数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第一二章
数值分析简明教程课后习题答案(第二版)
0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第四章
x0
x
lim
x0
3x02x 3x2 x0 x
x3
3x02 ;
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
第四章 微商与微分
第一节 微商的概念及其计算
1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B(2, 4)点的切线方程和法线方程。
解：函数y x2的导函数为y ' 2x,则它在A(1,1), B(2, 4)的切线斜率分别为
y '(1) 2, y '(2) 4;
于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1, y 4x 4.
由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1, 故可以求得在这两点的法线斜率分别为
k1
1 2
,
k2
1； 4
那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y 1 x 3 , y 1 x 9 . 22 42
2.若S vt 1 gt2,求 2
(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设t 1, 0.1, 0.01); (2)在t 1的瞬时速度。 解：(1)可以求得
x
令
lim f (3 x) f (3) lim a(3 x) b 32 lim 3a a x b 9 6,
x0
x
x0
x
x0
x
那么必有
解得：a 6,b 9.
3a b 9 0 a 6
数学分析简明教程答案
第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。
解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。
数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)
即
un vn un vn .
n 1 n 1 n 1
D
4.设级数 un 各项是正的, 把级数的项经过组合而得到的新级数 U n ,即
n 1 n 1
U n 1 ukn 1 ukn 2 ukn1 , n 0,1, 2, , 其中k0 0, k0 k1 k2 kn kn 1 . 若级数 U n收敛,证明原来的级数也收敛。
(2)
n 1
1 4n 2 1
1 1 1 2 n 1 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 2 n 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 . 2 n 2n 1 2
n
于是可得 Sn 由于 r 1,因此有
r
n 1
n
r cos x r 2 . 1 r 2 2r cos x
2.讨论下列级数的敛散性： (1) n ; n 1 2n 1
lim
n 1 0, 故原级数发散。 n 2n 1 2 由于级数 lim cos
第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1.证明：若微分方程xy '' y ' xy 0有多项式解 y a0 a1 x a2 x 2 an x n ; 则必有ai 0, i 1, 2, , n. 证明：若y a0 a1 x a2 x 2 an x n 微分方程的一个解, 那么 y ' a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y '' 2a2 6a3 x n(n 1)an x n 2 ; 于是可得 xy '' 2a2 x 6a3 x 2 n(n 1)an x n 1 xy a0 x a1 x 2 a2 x 3 an x n 1. 因此可知 xy '' y ' xy a1 (4a2 a0 ) x (9a3 a1 ) x 2 (n 2 an an 2 ) x n 1 an x n 0 那么由多项式相等可知有 a1 0 2 n an an 2 0 a 0 n 递推可知有ai 0, i 1, 2, , n成立。 n 2.
实变函数简明教程（邓东皋）新版答案
E(f
≥
c)
表示
{x
∈
E|f
>
c}
和
{x
∈
E|f
≥
c},
并令
En,k
=
E(fn
>
c
−
1 k
)，
试证
∩∞
∩∞
∩∞
limn→∞En,k = limn→∞En,k, E(f ≥ c) = limn→∞En,k.
k=1
k=1
k=1
证明： 由 limn→∞En,k ⊆ limn→∞En,k, 知
∩∞
∩∞
limn→∞En,k ⊇ limn→∞En,k;
且为偶
数时，有
0
>
1 n2
−
2x0
(−1)n
1 n
>
δ
>
−ε;
4
√
x0 < 0 时，令 n 取奇数，则 y = −x0 ±
x20 + δ,
则当
n>
√1
−x0− x20+δ
且
为奇数时，有
0
>
1 n2
−
2x0
(−1)n
1 n
>
δ
>
−ε
从而
limn→∞An ⊆ E2.
再证
limn→∞An ⊇ E2.
∀Q ∈ (x0, y0) ∈ E2, 即 x20 + y02 ≤ 1, 且 (x0, y0) ̸= (0, ±1), 若 x0 = 0, y02 < 1, 故
n
n
n=1
n=1
.
证明： 对任意正整数
数值分析简明教程课后习题答案
比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。
【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。
数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)
第九章 再论实数系§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+- 求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界： sup 3,inf 0;(5) sup 2,inf 1;12(6)cos ; sup 1,inf .132n n n n n n n n x x x x x n n x x x n π=====-===-+2.(),(1)sup{()}inf (); (2)inf{()}sup ().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.x Dx Dx Dx Dx Df x D f x f x f x f x A f x i x D f x A ii x D f x A i x D f x A ii εεε∈∈∈∈∈-=--=-=-∀∈-≤∀>∃∈->-∀∈≥-∀>设在上定义求证：证明：设即有对有 对使得 于是有对有 对0,().inf (),inf (),sup{()}inf ()x Dx Dx Dx Dx D f x A A f x A f x f x f x ε∈∈∈∈∃∈<-+-==--=-使得 那么即因此有成立。
(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup (),sup (),x Dx Dx DB f x i x D f x B ii x D f x B i x D f x B ii x D f x B B f x A f x εεεε∈∈∈=-∀∈-≥∀>∃∈-<+∀∈≤-∀>∃∈>---==-设即有对有 对使得 于是有对有 对使得 那么即因此有inf{()}sup ()x Dx Df x f x ∈∈-=- 成立。
数值分析简明教程课后习题答案
；
。
【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。
（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：
解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。
（3）令时等式精确成立，可解得：
即： ，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，，则
2、（p.96，习题25）设已给出的数据表，
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值，并估计误差。
【解】已知，用三点公式计算微商：
，
用余项表达式计算误差
3、（p.96，习题26）设，分别取步长，用中点公式（52）计算的值，令中间数据保留小数点后第6位。
；
（2），而，实际误差为：。
由,可知，则余项表达式
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
【解】构造残差xx函数如下：
，
分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：
：，
：，
解方程组（1）和（2），得
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如 的多项式，使之与下列数据相拟合。
，，取；
，，取；
【解】（1）；
（2）。
2、（p.124，题2）取，用xx方法求解初值问题，。
【解】xx格式：；化简后，，计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
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5.在半径为r得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数 的定义域。
h2 解：设其高为h, 那么圆柱的底面半径为R r ; 于是圆柱体积 4 2 V R h
2
hr 2
4
h3
由于圆柱为球的内接圆柱，故有h (0, 2r ).
-2-
6.某公交车路线全长为20 Km, 票价规定如下：乘坐5 Km以下(包含5 Km)者收费1元；超过 5 Km但在15 Km以下(包含15Km)者收费2元；其余收费2元5角。试将票价表示成路线的 函数，并作出函数的图像。 解：设y为票价,x为路程,则有 1 y ( x) 2 2.5 它的函数图像如下： x (0,5] x (5,15] . x (15, 20]
画图板作图
7.一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间t的变化规律为f (t ), 且三个角分别对应关 系f (0) 0, f (10) 20, f (20) 0, 求f (t )(0 t 20), 并作出函数的图形。 解：由题意可知所求函数为： 2t f (t ) 40 2t 其函数图像为：
2 2 2 2
(2). x1 x2 xn x1 x2 xn ; 证明：使用数学归纳法； i.对于x, y , 总有 x y xy, 于是有 x 2 x y y x 2 2 xy y 2 ; 整理后可得 x y x y ，即当n 2时所证成立。 ii.假设当n k时所证不等式也成立，即 x1 x2 xk x1 x2 xk . iii.当n k 1时,取y x1 x2 xk , 于是有： x1 x2 xk xk 1 y xk 1 y xk 1 x1 x2 xk xk 1 x1 x2 xk xk 1 即当n k 1时所证不等式也成立。 那么由数学归纳法可知题证成立。
第一章 绪论 第二章 函数
第一节 函数概念
1.证明下列不等式： (1) x y x y ; 证明：对于x, y , 总有 x y xy; 于是 x y xy. 又由于 x x 2 , y y 2 , 那么 x 2 x y y x 2 2 xy y 2 , 即( x y ) 2 ( x y ) 2 ; 开方后即得 x y x y .
x (3) y x 2 2 x
x 1 1 x 4 4 x x 1, 1 x 4, 4 x , x y x log x 2 y 1 1 y 16 16 y x 1 1 x 16 16 x . , 于是所求反函数为 .
2 2
(3). x1 x2 xn x x ( x1 x2 xn ). 证明：易知对于x, y , 总有 x y x y ; 于是可得 x1 x2 xn x x x1 x2 xn 又由于 x1 x2 xn x1 x2 xn ,因此 x1 x2 xn x x ( x1 x2 xn ).
1 在(0,1)上无界。 x2 12.试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一 故f ( x)
个偶函数的乘积是奇函数。 证明：i.设f ( x)与g ( x)是两个偶函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必有 F ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) F ( x). 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 ii.设f ( x)与g ( x)是两个奇函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必有 G ( x) f ( x) g ( x) f ( x)[ g ( x)] G ( x). 于是两个偶函数的乘积是偶函数。 iii.设f ( x)是一个偶函数，而g ( x)是一个奇函数，即有f ( x) f ( x), g ( x) g ( x).那么必 有 H ( x) f ( x) g ( x) f ( x)[ g ( x)] H ( x). 因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。
-5-
第二节 复合函数与反函数
1.设f ( x) 1 x , 求证f ( f ( x)) x. 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 f ( x) 2x 1 x 1 x x.得证。 证明：f ( f ( x)) 1 f ( x) 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x
(3). f ( x) cos
4
x; 2
解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为T (4). f ( x) tan x .
8.
4 解：由于函数 tan x的最小正周期为 ，故此函数的最小正周期也是 .
10.证明：f ( x)
x 在(, )有界。 x 1 证明：取M 6, 现证明对x (, )，都有f ( x) M 6.
30
t [0,10] t (10, 20]
25
20
15
10
5
-10
10
20
30
Mathematica 作图
-3-
8.判断下列函数的奇偶性： (1). f ( x) x4 x2 1 2 (2)f ( x) x sin x (3)f ( x) x 2 e x
2
偶函数； 奇函数； 偶函数； 非奇非偶函数。
a b a b a b a b ; min(a, b) . 2 2 2 2 a b a b a b a b a max(a, b); 证明：i.当a b时 2 2 2 2 a b a b a b ba b max(a, b). 当a b时 2 2 2 2 a b a b a b a b ii.当a b时 b min(a, b); 2 2 2 2 a b a b a b ba a min(a, b). 当a b时 2 2 2 2 a b a b a b a b 于是有 max(a, b) ,min(a, b) 成立。 2 2 2 2
由于Biblioteka a b 2 ab a (1 b ) b (1 a ) a b ,因此 1 a b ab (1 b )(1 a ) 1 a 1 b ab a b ab a b 2 ab a b . 1 a b 1 a b ab 1 a b ab 1 a 1 b
-4-
11.用肯定语气叙述函数f ( x)在(a, b)无界，并证明f ( x)
1 在(0,1)内无界。 x2 解：对于M 0, 总x (a, b), 使得 f ( x) M , 则f ( x)在区间(a, b)内无界。 对任意M 0, 取x0 1 (0,1), 显然有 1 M f ( x0 ) 1 M M .
-1-
2.求证
ab a b . 1 a b 1 a 1 b
x , 易知f ( x)是一个增函数。 1 x 容易证得 a b a b ab ,那么f ( a b ) f ( a b ab );即
证明：令f ( x)
ab a b ab 1 a b 1 a b ab
2.求下列的函数的反函数及其定义域： 1 1 (1) y ( x ),1 x ; 2 x 1 1 解：函数y ( x )，当1 x 时，有y (1, ). 2 x 1 1 由y ( x )可以反解出 2 x x 因为x (1, ), 故x y y 2 1. 于是原函数的反函数为f ( x) x x 2 1, x (1, ). (2) y 1 x x (e e ), x ; 2 2 y 4 y2 4 y y 2 1; 2
(4)f ( x) lg( x 1 x 2 )
9.判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1). f ( x) cos x 2 ; 解：设t是f ( x)的最小正周期，则应有f ( x t ) f ( x), 即 cos x 2 cos( x t ) 2 , 可得 x 2 2k ( x t ) 2 x 2 2tx t 2 . 即求方程2k 2tx t 2的解，显然没有一个非零常数满足方程。故原函数没有周期。 x x (2) f ( x) cos 2sin ; 2 3 x x 解：由于 cos 的最小正周期为4 ， sin 的最小正周期为6，取它们的最小公倍数。 2 3 即原函数的最小正周期为12 .
3.求证： max(a, b)
4.已知三角形的两条边分别为a和b，它们之间的夹角为，试求此三角形的面积s ( ), 并 求其定义域。 解：由题意可知在三角形中以边a为底的高h b sin , 于是有 s ( ) 显然在三角形中其中一角 (0,180 ). ab sin . 2
G ( x) F ( x) 还是偶函数， 还是奇函数，即得所证。 2 2
14.用肯定语气叙述：在(, )上 (1) f ( x)不是奇函数； (2) f ( x)不是单调上升函数； (3) f ( x)无零点； (4) f ( x)无上界。 (1)存在x0 (, )，使得f ( x0 ) f ( x0 ); 解： (2)存在x1 x2 (, )，使得f ( x1 ) f ( x2 ); (3)对任意x0 (, )，总有f ( x0 ) 0; (4)对任意的M 0, 总有x0 (, ), 使得f ( x0 ) M .
1 解：当x (, )时，可以解出y (, );由y (e x e x )可以整理出 2 x 2x e 2 ye 1 0； 于是可得解得e x y y 2 1,由于e x 0恒成立，于是有e x y y 2 1，即 x ln( y y 2 1). 因此原函数的反函数为f ( x) ln( x x 2 1), x (, ).