新人教版22.3实际问题与二次函数(第1课时)之面积问题
Q
1 解（1）根据题意得 y x 18 2 x 2
A
b 9 9 , 而 0 x4 （2）∵ x 2a 2 1 2
∴ΔPBQ的面积的最大值是 20 cm2
得二次函数 y= -x 2 + 9x （ 0 < x≤ 4 ）
P
B
当 x=4时，y值最大. 最大值 y=-42 +9×4=20
解：由题意，得： 即s与x之间的函数关系式为： s=－0.5x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30
又由题意，得： 解之，得： ∴当x ≤ 30时，s随x的增大而增大。 ∴当与墙平行的一边长为28米，另一边长为16米 时，围成的矩形面积最大，其最大值是448米2。
归纳探究，总结方法
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高） 点，当 b x 2a 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 4ac b 2 y ． 4a 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际 意义，确定自变量的取值范围. 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大 值或最小值.
第1课时
——二次函数与图形面积问题
建水十一中 白永华
学习目标
1.能根据实际问题列出函数关系式； 2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数 自变量x的取值范围； 3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问 题，培养分析问题、解决问题的能力，提 高应用数学的意识。
1．创设情境，引出问题
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小 球最高？小球运动中的最大高度是多少？ b 30 t 3， 2a 2 （ 5） 2 2 4ac b 30 h 45． 4a 4 （ 5） 小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m．
5 10 15 20 25 30
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
牛刀小试
2、现要用60米长的篱笆围成一个矩形（一 边靠墙且墙足够长）的养鸡场地。设矩形 与墙平行的一边长为x米，应怎样围才能使 矩形的面积s最大。请设计出你的方案并求 出最大面积。
结合问题，拓展一般
如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当
b x 2a 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 4ac b 2 y ． 4a
2．例题精讲
例1：一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与 1 2 2 5 水平距离x（单位：m）之间的关系是 y x x 12 3 3 求铅球推出的距离。
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 4ac b 2 是 4a 。
基础回顾
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最小 值是 5 。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= -4 时，函数有最 大 值，是 -1 。 5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点 坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 。
6．课堂小结
（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其 解决实际问题？ （2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学 到了哪些思考问题的方法？
4、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， 点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度 移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以 2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达 B、C两点后就停止移动，回答下列问题： D C （1）运动开始后第几秒时， △PBQ的面积等于8cm2 Q （2）设运动开始后第t秒时， 五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； B A P t为何值时S最小？求出S的最小值。
1 2 2 5 解： 当 y 0 ,即 x x 0 12 3 3 解得: x1 10 , x2 2 （不合题意，舍去）
铅球推出的距离为10 m .
跟踪练习
1、某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面 为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在 2 空中划出的曲线是抛物线 y x 4x （单位：m） 的一部分，则水喷出的最远距离是多少？
解： 当 y 0 , 即 x 4x 0
2
解得: x1 4, x2 0 （不合题意，舍去）
水喷出的最远距离是 4 m .
探究1
• 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积s随 矩形一边长a的变化而变化，当a是多少时，场地的 面积s最大？
解：矩形的场地的周长是60m，一边长为a，则另一边长 为（
基础回顾
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
b x 轴是 2a
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
b 4ac b 2 2a , 4a . 当a>0时，抛 ，顶点坐标是 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
跟踪练习
3、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P，Q分别从 点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm 的速度匀速 运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm 的速度匀速运动，设运 动时间为x 秒，Δ PBQ的面积为y(cm2) （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x的取值范围； D C （2）求Δ PBQ的面积的最大值。
解：由题意，得： 即s与x之间的函数关系式为： s=－0.5x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30 又由题意，得：
解之，得： ∴当x=30时，s最大值=450 ∴当与墙平行的一边长为30米，另一边长为15 米时，围成的矩形面积最大，其最大值是450米2。
跟踪练习
3、 现要用60米长的篱笆围成一个矩形 （一边靠墙且墙长28米）的养鸡场地。设 矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才 能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案 并求出最大面积。
60 2
- a）依题意得：
S=a(30-a) 即s=-a2+30a (0＜a＜30)
怎样确定自变量的取值范围？
画出这个函数图象如下图：
b 当a=2a
200
=-
30 2 (1)
=15
2
2 30 时，S有最大值4ac b = =225 4a 4 (1)
100
也就是说，当a是15m时， 场地的 面积s最大。
22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的最大面积课件人教版数学九年级上册
试一试 求自变量的取值范围.
解得 21≤x＜30
变问题2 当21≤x＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，
式S取得最大值？
y
450
训 当21≤x＜30时，S随x的增大而减小;
练
当x＝21时，S取得最大值，
此时S＝－2×(21－15)2＋450＝378m2.
注意：实际问题中求解二次函数最值问 题时，需要结合自变量的取值范围，不 一定都是在顶点处取得最值.
堂
y
练
习
200
∵0＜20＜25
∴当x＝20时，绿化带的面积取 得最大值，最大值为200m2.
O
20 25
x
课 5. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用 堂 每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2). 练 (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 习 解：设矩形一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.
∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x,(0＜x＜6)
课 (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
堂 解：把 S＝x(6－x)＝－x2＋6x (0＜x＜6)化为顶点式得
练
习
S＝－(x－3)2＋9 (0＜x＜6)
∵0＜3＜6
∴当x＝3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
矩形菜园的面积S＝
x(60－2x)＝－2x2＋60.x
想一想 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
变 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为(60－2x)m. 式 ∴矩形菜园的面积 S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. y
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数(第一课时图形面积问题)课件(新版)新人教版
自变量x的取值范围:6≤x<15 依题意得:y=x（30-2x） 整理得:y=-2x2+30x
A
D
x
x
B 30-2x C
x b 30 15 7.5 y 2 7.52 30 7.5 112 .5 2a 2 (2) 2
因为a 2 0，所以x 7.5时，矩形菜园有最大面 积112 .5平方米
A.12厘米，6平方厘米
B.10厘米，5平方厘米
C. 8厘米，32平方厘米 D.6厘米，18平方厘米
灵活运用
3.某广告公司设计一幅周长为12米的 矩形广告，广告设计费为800元/m2， 设矩形一边长为x米.请设计一个方案， 使获得设计费最多，并求出这个费用.
灵活运用
4.用一段长30米的篱笆围成一个一边靠 墙，墙长为18米,中间隔有一道篱笆的矩 形菜园.这个矩形菜园的长、宽各为多少 时菜园的面积最大，最大面积是多少？
第二十二章
22.3实际问题与二次函数
第1课时 图形面积问题
复习巩固
填空：
(1) y 3(x 1)2 3
顶点坐标：(1,3) . 对称轴：直线x=1 . 图象（抛物线）开口： 向下 当x =1 时，函数有最大值y=3.
复习巩固
填空：
(2) y x(x 2)
顶点坐标：(1,-1) . 对称轴：直线x=1 . 图象（抛物线）开口： 向上
A
ED
B
C
F
灵活运用
5.为了改善小区环境，某小区决定要在
一块一边靠墙,墙长为20米的空地上修
建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为40米的栅栏围住.若绿
化带的BC长为x米，请求当x为何值时，
人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数面积问题优秀教学案例
4.结合学生的兴趣和经验，设计富有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，提高数学素养。
（二）问题导向
1.引导学生发现生活中的问题，将其转化为数学问题，激发学生的思考。
2.设计具有逻辑顺序的问题，引导学生逐步深入，提高学生的思维能力。
3.通过提问，引导学生反思自己的学习过程，培养学生的自我监控能力。
2.学生通过归纳总结，提高对二次函数的理解，为后续学习打下基础。
3.教师对学生的讨论成果进行点评，给予肯定和鼓励，增强学生的自信心。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
2.要求学生撰写作业心得，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，提高自我监控能力。
3.通过解决实际问题，让学生进一步理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学素养。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际问题中的应用，帮助学生建立直观的数学模型。
3.强调团队合作，让学生在合作交流中，培养良好的沟通能力和团队协作精神。
4.通过对实际问题的解决，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数.结合生活实际，设计具有代表性的例子，让学生在具体的情境中，感受到二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体手段，展示二次函数图象，使学生能够直观地理解二次函数的性质。
（三）学生小组讨论
1.学生分组讨论，每组选择一个实际问题进行研究，尝试运用二次函数的知识解决问题。
22.3实际问题与二次函数--共3课时(整理)
列表分析2: 总利润=单件利润×数量
总利润=单件利润×数量 (60-40+x) (300-10x)
请继续完成.
利润 6000
探究2.已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10 件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最 大利润？ 分析与思考： 在这个问题中，总利润是不是一个变量？ 如果是，它随着哪个量的改变而改变？
y
6 4 2
0
-4 -2 2
x
探究新知
探究1:某水产养殖户用长40m的围网，在水库中 围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面 面积最大，它的长应是多少米？
解：设矩形的长为xm，则宽为（20-x)m，根据 题意得： y=x(20-x)=-x2 +20x （0＜x＜20)
∵a= -1＜0 ∴当x= -b/2a =10时，y最大=100m2 .
∴此球不能投中
y ax 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
探究延伸:
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
①在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手 高度为多少时能将篮球投入篮圈?
B
2.2
F
0.7
E x D
CO
0.4
1.如图，一单杠高2.2米，两立柱 之间的距离为1.6米，将一根绳子 的两端栓于立柱与铁杠结合处， 绳子自然下垂呈抛物线状。一身 高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处， A 其头部刚好触上绳子，求绳子最 低点到地面的距离。
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。
但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。
因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。
三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.学会利用二次函数解决实际面积问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。
3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。
2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。
3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。
3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
人教版九年级数学上22.3_实际问题与二次函数(1)最大面积问题课件(20PPT)
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
当x=0 时，ymax=1
问题 从地面竖直向上抛出一个小球，小球 的高度 h (单位：m)与小球的运动时间 t (单 位：s) 之间的关系是 h=30t-5t² (0≤ t ≤6).
小球运动的时间是多少时，小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？
t2ba2 （ 30 5） 3，
h4ac4a b24 （ 30 25） 45．
思考3 如图，△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从 A 开始沿AB 边向 B 以 1 cm/s的速度移动；点 Q 从 B 开始沿BC 边 向 C 以 2 cm/s的速度移动.
如果 P、Q 同时出发，经过几秒钟， △PQB 的面积最大？最大面积是多少？
解：设△PBQ 的面积为 S (cm2) P、Q移动时间为 t (s)
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当 x 取何值时，所 围成花圃的面积最大？ 最大值是多少？
x xx
(3) 若墙的最大可用长 度为 8m，求花圃最大 面积.
24-4x
思考2 在一面靠墙的空地上用长为 24 m的篱笆， 围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃. 设 花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2. (1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值 范围；
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
22.3 实际问题与二次函数(第一课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第一课时），内容包括：利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题． 2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2ba时，函数有最小(大)值244ac b a －．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？1）y=6x2+12x 2）y=－4x2+8x－10师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，为本节课学习利用二次函数解决抛掷问题与几何图形最值进行铺垫．（二）探究新知【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t－5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？生：小球运动的高度h和小球运动的时间t两个变量之间的关系．师：结合题目内容，你觉得小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？生：小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．师：小球的运动时间是多少时，小球最高呢？生：结合已学二次函数知识回答问题.师生活动：教师引导学生，得出如下结论：画出函数的图像h=30t－5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿
人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要讲述了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形的关系，引导学生利用二次函数解决实际问题。
本节内容是学生在学习了二次函数的基本性质和图象特征之后，进一步拓展和加深对二次函数的理解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的基本概念、性质和图象特征有了初步的认识。
但是，对于二次函数在几何图形中的应用，以及如何利用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导他们通过自主学习、合作交流等方式，逐步掌握二次函数与图形面积问题的解决方法。
三. 说教学目标1.理解二次函数与几何图形的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征。
2.学会利用二次函数解决图形面积问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的合作交流意识，提高学生的数学思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数与几何图形的关系，二次函数图象上点的坐标特征。
2.难点：如何利用二次函数解决图形面积问题，以及在不同情境下选择合适的方法。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索二次函数与图形面积问题的解决方法。
2.利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观展示二次函数图象与几何图形的关系，帮助学生更好地理解知识点。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际问题，引导学生关注二次函数与图形面积问题的关系，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生回顾二次函数的基本性质和图象特征，为本节课的学习打下基础。
3.合作交流：引导学生分组讨论，探讨如何利用二次函数解决图形面积问题，分享各自的解题方法。
4.讲解演示：教师对学生的讨论进行点评，总结二次函数与图形面积问题的解决方法，利用多媒体课件进行演示。