数学分析简明教程答案数分6_不定积分

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陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章不定积分【圣才出品】

第6章　不定积分6.1　复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。

（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。

2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。

（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。

2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。

三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。

若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。

（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。

这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。

对作变量代换，则。

数学分析不定积分 6-4

Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 A B x3 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x , ax b ), R( x , ). cx e
n
n
解决方法作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 1 x 令 t2, t x x
1 x 2 , t 1
dx
t
2tdt
2
1
解（二）修改万能置换公式, 令 u tan x
u 1 sin x , dx du, 2 2 1 u 1 u 2 1 1 1 1 u sin 4 x dx u 4 1 u 2 du u4 du 2 1 u
1 1 1 3 3 C cot x cot x C . 3u u 3
1 sin x dx . 例9 求积分 sin 3 x sin x
A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
1 dx . 例11 求积分 3 x 1 x 1

高等数学不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第一二章

5.在半径为r得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数的定义域。
h2 解：设其高为h, 那么圆柱的底面半径为R r ; 于是圆柱体积 4 2 V R h
2
hr 2

4
h3
由于圆柱为球的内接圆柱，故有h (0, 2r ).
-2-
6.某公交车路线全长为20 Km, 票价规定如下：乘坐5 Km以下(包含5 Km)者收费1元；超过 5 Km但在15 Km以下(包含15Km)者收费2元；其余收费2元5角。试将票价表示成路线的函数，并作出函数的图像。解：设y为票价,x为路程,则有 1 y ( x) 2 2.5 它的函数图像如下： x (0,5] x (5,15] . x (15, 20]
画图板作图
7.一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间t的变化规律为f (t ), 且三个角分别对应关系f (0) 0, f (10) 20, f (20) 0, 求f (t )(0 t 20), 并作出函数的图形。解：由题意可知所求函数为： 2t f (t ) 40 2t 其函数图像为：
2 2 2 2
(2). x1 x2 xn x1 x2 xn ; 证明：使用数学归纳法； i.对于x, y , 总有 x y xy, 于是有 x 2 x y y x 2 2 xy y 2 ; 整理后可得 x y x y ，即当n 2时所证成立。 ii.假设当n k时所证不等式也成立，即 x1 x2 xk x1 x2 xk . iii.当n k 1时,取y x1 x2 xk , 于是有： x1 x2 xk xk 1 y xk 1 y xk 1 x1 x2 xk xk 1 x1 x2 xk xk 1 即当n k 1时所证不等式也成立。那么由数学归纳法可知题证成立。

数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)

第九章再论实数系§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+- 求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界： sup 3,inf 0;(5) sup 2,inf 1;12(6)cos ; sup 1,inf .132n n n n n n n n x x x x x n n x x x n π=====-===-+2.(),(1)sup{()}inf (); (2)inf{()}sup ().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.x Dx Dx Dx Dx Df x D f x f x f x f x A f x i x D f x A ii x D f x A i x D f x A ii εεε∈∈∈∈∈-=--=-=-∀∈-≤∀>∃∈->-∀∈≥-∀>设在上定义求证：证明：设即有对有对使得于是有对有对0,().inf (),inf (),sup{()}inf ()x Dx Dx Dx Dx D f x A A f x A f x f x f x ε∈∈∈∈∃∈<-+-==--=-使得那么即因此有成立。

(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup (),sup (),x Dx Dx DB f x i x D f x B ii x D f x B i x D f x B ii x D f x B B f x A f x εεεε∈∈∈=-∀∈-≥∀>∃∈-<+∀∈≤-∀>∃∈>---==-设即有对有对使得于是有对有对使得那么即因此有inf{()}sup ()x Dx Df x f x ∈∈-=- 成立。

数学分析简明教程答案

第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。

解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。

数学分析数项级数课后习题答案

A 一、不定积分部分1.设()f x 具有可微的反函数()1fx -。

设()F x 是()f x 的一个原函数。

试证明()()()111f x dx xf x F f x C ---⎡⎤=-+⎣⎦⎰。

证在公式右端对x 求导，我们有()(){}()()()()()()()()1111111111.df x df x d xf x F f x C f x x f f x dx dx dx df x df x f x x x f x dx dx----------⎡⎤⎡⎤-+=+-⎣⎦⎣⎦=+-=2. 设()f x 定义在(),a b 上，a c b <<，且有()()()()()()()()1212;;lim ,lim x cx cF x f x a x c F x f x c x b F x A F x B -+→→''=<<=<<==，若()f x 在x c =处连续，试证明()f x 在(),a b 上存在原函数。

证作函数()F x 如下：()()()12,,,,,.F x a x c F x A x c F x B A c x b <<⎧⎪==⎨⎪-+<<⎩则()F x 在x c =处连续，由()f x 在x c =处连续知，()()lim lim x cx cF x F x -+→→=，故根据导函数的特征，即知()()F c f c '=。

因而()F x 是()f x 在(),a b 上的原函数。

3. 试证明下列命题：（1）（函数方程）设()f x 是(),-∞+∞上的可微函数，且满足()()()2,f x y f x f y xy x y +=++∈(),-∞+∞，则()()20f x x f x '=+；（2）设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且()()0f a f b ==。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--6章

1 x
7
+
1
3
x
2
案网
+
1 6 2 3 x +C。 + x )dx = 2 x − 6 +3 3 x + 2 x + 3 x x
169
x （9） ∫ ⎛ ⎜2 +
⎝
1 ⎞ 2 1 ⎛ dx = ∫ ⎜ 4 x + 2 ⋅ ( ) x + x x ⎟ 3 3 ⎠ 9 ⎝
2
⎞ ⎟dx ⎠
=
1 x 2 2 1 1 4 + ( )x − +C。 ln 4 ln 2 − ln 3 3 ln 9 9 x
题
6.2
换元积分法和分部积分法
⒈
求下列不定积分： ; ⑴ ∫ 4x − 3 ⑶ ∫ x −x ; e −e ⑸ ∫ ( 2 x + 3x )2 dx ; ⑺ ∫ sin 5 xdx ; ⑼ ∫ sin 5x cos 3xdx ; ⑾ ∫ ( x 2 + 4 x + 5) 2 ;
x 2 dx ; ⒀ ∫4 1 − 2x 3
aw .c om
3
11
4 7
7
4 15 x4 +C。 15
就是所求曲线方程的所有可能形式。（2）将点 (11 , ) 代入上述方程，可得 C = ，所以过点 (11 , ) 的曲线方程为 y = x 3 − x + 。
3 4
4
5 4
5 4
课
后答
案网
w.c om
习
y=∫ dy 1 = ，于是 dx x
dx = ln x + C ，将点 (e,−1) 代入，得 C = −2 ，所以曲线的方程为 x

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第六章不定积分在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。

在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下：22222211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ;4.ln ;5.ln ;26.arcsin .2dx x aC x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+⎰⎰这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。

当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。

第一节不定积分的概念1.求下列不定积分：3353646422112111(1)(.4643*4646x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+⎰ 3341(2)(5)(5)(5)(5).4x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰114211313333222223(3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++⎰⎰22424242422311111(4)()()(1)1111arctan .3dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰1132222(6)().3x x dx x C -=+=+⎰(7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+⎰ 221(8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x-=-=-+⎰⎰ 22222sin 3cos 1(9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++⎰⎰⎰22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x+-==-+⎰⎰222sin tan 11cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-⎰⎰⎰22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x xdx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰2221(13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2dx dx dx x C x x x x ===+++-⎰⎰⎰ 22252(14)(51)(52*51)5.2ln 5ln 5x xxxxdx dx x C +=++=+++⎰⎰ 121(15)(2()).35ln2ln 335xx xxxx e e dx C +-=--+⎰ (16)(1(.x xx x e dx e dx e C -=-=-⎰⎰ 221(17)(cos sin 2arctan arcsin .14x dx x x x C x -=--++⎰113724444(18).7x x dx x dx x C ===+⎰⎰212(19)2312.ln12xx xxdx dx C ==+⎰⎰3(20)sin )sin )arcsin cos .2x dx x dx x x C +=+=-+⎰⎰222.(),(,())2,(2,5).'()2,()'()2.(2)5,45,1,1y f x x f x x f x x f x f x dx C xdx C x C f C C y x ===+=+=+=+===+⎰⎰求一曲线它在点处的切线的斜率为且过点解：设那么令那么于是有因此函数曲线满足条件。

3.(),().f x f x 已知满足给定的关系式试求(1)'()1,(0);1'(),1()ln .xf x x f x xf x dx x C x =>===+⎰解：可得那么 2'()(2)1,(0);'(), ().2f x x xf x x x f x xdx C =>===+⎰解：可得那么有212(3)()'()1,(0);[()'()]1,(),2()f x f x x f x f x dx dx f x C x C f x =>=+=+=⎰⎰解：可知于是有因此有 12'()(4)1,(()0);()'()1,()ln[()],().x f x f x f x f x dx dx f x f x C x C f x Ce =>=+=+=⎰⎰解：可知于是有因此有第二节换元积分与分部积分法1.用凑微分法求下列不定积分：1(56)1(1)ln 56.565565dx d x x C x x -==-+--⎰⎰ 12(2)()ln ln 21.(12)21dx dx x x C x x x x =-=-++++⎰⎰33223322122(3)[(1)(1)]2331[(1)(1)].3x x Cx x C ==+--+=+--+(4)arcsin).dx dxC===+⎰⎰331(5)).323212dx dxCx x===+++⎰⎰222(6)2()2.2x x xxe dx e d e C---=--=-+⎰⎰222222111(7)()().222x x x xxe dx e d x e d x e C----==--=-+⎰⎰⎰1(8)()ln(1).11xx xx xedx d e e Ce e==++++⎰⎰22()1(9).212(1)1x xx x x x x xdx e dx d eCe e e e e e-===-+++++++⎰⎰⎰22()(10)arctan().11x xxx x x xdx e dx d ee Ce e e e-===++++⎰⎰⎰sin1(11)tan(cos)ln cos.cos cosxxdx dx d x x Cx x==-=-+⎰⎰⎰552562tan1(12)tan sec tan(tan)tan.cos6xx xdx dx xd x x Cx===+⎰⎰⎰1222212sin12sin12 (13)tan2(cos)tan.cos cos cos cos cos x xdx dx dx x d x C x C x x x x x -=-=++=-+⎰⎰⎰⎰2222221(tan)1(tan)cos(14)sin cos tan tan tan1).dxdx d x d xxAA xB x A x B A x B B xBx C===++++==+⎰⎰⎰⎰54222435(15)cos cos (sin )(1sin )(sin )(12sin sin )(sin )21sin sin sin .35xdx xd x x d x x x d x x x x C ==-=-+=-++⎰⎰⎰⎰2222221()2()cos (tan )222(16)2221sin 12sin cos sin cos 2sin cos tan 12tan22222222cos 2(tan 1)22 2.(tan 1)tan 122xd x x x d d dx x x x x x x x x x x x d C x x ===+++++++==-+++⎰⎰⎰⎰⎰cos 2cos 2cos 21(17)2(2)(sin 2)ln sin 2.sin cos sin 2sin 2sin 2x x x dx dx d x d x x C x x x x x ====+⎰⎰⎰⎰22444sin cos sin 111(18)(sin )(sin )arctan(sin ).1sin 1sin 21sin 2x x x dx d x d x x C x x x ===++++⎰⎰⎰ 22222211111(19)()(4)ln(4).424242x dx d x d x x C x x x ==+=+++++⎰⎰⎰ 222244211111(20)()()arctan().42442421()2x x x dx d x d C x x x ===++++⎰⎰⎰175444711473(21)()(3)ln 32.323323333239x dx dx x d x C x x C x x x -=-+=-++=-+-+---⎰⎰⎰ 1111(22)sin 2cos32sin 2cos3(sin 5sin )cos5cos .22102x xdx x xdx x x dx x x C ==-=-++⎰⎰⎰223(ln )1(23)(ln)(ln )ln .3x dx x d x x C x ==+⎰⎰21111(24)sinsin ()cos .dx d C x x x x x=-=+⎰⎰ 2231(25)(arcsin )(arcsin )arcsin .3x d xx C ==+⎰22arctan 1(26)arctan (arctan )arctan .12x dx xdx x C x ==++⎰⎰ (27)22.C ===(28)2.1dCx==++⎰(29)()arcsin().xx xe e C==+(30)2()2()222(sin cos)()2(sin cos).22222x xx x x x xd C===+=-+⎰22222222.(1)((22(ln.2229(7),dx dxaadxx CT=+=-=+-=++⎰⎰⎰用换元积分法求下列不定积分：可参考第四章第一节此题所得可以当做公式使用,即有2ln.2ax C=+2222sin222221224sin(2)(2sin)(2cos)4sin;2cossin,cos,(sin cos);1(cos sin)cos2x t tt t dt tdtxI tdt J tdtI J t t dt dt t CJ I t t dttdt======+=+==+-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令可得232sin2.21sin2.242sin22arcsin sin(2arcsin).22t CtI t Cx xt t C C+=-+=-+=-+⎰于是有因此222(2)424arcsin2arcsin)2arcsin.222xx x xC C==-=-=-+=211111 (3)()22111())]222xxxx x-+-==+-=-+-=11)]221arcsin.2x CC-+=1(4)()21921arcsin[()]832921arcsin.83xx CxC=-=-+-=+22222233332222222222222222213222222221222222111(5)()()()()111()2()()11111[321()(2dx x a x x a xdx dx dxa a ax a x a x a x axdx d x aa ax a x adx xda ax a x+-+==-++++=-+++=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰122111122222222222212222])111111[]()()()1()adx x dx Ca a ax a x a x axCax a+=+-++++=++⎰⎰⎰222(6)((1)1ln.22xdx xdx xdxx xxx C-==-=---=-++⎰⎰⎰⎰21(7)(1)22()22222.tt t t t ttt te d t te dt td e te e dt Cte e C C-===-+=-+-+⎰⎰⎰⎰221244(8)(1)(1)2(2)(24)1111 44ln 114ln(1.t t t t dx d t tdt t dt t dtt t t t t t t C C --=-=-=-+++++=-++++-+⎰⎰⎰3866422227537/65/61/21/61/666(9)(6666)11166266arctan 756266arctan().75t t t t dx dt dt t t t dt t t t t t t t t Cx x x x x C ==-+-++++=-+-++-+-++⎰⎰2322323/2222(10)(222)22ln 1111322ln(1.3t t t t dt dt t t dt t t t t Ct t t x x C ==-+-=-+-+++++-+++⎰⎰54222222243535222211(1)(11)(1)(1)(12)222121 (1)(1).3535t t t d t t dt t t dt t t t t C x x C -=-=--=--+=-+-+---+⎰⎰⎰22332322(1)2(1)3(12).(1)(1)(1)111(1)2(1)3(1)1(1)(1)231ln 1.12(1)x x x dx d x x x d x d x d x x x x x C x x ++-++=+++=+-++++++=++-+++⎰⎰⎰⎰⎰3.用分部积分法求下列不定积分：222212121222(1)cos sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 2cos 2cos sin 2cos 2sin .x xdx x d xx x xdx C x x x xdx C x x xd x C x x x x xdx C x x x x x C ==-+=-+=++=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444143144(2)ln 1ln 41ln (ln )441ln 441ln 416x xdxxdx x x x d x C x x x dx C x x x C ==-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰ 11(3)ln ln (ln )ln ln .xdx x x xd x C x x dx C x x x C =-+=-+=-+⎰⎰⎰1122122(4)arc tan arctan (arctan )arctan 111arctan 211arctan ln(1).2xdxx x xd x C xx x dx C x x x dx C x x x x C =-+=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰111(5)2arcsin 2arcsin 2(arcsin )2arcsin 22arcsin 22arcsin .xd x x C x C x C x C =-=-++=-++=-++=-+⎰⎰⎰⎰22212221122211(6)arctan arctan arctan arctan 222111arctan arctan (1)221221arctan arctan .222x x xdx xdx x x d x C x x x x dx C x dx C x x x x xx C ==-+=-+=--+++=-++⎰⎰⎰⎰⎰1132222322ln 11111111(7)ln ()ln (ln )ln 22222ln 1.24x dx xd x d x C x dx C x x x x x x x C x x=-=-++=-++=--+⎰⎰⎰⎰1122(8)cos(ln )cos(ln )[cos(ln )]cos(ln )sin[ln ] cos(ln )sin(ln )[sin(ln )][cos(ln )sin(ln )]cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]cos(ln ).2x dx x x xd x C x x x dx C x x x x xd x C x x x x dx C x x x x dx C =-+=++=+-+=+-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此533312331145233515(9)sec sec (tan )sec tan tan (sec )sin sin sec tan 3tan sec tan 3cos cos 1cos sec tan 3sec tan 3sec cos xdx xd x x x xd x C x x x x x dx C x x dx C x x x x x dx C x x xdx x ==-+=-+=-+-=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰31335233233233sec ,sec tan 3sec sec ;4sec sec (tan )sec tan tan (sec )sin sin sec tan tan sec tan cos cos xdx C x x xdxxdx C xdx xd x x x xd x C x xx x x dx C x x dx C x x +++=+==-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此有2333333341cos 1 sec tan sec tan sec cos cos sec tan sec ln sec tan ;sec tan ln sec tan sec .2x x x dx C x x xdx dx C x x x x xdx x x C x x x xxdx C -=-+=--+=--++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰于是综上可得353(sec tan ln sec tan )sec tan sec .48x x x x x x xdx C -+=++⎰ 22222212111(10)ln()ln(1)ln(1)ln(1)()ln(1)()12211{ln(1)[ln(1)]}{ln(1)[ln(1)]}2211 ln(2x x dx x x dx x x dx x d x x d x x x x x d x x x x d x C x +=+--=+---=+-+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221122211222111)()ln()121121111111 ln()(1)ln()2112111111 ln()ln(2121x x x x x dx C x dx C x x x x x x x dxx dx C x x C x x x x x xx x x ++-++=-+-+---++=--+=+-+----++=+--⎰⎰⎰⎰).C x+-222212223(11)sin sin ,cos ;21(cos sin )cos 2(sin 2)2sin 21sin 2cos 2 sin 2.2224x xdx I x xdxJ x xdx x I J xdx C J I x x x dx x xdx xd x x x x x xxdx C C ⎧=⎪⎨=⎪⎩+==+-=-===-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：取那么于2222sin 2cos 2sin 448.sin 2cos 2cos 448x x x x I x xdx C x x x x J x xdx C⎧==--+⎪⎪⎨⎪==+++⎪⎩⎰⎰是有222sin 2cos 2(12)cos ,cos .448x x x xx xdx x xdx C =+++⎰⎰依上题可知1(13)[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )[ln(ln )]ln ln ln 11 ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln ln dx dxx dx x dx x x xd x C x x xx dx dxx x dx C x x dx Cx x x x xx +=+=-++=-++=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(ln ).x C +2222222(11)(14)(1)(1)1(1)1(1)1 ()11(1)1 ()1(1)1(1)1x x x x x xx x xx x x xxe x e e e de e dx dx dx dx dx x x x x x x e e e d dx C x x x e e e e d dx C x x x x x +-==-=-++++++=--++++=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.C +arcsin 222221122122(15)(arcsin )(sin )sin sin ()sin 2sin sin 2(cos )sin 2cos 2cos sin 2c x tx dxt d t t t td t C t t t tdt C t t td t C t t t t tdt C t t t ===-+=-+=++=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 2os 2sin (arcsin )2.x tt t Cx x x x C =-+=+++1121cos (16)(cot )cot cot cot sin sin (sin )cot cot ln sin .sin x xdx xd x x x xdx C x x dx C xx d x x x dx C x x x C x=-=-++=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰111(17)ln(ln([ln(ln(ln(x dx x x xd x Cx x Cx x C=-++=-+=-+⎰⎰21ln(ln(.x x Cx x C=-+=-333222222213133222222113333222222222(18)ln()ln(ln)3332228ln2ln ln ln()33392882ln ln(ln)ln3993xdx xd x x x x d x Cx x x xdx C x x xd x Cx x x x x d x C x==-+=-+=-+=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰312222333222288ln992816ln ln.3927x x x x dx C x x x x x C-++ =-++⎰4.求下列不定积分的递推公式：11 11111(1)()().n kx n kx n kx kx n n kx kx n n kx n nn nI x e dx x d e x e e d x x e e x dx x e Ik k k k k k k--===-=-=-⎰⎰⎰⎰11(2)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln)(ln).n n n n n nn nI x dx x x xd x x x n x dx x x nI--==-=-=-⎰⎰⎰2222222221222sin(1cos)tan(3)tan tan tan tancos cos costantan(tan)tan.1nn n n n nnn nnx x xI xdx x dx xdx dx xdxx x xxxd x xdx In---------====-=-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1111(4)(arcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin)(arcsin))[(arcsin)](arcsin)n n n n n nn nn n nI x dx x x xd x x x xx x n x dx x x xx x----==-=-=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰1212)(1)(arcsin)(arcsin))(1).n n nn nnx n n x dxx x x n n I----+--=+--⎰5.求下列有理函数的积分：5423328843(1)(1)118ln 4ln 13ln 1.32x x dx x x dx x x x x x x x x x x x C +-=+++---+-=+++-+--+⎰⎰2222221111111(2)()(1)(1)2121412121111ln 1arctan ln 1.422dx x dx dx dxdx x x x x x x x x x x C -=-+=-+++++++++=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰2422111111(3).()ln arctan .1211412x x dx dx x C x x x x +=-=-+--+-⎰⎰1322121112112(4)()ln 1131133113111 ln 1()3321()1111 ln 1()3622 dx x x dx x dx C x x x x x x x x x C d x x x C -+-=+=+-+++-+-+--=+-++-=+-+++⎰⎰⎰22111ln 1ln 1)]36211 ln 1ln 1.36x x x x Cx x x C =+--++-+=+--+++2222737127132222(5)()ln 712ln 7171712222()2422134ln 712ln 2ln 4ln 3.223x x x dx d x x x C x x x x x x x C x x C x -+---=-=-+++-+---+-=-+++=---+-⎰⎰241954352(6)()ln 1ln 1ln 2.(1)(2)6112263x dx dx x x x C x x x x x +-=++=-++-+++-++-+⎰⎰41111(7)11)1)8448x x x x dxdx dx xC+++++ ==++=+++-+=⎰⎰⎰1)1).44C+++-+222232(1)55(8)ln(21).21(1)1x xdx dx x x Cx x x x-+-==++++++++⎰⎰22(2)(9).42(2)2dx d xCx x x+==++++-⎰⎰2112(10)()ln.826(2)(4)62464dx dx dx dx xCx x x x x x x-=-=--=-+ ---+-++⎰⎰⎰⎰6.求下列三角函数有理式积分：222222222()()22(1)2245cos4cos4sin5cos5sin9cos sin2222221()2cos(tan)tan3122222ln.39tan9tan tan3222x xd ddxx x x x x xxxdx x xdCx x x==+++---===-+--+⎰⎰⎰⎰⎰222222221cos(2)54sin25sin5cos8sin cos5tan58tan(tan)1(tan)1(tan)8435tan58tan55tan tan1(tan)()55515arcta53dxdx dx xx x x x x x xd x d x d xx x x x x==+++++===++++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45(tan)1545n arctan(tan).3333xC x C++=++222(tan )1(tan )(3))22sin 3tan 23tan 3).dx d x d x x Cx x x x C ===++++=+⎰⎰⎰22222221sec 1cos cos (4)11(1sec )(cos 1)(1)(cos 1)(1)cos cos ()()1122 22cos 1(cos 1)2cos (2cos )22tan 2x x x dx dx dx dx x x x x xx x d d dx dx x x x x x ===+++++=-=-++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222231222(tan )tan 1122tan tan ()2222cos 2cos cos222tan tan tan 11222 tan tan tan .222322cos cos 2cos 222x x d x x C d C x x x x x x x x x dx C C x x x +=-++=-++=-++⎰⎰⎰cos (5),1tan cos sin cos cos sin ,sin cos sin ;cos sin (cos sin )ln cos sin cos sin cos sin dx xdx x x xx I dx x x x J dx x x I J dx x Cx x d x x I J dx x x C x x x x =++⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⎧+==+⎪⎨-+-===++⎪++⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰取那么有于是ln cos sin cos cos sin 2.ln cos sin sin cos sin 2x x x x I dx C x x x x x x J dx C x x ⎧++==+⎪⎪+⎨-+⎪==+⎪+⎩⎰⎰121sin 2cos 1(cos )21(sin )(6)()(2cos )sin 32cos sin 32cos 3sin 3sin 12sin 1ln 2cos ln sin 331cos 312 ln 3dx x x d x dx d x dx x x x x x x xxdx x x C x --=+=+-+++=++-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos 11cos ln .sin 31cos x xC x x++-+-22sin cos 112sin cos (7)()sin cos 2sin cos sin cos 12cos 1(sin cos )2 (2)2sin cos 2tan 1tan 2211 sin cos 224x x x x dx dx dx x x x x x xxd x x x dx x x x x x x +=-++++=-++-=--⎰⎰⎰⎰⎰.C +3222222sin sin 1cos 2(8)(cos )(cos )(1)(cos )1cos 1cos 1cos 1cos cos 2arctan(cos )x x x dx d x d x d x xx x x x x C-=-=-=-++++=-+⎰⎰⎰⎰4(3)322111(9)tan tan tan tan ln cos .22T xdxx xdx C x x C =-+=++⎰⎰参见sin 222222222sin 1cos sin 11(10)()sin cos sin cos sin (1sin )(1)111111sin 1 ln ln 21sin 2sin 1x t x t x d x dt dx dx dt x x x x x x t t t t t x C Ct t x x ======+-----=--+=--+++⎰⎰⎰⎰⎰cos (11)sin 2cos cos sin 2cos ,sin sin 2cos 2;cos 2sin (sin 2cos )2ln sin 2cos sin 2cos sin 2cos xdxx xx I dx x x x J dx x x I J dx x Cx x d x x I J dx x x C x x x x +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⎧+==+⎪⎨-+-===++⎪++⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰取那么于是cos 21ln sin 2cos .sin 2cos 55x I dx x x x C x x ==++++⎰221222212sin sin 2(12)(1)21cos 2sin 2sin 2sin (tan ) 2tan ).tan 22x x dxdx dx dx x C x x x x d x x C x x C x ==-+=-+++---=-++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰1/6563222127.634161(1)6()(12)(1)(21)2121116()3342 6ln ln 11724()416x t t dt dt t dx t t t t t t t t t t t t t t dt C t =-===--+++-++-+-+=-+-+-+⎰⎰⎰⎰求下列无理函数的积分：1/621/61/61/31/639116ln ln 1ln )]242243911 ln ln 1ln )]24224x tt t t t t Cx x x x x C==-+--+-+=-+--+--+2(2)1 (ln .22x x dx x C ====-+⎰⎰111()(3)221()122211.22txtxdd tt CCx====-=-+=-=-+++=-+++⎰2322(4)[(1(1)211(22)ln1.32x dxxx x x C =-=-+=-+-⎰⎰⎰2(5)11()()11ln.2d dCx====-+=+1(6)ln.2x C==++⎰22213() (7)1112()2()5132arcsin ln1arcsin2822122xx x xx x Cx-+ =-+=-+---=--+---=--⎰⎰212()111ln1.82xx x C-++-+13(8)ln.8x C==++222242441111(9)22441(1)arctan11ln4(1)(1)2412x t t syyd y y dy y yCy y y y=======--==++--++⎰⎰22114241ln.4t sxC CC===++ =++2442341()41(10)(1)18[))8111[8(8ttd t dttt ttCtxxx+===-+=--+++++--⎰⎰3/4)C-++++8.(1)2()22arcsin arcsin.a bx x a bC Ca b a b==+---=+=+--⎰求下列不定积分：221()()11(2).22d dCββ==-=-=(3)sin (cos )cos cos ()cos cos ()sin sin sin (sin )sin (sin cos )sin cos cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x xe xdx xe d x xe x xd xe xe x x e xe dx xe xdx x xde x xe e d x x x xe e x x x dx xe xdx xe xdx xe x xe =-=-+=-++==-=-+-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于有于是有;sin cos sin sin (sin cos )cos 2,(sin cos )cos 2(sin cos )sin sin 22cos x x x x xx xxx x x xx dxxe xdx xe xdx xe x xe dxe x x xe dx e x x xe dx xe x x e x xe xdx C xe xd ⎧⎪⎨+=-⎪⎩⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩-=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰可以求得于是有.(sin cos )cos 22x xxe x x e x x C ⎧⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩⎰(4)cos x xe xdx ⎰ 可见上题！sin()sin()(5)sin()sin()sin()sin()sin()sin()sin()sin()sin()cos()sin()cos()sin()sin()sin() dx b a dx x b x a dx x a x b b a x a x b b a x a x b x b x a x a x b dxb a x a x b -+--==++-++-++++-++=-++⎰⎰⎰⎰cos()cos() sin()sin()sin()sin()11ln sin()ln sin()sin()sin() x a dx x b dxb a x a b a x b x a x b Cb a b a ++=--+-+=+-++--⎰⎰1sin()ln .sin()sin()x a C b a x b +=+-+112sin sin()cos cos()sin sin()(6)tan tan()[1]cos cos()cos cos()cos cos cos cos()cos cos sin cos sin x x a x x a x x a x x a dx dx dxx x a x x a a adxx dx C x C x x a x a x x a +++++==-++=-++=-+++-⎰⎰⎰⎰⎰1cos (tan )cos ln sin tan cos .cos tan sin sin ad x ax C x a x a C a x a a=-++=---++-⎰32222222111(7)()()()22211 (1)(1)2212 arcco 23x x x xd x x ==-+=---=⎰3223322221s (1)arccos 11 arccos (1)(1)(arccos )33arccos (arccos )1 arcco 3xd x xd x x x d x x x C --=----++=⎰⎰⎰322213232321s (1)(1)arccos 3111 arccos (1)()arccos 33321 2)arccos .39x x x dx x dx C x x x x x x Cx x x x C -+---+=-+---+=----+⎰⎰222122tan sin cos sin cos (8)1tan tan cos sin cos sin 1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos cos sin cos sin x x x x x dx dx dx x xx x x x x x x x dx dxdx x C x x x x x x x x==++++++=-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122(tan )(tan )131tan tan (tan )241(tan )].332d x d x x C x C x x x x x C =-+=-+++++=-++⎰⎰11112(9)22222()222122242ln 11xx x e t x x yxd C d e C dt C e ty y y dy C y Cy y ====+=+=+-+=-+-+⎰⎰⎰⎰2.yC +1sin (10)1cos 1sin 1cos ,'(),'()1cos sin 1cos '()ln sin .sin 1(), 4.3(())','()1s '()x xdxxx x xf x f x x x xxf x dx dx x x C x xf x f x f x x dx f x -++++==+++==+++=+=⎰⎰⎰⎰ 取即那么有由于单调递增由定理可以知道因此有1in (),1cos ()ln sin .xdx f x x f x x x C -=+=++⎰其中22222222sin (10)1cos 2sin 1,1cos 122arctan sin 221(2arctan )11cos 1111 x xdxx t x t t x t tt x x t t dx dt t dt t x t t t ++⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩+++==+-+++++⎰⎰⎰⎰ 令于是有2122122tan2()2arctan 2(arctan )1()2arctan 2(arctan )11 2arctan 2tan arctan(tan )22x t d t t t td t C tt d t t t d t C t t x x t t C ==-+++=-++++=+=+⎰⎰⎰⎰tan .2xC x C =+1tan cos sin (cos sin )(11)ln cos sin .1tan cos sin cos sin x x x d x x dx dx x x C x x x x x--+===+++++⎰⎰⎰sin sin sin sin sin sin sin sin 1(12)sin 22sin cos 2sin (sin )2sin ()2sin 2(sin )2sin 2.x x x x x x x x e xdx e x xdx e xd x xd e xe e d x C xe e C ====-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰111(13)arctan(1arctan(1(arctan(12arctan(11arctan(12dxx xd Cxxx dx Cx C+=-++=+-+=+-+⎰⎰⎰122121212arctan(1222arctan(12222arctan(1(1)22t t tx dt Ct ttx dt Ct ttx dt Ct t+-+++=+-++++=+--+++⎰⎰⎰2122(2)arctan(122arctan(1ln22arctan(1ln2.td t tx t Ct tx t t t Cx x C+=+-++++=+-+++++-++⎰2444432423ln221(2)1(14)(12)ln22(12)ln22(12)ln2(1)11(1)(1)(1)1()ln2(1)1111[ln ln1]ln212(1)3(1)xx x tx x x x xdx dx d dtt tt t tdtt tt tt t t====++++++++++=-+=-++++++++⎰⎰⎰⎰⎰2231111[ln2ln(21)].ln2212(21)3(21)x tx xx x xCC ==-++++++++此文只供参考，写作请独立思考，不要人云亦云，本文并不针对某个人（单位），祝您工作愉快！一是主要精力要放在自身专业能力的提升上，二是业余时间坚持写作总结，这是一个长期的积累过程，剩下的，不用过于浮躁，交给时间就好了。