数学分析不定积分概念与基本积分公式
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
3+cosx平方分之一不定积分
一、介绍对于许多初学微积分的学生来说，不定积分是一个比较困难的概念。
而其中涉及到三角函数的不定积分更是让人望而生畏。
本文将针对3+cosx平方分之一的不定积分进行讲解，帮助读者更好地理解这一概念。
二、基本概念1. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，它是用来求解函数的原函数的过程。
在求解不定积分时，我们常常使用一些基本的积分公式和方法，如换元法、分部积分法等。
2. 三角函数三角函数是数学中的重要概念，其中包括sinx、cosx、tanx等函数。
这些函数在数学和物理领域中有着广泛的应用。
三、3+cosx平方分之一的不定积分求解要求解3+cosx平方分之一的不定积分，我们可以按照以下步骤进行：1. 通过三角恒等变换，将cosx平方转化为sinx：3+cosx = 4 - (1-cosx) = 4 - sinx平方2. 令u=sinx，进行变量替换：∫(3+cosx)^(-1/2)dx = ∫(4-u^2)^(-1/2)du3. 使用arcsin函数进行求解：将√(4-u^2)写成2*(1-u^2/4)^(-1/2)，然后使用arcsin函数的积分公式进行求解。
4. 最终求解出不定积分的结果：∫(3+cosx)^(-1/2)dx = arcsin(u/2) + C其中，C为积分常数。
四、实例演示举例说明该不定积分的求解过程：对于∫(3+cosx)^(-1/2)dx的求解，我们可以进行如下变换：1. 令u=sinx2. dx = cosxdu将原不定积分替换为∫(4-u^2)^(-1/2)du，然后使用arcsin函数的积分公式进行求解，最终得到不定积分的结果。
五、总结通过本文对3+cosx平方分之一不定积分的求解过程进行讲解和演示，希朩读者能更好地理解这一概念。
也希望读者在学习不定积分和三角函数时能够多多实践，多多思考，从而掌握更多的解题技巧和方法。
六、延伸阅读1. 不定积分的基本概念和性质2. 三角函数的相关知识和应用3. 其他复杂函数的不定积分求解方法希望本文能对读者有所帮助，如果有任何疑问或意见，欢迎留言讨论。
不定积分的概念及运算法则
y=x2
启示 结论
-1
O 1 C2 C3
于是所求曲线方程为
2
x
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基本积分表：
(1) ( 2)
∫ kdx = k x + C ∫x
∫
μ
(8)
( k 为常数)
∫ cos 2 x = ∫ sec
即 Φ ( x) = F ( x) + C0 属于函数族 F ( x) + C .
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定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 ∫ f ( x) d x , 其中
dx
2
xdx = tan x + C
例5. 求
dx =
μ +1
1
x μ +1 + C
( μ ≠ 1)
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C sin x (10) (11) (12) (13) (14) (15)
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∫x3 x .
∫x
4 3 1 3
3 dx = x 4 +C 3 +1
i =1 i i i =1 i i
n
n
ex 5 = 2x +C ln 2 + 1 ln 2
例8. 求 ∫ tan xdx .
2 2 解: 原式 = ∫ (sec x 1)dx
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
第一节不定积分概念与基本积分公式(数学分析)(数学分析)
∫ adx=ax+C, ∫
xα dx =
其 中 a是 常 数
∫ dx
= x +C
1 x α +1 + C . α +1
其 中 α 是 常 数 ， 且 α ≠ −1.
12
1 3、 ∫ dx = ln x + C. x 特别有: ∫ ex dx = ex + C.
1 x 4、 ∫ a dx = a + C, 其中a > 0, 且a ≠ 1. ln a
若 F ( x )已 知 ， f ( x )未 知 ， 由 F ( x ) → f ( x ), 则 称 （3）式 为 求 导 运 算 ， ' 称 f ( x )为 F ( x )的 导 数 。 若 f ( x )已 知 ， F ( x )未 知 ， 由 f ( x ) → F ( x ), 则 称 （3）式 为 积 分 运 算 ， 称 F ( x )为 ' f ( x )的 原 函 数 。
7
思考题： 1、 如果函数f ( x)的定义域是若干个分离的区间，那么它的原函数彼此之 间是否仅相差一个常数？ x2 , 可考虑函数 f ( x) = x, x ∈ (−∞, − 1) U (0, + ∞), 则 : F ( x) = 2 x2 , x ∈ (−∞, − 1) , 都是f ( x) = x 在 (−∞, − 1) U (0, + ∞)的原 G ( x) = 22 x + 1 , x ∈ (0, + ∞) 2 函数，它们之间的关系如何？ 2、 设F ( x)是连续函数f在R上的原函数，问： 1 ）、如果f ( x)是以T为周期的周期函数，那么F ( x)是否为周期函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f 2)、 如果f ( x)是偶函数，那么F ( x)是否为奇函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f
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因
1 x
1 x2
,
1 x
是
1 x2
的一个原函数.
因s(t) v(t)，路程函数 s(t) 是速度函数v(t) 的一个
原函数.
因 ln( x 1 x2 ) 1 ，知ln( x 1 x2 ) 1 x2 是 1 的一个原函数.
1 x2
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1
应该注意到： 尽管象 1 x2 这种形式简单的函数, 要求出它们的原函数也不是一件容易的事.因此, 如下问题要关注：
注 (i) 连续函数一定有原函数； (ii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多；
cR
(F( x) C) f ( x).
(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；
若F ( x) f ( x), ( x) f ( x),则 [F( x) ( x)] f ( x) f ( x) 0 F( x) ( x) C.
例如
先微后积差一常数
d dx
arctan
xdx
arctan
x
或d arctan xdx arctan xdx
( sin x
x )dx
sin x
x
C
或
d
(
sin x
x
)
sin x
x
C
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二、基本积分表 (Basic Formula of Indefinite Integra)
将一些基本的积分公式列成一个表——基本
x)
是
1 x
在
(,
0)
的一个原函数.
dx x
ln
x
C.
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例4 设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
y yx2+2
2xdx x2 C,
f (x) x2 C,
由曲线通过点(1,3)
代入上式,得 C 2, 所求曲线方程为 y x2 2.
(1, 3) ．
yx2
2 1
2 1 O 1 2 x
1 2
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不定积分的几何意义
(1) f ( x)的一个原函数F ( x)的图形叫 做函数f ( x)的一条积分曲线,如图.
(2)因为F ( x) f ( x),故积分曲线 上点x处切线的斜率恰等于f ( x) 在x处的函数值; (3)平移曲线y F ( x)得另一条积分曲线 y F ( x) C1 ,据此可得到整个曲线族 y F(x) C.
前页 后页 返回3.不定源自分定义2 函数 f ( x)在区间I 上的全体原函数, 称为 f ( x)在
区间I 上的不定积分,记作 f ( x)dx, 即
被积函数
f ( x)dx F( x) C
被积 积 积分 分 表变 号 达量
式
积 分 常 数
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例1 求 x4dx.
解
Q
x5 5
第8章 不定积分
• 不定积分概念与基本积分公式 • 换元积分法与分部积分法 • 有理函数和可化为有理函数的不
定积分
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第8.1节 不定积分概念与基本 积分公式
• 原函数与不定积分 • 基本积分表 • 不定积分的性质
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一、原函数与不定积分
1. 问题的提出 已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s'(t);
x4 ,
x4dx
x5 5
C.
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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dx
例3 求
x
解 x 0, ln x 1 ,
x
ln
x
是
1 x
在(0, ) 的一个原函数.
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
ln(
积分表.
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1); dx 1
(3) x ln x C;
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
（1）满足何种条件的函数必定存在原函数? 如 果存在原函数,它是否惟一? （2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求 出来?
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定理1 (原函数存在性定理)若函数f ( x)在区间I上连续， 则在I上存在原函数，即存在可导函数F ( x)，使
F ( x) f ( x)，x I .
(4)因为（F( x) C） f ( x)故在点x处， 各个积分曲线在该点的切线皆平行.
y
Ox
x
y=F(x)
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4.积分运算与微分运算的关系
d dx
[
f ( x)dx]
f (x)或
d
f (x)dx
f (x)dx
先积后微形式不变
F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C
反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其 运动规律s=s(t)? 从数学角度看：找一函数s=s(t)， 使s'(t) =v(t) .
2. 原函数
定义1 设函数f 与F在区间I上都有定义.若
F( x) f ( x), x I
称F为f 在区间I上的一个原函数.
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例如
因tan x sec2 x, tan x 是 sec2 x 的一个原函数.
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(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) shxdx chx C;
(15) chxdx shx C;
ex ex shx
2 ex ex chx
2
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三、不定积分的性质 (Properties of the Definite Integral)
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定理2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则
(i) F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数; (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
函数族
原函数的全体为：{F( x) C C }