最新【冀教版】八年级数学上册-学案 二次根式

二次根式
第2课时二次根式的性质
学习目标：
1.理解复习巩固二次根式的相关概念及其非负性.
2.理解并掌握二次根式的性质.（难点）
3.灵活运用二次根式的性质进行计算.(重点）
学习重点：二次根式的性质的运用.
学习难点：二次根式的性质.
知识链接
1.=a,b应满足的条件是。

2.=a,b应满足的条件是。

新知预习
（1
猜想：当a≥0，b≥0a b的关系是________.
验证：∵当a≥0，b≥0时，
2
=________，)2
a b=__________=__________.
a b.
呢？
猜想：当a≥0，b>0的关系是________.
验证：∵当a≥0，b>0时，
2
=________，
2
⎛
=__________=__________.
于是我们得到二次根式的性质：
①积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根，即______________；
②商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即______________.
（1
.
；
=________. 化简前，被开方数是怎样的数？
答：_______________________________________________________________________. 化简后，被开方数是怎样的数？它们还含有能开方开得尽的因数吗？
答：_______________________________________________________________________. 一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
①被开方数的因式是______，因式是_______；
②被开方数不能含有_______的因式或因式.
自学自测
1.计算
的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．3
2.化简的结果是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：积的算术平方根
问题1：化简：
(1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481
）；
(3)225a 6b 2(a≥0，b ≥0)．
【归纳总结】利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．
【针对训练】
计算：(1)
;2516 (2);972
问题2：若a 2－a 3＝a 1－a 成立，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥0
B ．a ＞0
C ．a ≥1
D ．0≤a ≤1
【归纳总结】利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．
【针对训练】
22a =-的成立的条件是（ ）
A. a ≥ 2 或a ≤-2
B. a ≥ 2
C. a ≥ -2
D. -2≤a<2
探究点2：商的算术平方根
问题1：若a 2－a ＝a 2－a
，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ≤2C ．0≤a ＜2 D ．a ≥0
【归纳总结】运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a
(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件． 【针对训练】
x x x x -=-11成立的条件是( )． A ．x ＜1且x ≠0 B ．x ＞0且x ≠1 C ．0＜x ≤1 D ．0＜x ＜1
问题2：化简：
179；(2)3c 3
4a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．
【归纳总结】按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．
【针对训练】
化简：
;324（2）;1525
探究点3：最简二次根式
问题1：下列二次根式中，最简二次根式是( ) A.8a B.3a C.a 3
D.a 2＋a 2b 【归纳总结】最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【针对训练】
下列各式中，最简二次根式是( )．
A ．y
x -1 B ．b a C ．42+x D ．b a 25 问题2：把下列各式化成最简二次根式． (1)500；(2)3a 2b 3
；(3)2512；(4)23ab 2.
【归纳总结】把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．
【针对训练】
把下列各式化成最简二次根式： (1)=12______；(2)=x 18______；(3)=3548y x ______；(4)=x
y ______； (5)=32______；(6)=214______；(7)=+243x x ______；(8)=+3
121______．
二、课堂小结
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
3
D.
2.化简下列各式：
((() 1230,0;
≥≥
a b (()
450,0.
>≥
c m
3.把下列各式化简成最简二次根式：
(((
123
当堂检测参考答案：
1.D
2.(
1=== (
2
(
33===
(
64;5=
= (
5=
(
1=
= (
22==
= (
37==。