2019-2020学年山东省德州市高三上学期期末考试数学试卷及答案
2019-2020学年山东省德州市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B ð等于（）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-2．已知复数z满足1z =-+（其中i 为虚数单位），则zz=（）A ．1322i -+B ．13i 22--C ．1322i +D ．1322i -3．“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（）A ．1a ≤-B ．14a -≤C ．2a ≤-D ．0a ≤4．已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ，()()313a b a b -⋅+=- ，则a 与b 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π5．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c>>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b>>6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）A ．166B ．155C ．566D ．5117．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A ．B C ．2D ．8．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N，对自然数()2k k ≥，规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-二、多选题10．已知点A 是直线:0l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90 ，则点A 的坐标可以是（）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,1-11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人附表：()20P K k ≥0.0500.010k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．25B ．45C ．60D ．7512．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（）A ．4p =B ．DF FA=C ．2BD BF =D ．4BF =三、填空题13．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______.14．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，其相邻两个零点之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.15．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______.16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD为正方形，AD =ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11nn n S S b S S -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①33()b ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③a =b =.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）19．如图（1），边长为2的正方形ABEF 中，D ，C 分别为EF 、AF 上的点，且ED CF =，现沿DC 把CDF ∆剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC ∆，CDF ∆，ABD ∆沿BC ，CD ，BD 折起，使E 、F 、A 三点重合于点A '，如图（3）.（1）求证：'⊥BA CD ；（2）求二面角'--B CD A 最小时的余弦值.20．顺次连接椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>且面积为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 相切于点A ，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，求AMO ∆面积的最大值.21．已知函数()()2ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值；（2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）若a 为正整数，函数()f x 恰好有两个零点，求a 的值.22．某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：x y()1221ii x x =-∑()1221ii y y =-∑u v20667724604.20()1221ii u u =-∑()()121iii u u y y =--∑()1221ii v v =-∑()()121iii x x v v =--∑31250215 3.0814（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线 y abx =+ 中公式分别为：()()()121n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$；②参考数据：308477=⨯9.4868≈， 4.499890e ≈.数学试题参考答案1-9DBACA CDBA 10-12AC BC ABC 13．1；14．；15．606240x ；16．20π17．（1）当1n =时，211142a a a =+，整理得2112a a =，10a > ，解得12a =；当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得211142n n n S a a ---=+②，①－②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()221120n n n n a a a a ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=；（2）由（1）知()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，因为()11111111111212n n n n S S b S S S S n n n n -==-=-=--⋅++，1211111111112223212n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=--+--+⋅⋅⋅+--⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112231212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．（1）由①()33b a c c a b -+=+得，()2223a c b +-=-，所以2226cos 23a cb B ac +-==-，由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②.故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④；（2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以268623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=22sin B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==.19．（1）折叠前BE EC ⊥，BA AD ⊥，折叠后''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，又'''⋂=A C A D A ，所以'⊥BA 平面A CD '，因此'⊥BA CD ；（2）由（1）及题意知A C A D ''⊥，因此以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系如图：令'=A C a ，'=A D b ，2a b +=，所以(),0,0C a ，()0,,0D b ，()0,0,2B 设平面BCD 法向量为(),,m x y z =则00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以2020ax z bx z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，则22,,1m a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 又平面A CD '法向量为()0,0,1m =，设二面角'--B CD A 的大小为θ，所以cos m nm nθ⋅==又22224412119b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭≥⎝，当且仅当1a b ==取等号，所以1cos 3θ≤.所以二面角'--B CD A 最小时的余弦值为13.20．（1）由题意可得2212227a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩，解得：2a =，b =故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线:l y kx t =+，联立223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，得()2223484120kxktx t +++-=，且()()2222644344120k t k t ∆=-+-=，得2243t k =+，所以()284234A kt kx t k -==-+，联立1y xk y kx t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21M kt x k =-+，所以2||1kt OM k ==+，则241k kt AM t k =-++()322441k k kt t k --+==+，所以21111111222124AMO k S AM OM k k k∆=⋅=⋅⋅=⋅≤++，故ABM ∆面积最大值为14，当且仅当1k =±时成立.21．（1）由题意0x >，()()()()121122ax x f x ax a x x--'=+-+=，则()11f a '=-，由于函数()y f x =的图象在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，则()1113f ⎛⎫'⋅-=- ⎪⎝⎭，所以()113f a '=-=，因此，4a =；（2）0a > ，则10a >.①若02a <<时，112a >，当102x <<或1x a>时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<，所以()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②若2a =时，112a =，对0x >，()0f x '≥恒成立，()y f x =在()0,∞+单调递增；③若2a >时，112a <，当10x a<<或12x >时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<，所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；（3）因为a 为正整数，若02a <<，则1a =，()2ln 32f x x x x =+-+，由（2）知()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，又()10f =，所以()y f x =在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内仅有1实根，()1102f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，又()()24222330f e e e e e -----=-=-<，所以()y f x =在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有1实根.此时，()y f x =在区间()0,∞+内恰有2实根；若2a =，()y f x =在()0,∞+单调递增，至多有1实根.若2a >，()2111111ln 22ln 1f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t a =，则102t <<，ln 1y t t =-+，110y t'=->，所以111ln 1ln 20222y <-+=-<.由（2）知()y f x =在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以1102f f a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+至多有1实根.综上，1a =.22．（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，()()121430.8650ii uuy y r --==∑，()()122100.9111iix x v v r --=≈∑，则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x t y e λ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）先建立v 关于x 的线性回归方程，由x t y e λ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+；由于()()()121122120.18211iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑，24.20200.5611t v x λ=-=-⨯≈，所以v 关于x 的线性回归方程为0.180.56vx =+ ，所以 ln 0.180.56y x =+，则 0.180.56e x y +=；（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入 0.180.56e x y +=，得0.180.5690x e +=，又44998e 90⋅≈，所以4.49980.180.56x ≈+，所以 4.49980.5621.890.18x -≈≈，所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元.。
2019届山东省德州市高三上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】
2019届山东省德州市高三上学期期末理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，2，3}，B={y|y=x 2 ，x ∈ A}，则（∁ U A）∩B等于（）A．{4} B．{9} C．{0，1} D．{4，9}2. 已知复数z=1﹣i，则 =（）A． B．﹣ C．2i D．﹣2i3. 某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：根据如表可知回归直线方程 =bx+ 中的b为7，据此模型，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）万元．A．72.5 B．73.5 C．74.5 D．75.54. 已知f（x）=x﹣sinx，命题p：∃ x ∈ （0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀ x ∈ （0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃ x ∈ （0，），f（x）≥0C．p是真命题，￢p：∀ x ∈ （0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：∃ x ∈ （0，），f（x）≥05. 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个顶点与抛物线y 2 =4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．﹣y 2 =1 B．x 2 ﹣ =1 C．﹣ =1 D．5x 2 ﹣ =16. f（x）=ax 3 +3x 2 +2，若f′（﹣1）=3，则函数在x=﹣1处的切线方程为（）A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=﹣3x+5 D．y=﹣3x﹣57. 已知向量 =（2，2）， =（ cosα，﹣ sinα），则向量的模的最小值是（）A．3 B．3 C． D．28. 若函数f（x）=a x +ka ﹣x （a＞0且a≠1）在R上既是奇函数又是增函数，则g （x）=log a |x+k|的图象是（）A． B． C． D．9. 已知（1﹣x） 10 =a 0 +a 1 （1+x）+a 2 （1+x）2 +…+a 10 （1+x） 10 ，则a 7 =（）A．﹣120 B．120 C．﹣960 D．96010. 已知函数f（x）= （a＞0，a≠1），把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按照从小到大的顺序排成一个数列{a n }，则a 2016 的值为（）A．008 B．2015 C．2016 D．4032二、填空题11. 关于x的不等式m﹣|x﹣2|＞1的解集为（0，4），则m=___________ ．12. 曲线y= +2x+2e 2x ，直线x=1，x=e和x轴所围成的区域的面积是___________ ．13. 当m=8时，执行如图所示的程序框图，输出S的值为___________ ．14. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z= 的最小值为_________ ．15. 设函数f（x）的定义域为D，如果∀ x ∈ D存在唯一的y ∈ D，使=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知四个函数：①f（x）=x 3 （x ∈ R）；②f（x）=（） x （x ∈ R）；③f（x）=lnx（x ∈ （0，+∞））④f（x）=2sinx（x ∈ R）上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是___________ ．（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题16. 设向量 =（sinx， sinx）， =（sinx，cosx），x ∈ [0， ] ．（Ⅰ ）若| |=| |，求x的值；（Ⅱ ）设函数f（x）= ，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g （x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．17. 某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有10人．（Ⅰ ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，3人9分，5人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望．18. 在△ ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知2tanA= ．（Ⅰ ）若b 2 +c 2 ﹣a 2 +mbc=0，求实数m的值；（Ⅱ ）若a= ，求△ ABC 周长L的最大值．19. 已知数列{a n }，{b n }（b n ≠0，n ∈ N * ）满足b n+1 = ，且a 1 =b 1 =1．（1）令c n = ，求数列{c n }的通项公式；（2）若数列{b n }为各项均为正数的等比数列，且b 3 2 =9b 2 b 6 ，求数列{a n }的前n项和．20. 已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．（Ⅰ ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ ）过P的直线与椭圆交于P 1 ，P 2 两点，求△ P 1 F 2 F面积的最大值及此时直线的斜率．21. 已知函数f（x）=ln（x+1）+ax 2 ﹣x，a ∈ R．（Ⅰ ）当a= 时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ ）若对任意实数b ∈ （1，2），当x ∈ （﹣1，b ] 时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届山东省德州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2|9A x x =<，{}|24B x x =-<<，则()R A B I ð等于（ ）A ．{}|32x x -<<-B ．{}|34x x <<C ．{}|23x x -<<D ．{}|32x x -<≤-【答案】D【解析】解出集合A ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð. 【详解】{}{}2933A x x x x =<=-<<Q ，{}24B x x =-<<，则{2U B x x =≤-ð或}4x ≥，因此，(){}32R A B x x ⋂=-<≤-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，同时也考查了二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足1z =-（其中i 为虚数单位），则zz=（ ）A ．12-+ B ．12-- C ．12+ D ．12 【答案】B【解析】求出z ，结合共轭复数的概念可求出zz的值. 【详解】1z =-+Q ，2z ∴==，因此，12z z ==-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了共轭复数，考查计算能力，属于基础题.3．“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ） A ．1a ≤- B ．14a -≤ C ．2a ≤- D ．0a ≤【答案】A【解析】利用参变量分离法得出21a x ≤-，求出函数21y x=-在区间[]1,2上的最小值，即可得出实数a 的取值范围，即可得出答案. 【详解】Q “[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题，21a x ∴≤-对任意的[]1,2x ∈恒成立， 由于函数21y x=-在区间[]1,2上单调递增，则min 1y =-，1a ∴≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数的取值范围，灵活利用参变量分离法求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.4．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()313a b a b -⋅+=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】设a r 与b r的夹角为θ，将等式()()313a b a b -⋅+=-r r r r 展开后可求出cos θ的值，即可求出a r 与b r的夹角. 【详解】()()2232313a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=-r r r r r r r r Q ，即21113a b ⋅-=-r r ，得1a b ⋅=-r r，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅r r r r ，0θπ≤≤Q ，23πθ∴=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量的夹角，解题时要熟悉平面向量数量积的定义和运算律，考查计算能力，属于中等题. 5．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】由1232a b -=⋅结合指数运算律可得出a b >，由对数函数的单调性可得出c b <，由此可得出三个实数的大小关系. 【详解】1232a b -=⋅Q ，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥Q ，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查数的大小比较，涉及了指数的运算以及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ） A ．166B ．155C ．566D ．511【答案】C【解析】对甲分甲选牛或羊作礼物、甲选马作礼物，利用分步计数原理和分类计数原理计算出事件“三位同学都选取了满意的礼物”所包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有231060⨯⨯=种；若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有141040⨯⨯=种.因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为31260401005132066A +==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也涉及了分类计数和分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．22【答案】D【解析】作出图形，取该双曲线的左焦点F ，利用双曲线的定义得出12PF PF a =+，从而可得出1APF ∆的周长为1112AP AF PF AF AP PF a ++=+++，利用A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，可求出a 的值，进而求出该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+， 所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+，当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =. 因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时也涉及了与焦点相关的三角形周长最值的计算，利用双曲线的定义转化是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}kn a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()2*12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．212n n a n -=⨯B ．12n n a n -=⨯C ．()212n n a n -=+⨯D ．()1212n n a n -=-⨯【答案】B【解析】根据题中定义结合等式()2*12nn n n a a a n +∆-∆+=-∈N 可得出122n n n a a +=+，等式两边同时除以12n +，可得出111222n n n n a a ++=+，可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，求出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得出n a . 【详解】根据题中定义可得()()2*1112n nn n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，即()1122nn n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122nn n a a +=+，等式两边同时除以12n +，得111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且1122a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n na n n ∴=+-=， 因此，12n n a n -=⋅.故选：B. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及数列的新定义以及等差数列的定义，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ） A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A【解析】推导出当0x ≥时，()()2f x f x +=，结合题中等式得出()()100f f ==，可判断出A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；作出函数()y f x =在区间()1,1-上的图象，利用数形结合思想可判断C 选项的正误；求出函数()y f x =在[)0,+∞上的值域，利用奇函数的性质可得出函数()y f x =的值域，可判断出D 选项的正误. 【详解】Q 函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.二、多选题10．已知点A 是直线:20l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ） A ．(2 B ．()21C ．)2,0D ．()21,1-【答案】AC【解析】设点A 的坐标为()2t t ，可得知当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值90o ，可得出四边形APOQ 为正方形，可得出2OA =，进而可求出点A 的坐标. 【详解】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值， 连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA ==由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=整理得22220t t -=，解得0t =2，因此，点A 的坐标为(2或)2,0.故选：AC. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45 C ．60 D ．75【答案】BC【解析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n K n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈Q ，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC. 【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F 且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．4p =B ．DF FA =u u u r u u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC【解析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断，涉及抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、填空题13．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______. 【答案】1【解析】设()2P X x ==，可得出()10.8P X x ==-，可求出EX 的表达式，利用方差公式可求出x 的值，即可求出EX 的值. 【详解】设()2P X x ==，其中00.8x ≤≤，可得出()10.8P X x ==-，()00.210.820.8EX x x x ∴=⨯+⨯-+=+，()()()()2220.80.20.20.8 1.20.4DX x x x x x =+⨯+-⨯-+-⨯=，解得0.2x =，因此，0.20.81EX =+=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.14．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭两个零点之间的距离为2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.【答案】【解析】根据题中信息求得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求出()y f x =的最小值.【详解】由题意可得()max A f x ==()y f x =的最小正周期为T ，则22T π=，得22Tπω∴==，此时，()()2f x x ϕ=+. 因为函数()y f x =的图象关于直线3x π=-对称，则()232k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，()76k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<Q ，1k ∴=-，6π=ϕ，则()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦Q ，2662x πππ∴-≤+≤，因此，函数()y f x =在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型函数在区间上的最值，解题的关键就是求出三角函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 【答案】60 6240x【解析】求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可求出系数最大的项. 【详解】6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()62612366122kk k kk k C x C x x ---⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以，展开式中的常数项为426260C ⋅=；令()662,6k kk a C k N k -=⋅∈≤，令11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，即61766615662222n n n n n n n n C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得4733n ≤≤，n N ∈Q ，2n ∴=，因此，展开式中系数最大的项为246662240C x x ⋅⋅=.故答案为：60；6240x .本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，5AD =，3ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为92π，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】20π【解析】求出鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，可求出PA ，然后求出正方形ABCD的外接圆半径2r ，利用公式22222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭P ABCD -的外接球半径2R ，然后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】Q 四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，即AD CE ⊥，且5AD =3ED =，所以，ADE ∆的外接圆半径为22122AE AD ED r +===设鳖臑P ADE -的外接球的半径1R ，则314923R ππ=，解得1322R =. PA ⊥Q 平面ADE ，22112PA R r ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22111022PA R r =-=，10PA ∴=正方形ABCD 的外接圆直径为22210r AC AD ==210r ∴=PA ⊥Q 平面ABCD ，所以，阳马P ABCD -的外接球半径225PA R r ⎛⎫=+=因此，阳马P ABCD -的外接球的表面积为22420R ππ=.故答案为：20π. 【点睛】本题考查球体表面积和体积的计算，同时也涉及了多面体外接球问题，解题时要分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，242n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11nn n S S b S S -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）11112n T n n =--+. 【解析】（1）令1n =，求出1a 的值，令2n ≥，由242n n n S a a =+得出211142n n n S a a ---=+，两式相减，利用等差数列的定义可得出数列{}n a 为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求出n a ； （2）求出n S ，可得出11112n b n n =--+，然后利用分组求和法与裂项求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，211142a a a =+，整理得2112a a =，10a >Q ，解得12a =； 当2n ≥时，242n n n S a a =+①，可得211142n n n S a a ---=+②，①－②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()221120n n n n a a a a ----+=，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，10n n a a -∴+>，所以12n n a a --=，从而{}n a 是以2为首项，公差为2的等差数列，所以()2212n a n n =+-=； （2）由（1）知()()()122122n n n a a n n S n n ++===+， 因为()11111111111212n n n n S S b S S S S n n n n -==-=-=--⋅++，1211111111112223212n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=--+--+⋅⋅⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112231212n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+--=-- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求数列通项，同时也考查了分组求和法与裂项求和法，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.18．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=2cos 22cos 12A A +=；③a =④b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2.【解析】（1）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）由①b ac -=()2223a c b +-=-，所以222cos 2a c b B ac +-==， 由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 32B =-<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾. 所以ABC ∆不能同时满足①，②.（2）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以2686263c c =++⨯⨯⨯，即2420c c +-=. 解得62c =-.所以ABC ∆的面积1sin 322S ac B ==-. 若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=，即622sin 3B =，解得sin 1B =， 所以2c =，所以ABC ∆的面积1sin 32S bc A ==.【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图（1），边长为2的正方形ABEF 中，D ，C 分别为EF 、AF 上的点，且ED CF =，现沿DC 把CDF ∆剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC ∆，CDF ∆，ABD ∆沿BC ，CD ，BD 折起，使E 、F 、A 三点重合于点A '，如图（3）.（1）求证：'⊥BA CD ；（2）求二面角'--B CD A 最小时的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）利用图形翻折的几何关系可得出''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出'⊥BA 平面ACD '，由此可证明出'⊥BA CD ；（2）以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，令'=A C a ，'=A D b ，可得出2a b +=，求出平面BCD 和平面ACD'的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角'--B CD A 最小时的余弦值.（1）折叠前BE EC ⊥，BA AD ⊥，折叠后''⊥BA A C ，''⊥BA A D ，又'''⋂=A C A D A ，所以'⊥BA 平面ACD '，因此'⊥BA CD ；（2）由（1）及题意知A C A D ''⊥，因此以A '为原点，A C '、A D '、A B '分别 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：令'=A C a ，'=A D b ，2a b +=，所以(),0,0C a ，()0,,0D b ，()0,0,2B设平面BCD 法向量为(),,m x y z =u r则00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2020ax z bx z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，则22,,1m a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r又平面ACD '法向量为()0,0,1m =u r，设二面角'--B CD A 的大小为θ，所以22cos 1411m nm na bθ⋅==⨯++u r r u r r 又22224412119b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭≥⎝， 当且仅当1a b ==取等号，所以1cos 3θ≤. 所以二面角'--B CD A 最小时的余弦值为13.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质来证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法来计算二面角的余弦值，涉及了利用基本不等式求最值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.20．顺次连接椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>7且面积为43.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与椭圆C 相切于点A ，过点O 作OM l ⊥，垂足为M ，求AMO ∆面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）14. 【解析】（1）根据题意列出关于a 、b 的方程组，解出这两个量，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）结合题意可知，直线l 斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y kx t =+，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，利用0∆=，得出2243t k =+，求出点A 的横坐标，并求出点M 的横坐标以及OM 、AM ，然后利用基本不等式结合三角形的面积公式可求出ABM ∆面积的最小值. 【详解】（1）由题意可得221224327a b a b ⎧⨯⨯=⎪⎨⎪+=⎩2a =，3b =故椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线:l y kx t =+，联立223412y kx tx y =+⎧⎨+=⎩， 得()2223484120kxktx t +++-=，且()()2222644344120k t k t∆=-+-=，得2243t k =+，所以()284234A kt kx t k -==-+，1y x⎧=-⎪kt 1||kt则241k kt AM t k =-++()322441k k kt t k --+==+，所以21111111222124AMO k S AM OM k k k∆=⋅==⋅=⋅≤++，故ABM ∆面积最大值为14，当且仅当1k =±时成立. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，涉及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()()2ln 22f x x ax a x =+-++（a 为常数）.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直，求a 的值； （2）若0a >，讨论函数()f x 的单调性；（3）若a 为正整数，函数()f x 恰好有两个零点，求a 的值. 【答案】（1）4a =；（2）见解析；（3）1a =.【解析】（1）由题意得出()13f '=，即可求出实数a 的值； （2）由0a >，可得出10a>，对1a 与12的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间；（3）分1a =、2a =和2a >三种情况讨论，结合（2）中函数()y f x =的单调性以及零点存在定理来判断出函数()y f x =的零点个数，可得出整数a 的值. 【详解】（1）由题意0x >，()()()()121122ax x f x ax a x x--'=+-+=，则()11f a '=-， 由于函数()y f x =的图象在()()1,1f 处的切线与直线30x y +=垂直， 则()1113f ⎛⎫'⋅-=- ⎪⎝⎭，所以()113f a '=-=，因此，4a =；（2）0a >Q ，则10a >. ①若02a <<时，112a >，当102x <<或1x a>时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<， 所以()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，②若2a =时，112a =，对0x >，()0f x '≥恒成立，()y f x =在()0,∞+单调递增；③若2a >时，112a <，当10x a<<或12x >时，()0f x '>，112x a <<时，()0f x '<，所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；（3）因为a 为正整数，若02a <<，则1a =，()2ln 32f x x x x =+-+，由（2）知()y f x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()10f =，所以()y f x =在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭内仅有1实根，()1102f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 又()()24222330f eee e e -----=-=-<，所以()yf x =在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内仅有1实根.此时，()y f x =在区间()0,∞+内恰有2实根； 若2a =，()y f x =在()0,∞+单调递增，至多有1实根.若2a >，()2111111ln 22ln 1f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令1t a =，则102t <<，ln 1y t t =-+，110y t'=->，所以111ln 1ln 20222y <-+=-<.由（2）知()y f x =在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以1102f f a ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =在()0,∞+至多有1实根.本题考查利用切线斜率求参数、利用导数求含参数函数的单调区间以及利用导数研究函数的零点问题，一般结合函数的单调性与零点存在定理来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，()ln 1,2,,12i i v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ （2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（ⅱ）若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑回归直线$$y abx =+$中公式分别为：()()()121n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑$，a y bx =-$$；②参考数据：308477=⨯9.4868， 4.499890e ≈. 【答案】（1）模型x ty eλ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）0.180.56v x =+$；（ⅱ）21.89亿元.【解析】（1）计算出两个模型的相关系数，选择相关系数绝对值较大的模型拟合较好； （2）（ⅰ）由（1）可知，选择模型x t y e λ+=拟合较好，变形得到ln y x t λ=+，即v t x λ=+，然后利用表格中的数据以及最小二乘法公式求出λ和t 的值，即可得出回归方程；（ⅱ）在所求回归方程中，令90y =，结合题中参考数据可求出x 的值，即可求解. 【详解】（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，()()121430.8650iiu u y y r --====∑，()()122100.9111iix x v v r --===≈∑，则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）先建立v 关于x 的线性回归方程， 由x ty eλ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+；由于()()()121122120.18211iii ii x x v v x x λ==--==≈-∑∑，24.20200.5611t v x λ=-=-⨯≈， 所以v 关于x 的线性回归方程为0.180.56vx =+$， 所以$ln 0.180.56y x =+，则$0.180.56e x y +=；（ⅱ）下一年销售额y 需达到90亿元，即90y =，代入$0.180.56e x y +=，得0.180.5690x e +=， 又44998e 90⋅≈，所以4.49980.180.56x ≈+，所以 4.49980.5621.890.18x -≈≈，所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元. 【点睛】本题考查利用相关系数选择回归模型，同时也考查了非线性回归模型的求解，以及利用回归方程解决实际问题，考查计算能力，属于中等题.。
2019届山东省德州市高三上学期期末联考数学(理)试卷(解析版)
2019届山东省德州市高三上学期期末联考数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.下面是关于复数的四个命题：；；的虚部为2；的共轭复数为.其中真命题为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；故选：A．【点睛】本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（）万元A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【答案】D【解析】【分析】求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．【详解】由题意，，，代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，所以a＝0.75，所以0.6x+0.75，所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f （﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；则f（2019）＝﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期．6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．7.设，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ，可得结果.【详解】由（1，），（1，0），．则（1+k，），由，则0，即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），设与的夹角为θ，则cosθ，又θ∈[0，π]，所以，故选：A．【点睛】本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题. 12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴ =，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．14.设，则的值为__________．【答案】1【解析】【分析】分别令x=0和x=-1，即可得到所求.【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.【点睛】本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题.15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】【解析】【分析】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（ a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．（2）先利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积的最大值．【详解】（1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单调递增区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时取得等号.∴面积，故面积的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.设是等差数列，前项和为，是等比数列，已知，，，. （1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{b n}的通项公式；（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，所以所以上述两式相减，得：==，得.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．19.已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】（1）由点M（﹣1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）．【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标分别为，（ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得：，由，有，由韦达定理得：，，故，可得：，可得：，整理为：，故有，化简整理得：，解得：或，当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点，综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．20.在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：,若，则，，.【答案】（1）0.8185（2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意计算平均值，根据Z～N（，）计算的值；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【详解】（1）由题意得：∴，∵，∴，，∴综上，（2）由题意知，，获赠话费的可能取值为20,40,50,70,100；；；，；的分布列为：∴【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题．21.已知函数，，.（1）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由函数f（x），g（x）在点T处的切线相同，得到，且，从而求出a的值即可；（2）令，将a与0、e分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的a的值.【详解】（1）由题意，，∵点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，故且，由（2）得：，∵，∴，从而，∴代入（1）得：，∴，.（2）令，①当时，，在单调递增，∴，满足题意；②当时，∵，∴，∴，∴，∴在单调递增，需解得：，∴③当时，，使当时，，单调递减；当时，，单调递增；，∵，∴，不恒成立，综上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求的解集.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出a的值即可；（2）代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【详解】（1）由得，当时，由，得，当时，由，无解所以.（2）当时，原不等式化为，所以；当时，原不等式化为，所以（舍）；当时，原不等式化为所以，不等式的解集为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
山东省德州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含解析
高二数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两条直线、，且，其中直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程得直线l 1的斜率，由垂直关系得直线l 2斜率，进而可得倾斜角． 【详解】∵直线l 1的方程为，∴直线l 1的斜率为1， ∵直线l 1与直线l 2垂直， ∴直线l 2的斜率为-1， ∴直线l 2的倾斜角为故选：C ．【点睛】本题考查直线的一般式方程和垂直关系的应用，考查直线的倾斜角，属基础题． 2.命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C.，D.，【答案】C 【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论， 故命题的否定是“”.本题选择C 选项.3.已知双曲线的焦点在轴上，实轴长为2，离心率为2，则双曲线的标准方程为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由实轴长可得a，离心率可得c,再利用,求出b，即可求双曲线标准方程．【详解】∵实轴长2a＝2，∴a＝1,又e＝＝2,∴c＝2,又，∴b2＝3双曲线的焦点在轴上，∴双曲线的标准方程为．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单的几何性质，属于基础题.4.将圆绕直线旋转一周所得的几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知圆绕直线旋转一周所得的几何体是球，由球的表面积公式求解．【详解】圆的圆心坐标为（2，0），半径为2，而直线x+y﹣2＝0过圆心（2，0），∴圆绕直线x+y﹣2＝0旋转一周所得的几何体是半径为2的球，其表面积为S＝=16．故选：D．【点睛】本题考查球的结构特征，考查球表面积公式的应用，是基础题．5.设平面平面，直线平面，直线平面，且，则“”是“”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】由已知结合α⊥β，可得a⊥b，反之不成立，再由充分必要条件的判定方法得答案．【详解】若α⊥β，b⊥l，由面面垂直的性质定理得b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，正确；反之，若a⊥，则a⊥平面即,不一定有．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．6.直线截圆的弦长为4，则（）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】圆化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4，∴圆心（2，1），半径r=2，又直线截圆的弦长为4，∴直线经过圆心，即2a-1+5=0,解得a=-2．故选:A．【点睛】本题考查直线与圆的方程、直线与圆相交弦长问题、配方法，考查了推理能力与计算能力，属基础题．7.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两向量夹角是钝角，则两个向量数量积小于零，用坐标形式表示向量数量积，解不等式，即得x范围．【详解】∵与的夹角为钝角，∴cos＜＞＜0,且与不共线∴＜0,且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣2，x﹣1，2）∴﹣6﹣2（x﹣1）﹣6＜0且,即x>-5且x∴x的取值范围是．故选：B．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积表示解决两个向量的夹角问题，当与的夹角为钝角可得，＜0,与不共线，但是学生容易忽略两个向量共线的情况.8.已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（，1，2），B（），C1（0，2，2），，设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ＝，∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．9.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定出外接球的球心，然后构造直角三角形，求出球的半径，可求球的体积．【详解】由图可得堑堵中截掉阳马后所剩三棱锥的外接球即三棱柱的外接球，取的中点为N和M,则MN和的中点为外接球的球心O，连接,在直角三角形,OM=M,则R=，外接球的体积V=故选：B【点睛】本题考查棱柱棱锥的外接球，常用处理方法：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径.考查空间想象能力，计算能力．10.如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的对称性，求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】F1、F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则为等边三角形且A,B关于原点对称，可得A（-，c），B（，c），代入椭圆方程可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，解得e＝．代入双曲线方程可得，可得，可得：e4﹣8e2+4＝0，解得e＝，则C1与C2的离心率之积为：2．故选：A．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，注意椭圆以及双曲线的对称性的应用是解题的关键．二、多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.11.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（）A. 直线与直线异面B. 直线与直线异面C. 直线平面D. 直线平面【答案】AC【解析】【分析】将平面展开图还原几何体后，由异面直线的定义和线面平行，垂直的判定定理对选项逐个进行分析证明即可得到答案.【详解】由展开图恢复原几何体如图所示：选项A,由点A不在平面PCB内，直线BF不经过E，根据异面直线的定义可知：直线AE与直线BF异面，所以正确；选项B,因为点E,F为中点，根据三角形中位线定理可得EF∥BC，又∵AD∥BC，∴EF∥AD，因此四边形EFDA是梯形，故直线AE与直线DF不是异面直线，所以不正确；选项C,由B知：EF∥AD，EF⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴直线EF∥平面P AD，故正确；选项D,若直线平面，则，点F为中点，则PD=DC=PC，不妨设DC=2，则DF=BF=,BD=2,则DF与BF不垂直，所以不正确.故选：AC．【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义，考查分析推理能力.12.已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. D.【答案】BC【解析】【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.【详解】双曲线离心率为故渐近线方程为，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,则，所以则故选：BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.13.设有一组圆.下列四个命题正确的是（）A. 存在，使圆与轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点【答案】ABD【解析】【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案.【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k），半径为，选项A,当k=，即k=1时，圆的方程为，圆与x轴相切，故正确；选项B，直线x=1过圆的圆心（1，k），x＝1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k：圆心（1，k），半径为k2，圆k+1：圆心（1，k+1），半径为（k+1）2，两圆的圆心距d＝1，两圆的半径之差R﹣r＝2k+1，（R﹣r＞d），∁k含于C k+1之中，若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，即所有圆不过原点，正确．故选：ABD【点睛】本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题．三、填空题（将答案填在答题纸上）14.若两平行直线与之间的距离为，则_____．【答案】5【解析】【分析】将直线写成2x-2y+2=0,然后利用两平行线间的距离求解即可.【详解】直线,即2x-2y+2=0,两平行线间的距离为＝，即|a-2|=3,即a-2=,解得a=5,故答案为：5．【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属基础题．15.已知圆与圆内切，则____，点是圆上一动点，则点到直线距离的最大值为_____．【答案】(1). 0(2). 7【解析】【分析】根据两圆内切求出m的值，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．【详解】圆：x2+y2﹣2x+m＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝1﹣m，由已知两个圆内切得圆心距|等于大圆半径减去小圆半径，即|，解得m＝0，∵圆心（-3，-3）到的距离d＝=1，∴点P到直线的距离的最大值为1+6＝7，故答案为：0,7【点睛】本题考查圆与圆内切的应用，考查圆上的点到直线距离的最值问题，是基础题．16.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____．【答案】【解析】【分析】求△MAF周长最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，根据抛物线定义知|MF|＝|MD|，转为求|MA|+|MD|的最小值，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，即可得到答案．【详解】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|＝|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）＝2+1＝3，∵|AF|＝＝，∴△MAF周长的最小值为3+，故答案为：3+【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．17.在三棱锥中，三条棱、、两两垂直，且，是边的中点，则与平面所成角的正弦值是_____．【答案】【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM，过点O作ON⊥CM于N，则ON⊥平面ABC．∴OM与平面ABC所成的角是∠OMC．在Rt△OMC中，tan∠OMC＝，即OM与平面ABC所成角的正切值为.四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知，命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：“方程表示圆心在第一象限的圆”.（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据方程表示焦点在轴上的椭圆，列出不等式组即可得到m的范围；（2）先求出命题p和q为真命题时m的范围，然后分别取补集再取交集即可得到答案.【详解】（1）若命题是真命题，则，解得；（2）化为∵“方程表示圆心在第一象限的圆.”为真命题∴，解得，即.为假命题则或为假命题则或由和均为假命题，∴或由和均为假命题，∴或∴实数的取值范围为【点睛】本题考查命题真假判断的应用，考查椭圆的标准方程和圆的一般方程的应用，考查推理和计算能力.19.已知圆.（1）若直线过原点且不与轴重合，与圆交于，，试求直线在轴上的截距；（2）若斜率为-1的直线与圆（为圆心）交于、两点，求面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（1）见解析（2）或【解析】【分析】(1)设直线与圆C联立，利用韦达定理化简整理可得直线l的方程，从而得到答案；（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离和弦长，写出面积，然后利用基本不等式求最值，即可得到所求直线方程.【详解】（1）圆，设直线，联立，得：，故，则，故直线，令，得为直线在轴上的截距.（2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，弦长，则的面积为，当且仅当，即时，的最大值为，此时，解得或，直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查直线与圆相交所得弦长的求法，考查点到直线的距离公式和三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，属于中档题.20.如图，在四棱锥中，其中底面为等腰梯形，且，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】(1) 取中点，连接、，说明四边形为平行四边形，即可得到证明；（2）连接点，则，由面面垂直的性质定理可得，利用已知数据可得,平面，由线面垂直的性质即可得到证明.【详解】（1）取线段的中点，连接、，已知为的中点，所以在中，，又因为，所以且所以四边形为平行四边形所以且平面、平面所以平面（2）连接点，因为，为的中点，所以已知平面平面，且平面所以平面，又平面所以在等腰梯形中，可求在中，，所以又，所以平面因为平面所以【点睛】本题考查线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查空间想象能力，属于基础题.21.设抛物线，点，，过点的直线与交于、两点.（1）若（为坐标原点）的面积为4，求直线的方程；（2）求证：轴平分.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】(1) 设直线方程与抛物线方程联立，由弦长公式得到|MN|,求点O到直线的距离公式,利用面积可求得k，从而得到答案；（2）要证轴平分角只要证，利用斜率公式和韦达定理计算化简即可.【详解】设直线的方程为，，由联立可得所以，（1）设点到直线的距离为，则，解得∴直线的方程为：（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，要证轴平分角只要证即可因为、在抛物线上，所以，那么，所以将代入上式，则有即成立所以轴平分角【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查韦达定理，三角形的面积公式，斜率公式的应用，考查分析推理和计算能力，属于中档题.22.如图所示，以2为半径的半圆弧所在平面垂直于矩形所在平面，是圆弧上异于、的点.（1）证明：平面平面；（2）当四棱锥的体积最大为8时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由平面平面，可得平面，得，又，从而得到平面利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）由题意可知在圆弧的中点上且在、上取中点、，以点O为原点，OE,OB,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，求平面SAD和平面SCD的法向量，然后利用向量的夹角公式进行运算即可. 【详解】（1）由已知，平面平面，交线为，且，平面所以平面，故是圆弧上异于、的点，且为直径，所以又，所以平面又平面，所以平面平面（2）显然当四棱锥的体积最大时，在圆弧的中点上，，所以分别在、上取中点、，则可得、、三者两两垂直，分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，，因为平面，可取是平面的一个法向量设是平面的法向量所以，取，可得，，设平面与平面所成的锐二面角大小为则【点睛】本题考查面面垂直的判定定理的应用，考查利用空间向量解决二面角问题，考查空间想象能力和计算能力.23.已知椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于、两点.在轴上是否存在点，使得且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）椭圆上的点到左焦点的距离最大值为a+c,再结合离心率可得a和c的值，再由可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得丨MN丨，由，P在线段MN的中垂线上，利用韦达定理求出中点D的坐标，写出直线PD的方程，令x=0得，平方后即可求得m范围；【详解】（1）由题设条件可得，，解得，，所以，，椭圆的标准方程为：（2）设，，则整理得：，则，则，，假设存在点满足题意，，则，化简整理得，此时判别式恒成立，所以且，设中点，则，，由，则在线段的中垂线上.因为，直线的方程为：，令，则∴∴∵，∴，∴∴∴或.即：.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查韦达定理及弦长公式，中点坐标公式的综合应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
山东省德州市2019届高三数学上学期期末联考试卷理(含解析)
设全集为，集合，，则A. B.C. D.＝下面是关于复数；的虚部为；其中真命题为（A. B. C. D.【答案】和共轭复数，再依次判断命题的真假．＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；（千元）与销售额（万元）（，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【详解】由题意，代入0.6所以a＝0.75所以0.6x+0.75所以x＝50.6×5+0.75＝已知数列为等差数列，且成等比数列，则A. 15B.利用成等比数列出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴成等差数列，∴2∴2＝a+a+5项的和为2a．的奇函数满足，当时，，则A.【答案】，则是的（必要不充分条件＞1”与“时，不能得到“若“”，例如当＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，，，，若A. B. C. D.【答案】由向量的坐标运算得：（，【详解】由，，则k，）由则即k+1＝0（，设与，∈[0，π]，所以，故选：A．如果小正方形的面积为形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则A. B. C. D.【答案】，6设直角三角形的直角边分别为xy，y＝，∴=故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线中，则质点落在图中阴影区域的概率是（A. B. C. D.【答案】[1]x则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的是抛物线上的点，它们的横坐标是抛物线若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056|，…，P n是抛物线∴＝（x+1）+（x+1）+…+（x已知函数，记，若）A. B.C. D.【答案】CA=向上平移到过）时，截距的取值范围是查了函数零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件得到，连接A，在三角形A=2a【详解】∵，∴，又，连接A，，在三角形A又由双曲线定义=2a，可得，∴ =，法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题第Ⅱ卷（共二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为【答案】5【解析】满足约束条件由，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域，则的值为__________．，再令x=-1,则有-1=，∴故答案为1.在平面直角坐标系已知过点的直线与圆相切则实数【答案】【解析】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直垂直，所以圆心与切点，故填：16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点【答案】【解析】的导数为，y，即有切线的斜率为，（）＝a﹣1，，）•），′＞0，S（a取得极小值，且为最小值故答案为：e【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线已知函数的最小正周期为，将函数平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数）求函数的单调递增区间；）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大（面积的最大值．==由它的最小正周期为，∴由，得故函数的单调递增区间是）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得.因为，由余弦定理，得∴，∴，当且仅当时取得等号∴面积，故面积的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数项和为，已知，，（1）求数列和数列，记.【答案】（1），;）设数列的公差为等比数列求数列和{b}）知，）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即又，所以，所以由于所以，即（所以所以和的通项公式分别为，.）知，所以所以上述两式相减，得：==，得【点睛】本题主要考查等差数列、已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是）求椭圆的标准方程；为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆记直线率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.）过定点）在椭圆的离心率是b的标准方程．联立，结合已知条件得直线PQ，从而直线PQ过（）由点在椭圆上，且椭圆，可得，可解得：故椭圆的标准方程为）设点的坐标分别为（ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得：由，有由韦达定理得：，故，可得：，可得：，整理为：故有化简整理得：，解得：或当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点（ⅱ）知，直线过定点）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分近似为这①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠记（单位：求附：参考数据与公式：若，则（，）计算的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．∴，∵，∴∴综上，，获赠话费的可能取值为20,40,50,70,100；；的分布列为：∴【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，已知函数，，）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值；在（得到，，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的a的值）由题意，∵点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，故且由（2）得：，∵，∴，从而，∴）得：，∴.①当时，，在∴②当∵，∴，∴，∴在需解得：，∴③当时，，使当，单调递减；当，单调递增；∵，∴综上，实数的取值范围是.在平面直角坐标系），以坐标原点极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是）求直线的普通方程和曲线）已知直线与曲线交于两点，且；的直角坐标方程是2）（，利用出曲线的直角坐标方程；到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是的中点为，圆心到直线的距离为，则圆，由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、已知函数的解集为，求的值；时，求的解集；得当时，由，当时，由所以.（2）当时，原不等式化为，所以；当时，原不等式化为，所以当时，原不等式化为所以，不等式的解集为。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2019届高三上期末数学分类汇编(18)等差数列与等比数列(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C【解析】【分析】利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）3.等差数列中，，，则数列的前20项和等于（）A. -10B. -20C. 10D. 20【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，计算公差，然后求和，即可。
【详解】，解得，所以，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，难度中等。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）5.在等差数列中，已知是函数的两个零点，则的前10项和等于( )A. -18B. 9C. 18D. 20【答案】D【解析】【分析】由韦达定理得，从而的前10项和，由此能求出结果.【详解】等差数列中，是函数的两个零点，，的前10项和.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）13.设等差数列的前项和为，且,则__________．【答案】【解析】分析：设等差数列{a n}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．详解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）3.已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。
山东省德州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
山东省德州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集2，3，4，5，6，，3，5，，6，，则A. B.C. 3，5，6，D. 3，4，2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 323.函数的定义域是A. B. C. D.4.已知点，则P在平面直角坐标系中位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.如图，边长为2的正方形有一内切圆向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为A. B. C. D.6.根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是，则表中m的值为A. 26B. 27C. 28D. 297.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 38.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对9.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④10.已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为A. B. 1rad C. D. 2rad二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.下列函数中值域为R的有______．A.B C. D.12.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是______．A.样本中支出在元的频率为B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在元13.符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数：，则下列命题正确的是______．A.B.当时，C.函数的定义域为R，值域为D.函数是增函数、奇函数14.已知，，且，则m的取值范围是______．15.已知且，函数的图象恒过定点P，若P在幂函数的图象上，则______．16.已知，，则______；______．17.已知偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，则不等式的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）18.计算(2)19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入单位：千元与月储蓄单位：千元的数据资料，算得，，，附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；判断变量x与y之间是正相关还是负相关；若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．20.已知角的终边上有一点，其中．求的值；求的值．21.现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者，，通晓日语，，，通晓俄语，，通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．列出基本事件；求被选中的概率；求和不全被选中的概率．22.据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为元．在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；为了保证传统农业的顺利进行，限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．23.对于函数，若存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点．当，时，求关于参数1的不动点；若对于任意实数b，函数恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；当，时，函数在上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．山东省德州市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集2，3，4，5，6，，3，5，，6，，则A. B.C. 3，5，6，D. 3，4，【答案】B【解析】【分析】根据并集与补集的定义，写出运算结果．【详解】3，5，，6，，则3，5，6，，又全集2，3，4，5，6，，则．故选：B．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为A. 25B. 26C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．【详解】由题意得高二年级学生数量为：，高三年级学生数量为，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，则，解得．故选：A．【点睛】本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数的定义域是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式和对数函数的定义，求出使函数解析式有意义的自变量取值范围．【详解】函数，，，解得，函数y的定义域是．故选：C．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．求函数定义域的注意点：(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。
德州市2019届高三上学期期末联考数学(理)试卷
高三数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B先化简B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.下面是关于复数的四个命题：；；的虚部为2；的共轭复数为.其中真命题为（）A. B. C. D.【答案】A先将复数化简运算，可得|z|及和共轭复数，再依次判断命题的真假．【详解】复数z2+2i．可得|z|＝2，所以p1：|z|＝2；不正确；z2＝（2+2i）2＝8i，所以p2：z2＝8i；正确；z＝2+2i．z的虚部为2；可得p3：z的虚部为2；正确；z＝2+2i的共轭复数为：2﹣2i；所以p4：z的共轭复数为﹣2﹣2i不正确；故选：A．本题考查复数的运算法则以及命题的真假的判断与应用，是对基本知识的考查．3.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（）万元A. 3B. 3.15C. 3.5D. 3.75【答案】D求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．【详解】由题意，，，代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，所以a＝0.75，所以0.6x+0.75，所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，故选：D．本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．4.已知数列为等差数列，且成等比数列，则的前6项的和为（）A. 15B.C. 6D. 3【答案】C利用成等比数列,得到方程2a1+5d＝2，将其整体代入 {a n}前6项的和公式中即可求出结果．【详解】∵数列为等差数列，且成等比数列，∴，1，成等差数列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{a n}前6项的和为2a1+5d）=．故选：C．本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．5.已知定义在的奇函数满足，当时，，则（）A. B. 1 C. 0 D. -1【答案】D根据题意，可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数是周期为4的周期函数，可得f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），结合函数的奇偶性与式可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f （x），即函数是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1）2＝﹣1；则f（2019）＝﹣1；故选：D．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意函数的周期．6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的，属于基础题．7.设，，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A由向量的坐标运算得：（0，），由数量积表示两个向量的夹角得：cosθ，可得结果.【详解】由（1，），（1，0），．则（1+k，），由，则0，即k+1＝0，即k＝﹣1，即（0，），设与的夹角为θ，则cosθ，又θ∈[0，π]，所以，故选：A．本题考查了数量积表示两个向量的夹角、及向量的坐标运算，属于简单题8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．9.如图所示，正方形的四个顶点，，，，及抛物线和，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】B利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【详解】∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故选：B．本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）A. 2028B. 2038C. 4046D. 4056【答案】B由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，,∴＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）＝x1+x2+…+x2018+2018＝2018+20=2038．故选：B．本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．11.已知函数，记，若存在3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【详解】由g（x）＝0得f（x）＝e x+a，作出函数f（x）和y＝e x+a的图象如图：当直线y＝e x+a过A点时，截距a=，此时两个函数的图象有2个交点，将直线y＝e x+a向上平移到过B（1，0）时，截距a=-e，两个函数的图象有2个交点，在平移过程中直线y＝e x+a与函数f（x）图像有三个交点，即函数g（x）存在3个零点，故实数a的取值范围是，故选：C．零点问题，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题.12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，∴ =，故选D.本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件，则的最大值为____．【答案】5画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解目标函数的最值即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：由解得A（1，2）．由可行域可知：目标函数经过可行域A时，z＝x+2y取得最大值：5．故答案为：5．本题考查线性规划的简单应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．14.设，则的值为__________．【答案】1分别令x=0和x=-1，即可得到所求.【详解】由条件，令x=0,则有=0，再令x=-1,则有-1=，∴，故答案为1.本题考查二项式定理的系数问题，利用赋值法是解决问题的关键，属于中档题.15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．16.已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图像于点，过点作图像的切线交轴于点，则面积的最小值为____．【答案】求出f（x）的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函数f（x）＝的导数为f′（x），由题意可令x＝a，解得y，可得P（a，），即有切线的斜率为k，切线的方程为y﹣（x），令y＝0，可得x＝a﹣1，即B（ a﹣1，0），在直角三角形PAB中，|AB|＝1，|AP|，则△ABP面积为S（a）|AB|•|AP|•，a＞0，导数S′（a）•，当a＞1时，S′＞0，S（a）递增；当0＜a＜1时，S′＜0，S（a）递减．即有a＝1处S取得极小值，且为最小值e．故答案为：e．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，注意运用直线方程和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像.（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，，求面积的最大值.【答案】（1）（2）（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的式，再根据正弦函数的单调求得函数f（x）的单调递增区间．（2）先利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的式，在锐角△ABC中，由g（）＝0，求得A的值，再利用余弦定理、基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC 面积的最大值．【详解】（1）由题得：函数==，由它的最小正周期为，得，∴由，得故函数的单调递增区间是（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图像，在锐角中，角的对边分别为，若，可得，∴.因为，由余弦定理，得，∴，∴，当且仅当时取得等号.∴面积，故面积的最大值为本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.设是等差数列，前项和为，是等比数列，已知，，，.（1）求数列和数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1），;（2）（1）设数列的公差为等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得d，q及首项，则可求数列和{b n}的通项公式；（2）由（1）知，，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的公差为，等比数列的公比为由已知得：，即，又，所以，所以由于，，所以，即（不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，所以所以上述两式相减，得：==，得.本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．19.已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点（1）由点M（﹣1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a＝2，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x0＝1，从而直线PQ过（1，0）．由此能求出直线PQ过定点（1，0）．【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标分别为，（ⅰ）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，，（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得：，由，有，由韦达定理得：，，故，可得：，可得：，整理为：，故有，化简整理得：，解得：或，当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点，综上，由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过定点.本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．20.在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：,若，则，，.【答案】（1）0.8185（2）详见（1）由题意计算平均值，根据Z～N（，）计算的值；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【详解】（1）由题意得：∴，∵，∴，，∴综上，（2）由题意知，，获赠话费的可能取值为20,40,50,70,100；；；，；的分布列为：∴本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题．21.已知函数，，.（1）已知为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）（1）求出函数的导数，由函数f（x），g（x）在点T处的切线相同，得到，且，从而求出a的值即可；（2）令，将a与0、e分别比较进行分类，讨论的单调性及最值情况，从而找到符合条件的a的值.【详解】（1）由题意，，∵点为函数的公共点，且函数在点处的切线相同，故且，由（2）得：，∵，∴，从而，∴代入（1）得：，∴，.（2）令，①当时，，在单调递增，∴，满足题意；②当时，∵，∴，∴，∴，∴在单调递增，需解得：，∴③当时，，使当时，，单调递减；当时，，单调递增；，∵，∴，不恒成立，综上，实数的取值范围是.本题考查了导数的几何意义及函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ），展开得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解．【详解】（1）由直线的参数方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求的解集.【答案】（1）；（2）（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出a的值即可；（2）代入a的值，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【详解】（1）由得，当时，由，得，当时，由，无解所以.（2）当时，原不等式化为，所以；当时，原不等式化为，所以（舍）；当时，原不等式化为所以，不等式的解集为.本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
山东省德州市高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足45iz i =- (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为（ ） A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i --2.设集合2|log (1M {}1)x x -<=，2N {|20}x x x =-<，则M N=（ ）A ．{|12x x <<}B ．{ |13x x <<}C ．{ |03x x <<}D ．{ |02x x <<}3.命题“x R ∃∈，使得210x -=”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，都有210x -= B ．x R ∃∈，都有210x -= C ．x R ∃∈，都有210x -≠ D ．x R ∀∈，都有210x -≠【解析】4.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．455.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2，4)，AC=(1，3)，则AD BD=（）A．-8 B．-6 C．6 D．8=8，故6.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为（ ）A ．K>2B ．K>3C ．K>4D ．K>57.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，2()3f x x x =+，则不等式(1)4f x +<的解集是（ ） A ．(-5，5) B ．(-1，1) C ．(-5，+∞) D ．(-l ，+∞)8.函数y=sin2x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．512π B ．56π C ．1112π D ．116π9.如图，设D 是边长为l 的正方形区域，E 是D 内函数y x =与2y x =所构成(阴影部分)的区域，在D 中任取一点，则该点在E 中的概率是（ ）A ．13 B ．23 C ．16 D ．1410.已知双曲线C 1：22221(00)y x a b a b-=>>，的离心率为2，若抛物线C 2：22(0)y px p =>的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是（ ）A ．28y x = B ．2163y x =C ．283y x =D ．216y x =11.已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象可能是（ ）12.设函数()y f x =在(0，+∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩，取函数ln 1()xx f x e+=，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为1e B ．K 的最小值为1eC ．K 的最大值为2D ．K 的最小值为2考点：应用导数研究函数的单调性及最值，不等式恒成立问题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.设,x y满足约束条件360200,0x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若3y zx z=++，则实数z的取值范围为．考点：直线的倾斜角、斜率，简单线性规划的应用.14.二项式1()nxx-的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是．15.已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．16.下列四个命题：①11 (0,),()()23x xx∃∈+∞>；②23(0,),log logx x x∃∈+∞<；③121(0,),()log2xx x∀∈+∞>；④1311(0,),()log32xx x∀∈<．其中正确命题的序号是．综上知，正确命题的序号是①②④.考点：指数函数、对数函数的性质三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分l2分)已知a，b，c分别为∆ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(sinA，1)，n=(cosA，3，且m//n．(I)求角A的大小；(II)若a=2，2，求∆ABC的面积．故∆ABC 的面积为13+31.考点：平面向量的 坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.18.(本题满分l2分)设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点(0，2a+3)，且在1x =处的切线垂直于y 轴． (I)用a 分别表示b 和c ；(II)当bc 取得最大值时，写出()y f x =的解析式；(III)在(II)的条件下，g(x)满足4()6(2)()(2)3f x xg x x-=->，求g(x)的最大值及相应x值．【解析】考点：二次函数的性质，基本不等式，导数的几何意义.19. (本题满分l2分)某中学经市批准建设分校，工程从2010年底开工到2013年底完工，分三期完成，经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立完成，必须在建完前一期工程后再建后一期工程，已知甲公司获得第一期，第二期，第三期工程承包权的概率分别是34，12，14．(I)求甲乙两公司均至少获得l期工程的概率；(II)求甲公司获得的工程期数的分布列和数学期望E(X)．(II)由题意知，X可取0，1，2，3.利用相互独立事件同时发生的概率计算公式即得.20.(本题满分l2分) 已知等差数列{n a }的首项a 1=1，公差d>0，且2514a a a ，，分别是等比数列{n b }的b 2，b 3，b 4．(I)求数列{n a }与{{n b }的通项公式； (Ⅱ)设数列{n c }对任意自然数n 均有12112...n n nc c c a b b b ++++=成立，求122014...c c c +++的值．【解析】21. (本题满分l3分)已知函数()ln ,0af x x x a x=-->． (I)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)若2()f x x x >-在(1，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．22. (本题满分l3分)已知椭圆C ：2211x y m +=+的两个焦点是F 1(-c,0)，F 2(c ，0)(c>0)。