003振动波动习题汇编(答案)
振动波动习题汇编(学生版)
一、填空题1.1一质点做简谐振动的振动方程为0.5cos 3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（SI ），则该质点振动的振幅A = m ，周期T = s ，初相0ϕ= ，1t =s 时的相位ϕ= ，0t =时刻该质点的位置坐标0x = m ，速度方向沿x 轴 （选填“正向”或“负向”）。
1.2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，其振动方程用余弦函数表示，0t =时质点过平衡位置向负向振动，则该振动的初相0ϕ= 。
（初相在(,]ππ−内取值）1.3 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，其振动方程用余弦函数表示，0t =时质点过2Ax =向正向振动，则该振动的初相0ϕ= 。
（初相在(,]ππ−内取值）1.4 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取做0t =，则该振动初相0ϕ= （初相在(,]ππ−内取值）1.5 一水平弹簧振子做简谐振动，已知振动周期3T s =，则质点从平衡位置振动到振幅一半位置处所需的最短时间为 s 。
1.6 一质点在x 轴做简谐振动，振幅4A cm =，周期2T s =，取其平衡位置为坐标原点，若0t =时刻质点第一次过2x cm =处且向x 轴正方向运动，则质点第二次通过2x cm =处的时刻为 s 。
1.7 已知一水平弹簧振子做简谐振动的振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，则该谐振子系统的总能量E = ，以平衡位置为坐标原点，当弹簧振子运动到2Ax =处时的系统的势能P E = ，此时系统的动能k E = ，当弹簧振子处于x = 处时，系统的动能和势能相等。
1.8 两同方向同频率简谐振动的合成，已知振动方程分别为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=cm t x cm t x )372cos(4)32cos(321ππππ，则合振动的振幅为 cm ，合振动的初相0ϕ=（初相在(,]ππ−内取值）。
1.9 两同方向同频率简谐振动的合成，已知振动方程分别为123cos()654cos()6x t cm x t cmππππ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，则合振动的振幅A = cm ，合振动的初相0ϕ= （初相在(,]ππ−内取值）。
振动、波动练习题
振动、波动练习题振动1. （3380）如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为(A) m k k 212+π=ν ． (B) m k k 2121+π=ν ．(C) 212121k mk k k +π=ν ． (D) )(212121k k m k k +π=ν ． ［ B ］2. （3042）一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为A 21，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ ］3.（5186） 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒．则此简谐振动的振动方程为： (A) )3232cos(2π+π=t x ． (B) )3232cos(2π-π=t x ．(C) )3234cos(2π+π=t x ．(D) )3234cos(2π-π=t x ．(E) )4134cos(2π-π=t x ． ［ ］4. (5181) 一质点作简谐振动，已知振动频率为f ，则振动动能的变化频率是 (A) 4f . (B) 2 f . (C) f .(D) 2/f . (E) f /4 ［ ］ 5. （5311）一质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是(A) T /4． (B) 2/T ． (C) T ．(D) 2 T ． (E) 4T ． ［ ］ 6. (3030) 两个同周期简谐振动曲线如图所示．x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2． (B) 超前π/2．mk 1k 2x o A x A 21ω A 21ω A21-(D) o o o A 21x x x A A x A x ω ωx (cm)t (s)O121x(C) 落后π ． (D) 超前π． ［ ］7. （3009） 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为______________________；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为________________；(3) 振子在位移为A /2处，且向负方向运动，则初相为______． 8. （3015）在t = 0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图(a)、(b)、(c)三种状态．若选单摆的平衡位置为坐标的原点，坐标指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为(a) ______________________________；(b) ______________________________；(c) ______________________________．9.（3553）无阻尼自由简谐振动的周期和频率由__________________________决定．对于给定的简谐振动系统，其振辐、初相由______________决定．10. （3057） 三个简谐振动方程分别为 )21cos(1π+=t A x ω，)67cos(2π+=t A x ω和)611cos(3π+=t A x ω画出它们的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线．11. （3816）一质点沿x 轴以 x = 0 为平衡位置作简谐振动，频率为 0.25 Hz ．t = 0时x = -0.37 cm 而速度等于零，则振幅是_____________________，振动的数值表达式为______________________________．12.（3046） 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2 cm ，则该简谐振动的初相为____________．振动方程为______________________________．13. （3017） 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ；(2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ．(c)v 0v 0v = 0ωωπtxOt =0t = t π/43. (3072)如图所示，一平面简谐波沿x 轴正向传播，已知P 点的振动方程为)cos(0φω+=t A y ，则波的表达式为(A) }]/)([cos{0φω+--=u l x t A y ． (B) })]/([cos{0φω+-=u x t A y ．(C) )/(cos u x t A y -=ω．(D) }]/)([cos{0φω+-+=u l x t A y ． ［ ］4. (3434)两相干波源S 1和S 2相距λ /4，（λ 为波长），S 1的相位比S 2的相位超前π21，在S 1，S 2的连线上，S 1外侧各点（例如P 点）两波引起的两谐振动的相位差是：(A) 0． (B) π21． (C) π． (D) π23． ［ ］5. (3101)在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动(A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． ［ ］6. (3112)一机车汽笛频率为750 Hz ，机车以时速 90 公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s ）．(A) 810 Hz ． (B) 699 Hz ．(C) 805 Hz ． (D) 695 Hz ． ［ ］二 填空题.7. (本题3分)(3420)一简谐波沿BP 方向传播，它在B 点引起的振动方程为 t A y π=2cos 11．另一简谐波沿CP 方向传播，它在C 点引起的振动方程为)2cos(22π+π=t A y ．P 点与B 点相距0.40 m ，与C 点相距0.5 m （如图）．波速均为u = 0.20 m/s ．则两波在P 点的相位差为______________________．8. (本题3分)(3076)xOu l PyS 1S 2P λ/4P CB图为t = T / 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波的表达式为______________________________________________．9. (本题5分)(3133)一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波长为λ．若如图P 1点处质点的振动方程为)2cos(1φν+π=t A y ，则P 2点处质点的振动方程为_________________________________；与P 1点处质点振动状态相同的那些点的位置是___________________________．10. (本题3分) (3291)一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是___________．11. (本题3分)(3587)两个相干点波源S 1和S 2，它们的振动方程分别是 )21cos(1π+=t A y ω和)21cos(2π-=t A y ω．波从S 1传到P 点经过的路程等于2个波长，波从S 2传到P 点的路程等于7 / 2个波长．设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到P 点的振动的合振幅为__________________________．12. (本题4分)(3317)一弦上的驻波表达式为)90cos()cos(1.0t x y ππ=(SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波长为________________，频率为__________________．三 计算题13. (本题8分)(3335)一简谐波，振动周期21=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：(1) 此波的表达式； (2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移；x (m)O -0.101u =330 m/sy (m)234xOP 1P 2L 1L 2(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．14. (本题10分)(3410)一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100cos(05.0x t y π-π= (SI) (1) 求此波的振幅、波速、频率和波长． (2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度． (3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差．15. (本题8分)(5516)平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．16. (本题8分)(3143)如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式；(2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式．17. (本题8分)(3158)在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为 )]/(2cos[1λνx t A y -π=与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最大与合振幅最小的那些点的位置．x (m)100-AP O 2/2A y (m)。
第3章 振动、波动和声详细答案
思考题3-1 如何判断简谐振动？3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？ 3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？3-5 振动的能量由什么决定？3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？ 3-7 什么是共振？3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪些量会变化？3-9 波动方程和振动方程有什么区别？ 3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？ 3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？ 3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？ 3-16 什么是多普勒效应？3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？ 参考答案3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动：①ks F -=；②02=+s dtds ω；③)cos(ϕω+=t A s ；3-2 当相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为π的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动.3-3 位移S 轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，沿顺时针方向的夹角取负.一般在2π内，小于π取正，大于π取负.例如，初相位23π，一般取2π-.3-4 因为简谐振动的速度和加速度表达式为),cos(ϕω+=t A sv=)2cos()sin(πϕωωϕωω++=+-t A t A)cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同,有时会一样有时会相反,在一、三象限方向一致,二、四象限方向相反，为正时方向和位移轴的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移2π滞后加速度2π.3-5 振动的能量守恒，能量221kA E =由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来决定.3-6 因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动.简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼.只有欠阻尼的振动具有周期性和重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动.受迫振动和阻尼振动不同，阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越小，而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态，振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变.3-7 当外界振动的频率ω与系统固有频率o ω满足βωω220-=这个关系时，系统的振动振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数β越小共振振幅越大，阻尼系数β越大，共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为零，所以共振振幅趋于无穷大.3-8 机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质.波在不同介质中传播周期保持不变，而波速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同.3-9 振动方程和波动方程都是描写质点的位移.振动方程是描写一个质点随时间的变化规律，而波动方程是描写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数.当波动方程中空间质点的位置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程.3-10 简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大势能为零，在最大位移处，动能为零势能最大.简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不守恒呈周期性的变化，任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的质点获得能量开始振动，振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及远由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程.3-11 当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这种现象称为波的干涉.发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同，相位差恒定.3-12 两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动，在这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波.驻波没有能量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动的特殊波，不是行波.简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和能量，所以有传播方向.3-13 引起人听觉的最低声强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率. 3-14 人耳听觉的频率范围是20-20000Hz ，所以人的听觉范围是20Hz 频率线、20000Hz 频率线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域.人耳最敏感的闻阈频率是1000 Hz -5000Hz.3-15 声强级大的响度级不一定高.例如，有可能30dB 的声音响度级小于10dB 的响度级.在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB 的声音响度级在20-20000Hz 范围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大. 3-16 当波源或者观察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应.3-17 次声波（小于20Hz ）的频率低波长长，超声波(大于20000Hz)的频率高波长短，所以，次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波，超声波不宜在空气中传播，衰减很快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播. 计算题3-1. 作简谐振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初相是多少？⑴在正的最大位移处； ⑵负的最大位移处；⑶平衡位置，向负方向运动； ⑷平衡位置，向正方向运动. 解： )cos(ϕω+=t A sv = )2cos(πϕωω++=t A )cos()cos(22πϕωωϕωω++=+-=t A t A a⑴ 0,,2=-==ϕωA a A s ; v =0 ⑵ πϕω==-=,,2A a A s ; v =0 ⑶ 2,0,0πϕ===a s ; v =-ωA⑷ 2,0,0πϕ-===a s ；v =ωA3-2. 一简谐振动的振幅为A ，周期为T ，以下列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：（1）物体过平衡位置向s 轴负方向运动；（2）过2A 处向s 轴正方向运动.)sin(ϕωω+-t A解：⑴ 由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为2π±=ϕ，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s 轴正方向运动，由题意得初相为：2πϕ=，振动的表达式为：)22cos()cos(ππϕω+=+=t TA t A s ；⑵ 由旋转矢量图示法可知，物体过2A 处，3πϕ±=，取正号时物体必然会向s 轴负方向运动，取负号物体必然会向s 轴正方向运动，由题意知向s 轴正方向运动初相为：3πϕ-=，振动的表达式为)32cos()cos(ππϕω-=+=t T A t A s .3-3、 一弹簧振子放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为kg 2.0的物体，设弹簧的劲度系数为1m N 8.1-⋅，求在下列情况下的谐振动方程.（1）将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放.（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅. 解：32.08.1===m k ω1s rad -⋅ ⑴ 将物体从平衡位置向右移m 05.0后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻向位移的负方向运动，所以，05.0=A m ,0=ϕ. 振动方程为 t s 3cos 05.0=(m)（2）将物体从平衡位置向右移m 05.0后给与向左的速度1s m 15.0-⋅,则 05.0cos 0==ϕA s ，v 0=15.0sin -=-ϕωA ,205.0)315.0(05.022=-+=A (m)，4)305.015.0arctan(πϕ=⨯=，振动方程为 )43cos(205.0π+=t s (m)3-4、质量为m 物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为T ，当它作振幅为A 的简谐振动时，其振动能量E 是多少？ 解：,2Tπω=22222221A Tm A m E πω==3-5、 一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，)324cos(05.01π+π=t s ， )344cos(03.02π-π=t s ，求合振幅的大小是多少？解： πππϕϕϕ∆2)34(3221=--=-=)(08.003.005.021m A A A =+=+= 合振动的振幅为0.08m ．3-6、 弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一，总能量是多少？,若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？解：8121811)3()3(2121222222E A m A m A m E =⨯==''='ωωω总能量是原来的81分之一.∵ 2222222221214)2(2121A m A m A m A m E ωωωω='⨯='=''=' ∴ 2ωω='，即要保持总能量不变，频率必须是原来大小的一半. 3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm ，与第一个简谐振动的相位差为61πϕϕ=-，若第一个简谐振动的振幅为310 cm = 17.3 cm ，则第二个简谐振动的振幅是多少？两个简谐振动的相位差)(21ϕϕ-是多少？ 解：已知61πϕϕ=-,20=A cm, 3101=A cm由矢量关系可知：1006cos 310202310(20)cos(22)21121222=⨯⨯-+=--+=πϕϕAA A A A102=A cm)c o s (2212122212ϕϕ-++=A A A A A )c o s (10310210)310(2021222ϕϕ-⨯⨯++= ,0)21c o s (=-ϕϕ ,...2,1,0,2)12(21=+±=-k k πϕϕ3-8、波源的振动方程为)39t 4cos(04.0s π+π=m ，以2.01s m -⋅无衰减地向 X 轴正方向传播，求：①波动方程，② x =8m 处振动方程；③ x =8m 处质点与波源的相位差.解：① 波动方程]39)2(4cos[04.0]39)(4cos[04.0ππππ+-=+-=x t u x t s (m)② x =8m 处振动方程)39384cos(04.0]39)28(4cos[04.0ππππ-=+-=t t s (m) ③ x =8m 处质点与波源的相位差πππϕϕϕ∆-=--=-=393938123-9、如图3-9图所示一平面简谐波在0=t 时刻的波形图，求 (1)该波的波动表达式；(2)P 处质点的振动方程.解：从图中可知：04.0=A m, 40.0=λm,08.0=u 1s m -⋅,2πϕ-=508.040.0===uT λ,ππω4.02==T(1) 波动表达式：]2)08.0(4.0cos[04.0ππ--=x t s (m)(2) P 处质点的振动方程．)234.0cos(04.0]2)08.02.0(4.0cos[04.0ππππ-=--=t t s (m) 3-10、 O 1，O 2是两列相干波源，相距2.5λ，O 1超前O 2相位3π，两列波的振幅都是A ，波长为λ，两列波无衰减地传播，P 、Q 分别在O 1，O 2的连线上，P 在O 2的外侧1.5λ，Q 在O 1的外侧2.0λ，求：① O 1，O 2连线中点处质点的振幅？② P 点处质点的振幅？③ Q 点处质点的振幅？解：① πλππλπϕϕϕ∆3023)(2,212121=⨯-=---==x x x x ，021=-=A A A ,所以连线中点处质点的振幅为零. ② πλλππλπϕϕϕ∆25.223)(22121-=⨯-=---=x xA A A A 221=+=P 点处质点的振幅是A 2 ③ πλλππλπϕϕϕ∆8)5.2(23)(22121=-⨯-=---=x xA A A A 221=+=Q 点处质点的振幅是A 23-11、一波源以)9.14cos(03.0ππ-=t s m 的形式作简谐振动，并以1001s m -⋅的速度在某种介质中传播.求：① 波动方程；② 距波源40m 处质点的振动方程；③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相? 解：已知πϕπω9.1,100,4,03.0-====u A ，则① 波动方程为：]9.1)100(4cos[03.0ππ--=x t s (m)② 距波源40m 处质点的振动方程)24cos(03.0]9.1)10040(4cos[03.0ππππ-=--=t t s （m ）③ 在波源起振后1.0s ，距波源40m 处质点的位移、速度及初相?x (m) O -0.040.20 u = 0.08 m/ss(m)P0.400.6002.02203.0)20.14cos(03.0≈⨯=-⨯=ππs (m)v =-02.02203.0)20.14sin(4-≈⨯⨯-=-⨯πππωA (1s m -⋅) πϕ2-=3-12、初相相同的两相干波源A 和B 相距40m ，频率为50Hz ，波速为5001s m -⋅，求两相干波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？解：以A 为坐标原点，A 和B 连线为X 轴，方向由A 向B ：则波程差为 402)40(-=--=-=x x x r r B A δ,1050500===νλu m相干加强的位置λk x ±=-402，)3,2,1,0(520=±=k k x相干减弱的位置2)12(402λ+±=-k x)3,2,1,0)(5.0(520=+±=k k x3-13、沿绳子传播的波动方程为)7310.0cos(05.0πππ+-=t x s m ，求波的振幅，频率，传播速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度.解：]7)30(3cos[05.0)7310.0cos(05.0πππππ--=+-=x t t x s (m)振幅05.0=A m ，频率5.1232===πππωνHz ，传播速度为30=u 1s m -⋅， 波长为205.130===νλu m ，横向最大振动速度v max =1.47)14.33(05.0=⨯⨯=ωA c 1s m -⋅3-14、弦线上驻波相邻波节的距离为65cm ，振动频率为2102.3⨯Hz ，求波长和波的传播速度.解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为130652=⨯=λcm=1.3m416102.33.12=⨯⨯==λνu 1s m -⋅3-15、在空气中某点声波的强度为5100.2⨯2m W -⋅，振幅为2mm ，空气密度1.293m kg -⋅，波速为3441s m -⋅，求波长和平均能流密度.解：① 2221A u I ωρ=42352105.1)102(34429.1100.222⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-uA I ρω341039.214.32105.12⨯=⨯⨯==πων4.141039.23443≈⨯==νλu cm② 581344100.221522≈⨯===u I A ρω3m J -⋅3-16、某声音的声强级比声强为26m W 10--⋅的声音的声强级大20dB 时，问此声音的声强是多少？解：601010lg 101262==--L （Db ）120110lg 10lg 10806020-===+=I I I L410-=I 2m W -⋅3-17、频率为5Mhz 的超声波进入人体软组织，求：①波长；②在20cm 处软组织中往返一次所需要的时间（超声波在体内软组织的传播速度为1s m 1540-⋅）.解：①mm m u 31.0)(1008.3105154046=⨯=⨯==-νλ② s s t μ260)(1060.2154022.04=⨯≈⨯=-3-18、已知空气、软组织、颅骨的密度分别为0.0012、1.016、1.658（3cm g -⋅），对应在其中传播的 声速分别为344、1500、3360（1s m -⋅），求超声波垂直入射时空气与软组织、软组织与颅骨交界面上的声强反射系数？ 解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为331111041.0344100012.0⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅33222101524150010016.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 33333105571336010658.1⨯=⨯⨯==u Z ρ12s m kg --⋅⋅ 空气与软组织的反射系数：9.99999.0)1041.010152410041101524()(2333321212=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α% 软组织与颅骨的反射系数：5757.0)101524105571101524105571()(2333322323=≈⨯+⨯⨯-⨯=--=z z z z α% 3-19、 一列火车以20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，某人站在机车前和机车后所听到的声音频率分别是多少？（设空气中声速为340 m/s ）. 解：在车前听到的频率 5.63760020340340=⨯-=-='ννs u u v (Hz) 在车后听到的频率(Hz)7.56660020340340=⨯+=+='ννs u u v w3-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz 的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时，飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少？解：蝙蝠飞向墙壁时，蝙蝠发出超声波，自己作为声源在运动，而墙壁作为接收者不动，接收到的频率升高为：ννν3839)3811(1=+='u u从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动，因此，蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为4002638000)3839(3839)3811(2112=⨯='='+='νννu uHz .。
波动与振动-答案和解析
1. 一简谐振动的表达式为)3cos(ϕ+=t A x ，已知0=t 时的初位移为, 初速度为s -1，则振幅A = ，初相位 =解：已知初始条件，则振幅为：(m )05.0)309.0(04.0)(222020=-+=-+=ωv x A 初相： 1.1439.36)04.0309.0(tg )(tg 1001或-=⨯-=-=--x v ωϕ因为x 0 > 0, 所以 9.36-=ϕ2. 两个弹簧振子的的周期都是, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。
解：从旋转矢量图可见，t = s 时，1A 与2A反相，即相位差为。
3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的 （设平衡位置处势能为零）。
当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l ∆,这一振动系统的周期为 解：谐振动总能量221kA E E E p k =+=，当A x 21=时4)2(212122EA k kx E p ===，所以动能E E E E p k 43=-=。
物块在平衡位置时， 弹簧伸长l ∆，则l k mg ∆=，lmgk ∆=，振动周期gl km T ∆==ππ224. 上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 ，物体将会脱离平台（设2s m 8.9-⋅=g ）。
解：在平台最高点时，若加速度大于g ，则物体会脱离平台，由最大加速度g A v A a m ===22)2(πω 得最大振幅为1A 1A 2Ax=t .0=t 5.0=t(m)100.11093.9548.94232222--⨯≈⨯=⨯==ππv g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为A ω-、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的 点。
振子处在位移的绝对值为A 、速度为零、加速度为-2A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 点。
振动、波动部分答案
振 动一、填空题： 1、21T ； 2、;10cm A =16-⋅=srad πω；3πϕ=； 3、gl 322π4、（略）； 二、计算题： 1、 解：是；假设木块的边长为L ，平衡时浸入水中的高度为h ， 平衡时: h gl F mg 2水浮＝ρ=在任一位置时：x l l x h h gl F mg F g )(g 222水水水浮＝ρρρ-=+-'-=∑ 令 K ＝g 2水ρl则∑Kx F ＝－，K 是一个常数，表明木块所作的运动是简谐振动。
由∑=22dtx d m F ，可得木块运动的微分方程为：22dtx d ＋0/2=m x gl 水ρ令m l /g 22水ρω=，可得其振动周期为：2/22l g m T 水ρπωπ==2、解：（1）要求物体的简谐运动方程，要确定角频率、振幅和初相：110.602.072.0--=⋅==skg m N mk ω再根据2202ωv x A +=由于0,05.000==v m x ，故m x v x A 05.0022020==+=ω初相：00=-=x v tg ωϕ，πϕ或0=，根据已知条件：0=ϕ则简谐振动的方程为：])0.6cos[()05.0(1t s m x -= （2）物体第一次抵达2A 处时，即t A ωcos 2=，故353ππω或=t ，用旋转矢量法，得3t πω=，故：126.0sin -⋅-=-=s m t A v ωω3、解： （1）由题意，假设简谐振动的表达式：)cos(ϕω+=t A x 得速度的表达式：)sin(ϕω+-=wt A v 故：ωA v m ==2103-⨯故：5.110210322=⨯⨯==--Av m ω（2）由速度的表达式可得加速度的表达式为：)cos(2ϕωω+-=t A a则：2ωA a m ==2222/105.45.1102s m --⨯=⨯⨯ （3）振动的表达式为：)25.1cos(1022π-⨯=-t x4、解： 如图所示，可得两个分振动分别为：)2cos(08.01ππ-=t x )2cos(04.02ππ+=t x故：合振动的方程为：)2cos(04.021ππ-=+=t x x x5、解：由旋转矢量法解。
振动、波动练习题及答案
振动、波动练习题及答案振动、波动练习题⼀．选择题1．⼀质点在X 轴上作简谐振动，振幅A=4cm。
周期T=2s。
其平衡位置取作坐标原点。
若t=0 时刻质点第⼀次通过x= -2cm 处，且向X 轴负⽅向运动，则质点第⼆次通过x= -2cm 处的时刻为（）。
A 1sB 2sC 4sD 2s332．⼀圆频率为ω的简谐波沿X 轴的正⽅向传播，t=0 时刻的波形如图所⽰，则t=0 的波形t=0 时刻，X 轴上各点的振动速度υ与X轴上坐标的关系图应（）3．图⽰⼀简谐波在 t=0 时刻的波形图，波速υ =200m/s ，则图中O 点的振动加速度的表达式为（）2A a 0.4 2 cos( t ) 2 23B a 0.4 2 cos( t )22C a 0.4 2cos(2 t ) 4．频率为 100Hz ，传播速度为 300m/s 的平⾯简谐波，波线上两点振动的相位差为 3 ，则这两点相距（）A 2mB 2.19mC 0.5mD 28.6m5．⼀平⾯简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从平衡位置运动到最⼤位置处的过程中，（）。
A 它的动能转换成势能它的势能转换成动C 它从相邻的⼀段质元获得能量其能量逐渐增⼤Da20.4 2 cos(2 t2)υ (m/s)Bυ (m/s)DX(m)D 它把⾃⼰的能量传给相邻的⼀段质元，其能量逐渐减⼩6．在下⾯⼏种说法中，正确的说法是：（）。
A 波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的B 波源振动的速度与波速相同C 在波传播⽅向上的任⼀质点振动位相总是⽐波源的位相滞后D 在波传播⽅向上的任⼀质点振动位相总是⽐波源的位相超前7．⼀质点作简谐振动，周期为T，当它由平衡位置向X 轴正⽅向运动时，从⼆分之⼀最⼤位移处到最⼤位移处这段路程所需要的时间为（）。
A TBTCTDT4 12 6 88．在波长为λ的驻波中两个相邻波节之间的距离为（）。
A λB 3 λ/4C λ/2D λ /49．在同⼀媒质中两列相⼲的平⾯简谐波的强度之⽐I1I 4是，则两列波的振幅之⽐是：（）A A1 4 B1 2 CA1 16 DA11A2 A2 A2 A2 410．有⼆个弹簧振⼦系统，都在作振幅相同的简谐振动，⼆个轻质弹簧的劲度系数K 相同，但振⼦的质量不同。
振动波动检测题解答
A, x k;
1 C , x (2k 1) ; 2
1 B, x k ; 2
D, x (2k 1) 4.
振动和波动检测题部分解答
解:
y y1 y2 A cos
2x 0
2x
cos 2t
cos
时
2x
(2k 1)
2
x (2k 1)
由(1)、(2)两式可得
m2 g k x
振动和波动检测题部分解答
m1x T 2 m2 g
应该选 B
振动和波动检测题部分解答
2 一简谐振动曲线如图所示,则振动周期为[ B ]
x(cm)
A,2.62s; C,2.20s;
B,2.40s; D,2.00s.
4 2
t (s )
1
o
振动和波动检测题部分解答
解:
2 振动方程为 x 4 10 cos( ) T
2
当t=0时,
x0 0.02
2 v0 A sin 0 T
3
2 x 4 cos( ) T 3
振动和波动检测题部分解答
t 1时，x 0
2 0 0.04 cos( ) T 3
y
B
O
x
L
振动和波动检测题部分解答
解:
t x 设 y反 A cos[ 2 ( ) ' ] T t L y入B A cos[ 2 ( ) ] T
y 反B
t L A cos[ 2 ( ) ] T
2L
反OB '
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
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) 3
S1 , S 2 ， 振 幅 皆 为
S1
S2
因为波沿 x 轴正向传播 故，波函数为 y 0.1cos[20 (t
x ) ] m 20 3
A 3cm ，当 S1 为波峰时，S2 恰好为波谷，波长
λ=10cm ， PS1 S 2 0 。 解：由图知， S1 P 30cm, S2 P 50cm, S1和S2两列波传播到P点后相遇时的位相差为：
幅为 7 cm ，合振动的初相 0
3
（初相在 ( , ] 内取值） 。 8. 两同方向同频率简谐振动的合成， 已知振动方程
2
（初相在 ( , ] 内取值）
4. 一 水 平弹 簧 振 子做 简 谐 振 动， 已 知 振 动周 期
x1 3cos( t )cm 6 分别为 ，则合振动的振幅 5 x 4 cos( t )cm 2 6
向正向振动，则该振动的初相 0 （初相在 ( , ] 内取值） 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达） ，若将振 动速度处于正最大值的某时刻取做 t 0 ， 则该振动 初相 0
3
。
x1 3 cos( 2t )cm 3 分别为 ，则合振动的振 x 4 cos( 2t 7 )cm 2 3
A
1 cm ，合振动的初相 0
T 3s ， 则质点从平衡位置振动到振幅一半位置处
所需的最短时间为
0.25
s。
5 6
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机械振动机械波习题汇编
（初相在 ( , ] 内取值） 。
解：设原点处质点振动方程为
9. 已知一简谐波波函数为 y 0.2 cos (10t x ) 2
2.如图所示一平面简谐波， 图(a)表示 t 0 时刻的波 形图， 图(b)表示坐标原点 x 0 处质元的振动曲线， 求 1） 原点处质点的振动方程； 2） 此波的波动方程。
，则 P 点的合振幅为 2
(20 10 ) 2 ( 2 ( 20 ) 3 10
0
，波沿 x 轴负向传播 2
x 2
原点处质点振动方程为 y0 0.2 cos( t 故波函数为 y 0.2 cos[ (t )
] 2
) 2
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（SI） ，则该简谐波的振幅 题图可知： A 0.1m ， u 20m / s ， 2m
m ，周期 m / s ，波长
方向（填
T
T
0.4
s ，波速 u
4 m ，传播方向沿 x 轴
“正”或“负”） 。 10. 如图所示， 同一介 质中有两个相干波源
3 0cm
2 0.1s ， 20 ， u T 已知 t 0 时原点处质点的振动状态为 A y0 A cos 0 ， v0 A sin 0 0 2 故知原点的振动初位相为 0 3
P
原点处质点振动方程为 y0 0.1cos(20 t
时刻该质点的位置坐标 x0 方向沿 x 轴 向”） 。 负向
（选填 “ 正向 ” 或 “ 负
1 2 kA 2
，以平衡位置为坐标原点，当弹簧振子运
动 到 x
A 处 时 的 系 统 的 势 能 EP 2
，此时系统的动能 Ek
2.一个沿 x 轴做简谐振动的弹簧振子，其振动方程 用余弦函数表示， t 0 时质点过平衡位置向负向振 动，则该振动的初相 0
1 2 kA 8
3 2 kA 8
，
2
。 （初相在
当弹簧振子处于 x 动能和势能相等。
2 A 2
处时，系统的
( , ] 内取值）
3.一个沿 x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，
7. 两同方向同频率简谐振动的合成， 已知振动方程
A t 0 时质点过 x 其振动方程用余弦函数表示， 2
S 2 P S1 P
)
解：1）设原点处质点振动方程为
位相差为 的奇数倍，是相消干涉，所以P点 的合振幅为0。 （1分） 二、计算题 1. 一平面简谐波沿 x 轴正向传播， t =0 时刻的波 形图如下图所示， 已知波速为 20 m·s-1， 波长为 2m， 求：1）原点处质点的振动方程；2）该简谐波的波 动方程（初位相在 ( , ] 区间内取值）。
机械振动机械波习题汇编
一、填空题 1. 一 质 点 做 简 谐 振 动 的 振 动 方 程 为
5.一质点在 x 轴做简谐振动，振幅 A 4cm ，周期
T 2 s ，取其平衡位置为坐标原点，若 t 0 时刻
质点第一次过 x 2cm 处且向 x 轴正方向运动，则 质点第二次通过 x 2cm 处的时刻为
y0 A cos(t 0 )
由图知： A 0.2m ， 4m ， T =2 s ，
u
4 2 2m / s , T 2 T 由图知 t 0 时原点处质点的振动状态为
y0 A cos 0 0 ， v0 A sin 0 0
x 0.5cos t （SI） ，则该质点振动的振幅 3
A
0.5 周期 T m， 2 初相 0 s，
2 3
s。
3
t 1 s 时的相位 ，
0.25
4 3
t0 ， m ，速度
6.已知一水平弹簧振子做简谐振动的振幅为 A ，弹 簧劲度系数为 k ，则该谐振子系统的总能量 E