等差数列 专项练习题及解析

等差数列 专项练习题【重温课标】1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．体会等差数列与一次函数的关系．【解读考情】1．运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．在解答题中对所求结论的运算进行等差数列的判断与证明．3．在具体情景中能识别具有等差关系的数列，并会用等差数列的性质解决相应问题．【知识点归纳】一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：①a n ＝a 1＋(n －1)d ；②a n ＝a m ＋(n －m )d ．3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2．4．a ，b 的等差中项A ＝a ＋b 2．【温馨提示】1．若已知首项a 1和公差d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ．2．若已知末项a n 和公差d ，则S n ＝na n －12n (n －1)d ．【方法规律总结】证明、判断{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2) ⇔ {a n }为等差数列；(2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 ⇔ {a n }为等差数列；(3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔ {a n }为等差数列；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2．（注意：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．）二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ．(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd ．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列，公差为2m d ．例1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________．【解析】因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，所以S 30－30＝10＋2×10＝30，所以S 30＝60．(4){}n S n 成公差为2d 的等差数列．例2．记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝()． A ．12B ．2C ．3D ．4 【解析】解法一 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1，即a 1＋d －⎝⎛⎭⎫a 1＋d 2＝1，所以d ＝2．选B ．解法二 利用结论(4) 可以秒解．例3．(新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝()．A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解法一 因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2＝0，①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2， ②由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5．解法二 因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5．经检验为原方程的解．故选C ．(5)d ＝a n －a m n －m ＝f (n )－f (m )n －m ．（即在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔ a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．）(6)项数为偶数2n 的等差数列{a n }，设S 奇，S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)(a n 与a n ＋1为中间的两项)；②S 偶－S 奇＝nd ；（即 n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n 2d )；③S 奇S 偶＝a n a n ＋1．(7)项数为奇数(2n －1)的等差数列{a n }，则：①S 2n －1＝(2n －1)a n (a n 为中间项)；②S 奇－S 偶＝a 中；③S 奇S 偶＝n n －1．(8)在等差数列中，若a p ＝q ，a q ＝p ，则a p ＋q ＝0；(9)在等差数列{a n }中，若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )．【解析】设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝m ，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n .①②②－①得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2·d ＝n －m ，因为m ≠n ，所以a 1＋m ＋n －12d ＝－1．所以S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n )．(10)首项和公差都为d 的等差数列，则a n ＝nd ．三、等差数列与一次函数的区别与联系等差数列一次函数解析式a n ＝kn ＋b (n ∈N *) f (x )＝kx ＋b (k ≠0)不同点定义域为N *，图象是一系列孤立的点 (在直线上)，k 为公差 定义域为R ，图象是一条直线， k 为斜率相同点数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k ≠0时，数列a n ＝kn ＋b (n ∈N *)图象所表示的点均匀分布在函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的图象上②k ＞0时，数列为递增数列，函数为增函数③k ＜0时，数列为递减数列，函数为减函数注意：等差数列在d ≠0时，a n ＝dn ＋(a 1－1)是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；前n 项和公式S n ＝na 1＋12n (n －1)d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，其形式为：S n ＝An 2＋Bn 中，其中A ＝d 2，即d ＝2A ，即： S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d 2，且常数项为0，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．【规律方法总结】求等差数列前n 项和的最值的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1＞0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大． (3)邻项变号法：①a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . 【例题示范】例1．(辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝()A ．58B ．88C ．143D ．176【解析】解法一 设数列{a n }的公差为d ，则a 4＋a 8＝16，即a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝16，即a 1＝8－5d ，所以S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(8－5d )＋55d ＝88－55d ＋55d ＝88．解法二 由a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，得 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88．例2．(多选)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( )A ．a 1＋a 3＝0B ．a 3＋a 5＝0C ．S 3＝S 4D ．S 4＝S 5【解析】由S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选BC. 例3．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10．例4．(多选) 设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.a 6＋a 8＝a 5＋a 9＝2a 7＝0，所以S 5＝S 9，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．选ABD ．例5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．【分析】由a 1＝20及S 10＝S 15可求得d ，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号．【解析】解法一 因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53． 所以a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653．令a n ≥0得n ≤13，即当n ≤12时，a n ＞0；n ≥14时，a n ＜0．所以当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为 S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130．解法二 同解法一得d ＝－53．又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0．所以5a 13＝0，即a 13＝0．所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130．解法三 利用S n ＝An 2＋Bn ，由二次函数图象对称性知道对称轴为10152522x +==，所以当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130．例6．(浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |．【解析】(1) 由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4．所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)．(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ．因为d ＜0，由(1) 得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110．综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.【其他规律】(1)如果数列{a n }满足a n ＋a m ＝a n ＋m ，数列{a n }是首项和公差都为a 1等差数列，所以a n ＝na 1．(2)如果S n ＋S m ＝S n ＋m ，则{ S n }是首项和公差都为a 1等差数列，所以S n ＝na 1，a n ＝a 1．例7．(多选)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m (m ，n ∈N *)且a 1＝6，那么a 10＝()A ．S 1＝6B ．S 10＝60C ．a 10＝6D ．a 11＝54【解析】由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10．又由于a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝6，故a 10＝6，S 10＝60．选ABC ．例8．(多选)已知数列{a n }满足：a n ＋a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)且a 1＝6，那么a 10＝( )A ．S 1＝6B ．a 10＝60C ．S 10＝60D ．a 11＝66【解析】显然S 1＝6，由a n ＋a m ＝a n ＋m ，得a n ＝na 1＝6n ，故a 10＝60，a 11＝66．选ABD ．。