中考数学第一部分教材同步复习第四章三角形及应用18解直角三角形及其应用课件新人教4.ppt

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②同一地点看不同点(如图②) ③利用反射构造相似(如图③)
④堤坝问题(如图④)
图③
图④
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2.(2015江西)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面 抽象为如图2所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD 的 距 离 为 _1_4_.1___cm( 参 考 数 据 ： sin20°≈0.342 ， cos20°≈0.940 ， sin40°≈0.643 ， cos40°≈0.766.计算结果精确到0.1 cm，可用科学计算器)．
2 8，∴BC＝BE－CE＝6 3－8；
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(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，则 AE＝5x，得 AB＝3x， ∴3x＝6，得 x＝2，∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE＝ABBE＝68＝CDDE＝D4E， 解得，DE＝136， ∴AD＝AE－DE＝10－136＝134，即 AD 的长是134.
第 2 题答图
第 2 题图
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【解析】(1)Rt△ADF 中，由勾股定理得，AD＝ AF2－FD2＝ 252－202＝15(cm)；
(2)AE＝AD＋CD＋EC＝15＋30＋15＝60(cm)，
如答图，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，
在 Rt△AEH 中，sin∠EAH＝EAHE，
则 EH＝AE·sin∠EAH＝AE·sin75°≈60×0.97＝58.2(cm)． 答：点 E 到 AB 的距离为 58.2 cm.
【解析】(1)如答图，连接 OC，过点 B、A 分别作 BD、AE 垂直于水平地面垂足
分别为 D、E，过点 O 作 OH∥CE 交 BD 于点 G，交 AE 于点 H，∵BG∥AH，∴△
OGB∽△OHA，
∴ABHG＝OOBA，∴A3H0 ＝6900，
∴AH＝45，∴AE＝45＋10＝55， 即点 A 到地面的距离是 55 cm；
面 所 成 的 夹 角 的 大 小 ． ( 结 果 精 确 到 1° ， 参 考 数 据 ： sin53°≈0.8 ， cos53°≈0.6 ，
tan53°≈1.3，sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97)
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【考查内容】解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质．
第一部分 教材同步复习
18、解直角三角形及其应用
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18、解直角三角形及其应用
知识要点 ·归纳
►知识点一 锐角三角函数 1．锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如图所示： 正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝①_____ac ____；
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b 余弦：cosA＝∠A斜的边邻边＝②____c_____； 正切：tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边＝③____ab_____. 【注意】(1)锐角三角函数是在直角三角形中定义的；(2)sinA，cosA，tanA表示 的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位；(3)锐角三角函数的大小仅与角的大 小 有 关 ， 与 该 角 所 处 的 直 角 三 角 形 的 大 小 无 关 ； (4) 当 A 为 锐 角 时 ， 0<sinA<1,0<cosA<1，tanA>0.
【考查内容】解直角三角形，分类讨论思想．
【解析】 如图1，
图1
当 ∠C ＝ 60° 时 ， ∠ABC ＝ 30° ， 与 ∠ABP ＝
30°矛盾；
如图2，当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是
等边三角形，∴CP＝BC＝6；
图2
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如图 3，当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°－30°＝ 30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC＝PB＝cos330°＝ 33＝2 3；
∴BE＝2BD＝2AB·sin9°≈2×3.13×0.1 564 ≈0.98 cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98 cm.
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在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利 用三角函数或相似三角形来解决问题．常见构造的基本图形有如下几种：
①不同地点看同一点(如图①)
图①
图②
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2．特殊角的三角函数值
三角函数值
角的度数 30° 45° 60°
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
tanα
3 3
1
3
4
►知识点二 解直角三角形
1．解直角三角形的定义及依据 (1)定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形； (2)依据：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c， 则①边角关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab；②三边之间的关系：a2＋b2＝c2；③锐 角之间的关系：∠A＋∠B＝∠C； 1 (3)面积公式：S△ABC＝12ab＝①__2_c_h_____.(h 为斜边 c 上的高)
D、C、E在同一条直线上，CD＝30 cm，DF＝20 cm，AF＝25 cm，FD⊥AE于点
D，座杆CE＝15 cm，且∠EAB＝75°.
(1)求AD的长；
(2)求点E到AB的距离．(参考数据：
sin75°≈0.97 ， cos75°≈0.26 ，
tan75°≈3.73)
【考查内容】解直角三角形的应用．
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利用锐角三角形函数求边长或角度是初中阶段常用的方法，通常是在一个直角 三角形中，知道其中的两个量就可以求出另外的三个量．初中阶段的锐角三角函数 有三种：正弦sin，余弦cos，正切tan，都是在直角三角形中研究结论．
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1.(2014江西)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°， BC ＝ 6. 若 点 P 在 直 线 AC 上 ( 不 与 点 A ， C 重 合 ) ， 且 ∠ABP ＝ 30° ， 则 CP 的 长 为 _6_或___2__3_或___4__3______.
2 如图 4，当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°＋30°＝ 90°，∴PC＝coBs3C0°＝4 3. 综上所述，CP 的长为 6 或 2 3或 4 3.
图3
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图4
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解直角三角形的实际应用 热频考点
【例2】 (2016江西)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其 平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支 撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.
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【思路点拨】 本题考查解直角三角形的应用．(1)根据题意作辅 助线OC⊥AB于点C，根据OA＝OB＝10 cm，∠OCB＝90°，∠AOB ＝18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；(2)由题意 可知，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，则AE＝AB，然后作出相 应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作 出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)
(参考数据：sin9°≈0.156 4，cos9°≈0.987 7，sin18°≈0.309 0，cos18°≈0.951 1，可使用科学计算器)
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三年中考 ·讲练
解直角三角形 【例 1】 (2016 包头)如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°， AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E. (1)若∠A＝60°，求 BC 的长； (2)若 sinA＝45，求 AD 的长． (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
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2．解直角三角形的类型和解法
已知条件
图形
一直角边和一锐角(a，∠A)
已知斜边和一个锐角(c，∠A)
解法 ∠B＝90°－∠A，c＝sinaA，b＝taanA (或 b＝ c2－a2) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝ c·cosA(或 b＝ c2－a2)
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已知条件 已知两直角边(a，b) 已知斜边和一条直角边(c，a)
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【思路点拨】 本题考查解直角三角形．(1)要求BC的长，只要求出BE和CE的 长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；(2)要求AD的长，只要求出 AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
【解答】 (1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝BAEB，∴∠E＝30°， BE＝tan60°·6＝6 3，又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CCDE，∠E＝30°，∴CE＝41＝
可伸缩的，其最大长度AO＝90 cm ，车箱长OB＝60 cm，在车体
的四个角合装有一个圆柱体轮子，其截面为圆，设一个轮子截面 ⊙O与水平地面相切于点C，⊙O的半径为10 cm.
第 1 题图
(1)当点B距离水平地面40 cm时，求点A距离水平地面的距离；
(2)当伸缩推杆OA的长为80 cm时，点A距水平地面74 cm，求此时推杆OA与水平
第 1 题答图
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(2)在 Rt△AHO 中，OA＝80 cm，AH＝AE－HE＝74－10＝64， ∴sin∠AOH＝AOHA＝6840＝0.8. ∴∠AOH≈53°. 即推杆 OA 与水平地面所成的夹角为 53°.
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2．“低碳环保，与我同行”．近两年，某市区的公共自行车给市民出行带来了
极大的方便．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、