△ABC 与△DEF 是全等三角形，则有（ ）组线段相等（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．若△MNP ≌△NMQ ，且MN=8cm,NP=7cm,PM=6cm ，则MQ 的长为（ ）（A ）8cm （B ）7cm （C ）6cm （D ）5cm7．下列说法正确的是（ ）（A ）全等三角形是指形状相同的两个三角形（B ）全等三角形是指面积相等的两个三角形（C ）全等三角形的周长和面积相等（D ）所有的等边三角形都是全等三角形8．如图13－1－9，△ABC ≌△CDA ，AB=4，BC=5，AC=6，则AD 边的长为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）不确定9．在图13－1－10中，△ABD ≌△CDB ，且AB ，CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是（） （A ）△ABD 和△CDB 的面积相等 （B ）△ABD 和△CDB 的周长相等（C ）∠A+∠ABD=∠C+∠CBD （D ）AD//BC 且AD=BC10．如图13－1－11，△ABC ≌△ADE ，∠ABC 和∠ADE 是对应角，则∠DAC 的对应角是（）（A ）∠ACB （B ）∠CAE （C ）∠BAE （D ）∠DAE11．如图13－1－12，△ABD ≌△ACD ，BD=CD ，若∠BAC=1000 ，，则∠BAD=（ ）（A ）450 （B ）500 （C ）400 （D ）800二、你能把正确的结果填在题中横线上吗？12．如图13－1－13，△ABC ≌△CDA ，∠B=∠D ，AB=CD ，则∠BAC=______.13．如图13－1－14，△ACD ≌△BCE ，其中AC ＝BC ，则其余的对应边是________.14．如图13－1－15，若△ABE ≌△ACF ，AE = AF ，则对应边是____________________， 对应角是________________；若△BDF ≌△CDE ，则对应边是_____________，对应角是_________________.15．如图13－1－16，若△ABC ≌△ADE ，∠B =∠ADE ，∠C =∠E ，则对应边是_________________，对应角是___________________.16．如图13－1－17，△ABC ≌△DEF ，∠A=32°，∠B=78°，CD = 3 cm ，则∠EFD =_________，AF =__________.17．如图13－1－18，△ABC 中，已知AD ⊥BC 于D ，BD=DC ，则△ABD ≌________，△ABC 的形状为___________．18．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=68°，∠B=65°，A ′B ′=25， 且△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠C ′=____________,AB=____________．19．已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB=8，BC=12，则CA=_______,DE=_________,EF=___________．三、你也可以给出正确的、合理的完整的解答过程的！20．如图13－1－19，△ABC ≌△ADE ，且∠CAD=10°，∠B =∠D = 25°，∠EAB = 120°． 求∠DFB 和∠DGB 的度数．21.如图13－1－20，DF ⊥AB 于F ，BC ⊥AD 于C ，BC 与DF 交于点E ．已知∠D = 35°，AC = AF ． ⑴ 先把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转多少度可使点C 与点F 重合？然后把△ABC 沿直线AC 翻折，这时点B 和哪个点重合？⑵ 若△DCE ≌△BFE ，则△DCE 和△BFE 怎样进行全等变换，可使两个三角形完全重合？图13－1－15 图13－1－16 A B C D EF A B C D E 图13－1－17 C B A F D E 图13－1－18图13－1－19 E A B CDG FDCEA F B图13－1－2022．如图13－1－21，已知△AOC≌△BOD．求证：AC//BD．图13－1－2123．已知△ABC≌△DEF，且∠A=52°，∠B=31°21′，ED=10cm，若∠F=∠C，求∠F的度数与AB的长．24．如图13－1－22，△ABF≌△CDE，∠B=30°，∠BAE=∠DCF=20°，求∠EFC的度数．图13－1－22应用与提高如图13－1－23，已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．（1）△DCE可以看成是由△ABF通过什么样的运动得到的？（2）证明：AF//DE．图13－1－23数学链接全等变换拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形．把这两个三角形一起放到图1中△ABC的位置上．试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图1中的各图形呢？通过实际操作可知，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离，可以变到△A'B'C'的位置（图1（1））；以BC为轴把△ABC翻转1800,可以变到△A'B'C'的位置（图1(2))；以点A为中心，把△ABC旋转1800，可以变到△A'B'C'的位置（图1（3））．这些图形中的两个三角形之间有这样的关系：其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻转或旋转等方法得到的．像这样，按某种方法把一个图形变成另一个图形，叫做图形变换．经过图形变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，上面三个图形经过变换，图形的位置变化了，但形状大小都没有改变，即变换前后的图形全等．像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换，叫做全等变换．图形的全等变换，不仅为研究几何图形提供方便，而且在实际生活中有着广泛的应用．有的图案是由一些简单的图形经过旋转得到的；有的图案是由一些图形平行移动得到的．这些图案均可作为装饰的图案．下列图形都是经过全等变换得到的．试一试，用两个完全相同的三角形经过怎样的变换，才能拼出这些图形．13.3三角形全等的条件学习导航目标点击1．经历探索三角形全等条件的过程，体会实验探究归纳获得数学结论的过程．2．掌握三角形全等的“SSS”、“SAS”、“ASA”条件和直角三角形全等的“HL”条件，能通过实验说明“SSA”、“AAA”不能判定三角形全等．3．在探索三角形全等及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理．知识点拨1．要善于观察图形，分析已知条件，并从中找出隐含条件，从而选择适当的方法证明两个三角形全等.2．几种判断方法，要加强对比记忆，并能灵活运用.例1 已知，如图13－2－1，AB=DC，AD=BC，O是DB的中点，过点O的直线分别交DA和BC的延长线于E、F．求证：∠E=∠F．证明：在△ABC和△CDB中，∵AB=CD，AD=CB，DB=BD，∴△ABD≌△CDB（SSS）．∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．在△EOD和△FOB中，∠1=∠2，DO=BO ，∠EOD=∠FOB，图13－2－1 ∴△EOD≌△FOB（ASA）．∴∠E=∠F．（全等三角形对应角相等）点拨：要证两个角相等，首先要证这两个角在哪两个三角形中，这两个三角形全等的条件是否具备所缺条件可能在哪一对三角形中．例2 如图13－2－2，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD．求证：BE⊥AC．证明：∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠ADC=900 .图13－2－ 2 在Rt △BDF 和Rt △ADC 中，,,BF AC FD CD =⎧⎨=⎩∴Rt △BDF ≌Rt △ADC ，∴∠2=∠C.∵∠1+∠2=900 ，∴∠1+∠C=900 ，∴∠BEC=900 ，∴BE ⊥AC.点拨：要充分利用角平分线这一条件，得到DE=DF 这一隐含条件.实习园地一、你能把惟一正确的结论的代号填在题后括号内吗？1．如图13－2－3，AB=AC ，∠1=∠2，E 为AD 上一点，则此图中全等三角形共有（ ）（A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对2．如图13－2－4，已知AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点，则能够得到△ABD ≌△ACD 的根据是（ ）（A ）ASA （B ）AAS （C ）SAS （D ）SSS3．如图13－2－5，△ABC 中，AB ＝AC ，AF ＝AE ，DB=DC ，则图中全等的三角形共有（ ）（A ）4 （B ）S （C ）6 （D ）74．如图13－2－6，AB ⊥AC ，DE ⊥DF ，AB//DE ，BE ＝CF ，则能够得到△ABC ≌△DEF 的根据是（ ）（A ）ASA （B ）AAS （C ）SAS （D ）SSS5、如图13－2－7，∠BAD=∠CAD ，AB ＝AC ，连结BD 、CD 并延长交AC 、AB 于F 、E ，则图中全等三角形有（ ）（A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对6．如图13－2－8，AB//CD ，BC//AD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中全等三角形的对数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67．在△ABC 和C B A '''∆中，下列各组条件中，不能保证C B A ABC '''∆≅∆的是（ ）① B A AB ''=图13－2－4 21C A DB E 图13－2－3图13－2－5 图13－2－6图13－2－7 图13－2－8② C B BC ''= ③ C A AC ''=④ A A '∠=∠ ⑤ B B '∠=∠ ⑥ C C '∠=∠（A ）具备①②③（B ）具备①②④ （C ）具备③④⑤ （D ）具备②③⑥8． 两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（ ）.（A ） 两角和一边 （B ）两边及夹角 （C ） 三个角 （D ）三条边9．如图13－2－9，只要（ ），则△ABC ≌△ADC（A ）AB=AD ，∠B=∠D （B ）AB=AD ，∠ACB=∠ACD（C ）BC=DC ，∠BAC=∠DAC （D ）AB=AD ，∠BAC=∠DAC10．如图13－2－10，AB=DB ，BC=BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则要增加条件（ ）（A ）∠A=∠B （B ）∠E=∠C （C ）∠A=∠C （D ）∠ABD=CBE11．已知：AB= A ′B ′，∠A=∠A ′，若△ABC ≌△A ′B ′C ′，还要补充的条件是（ ）（A ）∠B=∠B ′ （B ）∠C=∠C ′（C ）AC= A ′C ′ （D ）以上答案均可12．如图13－2－11，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连结BD ，CD 并延长相交AC 、AB 于F 、E 点，则此图形中有（ ）对全等三角形．（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）513．如图13－2－12，已知△ABC 中，DF=FE ，BD=CE ，AF ⊥BC 于F ，则此图中全等三角形共有（ ）（A ）5对 （B ）4对 （C ）3对 （D ）2对14．如图13－2－13，MP=MQ ，PN=QN ，MN 交PQ 于O 点，则下列结论中，不正确的是（ ）（A ）△MPN ≌△MQN （B ）OP=OQ （C ）MO=NO （D ）∠MPN=∠MQN15．下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是( )（A ）两直角对应相等 （B ）两锐对应相等图13－2－10 图13―2―9 图13－2－11 图13－2－12 图13－2－13图13－2－14 （C ）一锐角一条直角边对应相等 （D ）斜边、一条直角边对应相等16．下列各类直角三角形，①等腰直角三角形 ②短直角边所对角是30° ③两直角边不相等 ④短直角边对角为另一锐角的14．其中，如果短直角边相等，则它们能全等的是( ) （A ）①②③ （B ） ②③④ （C ） ①②④ （D ） ①③④17．下列关于直角三角形全等的说法错误的是( )（A ）一直角边及斜边上的高对应相等的两直角三角形全等（B ）面积相等且一直角边相等的两直角三角形全等（C ）两条高对应相等的两直角三角形全等（D ）有一个锐一边相等的两直角三角形全等角18．在△ABC 和△DEF 中，∠C=∠D ，∠B=∠E ，要使两三角形全等，需增加条件( )（A ）AB=ED （B ）AB=FD （C ）AC=FD （D ）∠A=∠F19．下列条件能判断△ABC ≌△DEF 的是( )（A ）∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=∠E （B ） ∠A=∠D,AB+AC=DE+DF（C ）∠A=∠D, ∠B=∠E,AC=DF （D ）∠A=∠D,AC=DF,BC=EF20．某同学把一块三角形的玻璃打碎成如图13－2－14的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）（A ）带①去 （B ） 带②去（C ）带③去 （D ）带①和②去二、你能把正确的结果填在题中横线上吗？21．判定两个三角形全等，依定义必须满足______________________________________.22．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成_____________或________________.23．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成_______________或___________.28．如图，在下列横线上写出要判定△ABD ≌△ACE ，除去公共角∠A 之外，还需要的条件，并在括号内写出判定三角形全等的理由．（1）∠B=∠C ，AB=AC （ASA ）．（2）__________,_________（ ）．（3）__________,_________（ ）．（4）__________,_________（ ）．（5）__________,_________（ ）．（6）__________,_________（ ）．29．如图13-2-20，AE ＝CF ，DE ＝BF ，AB ＝CD ，F E ∠=∠，则AB 与CD 平行，小东给出的思考过程如下：在ADE ∆和CBF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠⇒∆≅∆⇒==⎪⎩⎪⎨⎧=⇒∆≅∆⇒∠=∠=BA DC CDBABD CDB ABD DB BD CB AD BF DE CBF ADE F E CF AE 第一步的理由是_______________；第二步的理由是_______________；第三步的理由是_______________；第四步的理由是_______________；第五步的理由是_______________.30．如图13-2-21，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ，（1）若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF_____________ (填“全等”或“不全等” ）,根据_____________（用简写法）;（2）若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF_____________（填“全等”或“不全等” ）,根据_____________（用简写法）;（3）若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF_____________（填“全等”或“不全等” ）,根据_____________（用简写法）;（4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF_____________（填“全等”或“不全等” ）,根据_____________（用简写法）.图13－2－19 图13-2-2031．如图13-2-22，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：_____________理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC=_____________ °（垂直的定义）在Rt △_____________和Rt △_____________中⎩⎨⎧==_______________________________∴_____________ ≌ _____________（ ）∴∠_____________= ∠_____________（ ）∴__________________________ （内错角相等，两直线平行）32．如图13-2-23，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD ≌△BAC ，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据．（1）_____________ （ ）（2）_____________ （ ）（3）_____________ （ ）（4）_____________ （ ）三、你也可以给出正确的、合理的完整的解答过程的！33．已知：如图13-2-24 , 四边形ABCD 中 , AB=CD , AD=BC ．求证：△ABD ≌△CDB ．34．已知，如图13-2-25，AD ∥BC ，AD=CB ，说出△ADC ≌△CBA 的理由．35．已知，如图13-2-26，AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 的延长线上的一点，说出BE=CE 的理由．图13-2-23 图13-2-24 B C D 图13-2-25 D C A B36．已知，如图13-2-27，AB=CD ，BC=DA ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ，说出BF=DE 的理由．37．已知，如图13-2-28，AB=AC ，AD=AE ，1=2，说出△ABD ≌△ACE 的理由．38．如图13-2-29，已知AB=CE ，AB=DC ，∠B=∠C ．求证：△ABE ≌△DCF ．39．如图13-2-30，已知AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．40．如图13-2-31，已知AF=AE ，BE=CF ，求证：△AFB ≌△AEC ．F C B A D E 图13-2-27 21C E D AB 图13-2-28图13-2-29 图13-2-3041．如图13-2-33，CE⊥AB交AB于E，DF⊥AB交AB于F，CE=DF，AE=BF．求证：△CEB≌△DFA．图13-2-3342．如图13-2-34，B是AC中点，D是AE中点，且AC=AE．求证：∠C=∠E．图13-2-3443．如图13-2-35，△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于E，交BC延长线于D，连结AD，BF，CF=CD．求证：BF=AD，BF⊥AD．图13-2-3544．如图13-2-36，AD和BC相交于点O，BE⊥BC，BE=DF，∠ABC=∠CDA．求证：AB=CD．图13-2-3645．已知：如图13-2-37，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．求证：∠BAE=∠CAE．图13-2-3946.如图13-2-38，在ΔAFD 和ΔBEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个论断：（A ）AD=CB, （B ）AE=CF,（C ）∠B=∠D,（D ）AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程．(15分)已知：求证：证明：47.如图13-2-39，要测河流两岸相对两点A 、B 的距离（A 、B 两点不能直接测得），请写出测量步骤.应用与提高1．如图13-2-40（1），将△BEC 沿CA 边方向平等移动，可有如图（2），（3），（4）三种情形，在图（1）中，AE=CF ，AD//BC ，AD=CB ，可证△ADF ≌△CBE ．若其余条件不变，结论△ADF ≌△CBE 仍成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．A B C D E F 图13-2-38图13-2-402．如图13-2-41，延长AC至D，使DC=AC；延长BC至E，使EC=BC，求证AB=DE．利用本题思路请你设计一种测量底部不可到达的物体的宽度．图13-2-41数学链接每一个三角形都等腰吗？——你能找出毛病吗？(第1～3步参见图1)(1)取任意三角形△ABC．(2)令射线BD平分∠B．(3)作线段AC的垂直平分线．记射线BD与AC的垂直平分线交于E点．记F为垂直平分线与线段AC的交点．(第4～12步参见图2)(4)从E点作线段AB和线段BC的垂线，记EG和EH为各自的垂线段．(5)如图连接线段AE和EC．(6)△BGE≌△BHE(SAA)——∠1=∠2，因为∠B被平分(第2步)；∠BGE＝∠BHE，因两者均直角(第4步)；|BE|＝|BE|，恒等．(7)|GE|＝|HE|，因为△BGE≌△BHE(第6步)．(8)|AE|＝|EC|，因为线段EF是线段AC的垂直平分线，在它上面的任意点到A，C等距离．(9)△AGE≌△CHE，因为它是直角三角形，而且斜边和一组对应的直角边全等(第7，8步)．图13－3－ 2 图13－3－1 b)|BG|＝|BH|，因为它们是全等三角形的对应部分．(第6步)(11)|AB|＝|BC|，第10步等量相加．∴(12)△ABC 是等腰三角形(第11步)．ΔABC 并非“每一个三角形”．图中的第3步作了一个错误的假定，即假定对任意的三角形射线BD 与直线EF 交于三角形内部．一般情况并非这样．13.3角的平分线【学习导航】目标点击1.经历探究角的平分线的性质定理与判定定理的过程，加深对这两个定理理解.2.会应用角平分线的两个定理解决线段或角相等的问题.3.会应用数学的建模思想，解决实际问题.知识点拨1.角平分线的这两个定理一个是性质定理，一个是判定定理，要注意区分它们的不同.2.能够从实际问题中发现数学问题，并用数学知识来解决问题.例1．如图，要在两条公路的中间建一座货场，位置选在到两条公路的距离相等，并且到两条公路交叉点A 处的距离为2㎝（图上距离），请你找出图中货场的位置，并说明理由.解：画出∠BAC 的平分线AD ，在AD 上量出AP ，使AP=2㎝，点P 就是货场的位置.点拨：在实际生活中，经常用到角平分线的性质定理.解决此类问题的关键是从实际问题中构造出数学模型，转化为数学问题，然后用数学知识来解决.例2 如图，△ABC 中，AD 是角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足分别为E 、F ．求证：EB=FC ．证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ；∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠AED=∠AFD=900，∴DE=DF.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，,,BD CD DE DF =⎧⎨=⎩∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF.点拨：要充分利用角平分线这一条件，得到DE=DF 这一隐含条件.【实习园地】一、看看你的判断力．( )1.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB.( )2.到角两边距离不相等的一点一定不在角平分线上.( )3.三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等.二、你能把正确的结果填在题中横线上吗？图13－3－ 3图13－3－4图13－3－ 55.三角形三内角平分线_________，该点到三边的距离__________.6.点P 在∠MON 的角平分线上，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，PA+PB=12，则PA=______，PB=______.7.△ABC 中,∠A=900 ,∠B 的平分线交AC 于D, DE ⊥BC 与E,若E 恰好是BC 的中点时, AD_______DE ．三、你能把惟一正确的结论的代号填在题后括号内吗？8. D 点到△ABC 的两边AB 、AC 的距离相等，则D 点在（ ）.（A ）BC 边的中线上 （B ）BC 边的高线上（C ）BC 边的垂直平分线上 （D ）∠A 的平分线所在的直线上9.P 、Q 为∠AOB 内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=13∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，QN ⊥OB 于N ，PQ ⊥OP ，则下面结论正确的是( ).（A ）PM ＞QM （B ）PM=QN （C ）PM ＜QN （D ）PM=PQ10.下列关于三角形角平分线的说法错误的是( ).（A ）两角平分线交点在三角形内 （B ）两角平分线交点在第三个角的平分线上（C ）两角平分线交点到三边距离相等 （D ）两角平分线交点到三顶点距离相等11.已知：如图13-3-3,△ABC 是等腰直角三角形,∠A ＝90°,BD 是∠ABC 的角平分线,DE BC 于E,若BC ＝10cm,则△DEC 的周长为 （ ）.（A ）8cm （B ）10cm （C ）12cm （D ）14cm四、你也可以给出正确的、合理的完整的解答过程的！13.已知：如图13-3-4,AD 平分∠BAC,∠C=90°, DE ⊥AB , BC=8cm , BD=5cm,求DE 的长度.14. 已知：如图13-3-5，OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA=OB ，P 为OA 上一点，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ．求证：PM=PN.15. 如图13-3-6,O 为∠BAC 的平分线上一点,过O 作AB,AC 的垂线分别交AC,AB 于C 、B,垂足为D 、E ．求证：AB=AC图13－3－4图13－3－616．已知：如图13-3-7，AB=AD，∠B=∠D．求证：AC平分∠BCD．图13－3－717．已知：如图13-3-8，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，BE=AE．求证：CM=AB．图13－3－818．已知：如图13-3-9，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD⊥EF．图13－3－919.如图13-3-10，P为∠AOB内一点，OA=OB，且△OPA与△OPB面积相等，求证∠AOP=∠BOP.图13－3－1020.如图13-3-11，AB=AC，AD=AE，BD、CE交于O，求证AO平分∠BAC.图13－3－11【应用与提高】如图13-3-12，某铁路MN和公路PQ相交于点O，且交角为90°,某仓库G在A区，到公路、铁路距离相等(即G在∠NOQ的平分线上)，且到公路与铁路的相交点O的距离为200m.(1)在图上标出仓库G的位置(比例尺1∶10000,用圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)：(2)求出仓库G到铁路的实际距离.图13－3－12数学链接磬折形尺如何三等分一个角三等分一个角是引起许多数学发现的古老的三大不可能作图题之一．虽然仅仅用圆规和直尺不能把一个角三等分，但是可用被希腊人称做磬折形尺的工具达到这目的．磬折形尺可用来作出和确定直角．古希腊人用它来三等分一个角的方法如下：第1步：用磬折形尺作一直线，平行于角的一边；第2步：如图所示．内侧经过角的顶点．第4步：作虚线以形成3个三角形．由斜边和直角边知△PCB ≌△PAB ．由两边夹一角知△PCB ≌△PCD ．于是△PCB ≌△PCD ≌△PAB ，因此∠1 ≌∠2≌∠3，即∠P 被三等分了．实习平台一、你能把惟一正确的结论的代号填在题后括号内吗?1.下列说法错误的是（ ）（A ）全等三角形的对应角相等 （B ）全等三角形对应边相等（C ）全等三角形的面积相等 （D ）面积相等的三角形一定全等2.如图3-1，已知△ABC ≌△DEF ，则图中相等的线段有（ ）对.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43.如图3-2，只要（ ），就可以推出△ABC ≌△ADC.（A ）AB=AD ，∠B=∠D （B ）AB=AD ，∠BAC=∠DAC（C ）AB=AD ，∠ACB=∠ACD （D ）AB=AD ，BC=AC4.如图3-3，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 与BD 相交于点E ，下面结论不正确的是（ ）（A ）∠DAE=∠CBE （B ）△DAE ≌△CEB（C ）CE=DA （D ）△EAB 是等腰三角形.5.如图3-4，已知AB//DC ，AD//BC ，BE=DF ，则图中全等的三角形有（ ）对.（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66.如图3-5，∠1=∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ，下列结论错误的是（ ）（A ）PD=PE （B ）OD=OE （C ）PD=OD （D ）∠DPO=∠EPOB EC FD A 图3-1图3-2 BA CD EF OE 图3-3 图3-4 )1)2图3-5图3-7（A ）AB=DE （B ）BC=EF （C ）AB=EF （D ）∠C=∠D8.下列各组图形中，一定全等的是（ ）.（A ）各有一个角是300的两个直角三角形（B ）各有一个角是300，腰长为5cm 的两个等腰三角形（C ）两个等边三角形（D ）斜边相等的两个等腰直角三角形9.使两个直角三角形全等的条件是（ ）（A ）一锐角对应相等 （B ）两锐角对应相等（C ）一条边对应相等 （D ）斜边和一锐角对应相等10. 如图3-6，点P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别是D 、E 、F ，且PE=PF ，则P 点一定在（ ）的平分线上.（A ）∠A （B ） ∠B （C ） ∠C （D ）∠A 、∠B 和∠C 11. 下列说法中不正确的是（ ）（A ）等腰三角形和等边三角形不可能全等 （B ）锐角三角形和直角三角形不可能全等（C ）直角三角形和斜三角形不可能全等（D ）锐角三角形和钝角三角形不可能全等12. D 是∠BAC 的角平分线上的一点，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足分别为E 、F ，那么下列结论中错误的是（ ）（A ）DE=DF （B ）AE=AF （C ）BD=CD （D ）∠ADE=∠ADF13. 如果两个三角形有两个角对应相等，下列说法正确的是（ ）（A ）两个三角形全等（B ）两个三角形一定不全等（C ）如果还有一个角相等，两个三角形全等（D ）如果还有一对等角的平分线相等，两个三角形就全等14. 根据下列条件，画三角形，不能唯一确定三角形的是（ ）（A ）已知三个角 （B ）已知三边（C ）已知两角和夹边 （D ）已知两 边和夹角15.下列说法（1）有两个角和一边对应相等的两个三角形全等，（2）一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，（3）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，（4）全等三角形面积、周长相等，其中正确的说法有（ ）个.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）416.如图3-7，在∠AOB 的两边上截取AO=BO ，CO=DO ，连结AD 、BC 交于点P ，则下列结论①△AOD ≌△BOC ，②△APC ≌△BPD ，③点P 在∠AOB 的平分线上，其中正确的是（ ）.（A ）只有① （B ）只有②（C ）只有①和② （D ）①、②、③二、你能把正确的结果填在题中横线上吗? 17.如图3-9，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数是_____.A B C D E F 图3-6 图3-1018.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，如图3-10，则CD 等于__________________.19.如图3-11，△ABC 中，∠A=36º,∠C=72°，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形有 个20.如图3-12，AB=AC ，AD=AE ，图中全等的三角形有_____________对.21.如图3-13，点F 、C 在线段BE 上，且∠DFE=∠ACB ，BF=CE ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件_________________________.22. 如图3-14，在Rt △ABC 中，∠C=900，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD=n ，AB=m ， 则△ABD 的面积是_______________.23.在∠ABC 和∠A/B/C/中，已知AB=A/B/，∠B=∠B/，求证△ABC ≌△A/B/C/，还需已知____________ 或_____________ 或 ________ ，根据是____________________________________________________________________________.三、你也可以给出正确的、合理的、完整的解答过程的！24.已知：如图3-15，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB. 求证：AB=DC.25.已知：如图3-16，AB=DC ，AE=DF ，CE=FB ，求证：AF=DE ．A B C D 图3-11 图3-12 图3-13 图3-14A B C D12图3-15A B C D F E 图3-1626.已知：如图3-17，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：BE ⊥AC.27.已知：如图3-18，AB=DE ，BC=EF ，CD=FA ，∠A= ∠D ．求证：∠B= ∠E ．28.已知：如图3-19，在△ABC 中，∠ACB=90°，延长BC 到D ，使CD=CA ，E 是AC 上一点，若CE=CB ．求证：DE ⊥AB ．29.如图3-20，已知∠C=900 ，∠1=∠2，若BC=8，BD=5，求D 到AB 的距离．30.如图3-21，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF=180°．求证：DE=DF.A B C D E F12图3-17 图3-18图3-19 A B C D F E 第6题图 A B C 1 2 D第29题图 图3-20A B C E FD图3-2131.如图3-22，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证：AB+BD=AC.32. 已知：如图3-23，△ABC 中，BD 、CE 是两条高，D 、E 是垂足，BD=CE.求证：AB=CD33.已知：如图3-24，△ABC 和△CDE 都是等边三角形求证：AD=BE34.如图3-25，AD 、A /D /分别是△ABC 和△A/B /C /中BC 、B /C /边上的高，且AB=A /B /，AD=A /D /， 若使△ABC ≌△A /B /C /，还需要补充什么条件？请说明理由.35．两个大小不等的等腰直角三角形（AB=BC ，EC=DC ，∠ACB=∠ECD=900）拼在一起（如图3-26），你能说出线段BE 、AD 的关系吗？A B C D 图3-21 AB C D E 图3-23 ABC D E 图3-24 A B C D A / B / C / D / 图3-25图3-2636.如图3-27，△ABC中，AB＞AC，AD是角平分线，P为AD上任意一点，求证：AB－AC＞PB－PC．图3-2737.如图3-28，已知△AFD和△BEC，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：①AD=CB，②AE=CF，③∠B=∠D，④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论，编写一道数学问题，并写出解答过程.图3-28答案部分第十三章全等三角形13.1全等三角形实习园地一、CBCAD BCBCC B二、12．∠ACD. 13．AD=BE，DC=CE. 14．略.15．略. 16．700，EF. 17．△ACD，等边三角形. 18．470，25. 19．12，8，12.三、20．900，650 . 21．550，D，翻折. 22．略. 23．96039/，10㎝. 24.550.应用与提高（1）旋转与平移.（2）略.13.2三角形全等的条件实习园地一、CCDBC ABCDD CDBCB ADCCC二、21．三条边对应相等，三个角对应相等. 22．角边角，ASA. 23．角角边，AAS. 24．AD，∠DAE，SAS. 25．AE，AD. 26．350 . 27．HL，590 . 28．AC，AD，SAS. 29~32．略.13.3角的平分线一、√√×二、4.距离，集合. 5.相交，相等. 6.6，6. 7.=.三、DBAB应用与提高（2）140米.实习平台一、1.D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C 11.C 12.C 13. D 14.A 15.D 16.D二、17.30018.7419.3 20.4 21. ∠B=∠E（答案不唯一）22.12mn23.略三、29.3 35.BE=AD，BE⊥AD 其余各题略.。