二次函数新定义问题

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42 二次函数创新题及新定义问题

二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y 1的图象经过点A （1，1）可以求出m 的值，然后根据y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”就可以求出函数y 2的表达式，然后将函数y 2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．练习1.设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为（a ，b ）、（c ，d ），当a=﹣c ，b=2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x 的二次函数y 1=x 2+nx 和二次函数y 2=nx 2+x ，函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x 2+x+1，∴y=，∴二次函数y=x 2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y=x 2﹣x+；（2）y 1+y 2=x 2+nx+nx 2+x=（n+1）x 2+（n+1）x ，y 1+y 2=（n+1）（x 2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y 1﹣y 2=x 2+nx ﹣nx 2﹣x=（1﹣n ）x 2+（n ﹣1）x ，y 1﹣y 2=（1﹣n ）（x 2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，解得n=．1．小爱同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是．（2）延伸思考：将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y < 时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|2|1)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：2x =-或0x =或2x =；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是10a -<<．故答案为函数图象关于y 轴对称；2x =-或0x =或2x =；10a -<<．（2）将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，当123y < 时，自变量x 的取值范围是04x <<且2x ≠．2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点(1,)A r 与点(,4)B s 是关于x 的“T 函数”()24(0)0,0,x y x tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =，s =，t =（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数(y kx p k =+，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2(0y ax bx c a =++>，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:(0l y mx n m =+≠，0n >，且m ，n 是常数）交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，当1x ，2x 满足112(1)1x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【分析】（1）由A ，B 关于y 轴对称求出r ，s ，由“T 函数”的定义求出t ；（2）分0k =和0k ≠两种情况考虑即可；（3）先根据过原点得出0c =，再由“T 函数”得出b 的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l 的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：（1）A ，B 关于y 轴对称，1s ∴=-，4r =，A ∴的坐标为(1,4)，把(1,4)A 代入是关于x 的“T 函数”中，得：4t =，故答案为4r =，1s =-，4t =；（2）当0k =时，有y p =，此时存在关于y 轴对称得点，y kx p ∴=+是“T 函数”，且有无数对“T ”点，当0k ≠时，不存在关于y 轴对称的点，y kx p ∴=+不是“T 函数”；（3）2y ax bx c =++过原点，0c ∴=，2y ax bx c =++是“T 函数”，0b ∴=，2y ax ∴=，联立直线l 和抛物线得：2y ax y mx n ⎧=⎨=+⎩，即：20ax mx n --=，12m x x a +=，12n x x a-=，又112(1)1x x --+=，化简得：1212x x x x +=，∴m n a a-=，即m n =-，y mx n mx m ∴=+=-，当1x =时，0y =，∴直线l 必过定点(1,0)．3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）写出一组a ，b ，使得240b ac ->即可；（3）已知1a b ==，则21y x x =++．容易得到2211P Q p p q q +=+++++，利用2p q +=，即2p q =-代入对代数式P Q +进行化简，并配方得出22(1)66P Q q +=-+ ．最后注意利用p q ≠条件判断1q ≠，得证．【解答】解：（1）由题意，得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以，该函数表达式为221y x x =-+．并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++，2450b ac -=>，∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点．（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+ ，由条件p q ≠，知1q ≠．所以6P Q +>，得证．4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，即可求解；（2）①抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，而1a >，04c <<；由M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，即可求解；②求出点M 的坐标为4(a -，0)、点E 的坐标为2(a -，2a-，即可求解；（3）分两种情形：点C 在PB 的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，当2x =±时，42y x ==±，故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）①“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y x =，抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，1a >，故04c <<；M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，综上，04c <<；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a ++=，解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =，解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242(E M MH x x HE a a a=-=---==，故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：当点C 在PB 的下方时，由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ，过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++，3PN m =-，PM m t =-，223CM m m t =-++-，90NPB MPC ∠+∠=︒，90MCP CPM ∠+∠=︒，NPB PCM ∴∠=∠，90CMP PNB ∠=∠=︒，PC PB =，()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得101m =101-，当点C 在PB 的上方时，过点P 作PK OB ⊥于K ，CH KP ⊥交KP 的延长线于H ．同法可证，CHP PKB ∆≅∆，可得CH PK =，HP BK =，t m n -=，3t n m -=-，223n m m =-++32m ∴=，154n =，3(2P ∴，15)4，故点P 的坐标为2(2-，32或(12+，3)2或3(2，15)4．5．（2021•江西）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D '，如表：⋯(1,3)B -(0,0)O (1,1)C -(A 2，)(3,3)D ⋯⋯(5,3)B '-(4,0)O '(3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '-⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0)abc ≠；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，找出公共部分即可；②设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，分下面两种情形：)i 当1a '=-时，)ii 当1a '≠-时，分别讨论计算即可；③观察图1和图2，可知直线y m =与抛物线22y x mx =-及“孔像抛物线”L '有且只有三个交点，即直线y m =经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L '的顶点或经过公共点A ，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①(1,3)B -、(5,3)B '-关于点A 中心对称，∴点A 为BB '的中点，设点(,)A m n ，1522m -+∴==，3302n -==，故答案为：(2,0)；②所画图象如图1所示，（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，对称轴为直线1x =-，开口向上，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，对称轴为直线3x =-，开口向下，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，∴当31x -- 时，抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，故答案为：31x -- ；②抛物线22y x mx =-的“孔像抛物线”是2268y x mx m =-+-，∴设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，抛物线M 与抛物线L '有唯一交点，∴分下面两种情形：)i 当1a '=-时，无论b '为何值，都会存在对应的m 使得60b m '-=，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；)ii 当1a '≠-时，△22(6)4(1)(8)0b m a c m ='--'+'+=，即22212364(1)84(1)0b b m m a m c a '-'+-'+⋅-''+=，整理得22[3632(1)]124(1)0a m b m b c a -'+-'+'-''+=，当m 取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m 取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m 取值无关，∴23632(1)01204(1)0a b b c a -'+=⎧⎪-'=⎨⎪'-''+=⎩，解得18a '=，0b '=，0c '=，则218y x =，故答案为：2y ax =；③抛物线222:2()L y x mx x m m =-=--，顶点坐标为2(,)M m m -，其“孔像抛物线”L '为：22(3)y x m m =--+，顶点坐标为2(3,)N m m ，抛物线L 与其“孔像抛物线”L '有一个公共点(2,0)A m ，∴二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点时，有三种情况：①直线y m =经过2(,)M m m -，2m m ∴=-，解得：1m =-或0m =（舍去），②直线y m =经过2(3,)N m m ，2m m ∴=，解得：1m =或0m =（舍去），③直线y m =经过(2,0)A m ，0m ∴=，但当0m =时，2y x =与2y x =-只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，1m =±．6．（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-．（1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线4x =-，且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，可得2810r r ++=，218r r +=-，两边平方得222(1)(8)r r +=-，4222164r r r ++=，即可得结果4222160r r r -+=；（3）1m >正确，可用比差法证明，由（2）可得426210r r -+=，即753620r r r -+=，而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-，再由2810r r ++=，判断0r <，956010r r +-<，故950601r r r >+-，从而1m >．【解答】（1）解：22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线4x =-，∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-，解得162b c =-⎧⎨=-⎩；（2）证明：由题意，抛物线的解析式为22162y x x =---，r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，221620r r ∴++=，2810r r ∴++=，218r r∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-，4222164r r r ∴++=，4222160r r r ∴-+=；（3）1m >正确，理由如下：由（2）知：4222160r r r -+=；426210r r ∴-+=，753620r r r ∴-+=，而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+-9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+-7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-，由（2）知：2810r r ++=，281r r ∴=--，210r --<，80r ∴<，即0r <，956010r r ∴+-<，∴950601r r r >+-，即10m ->，1m ∴>．7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x =+，2y x x =-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x=>，y x b =-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC ∆的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =- 的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数3(0)y x x=>的图象上有两个“等值点”A ，同理求出1(2B b ，1)2b ，根据ABC ∆的面积为3可得111|||3222b b ⨯⨯=，求解即可；（3）先求出函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在2y x =+中，令2x x =+，得02=不成立，∴函数2y x =+的图象上不存在“等值点”；在2y x x =-中，令2x x x -=，解得：10x =，22x =，∴函数2y x x =-的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x =>中，令3x x=，解得：x =A ∴，在函数y x b =-+中，令x x b =-+，解得：12x b =，1(2B b ∴，1)2b ，BC x ⊥轴，1(2C b ∴，0)，1||2BC b ∴=，ABC ∆的面积为3，∴111|||3222b b ⨯⨯=，当0b <时，2240b --=，解得b =-当0b < 时，2240b -+=，△2(4124840=--⨯⨯=-<，∴方程2240b -+=没有实数根，当b 时，2240b --=，解得：b =综上所述，b 的值为-；（3）令22x x =-，解得：11x =-，22x =，∴函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，①当1m <-时，1W ，2W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(1,1)--或(2,2)，21:2()W y x x m =- ，22:(2)2()W y x m x m =--<，令2(2)2x x m =--，整理得：22(41)420x m x m -++-=，2W 的图象上不存在“等值点”，∴△0<，22(41)4(42)0m m ∴+--<，98m ∴<-，②当1m =-时，有3个“等值点”(2,2)--、(1,1)--、(2,2)，③当12m -<<时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当2m =时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2)，⑤当2m >时，1W ，2W 两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，98m <-或12m -<<．8．（2021•大连）已知函数2211()22()x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，记该函数图象为G ．（1）当2m =时，①已知(4,)M n 在该函数图象上，求n 的值；②当02x 时，求函数G 的最大值．（2）当0m >时，作直线12x m =与x 轴交于点P ，与函数G 交于点Q ，若45POQ ∠=︒时，求m 的值；（3）当3m 时，设图象与x 轴交于点A ，与y 轴交与点B ，过点B 作BC BA ⊥交直线x m =于点C ，设点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，求m 的值．【分析】（1）先把2m =代入函数y 中，①把(4,)M n 代入222y x x =-+中，可得n 的值；②将02x 分为两部分确定y 的最大值，当02x < 时，将211222y x x =-++配方可得最值，再将2x =代入222y x x =-+中，可得2y =，对比可得函数G 的最大值；（2）分两种情况：Q 在x 轴的上方和下方；证明POQ ∆是等腰直角三角形，得OP PQ =，列方程可得结论；（3）分两种情况：①03m ，如图2，过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明()ABO BCD ASA ∆≅∆，得OA BD =，列方程可得结论；②3m <，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）当2m =时，22112(2)2222(2)x x x y x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，①(4,)M n 在该函数图象上，2424210n ∴=-⨯+=；②当02x < 时，22111112(222228y x x x =-++=--+，102-<，∴当12x =时，y 有最大值是128，当2x =时，222222y =-⨯+=，1228<，∴当02x 时，函数G 的最大值是128；（2）分两种情况：①如图1，当Q 在x 轴上方时，由题意得：12OP m =，45POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，POQ ∴∆是等腰直角三角形，OP PQ ∴=，∴211111()22222m m m m =-⋅+⋅+，解得：10m =，26m =，0m >，6m ∴=；②当Q 在x 轴下方时，同理得：211111()22222m m m m =⋅-⋅-解得：10m =，214m =，0m >，14m ∴=；综上，m 的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当03m 时，过点C 作CD y ⊥轴于D ，当0x =时，y m =，OB m ∴=，CD m =，CD OB ∴=，AB BC ⊥，90ABC ABO CBD ∴∠=∠+∠=︒，90CBD BCD ∠+∠=︒，ABO BCD ∴∠=∠，90AOB CDB ∠=∠=︒，()ABO BCD ASA ∴∆≅∆，OA BD ∴=，当x m <时，0y =，即211022x x m -++=，220x x m --=，解得：112x =，212x +=，12OA ∴=，且138m - ，点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，13OD c a ∴==-，13BD m OD m a ∴=-=+，OA BD =，∴13m =+，解得：10m =（此时，A ，B ，C 三点重合，舍），2209m =；②当0m <时，如图3，过点C 作CD y ⊥轴于D ，同理得：OA BD =，当x m 时，0y =，则20x mx m -+=，解得：1x =，2m =（舍)，2m OA a +∴==，∴13c m a m =-=--，解得：10m=，216 21m=-；综上，m的值是209或1621-．。

中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析

专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1．（2021•雅安）定义：min {a ，b }={a(a ≤b)b(a ＞b)，若函数y ＝min {x +1，﹣x 2+2x +3}，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4 【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．【解答过程】解：x +1＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或x ＝2．∴y ={x +1(−1≤x ≤2)−x 2+2x +3(x ＜−1或x ＞2)，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴函数最大值为y ＝3．故选：C ．2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若存在自变量x 0，使得函数值等于x 0成立，则称x 0为该函数的不动点，对于任意实数b ，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a 的取值范围为（）A ．0＜a ＜2B ．0＜a ≤2C ．﹣2＜a ＜0D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】设x 为不动点，使y ＝x ，可得关系式ax 2+bx +b ﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a 的取值范围．【解答过程】由题意可知方程x ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），恒有两个不相等的实数解，则△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab +8a ＞0，对任意实数b 恒成立，把b 2﹣4ab +8a 看作关于b 的二次函数，则有△1＝（4a ）2﹣4×8a ＝16a 2﹣32a ＝16a （a ﹣2）＜0，令16a （a ﹣2）＝0，解得a ＝0或a ＝2，①当a ≥2时，16a ＞0，a ﹣2≥0，即16a （a ﹣2）≥0，②当a ≤0时，16a ≤0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）≥0，③0＜a ＜2时，16a ＞0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）＜0，即16a （a ﹣2）＜0的解集，解得0＜a ＜2，故选：A ．3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，﹣1B ．5−√172，﹣1 C ．4，0 D ．5+√172，﹣1 【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），∴B （2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ， ∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点A （0，2）时，m ＝2，或m ＝﹣1；当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点B （2，2）时，m =5−√172或m =5+√172． ∴互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，﹣1．故选：D ．4．（2020•宁乡市一模）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，m +1，﹣2m ]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A ．当m ＝2时，函数图象的顶点坐标为（−32，−254）B ．当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3C ．当m ＜0时，函数在x ＜12时，y 随x 的增大而增大D ．不论m 取何值，函数图象经过两个定点【解题思路】A 、把m ＝2代入[m ﹣1，1+m ，﹣2m ]，求得[a ，b ，c ]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；C 、当x 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y 随x 增大而减小正确；B 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2−254，顶点坐标是（−32，−254）；此结论正确；B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，解得，x1＝1，x2=−2mm−1，|x2﹣x1|=3m−1m−1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=−m+12(m−1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，因为当m＜0时，−m+12(m−1)=−m−1+22(m−1)=−12−1m−1＞−12，即对称轴在x=−12右边，可能大于12，所以在x＞12时，y随x的增大而减小，此结论错误；D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，故选：C．5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤12【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤1 2，∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜13，综上，m＜13故选：B．6．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＞−14C．﹣3＜c＜﹣2D．﹣2＜c＜14【解题思路】设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a2+a+c＝0，根据二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜1 4．【解答过程】解：设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，∵二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，∴关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2＝﹣1，a1•a2＝c，∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，由①得c＜1 4，∵a1+a2＝﹣1，∴②总成立，由③得：a1•a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，∴c＞﹣2，综上所述，c的范围是﹣2＜c＜1 4，故选：D．7．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A．16B．4C．﹣12D．﹣18【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m ，n 的方程，求解m ，n 即可．【解答过程】解：∵点P （m ，n ）是抛物线y ＝x 2+k 上的点，∴n ＝m 2+k ，∴k ＝n ﹣m 2，∴点P （m ，n ）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m |+2|n |＝|mn |＝16，∴|m |＝4，|n |＝4，当n ≥0时，k ＝n ﹣m 2＝4﹣16＝﹣12；当n ＜0时，k ＝n ﹣m 2＝﹣4﹣16＝﹣20；故选：C ．8．（2021•河南模拟）新定义：[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为实数）的“图象数”，如：y ＝x 2﹣2x +3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m ，2m +4，2m +4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（）A ．﹣2B ．14C ．﹣2或2D ．2【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，从而解m 的方程即可．【解答过程】解：二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，根据题意得△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，解得m 1＝﹣2，m 2＝2，故选：C ．9．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（）A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜−12D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得m 的取值范围．【解答过程】解：抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）化为顶点式为y ＝a （x ﹣1）2+2，故函数的对称轴：x ＝1，M 和N 两点关于x ＝1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a +2∴0≤a +2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a +2＜0即：{0≤a +2＜14a +2＜0，解得﹣2≤a ＜﹣1故选：B ．10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1【解题思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【解答过程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故选：A．。

专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)

专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

专题10 二次函数的新定义问题专训(解析版)

专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；③当x ＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y ＝m 有4个公共点，则m 的取值范围是0＜m ＜4．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当1x 或3x ，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．【详解】解：如图：∵2|23|y x x ，∴函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当1x 时，函数值随x 的减小而增大，当3x 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x 时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ，2(0,40)a b ac 的定义，掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c （c 为常数）在24 x 的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（）A ．124c B ．944cC ．144cD ．9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴64 128cc，解得c＞-4，∴-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜12D．﹣2≤a＜0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a+2∴0≤a+2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a+2＜0即：021420a a ，解得﹣2≤a ＜﹣1故选B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a 、b ，定义一种运算“ ”为：22a b a ab ，有下列命题：①132 ；②方程10x 的根为：1221x x ，；③不等式组 240{130x x 的解集为：14x ；④点15 22，在函数 1 y x 的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ，所以命题①正确；∵10x ，∴220x x ，解得1221x x ，，所以命题②正确；∵ 244224221 31234x x x x x x ，，∴2201{{14404x x x x x ，所以命题③正确；∵ 212y x x x ，∴当12x 时，2119522242y ，∴点15 22，不在函数 1 y x 的图象上，所以命题④错误，综上所述，命题①②③正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算：(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ，下列说法：①若3@2x x ，则13x ，21x ；②若 1@22x ，则该不等式的解集为35x ；③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时，12x ；④函数 11@y x ，函数 222@y x x ，当102x 时，12y y ．以上结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．【详解】解：①由题意得：32x x，2230x x ，解得：13x ，21x ；检验：当13x ，21x 时，0x ；13x ，21x 是原分式方程的解，故①正确；②当10x 时，1x ，0(2)0 ，此情况成立；当10x 时，1x ，10x ，故 121@2x x ，122x，14x 解得：35,1x x ，综上所述：35x ，故②正确；③由题意得：112126226223x x x x x x ，取得最小值时，13x，故③错误；④212,22y x y x x ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，11(,)22A ，当102x 时，12y y ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n 个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足752 ， 275 ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a 为三级浪花数，则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”，进行一一判断即可【详解】解：①∵12，3，a 为三级浪花数，∴a +12=3，解得：a =-9，故①正确；②设这四级浪花数分别为1，x +1，x ，-1，则其积为：211(1)()24x x x ，当x =12 时，其积最大值为14，所以这列数的积的最大值不可能为12，故②错误；③设任意组100级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，由题意得这一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……可以看出每六个数一次循环，36÷6=6，所以第36个数为x -y ，63÷6=10余3，所以第63个数为y -x ，所以第36个数和第63个数一定互为相反数，故③正确；④2022级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，则一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……，可以看出每六个数一次循环，这六个数的和为：x +y +y -x -x -y +x -y =0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确；故选：C【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x ，它的相关函数为00x x y x x．已知点M ，N 的坐标分别为1,12 ，9,12 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A ．31n 或514nB ．31n 或514nC ．31n 或514n D ．31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点1,12，9,12，再解方程结合图象判断即可．【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x，大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x =2时，1y ，则-4+8+n =1,解得n =-3，如图2所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1，∴-n =1，解得n =-1；∴当31n 时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点；如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数24y x x n 经过点（0，1），∴n =1，如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y =24x x n 经过点1,12，∴14+2-n =1，解得n =54，∴514n时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是31n 或514n ．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上：翻折，则所得图形的坐标角度的取值范围是（）A ．3060B ．120150C ．90120D ．6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．【详解】解：当a=1时，如图1所示，∵角两边分别过点A （-1,1），B （1,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∴BE ＝OE ，∴∠BOE ＝45°，根据对称性可知：∠AOB ＝90°，∴此时坐标角度＝90°；当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A （33,1），B （33,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∵3tan 3BOE，∴∠BOE ＝60°，根据对称性可知：∠AOB ＝60°，∴此时坐标角度＝90°,∴60°≤ ≤90°，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值，记P x y ．若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且24C ，令2242020t b a ，则t 的取值范围为（）A ．20172018t B ．20182019t C ．20192020t D ．20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x 1=x 2=21b ，故C （21b ，21b ），而且2≤C ≤4，即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．【详解】由题意得方程组21y x y ax bx＝＝只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b-1）x+1=0，由题意△=0，∴（b-1）2-4a=0，∴4a=（b-1）2，∴用方程可以化为（b-1）x 2+4（b-1）x+4=0，∴x 1=x 2=21b，∴C （21b ，21b），∵且2≤C ≤4，∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C 在第一象限，∴-1≤b≤0，t=2b 2-4a+2020，∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点 0,2A ，点 2,0C ，则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B ．5172，-1C ．4，0D ．5172，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m，解得：10m ；当01m 时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 20120m m m ，解得：01m ；当12m 时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m，解得：12m ；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 222022m m m m m，解得：51722m；综上可得：m 的最大值和最小值分别是5172，1 ．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点．关于下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线1x ；②当1x 时，函数的最大值是4a ；③当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则4t ．其中正确结论的序号是．【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴，即可判定①；求出当1x 时，4y a b c a ，当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，即可判断②；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则0 t 或4t 即可判定④．【详解】解：根据题意画出图像如图：由二次函数图像的对称性可得：对称轴为1312x，则①正确；∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点，∴0930a b c a b c，∴3c a ，∵对称轴为12bx a，∴2b a ，∴当1x 时，4y a b c a ，∴由函数图像可知：当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，则②错误；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，则③正确；当1a 时，44a ，∵2ax bx c t 有两个实数根，∴由函数图像可知：0 t 或4t ，则④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为．【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ，由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0），∴AB =2，BO =2，∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ，∴AF =BF =EF =1，∴E （﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1，解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m ，n 都有2m n m mn n ☆，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： 232332217 ☆．根据以上知识解决问题：（1）若x ☆3=1，则x 的值为．（2）抛物线 21y x ☆的顶点坐标是．（3）若2a ☆的值小于0，则方程220x bx a 有个根．【答案】x 1=1，x 2=2（52，−54）2【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；（3）由2☆a 的值小于0知22-2a +a ＜0，解之求得a ＞4．再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0可得答案．【详解】解：（1）根据题意，得x 2-3x +3=1，移项、合并同类项，得x 2-3x +2=0，整理，得（x ，-1）（x -2）=0，解得x 1=1，x 2=2；故答案为：x 1=1，x 2=2；（2）根据题意知，y =（2-x ）2-（2-x ）（-1）+（-1）=x 2-5x +5=（x -52）2-54．所以，顶点坐标（52，−54）；故答案为：（52，−54）；（3）∵2☆a 的值小于0，∴22-2a +a ＜0，解得a ＞4．在方程-2x 2-bx +a =0中，∵Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0，∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．【答案】2【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x 与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点，∴抛物线解析式为23y x ，∴233y x y x，解得03x y或12x y ，∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在14x 时，y 随x 的增大而减小；④当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m ，正确的结论是．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ，当m ≠0时，把x =1代入函数，求得=0y 可判断①，当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②；当m ＜0时，20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111444x m可判断③；当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m，解得13m ，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时，x =1， 2112110y m m m m m m ∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确；当m ＜0时， 2211y mx m x m∴20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时，可能x 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；故③不正确；④当m ＞0，抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m，由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m，，，∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ，∵m ＞0，则13m ，经检验13m 符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为 ,x y ，当x <0时，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；当0x 时，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为．【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，可求P′（2，-n ）,根据变换当点P 在y 轴左侧，P （-2，-n ）,当点P 在y 轴右侧，P（-n ,-2），点P 在 22y x n 上， 222n n 或 222n n 解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，∵E （2，n ）,∴P′（2，-n ）,当点P 在y 轴左侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；∴P （-2，-n ）,∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，∴18n ；当点P 在y 轴右侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．∴P （-n ,-2），∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，整理得2560n n ，因式分解得 230n n ，解得232,3n n ；∴n =-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： ,,a b c 为二次函数2y ax bx c （0a ）的特征数，下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论：①当1m 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m 时，函数图象过原点；③当0m 时，函数有最小值；④如果0m ，当12x 时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m 时，把1m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 1,0,1∴1a ，0b ，1c ，∴函数解析式为21y x ，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m 时，把2m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 2,1,0 ∴2a ，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x ，当0x 时，0y ，函数图象过原点，故②正确；函数212y mx m x m 当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m ∴12x时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时,函数图象的顶点坐标是（13,83）;②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）【答案】①②④．【详解】试题分析：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83,顶点坐标是（13,83）;此结论正确;②当m ＞0时,令y=0,有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m ＞32,所以当m ＞0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m ＜0时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时,14m m =1144m＞14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）="0"即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．故答案是①②④．考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x ，y =bx 2+2x =211()b x b b，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a ，b ，定义新运算“ ”：a b= 22a ab a b b ab a b；若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根，则t 的值为．【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．【详解】∵当 211x x 时，即：2x 时， 2221121211252x x x x x x x ，当 211x x 时，即：2x 时， 2221112112x x x x x x x ，∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x，画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合．∴t=2.25或t=0．故答案是：2.25或0．【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于某函数图象上的一点P ，先向右平移1个单位长度，再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ，若点Q 也在该函数图象上，则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”．(1)函数①2y x ；②2y x ；③2y x 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数2y x，图象恰有1个“n 倍平点”，求n 的值；(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】（1）根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设2,P a a，则21,Q a n a ，把21,Q a n a代入2y x 得220na na ，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出280n n ，即可求出答案；（3）当0x 时，243y x x ，当0x 时，243y x x ，分两种情况，根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当2n 时，①设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 2212222y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 22122y x a a ，∴点Q 在2y x 的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设 ,2P a a ，则 1,4Q a a ，当1x a 时，21234y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设2,P a a，则21,Q a n a，把21,Q a n a代入2y x 得，221n a a ，即220na na ，∵图象恰有1个“n 倍平点”，∴280n n ．∴120,8n n ．∵0n ，∴8n ．（3）当0x 时，243y x x ，设 2,43P a a a ，则 21,46Q a a a ，把 21,46Q a a a 代入243y x x 得，22461413a a a a ，解得：3a ，∴14a ，2463a a ．∴ 4,3Q ， 3,0P ．当0x 时，243y x x ，设 2,43P b b b ，则 21,4Q b b b ，把 21,4Q b b b 代入243y x x 得，2241413b b b b ，解得：4b ，∴13b ，240b b ．∴ 3,0Q ， 4,3P ．综上所述，函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n 倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x ．(1)函数2221y x x 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数21:44C y ax ax （其中0a 且1a 且12a），其友好同轴二次函数记为2C ．①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标），求线段AB 的长；②当30x 时，函数2C 的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线12x ，2331y x x (2)①4；②1 或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ，联立函数1C ，2C ，解方程可求出点,A B 的坐标，由此即可得；②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ，因为 123 ，所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m，所以314m ，解得14m ，所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ，故答案为：直线12x，2331y x x ．（2）解：①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ，则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ，所以444a b ，解得4b a ，所以 22:1414C y a x a x ，联立 22441414y ax ax y a x a x 得： 2214210a x a x ，解得0x 或4x ，当0x 时，4y ；当4x 时，161644y a a ，所以 4,4,0,4A B ，所以 044AB ；②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ，（Ⅰ）当1a 且0a 且12a时，抛物线的开口向上，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而减小；当20x 时，y 随x 的增大而增大，则当2x 时，y 取得最小值，最小值为4a ，当0x 时，y 取得最大值，最大值为4，所以448a ，解得1a ，符合题设；（Ⅱ）当1a 时，抛物线开口向下，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当20x 时，y 随x 的增大而减小，则当2x 时，y 取得最大值，最大值为4a ，当0x 时，y 取得最小值，最小值为4，所以448a ，解得3a ，符合题设；综上，a 的值为1 或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x 轴上两点 ,0A m ， ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线1C ： 13y x x 与抛物线2C ：213y x x 是都经过 1,0， 3,0的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C ．(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线，且过点 4,5，求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值．【答案】(1) 3:313C y x x （答案不唯一）(2)最小值为53。

初中数学精品试题：二次函数章末重难点题型

二次函数章末重难点题型【考点1 二次函数的概念】【方法点拨】掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（2020春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（）−3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】（2020•凉山州一模）若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．【变式1-3】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【考点2 一次函数与二次函数图象】【方法点拨】判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判断一次函数及二次函数的系数关系．【例2】（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2020•泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2020•湖州）已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx 与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020•淮南模拟）下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝ax2+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的是（）A．B．C．D．【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】【方法点拨】二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．【例3】（2020•开封一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【变式3-1】（2020•三明二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）过A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（√3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1【变式3-2】（2020•黄石）若二次函数y＝a2x2﹣bx﹣c的图象，过不同的六点A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（√2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3【变式3-3】（2020•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y=m2x2﹣mx+c（m＞0）过两点A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．则y0与y1的大小关系为（）A．y0＜y1B．y0＝y1C．y0＞y1D．不能确定【考点4 二次函数图象与几何变换】【方法点拨】解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．【例4】（2020春•天心区校级期末）抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位【变式4-1】（2020春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5【变式4-2】（2020•平房区一模）已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（）A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3【变式4-3】（2020春•海淀区校级期末）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3【考点5 二次函数图象与系数关系】【方法点拨】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab ＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．【例5】（2020•龙岩模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-1】（2020春•岳麓区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b ＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【变式5-2】（2020•会昌县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．【变式5-3】（2020•鼎城区四模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以上结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的是（填序号）．【考点6 二次函数与一元二次方程的关系】【例6】（2020•富阳区一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【变式6-1】（2020•贵阳）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4【变式6-2】（2020•安丘市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m、n（m＜n），则下列判断正确的是（）A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．x1+x2＞m+n D．b2﹣4ac≥0【变式6-3】（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x ﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1【考点7 二次函数与解不等式】【方法点拨】二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．【例7】（2020春•渝中区期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点，当﹣1＜x＜0或x＞2时，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集为﹣1＜x＜0或x＞2．根据上述说明，解答下列问题：（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先构造出函数y1＝x2+3x和函数y2＝；（2）图2中已作出了函数y1＝x2+3x的图象，请在其中作出函数y2的图象；（3）观察所作函数的图象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．【变式7-1】（2020秋•宝安区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）和一次函数y＝kx+m（k，m为常数，且k≠0）的图象如图所示，交于点M（−32，2）、N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是．【变式7-2】（2020•宜兴市校级一模）如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是．【变式7-3】（2020秋•张家港市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为．【考点8 构建二次函数解决最值问题】【例8】（2020•江西模拟）如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【变式8-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【变式8-2】（2020•攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．【变式8-3】（2020秋•岳麓区校级期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE 的长h 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x 值；若不存在，请说明理由？【考点9 二次函数新定义问题】【例9】（2020秋•新乡期末）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A ．4B ．3C ．2D ．1【变式9-1】（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y ＝﹣（x +1）2+2，y ≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y ＝﹣2x +1（m ≤x ≤n ，m ＜n ）的上确界是n ，且这个函数的最小值不超过2m ，则m 的取值范围是（）A ．m ≤13B ．m ＜13C ．13＜m ≤12D ．m ≤12 【变式9-2】（2020•江岸区校级模拟）定义[a 、b 、c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在x ＞14时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点，正确的结论是．【变式9-3】（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【考点10 二次函数的应用（抛物线形建筑问题）】【例10】（2020秋•玄武区校级月考）图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m ．水面上升3米，水面宽度减少多少？下面给出了解决这个问题的两种建系方法．方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ；方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，【变式10-1】如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB为26m，当水位上涨1m时，抛物线拱桥的水面宽CD为24m．现以水面AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？【变式10-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【变式10-3】（2020•安徽模拟）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y 轴建立直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m ，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5m ，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？【考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）】【例11】（2020•山西模拟）周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）的几组值后，发现h 与t 满足的函数关系式是h ＝20t ﹣5t 2．（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？【变式11-1】（2020秋•崆峒区期末）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否获得成功？【变式11-2】（2020•洛阳模拟）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O 的正前方10m 处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m 时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？【变式11-3】（2020秋•溧阳市期末）如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A 处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝−2516，c＝12；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【考点12 二次函数的应用（面积问题）】【例12】（2020秋•长兴县期末）如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圈，现有长为18米的篱笆，一边靠墙，若墙长a＝6米，设花圃的一边AB为x米，面积为S米2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）若边BC不小于3米这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．【变式12-1】（2020•荔城区校级模拟）某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？【变式12-2】（2020秋•东海县期末）为了节省材料，某水产养殖户利用本库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①、②、③三块矩形区域网箱，而且这三块矩形区域的面积相等，设BE的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）则AE＝m，BC＝m；（用含字母x的代数式表示）（2）求矩形区域ABCD的面积y的最大值．【变式12-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【考点13 二次函数的应用（利润问题）】【例13】（2020•葫芦岛）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y （本）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x （元）12 14 16 每周的销售量y （本） 500 400 300（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x 元（12≤x ≤15，且x 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？【变式13-1】（2020•义乌市模拟）新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y 1（盒）与售价x （元）之间的关系为y 1＝400﹣8x ；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？【变式13-2】（2020•盘锦）某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．（1）当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．（2）某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？（3）零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x （100≤x ≤400）件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【变式13-3】（2020•朝阳）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）直接写出y与x的关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．【考点14 二次函数的综合（存在性问题）】【例14】（2020秋•中山市校级期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．【变式14-1】（2020秋•罗平县期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）与点C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）直接写出B点的坐标；（2）求该二次函数的解析式；（3）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，AB．请问是否存在点P，使得△BDP的面积恰好等于△ADB的面积？若存在请求出此时点P的坐标，若不存在说明理由．【变式14-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．【变式14-3】（2020秋•江北区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，点E为直线BC上的任意一点，过点E作x 轴的垂线与抛物线交于点F，问是否存在点E使△DEF为直角三角形？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．。

专题20 新定义型二次函数问题(学生版)

专题20 新定义型二次函数问题【典型例题】1．（2021·江苏吴中·二模）定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“N ”函数．（1）写出y ＝﹣x 2+x ﹣1的“N ”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N ”函数与正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象只有两个交点，求k 的值；（3）如图，二次函数y 1与y 2互为“N ”函数，A 、B 分别是“N ”函数y 1与y 2图象的顶点，C 是“N ”函数y 2与y 轴正半轴的交点，连接AB 、AC 、BC ，若点A （﹣2，1）且△ABC 为直角三角形，求点C 的坐标．【专题训练】一、解答题1．（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级期末）“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()3,4P 称为“三高四新”点，经过()3,4P 的函数，称为“三高四新”函数．（1）下列函数是“三高四新”函数的有_____；①22y x =- ②2613y x x =-+ ③23611y x x =-++ ④12y x= （2）若关于x 的一次函数y kx b =+是“三高四新”函数，且它与y 轴的交点在y 轴的正半轴，求k 的取值范围；（3）关于x 的二次函数()2134y x =-的图象顶点为A ，点()11,M x y 和点()22,N x y 是该二次函数图象上的点且使得90MAN ∠=︒，试判断直线MN 是否为“三高四新”函数，并说明理由．2．（2021·山西大同·九年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为x 的二次函数2y ax bx c =++与2y ax bx c =-+（0a ≠，0b ≠）称为一对“亲密函数”，如2532y x x =-+的“亲密函数”是2532y x x =++．任务：（1）写出二次函数234y x x =+-的“亲密函数”：______；（2）二次函数234y x x =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和4-，它的“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标为______，猜想二次函数2y ax bx c =++（240b ac ->）的图象与x 轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图象与x 轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数22021y x bx =+-的图象与x 轴交点的横坐标为1和2021-，请利用（2）中的结论直接写出二次函数2422021y x bx =--的图象与x 轴交点的横坐标．3．（2020·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级期末）定义：若抛物线与x 轴有两个交点，其顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．（1）已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与x 轴的两个交点为（1，0）、（5，0），则此抛物线的顶点为；（2）若抛物线y ＝x 2﹣bx （b ＞0）是“美丽抛物线”，求b 的值；（3）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 是“美丽抛物线”，此抛物线顶点为B （1，2），与轴交与A ，C ，AB 与y 轴交于点D ，连接OB ，在抛物线找一点Q ，使得∠QCA ＝∠ABO ，求Q 点的横坐标．4．（2021·北京房山·九年级期中）定义：如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时，抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，则称抛物线C 1与C 2关联．例如，抛物线2y x 的顶点（0，0）在抛物线22y x x =-+上，抛物线22y x x =-+的顶点（1，1）也在抛物线2y x 上，所以抛物线2y x 与22y x x =-+关联．（1）已知抛物线C 1：2(1)2y x =+-，分别判断抛物线C 2：221y x x =-++和抛物线C 3：2221y x x =++与抛物线C 1是否关联；（2）抛物线M 1：21(1)28y x =+-的顶点为A ，动点P 的坐标为(,2)t ，将抛物线M 1绕点(,2)P t 旋转180°得到抛物线M 2，若抛物线M 1与M 2关联，求抛物线M 2的解析式；（3）抛物线M 1：21(1)28y x =+-的顶点为A ，点B 是与M 1关联的抛物线的顶点，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转90°得到线段AB 1，若点B 1恰好在y 轴上，请直接写出点B 1的纵坐标．5．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y 1＝（x ﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y 2＝﹣（x ﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y 1＝（x ﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y 2＝﹣（x ﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y ＝﹣2x 2+4x +3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '．①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．6．（2021·山东乳山·模拟预测）【信息提取】新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友好抛物线”．新知识：对于直线()11110y k x b k =+≠和()22220y k x b k =+≠．若121k k ，则直线1y 与2y 互相垂直；若直线1y 与2y 互相垂直，则121k k ．【感知理解】（1）若抛物线21()(0)y a x h k a =-+≠的“友好抛物线”为222(3)1y x =-++．则h ，k 的值分别是；（2）若抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与22(0)y mx nx q m =++≠互为“友好抛物线”．则b 与n的数量关系为，c 与q 的数量关系为．【综合应用】（3）如图，抛物线211:43l y x x =-+的顶点为E ，1l 的“友好抛物线”2l 的顶点为F ，过点O的直线3l 与抛物线1l 交于点A ，B （点A 在B 的左侧），与抛物线2l 交于点C ，D （点C 在D 的左侧）．若四边形AFDE 为菱形，求AB 的长；7．（2021·江苏·镇江实验学校一模）定义：如图，若两条抛物线关于直线x a =成轴对称，当x a ≤时，取顶点在x a =左侧的抛物线的部分；当x a ≥时，取顶点在x a =右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x a =的一对伴随抛物线．例如：抛物线()2(0)1y x x =+≤与抛物线()2(0)1y x x =-≥就是关于直线0x =（y 轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线()213 1.)5(y x x =++≤关于直线 1.5x =的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线22220,()4y mx m x m m =-+≠≠交y 轴于点A ，交直线4x =于点B ． ①求直线AB 平行于x 轴时的m 的值．②求AOB ∠是直角时抛物线2222y mx m x =-+关于直线4x =的“伴随抛物线”的顶点横坐标．8．（2021·浙江·九年级期末）定义：在平面直角坐标系中，有一条线段AB ，若抛物线21111y a x b x c =++的顶点是A ，经过点B ，抛物线22222y a x b x c =++的顶点是B ，经过点A ，称这两条抛物线是关于线段AB 的一对“有礼抛物线”，如图所示．（1）若抛物线()21213y x =-+与()2225y a x =-+是一对“有礼抛物线”，求a 的值．（2）若线段AB 两端点坐标是()(),,e f m n 、，关于线段AB 的一对有礼抛物线是21111y a x b x c =++和22222y a x b x c =++，猜想1a 与2a 的数量关系，并证明你的猜想．（3）若抛物线()21122y x =-的顶点为A ，它与y 轴交于点E ，点B 在抛物线上，关于线段AB 的另一条“有礼抛物线”22222y a x b x c =++与y 轴交点记为点F ，若6EF =，求2y 的函数关系式。

中考数学专题训练：关于二次函数的新定义(附参考答案)

1 / 2中考数学专题训练：关于二次函数的新定义（附参考答案）1．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y ＝(x －2)2－4向右平移m(m ＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．4D ．32．新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y ＝x2－2x ＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m ，2m ＋4，2m ＋4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2B ．14C ．－2或2D ．23．定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做“和谐点”，所围成的矩形叫做“和谐矩形”．已知点P 是抛物线y ＝x2＋k 上的“和谐点”，所围成的“和谐矩形”的面积为16，则k 的值可以是( )A ．16B ．4C ．－12D ．－184．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x －m)2－m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A ．4，－1B ．5−√172，－1 C ．4，0 D ．5+√172，－15．定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的特征数，下面给出特征数为[m ，1－m ，2－m]的二次函数的一些结论：①当m ＝1时，函数图象的对称轴是y 轴；②当m ＝2时，函数图象过原点；③当m ＞0时，函数有最小值；④如果m ＜0，当x ＞12时，y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是__________．6．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(x ，y)，当x ＜0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－x ，y)；当x ≥0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－y ，x)．抛物线y ＝(x －2)2＋n 与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件的所有n 值的和为________．7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，2 / 2 如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数y ＝－x2＋1(－2≤x ≤t ，t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度，得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时，则t 的取值范围是________________________．参考答案1．C 2．C3．C 4．D 5．①②③ 6．－13 7．≤t ≤34或54≤t ≤32。

二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义及答案)

二次函数压轴题之新定义问题（二）（讲义）知识点睛解决新定义问题时常考虑：①回归新定义，给什么，用什么；将新定义与所给问题信息结合分析转化；②将新定义图形结构化、模型化，利用其相关特征、性质解决问题．精讲精练1.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．2.【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”．如图1，点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l ：2y =-即为抛物线1y 的“准线”．可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上．【理解】如图1，N (m ，n )是抛物线21114y x =-上的任一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为点H ．①计算：当m=0时，NH=______，NO =_______；当m =4时，NH=_______，NO =_______．②证明：无论m 取何值，NO =NH ．【应用】（1）如图2，“焦点”为F (0，1)的抛物线2214y x =的准线为直线l ，经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠（）与抛物线交于点M ，N ，过点M 作MQ ⊥l 于点Q ，过点N 作NH ⊥l 于点H ．①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________；②计算求值：11MQ NH+=____________；③记QH 的中点为G ，连接GM ，GN ，试证明∠MGN =90°．（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线33y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式．图1图2图33.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P′，满足CP +CP′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C 重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P 在直线2y x =-+上时，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1时，直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为1325-<-，所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．（2）已知C 是直线3+34y x =上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图1图2图3【参考答案】1.（1）①2；②C 1(3，2)1AC l ⇒：y =x -1；C 2(3，-2)2AC l ⇒：y =-x +1（2）-5≤m ≤-1或1≤m ≤52.①1，1，5，5；②证明略（1）①y =-1；②1；③证明略（2）2313()324y x =++或2313()324y x =---3.（1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)②0＜x P ＜2（2）2≤x C ≤84.（1）①B (0，2)；②12（2）①最小值为87，此时点C 坐标为815()77-，②最小非常距离为1，34()55E -，，89()55C -，。

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专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用图4－ZT－11．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP 的面积是________．3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图4－ZT－2►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B 两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．图4－ZT－36．2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图4－ZT－4所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．图4－ZT－47．2017·随州在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－2 33x 2－4 33x ＋2 3与其“梦想直线”交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x 轴负半轴交于点C .(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A 的坐标为________，点B 的坐标为________．(2)如图4－ZT －5，M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标．(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT －5► 类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．2017·郴州设a ，b 是任意两个实数，用max{a ，b }表示a ，b 两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x ＋1，－x ＋1}＝－x ＋1，求x 的取值范围；(3)求函数y ＝x 2－2x －4与y ＝－x ＋2的图象的交点坐标，函数y ＝x 2－2x －4的图象如图4－ZT －6所示，请你在图中作出函数y ＝－x ＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x ＋2，x 2－2x －4}的最小值．图4－ZT －6详解详析1．(1，0) [解析] 解x 2－2x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3，所以抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)，所以AB ＝4，所以点M 的坐标为(1，0)．2．8 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －4是“偶函数”，∴－b 2×1＝0，∴b ＝0， ∴函数表达式为y ＝x 2－4，令y ＝0，则x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴A (－2，0)，B (2，0)，∴AB ＝2－(－2)＝4.令x ＝0，则y ＝－4，∴点P 的坐标为(0，－4)，∴△ABP 的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y 轴对称，对称轴关于y 轴对称．(答案不唯一)(2)y ＝2(x －2)2＋1 y ＝a (x ＋h )2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC ＝6，顺次连结点A ，B ，O ，C 得到一个面积为24的菱形，得OA ＝8，点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋3)2＋4，将点A 的坐标代入，得9a ＋4＝8，解得a ＝49，故y ＝49(x ＋3)2＋4，其“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝49(x －3)2＋4. 根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y 轴对称二次函数”的表达式为y ＝－49(x ＋3)2－4和y ＝－49(x －3)2－4. 4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y ＝－(x 2－2bx ＋b 2)＋b 2＋c ＋1＝－(x －b )2＋b 2＋c ＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b ，b 2＋c ＋1)．因为抛物线过定点M (1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b ＋c ＋1＝1，解得c ＝1－2b ，则顶点纵坐标b 2＋c ＋1＝b 2＋1－2b ＋1＝(b －1)2＋1，所以当b ＝1时，b 2＋c ＋1的值最小为1，此时c ＝1－2b ＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋2x .5．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)．(2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A (0，0)．如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G .∵点P的坐标为(1，3)，∴AG＝1，PG＝3，P A＝AG2＋PG2＝12＋（3）2＝2，∴∠P AG＝60°，∴AB＝2P A＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－3 3，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋4 33x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋4 33x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋4 33x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m 2－4m ＝0，解得m ＝0或4.②∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 是由抛物线y ＝x 2－3x ＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q ＝3.∵抛物线y ＝x 2－3x ＋3与它生成线y ＝x ＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB 2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y ＝x 2＋px ＋3与它生成线y ＝x ＋3的生成点为(0，3)，(1－p ，4－p )， ∴CD 2＝(1－p －0)2＋(4－p －3)2＝2(1－p )2.∵AB ＝CD ，∴2(1－p )2＝32，∴p ＝5或－3.∵抛物线y ＝x 2＋px ＋3与抛物线y ＝x 2－3x ＋3不重合，∴p ＝－3不合题意，应舍去，∴p ＝5.7．解：(1)y ＝－2 33x ＋2 33(－2，2 3) (1，0) (2)∵抛物线与x 轴负半轴交于点C ，∴C (－3，0)．过点A 作AG ⊥y 轴，垂足为G . 当点N 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”．设N (0，n )，∵A (－2，2 3)，C (－3，0)，∴AC ＝13，∴AN ＝AC ＝13.在Rt △AGN 中，AG 2＋GN 2＝AN 2，AG ＝2，GN ＝|n －2 3|，∴4＋(n －2 3)2＝13，解得n ＝2 3－3或n ＝2 3＋3.设M (m ，0)，当n ＝2 3－3时，在Rt △MNO 中，(2 3－3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2－2 3；当n ＝2 3＋3时，在Rt △MNO 中，(2 3＋3)2＋m 2＝(m ＋3)2，解得m ＝2＋2 3. ∵－3＜m ≤1，∴m ＝2＋2 3不合题意，舍去．∴m ＝2－2 3，此时n ＝2 3－3，∴N (0，2 3－3)；当点M 在y 轴上时，△AMN 为“梦想三角形”，此时点M 与点O 重合，在Rt △AGM 中，AG ＝2，GM ＝2 3， ∴AG GM ＝33，∴∠AMG ＝30°， ∴∠AMC ＝∠AMN ＝∠NMB ＝60°.过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，在Rt △NMP 中，MN ＝CM ＝3，∴NP ＝3 32，OP ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3 32. 综上所述，点N 的坐标为(0，2 3－3)或⎝⎛⎭⎫32，3 32. (3)E 1⎝⎛⎭⎫－1，－4 33，F 1⎝⎛⎭⎫0，2 33； E 2⎝⎛⎭⎫－1，－4 33，F 2⎝⎛⎭⎫－4，10 33. 8．解：(1)5 3(2)由题意可得3x ＋1≤－x ＋1，解得x ≤0.(3)由题意得⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2－2x －4，解得⎩⎨⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y ＝－x ＋2的图象如图所示．由图象可知：当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x－4}有最小值－1.。