初中数学竞赛辅导资料(4)
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使()()()()f x q x g x r x =⋅+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。
这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式.二．余数定理：对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。
设这时商为多项式()g x ，则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c .三．试根法的依据（因式定理）：如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。
四．试根法的应用：假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数.特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。
典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+，32()213g x x x x =-+-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算：432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .（1）2()253f x x x =--，()3g x x =-；（2）32()321f x x x =-+，1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算：432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式，不再作除法，写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-，()3g x x =-.（1）()2(3)h x x =-；（2）1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++，()2g x x =+，求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少？【例10】 （1）求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数；（2）求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除，求a ，b .【例12】 试确定a 、b 的值，使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除，求a b -的值.【例14】 证明：当a ，b 是不相等的常数时，若关于x 的整式()f x 能被x a -，x b -整除，则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5，求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是21x -；除以24x -时，余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时，余式是25x -；除以24x -时，余式是34x -+，求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ，试求()g x 和()h x ，其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +，其余数比1x +除所得的余数少2，求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除，求a ，b ，c 的值.【例21】 如果当x 取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解（试根法）【例22】 分解因式：354x x -+.【例23】 分解因式：326116x x x +++.【例24】 分解因式：4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式：43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式：65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式：322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式：32511133x x x ---【例29】 分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=，求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++（m n 、都是整数）既是多项式42625x x ++的因子，又是多项式4234285x x x +++的因子，求()f x .【例34】 求证：若a b ≠，则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--））.【例35】 ()f x 除以1x -，2x -，3x -多得的余数分别为1，2，3，求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证：99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式：（1）3246a a a -++.（2）43233116a a a a +---.（3）4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7，除以1x -所得的余数为5，试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3，试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -（整除，求q 与r 的值.5. 分解因式：3245x x +-.6. 分解因式：4322344x x x x +--+.7. 分解因式：4322744x x x x +++-.8. 分解因式：5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式：33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式：32236532x x y xy y --+.11. 分解因式：3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式：32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除，求k 的值.14. 求证：a b -，b c -，c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式，并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ，有三个不同的整数123,,a a a ，使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ，，的任意整数，试证明：()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数，则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。
数学竞赛知识点资料
数学竞赛知识点资料初中数学联赛竞赛知识点1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
初中数学竞赛计算知识点归纳1，C ;2，m=1，n=6 或 m=3，n=2 或 m=6，n=1;3，a=17,4,a=12,x1=1,x2=-2,x3=-28,或a=39，x1=-1,x2=-565,就是第四题的变形。
a=12,或 39过程：1，因为这些数据成对出现，且每一对都是互为倒数，所以只要求出x=2007和x=1/2007的值，就可以知道结果了。
你去求吧。
2，二次函数与横轴的两个交点间的距离等于根号下(b^2-4ac)再除以a的绝对值。
因此有：根号下[(3-mt)^2+12mt]≥(2t+n)的绝对值化简后有：(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2≥0也就是有：y=(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2的图象与横轴最多只有一个交点，即有判别式小于或等于0，则得：(mn-6)^2小于或等于0，即mn=6余下的你可做了。
初中数学竞赛考点归纳
初中数学比赛考点归纳数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描写的一种通用手段，可以运用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
数学属于情势科学，而不是自然科学。
今天作者在这给大家整理了一些初中数学比赛考点归纳，我们一起来看看吧!初中数学比赛考点归纳二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。
(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采取因式分解法通过消元降次来解。
(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。
(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。
解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的根据是完全平方公式。
(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的情势(即一元二次方程的一样情势)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方情势(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一样情势，然后运算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
初中数学竞赛辅导-三角形的四心
学科: 奥数教学内容：三角形的四心【内容综述】三角形的四心，指的是三角形的垂心。
重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。
（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。
垂心常用字母H来表示。
（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。
重心常用字母G来表示。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。
（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。
内心常用字母I来表示。
内心到三边的距离相等。
（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
【例题分析】★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。
求证：AO=BE+CF。
思路直接证AO=BE+CF比较困难。
可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。
证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。
∵G是重心，BD=DC。
过D 点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。
★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。
思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。
从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。
因而ID=IE。
在△DIE中，即由余弦定理解得★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。
又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
历年初中数学竞赛试题精选(含解答)
初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为abcabc ，则abcabc ＝a ×105＋b ×104＋c ×103＋a ×102＋b ×10＋c ＝a ×102（103＋1）＋b ×10（103＋1）＋c （103＋1）＝（a ×103＋b ×10＋c ）（103＋1）＝1001（a ×103＋b ×10＋c ），而a ×103＋b ×10＋c 是整数，所以能被1001整除。
故选C方法二：代入法2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________解：因1981、1982……2001均大于1980，所以9022198019801221==⨯>S ，又1980、1981……2000均小于2001，所以22219022*********221==⨯<S ，从而知S 的整数部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题04 和差化积----因式分解的方法(2)
专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）。
初中数学竞赛讲座——数论部分4(辗转相除法与最大公约数)
第四讲 辗转相除法与最大公因数一、基础知识：1．带余除法：若a ，b 是两个整数，b ＞0，则存在两个整数q 和r ，使得a =bq+r （0≤r ＜b ）成立，且q ，r 是唯一的。
证明：【存在性】作整数序列…，-3b ，-2b ，-b ，0，b ，2b ，3b ，…则a 必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q 使得qb ≤a <(q +1)b 成立。
令a -qb =r ，即证存在性。
【唯一性】设q 1、r 1是满足a =bq+r ，0≤r <b 的另一对整数，因为bq 1+r 1=bq +r ,于是b (q-q 1)=r 1-r 故b |q-q 1|=|r 1-r |由于r 及r 1都是小于b 的非负整数，所以上式右边是小于b 的。
如果q ≠q 1，则上式左边≥b ，这是不可能的。
即证唯一性。
【说明】特别地，如果r =0，那么a=bq 。
这时，a 被b 整除，记作b|a ，对任意整数a ，b 且b ≠0，存在唯一的整数q ，r ，使a =bq +r ，其中0≤r <|b |，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
2．最大公因数：若c |a ，c |b ，则称c 是a ，b 的公因数。
若d 是a ，b 的公因数，且d 可被a ，b 的任意公因数整除则称d 是a ，b 的最大公因数。
记为：(a ，b )=d当d ≥0时，d 是a ，b 公因数中最大者。
若a ，b 的最大公因数等于1，则称a ，b 互素。
记为：(a ，b )=13．辗转相除法：累次利用带余除法可以求出a ，b 的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
又称欧几里得算法。
例如，一般的，设a ，b 是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系列等式： a =11bq r ，0<1r <b ，b =1r 2q +2r ，0<2r <1r ， ……………2n r -=1n r -n q +n r ，0<n r <1n r -， (1) 1n r -=n r 1n q ++1n r +，1n r +=0因为每进行一次带余数除法，余数就至少减一，而b 是有限的，所以我们最多进行b 次带余数除法，总可以得到一个余数是零的等式，即1n r +=0 (1)式所指出的计算方法，叫作辗转相除法。
初中数学竞赛4：奇偶分析
初中数学竞赛4：奇偶分析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若a ，b 均为质数，且22003a b +=，则a b +的值为（ ）A ．999B ．2000C ．2001D ．20022．对任意的三个整数，则（ ）．A ．它们的和是偶数的可能性小B ．它们的和是奇数的可能性小C ．其中必有两个数的和是奇数D ．其中必有两个数的和是偶数3．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组2004,1128y n x y m +=⎧⎨+=⎩有整数解00,x y ，则（ ）． A ．00,x y 均为偶数 B ．00,x y 均为奇数 C ．0x 是偶数0y 是奇数 D ．0x 是奇数，0y 是偶数4．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数､一个偶数，n 是整数，如果()()()12233S a n b n c n =++++++，那么（ ）． A ．S 是偶数 B ．S 是奇数 C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同 D ．S 的奇偶性不能确定 5．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如22420=-，221242=-，222064=-），下列关于神秘数的叙述，正确的个数为（ ）． ①2008是神秘数；②任意两个正奇数的平方差是神秘数；③任意两个正奇数的平方差不是神秘数；④在1~100这100个数中，神秘数有13个．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6．从1到2001连续的2001个自然数按某种顺序排列，然后每连续三项计算和数，得到1999个和，则这些和数中为奇数的个数最多是_________．7．如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x 最小是_________．8．设m 是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则m =______．9．a ，b ，c 都是质数，并且33,44,66a b b c c d +=+=+=，那么d =______．-均为质数，则x的可能取值的个数是________．10．已知x，m，n为正整数，2+=+与2x nm n x m5,11．设n为自然数，如果2005能写成n个正的奇合数之和，就称n为“好数”，则这种好数有______个．12．甲､乙､丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是3960，那么乙最多买________本．13．下面是一个大表的一部分，表中将自然数按照从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……，那么第18个拐弯的地方是_________．14．若一个正整数不能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“非智慧数”，如把这些非智慧数按从小到大的顺序排列，则第2009个非智慧数是_________．15．A，B，C，D，E，F，G七盏灯各自装有一个拉线开关．开始B，D，F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A 到G，再从A到G的顺序依次拉开关，一共拉了2000次，这时亮着的灯是___________．16．用数字0，1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，偶数有_____个．17．从1，2，…，2006中，至少要取出______个奇数，才能保证其中必定存在两个数，它们的和为200818．从1，2，…，2008中，至少取________个偶数才能保证其中必定存在两个偶数之和为201219．设p是正奇数，则2p除以8的余数等于____________．三、解答题20．将1999表示为两个质数之和：1999=+，在□中填入质数，共有多少种表示法？21．（1）证明：奇数的平方被8除余1；（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．22．A，B，C，D四个数之和为59，问：2222+++，5555A B C D+++A B C DA B C D+++，4444+++，3333A B C D这四个数中共有几个奇数？23．在6张纸片的正面各写上整数1到6中的一个；然后把这些纸片搞乱，把纸片翻过来，在它们的反面，同样各写上整数1到6中的一个．问：有没有可能，6张纸片的正面和反面数字的差都不相同？若有可能，请举例说明；若没可能，请说明理由．24．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从1报到64，再依次从1报到64，一直报下去，直到每人报过10次为止．问：（1）是否有报过5，又报过10的人？有多少？说明理由．（2）是否有报过5，又报过11的人？有多少？说明理由．25．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给予证明．26．某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日是星期几？27．已知t +∈N ，若2t 可以表示成1b a ±（a ，b 是大于1的整数），请找出满足上述条件所有可能的t 值．28．设n 是正整数，1234d d d d <<<是n 的四个最小的正整数约数，若22221234n d d d d =+++，求n 的值．29．从1，2，3，…，100中任选两个不同的数可以组成两个加法算式（82+与28+算两个），在这些算式中，有的和是奇数，有的和是偶数．在所有这些算式中，和为奇数的多还是和为偶数的多？多多少？参考答案1．C【分析】2003是奇数，所以a ，b 中必有一个数是偶数2，分两种情况进行讨论即可得出结论．【详解】解：由于2003是奇数，所以a ，b 中必有一个数是偶数2．若b =2，则a 2=2001，而2001不是完全平方数．故a =2，b =1999，有a +b =2001．故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇数的性质，正确理解a ，b 中必有一个数是偶数2是解决本题的关键． 2．D【详解】选D ．理由：对于任意一个整数，它不是奇数就是偶数，且两者必居其一．对任意的三个整数，它们的奇偶性只可能是下面8种情况之一：奇奇奇､奇奇偶､奇偶奇､奇偶偶､偶奇奇､偶奇偶､偶偶奇､偶偶偶．而这8种情况所对应的三个数的和的奇偶性依次为：奇､偶､偶､奇､偶､奇､奇､偶．所以它们的和是奇数与和是偶数的可能性一样，排除A ，B ．又因为在可能的8种情况下，每种情况中都存在两个奇偶性相同的数，而这两个数的和一定是偶数故选D ．3．C【详解】选C ．理由：因02004y n =-，n 为奇数，则0y 为奇数；001128x m y =-，m 和028y 都为偶数，故0x 为偶数．4．A【详解】选A ．理由：考察S 的三个因数和的奇偶性．5．B【详解】解 选B ．理由：设两个连续偶数为22k +和2k ，则22(22)(2)4(21)k k k +-=+．又21k +是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数．设任意两个正奇数为21m +和21n ，则22(21)(21)4(1)()m n m n m n +-+=++-．由于1m n ++与m n -的奇偶性相反，从而，22(21)(21)m n +-+是8的倍数．故22(21)(21)m n +-+不是神秘数．又20088251=⨯，故2008不是神秘数．不难验证：1~100之间的神秘数有41,43,,425⨯⨯⨯．共计13个．综上，知③､④正确．6．1998【详解】用0表示偶数，1表示奇数，则按如下方法排列时：5011500100100100100111A B C 个个，仅有一个数为偶数：A B C ++，故所求和数个数的最大值不小于199911998-=．其次，我们证明对任意排列，都至少有一个和为偶数，分4种情形．情形①：第一项为奇数，第二项为偶数．为了使和不出现偶数，第3项只能是奇数，接下去只能是1001000…这样出现了500个100后，所有1000个偶数全都排出，余下只有501个奇数，这时只能是上述排列，其中有一个和：A B C ++为偶数．情形②：第一项是奇数，第2项也是奇数．为了使和不出现偶数，以后各项只能都是奇数，排完1001个奇数后，剩下1000个偶数，再排下去必出现偶数：奇+奇+偶=偶． 情形③和④：第一项是偶数，第二项是奇数或偶数，同样必会出现和为偶数的情形． 综上可知，所求和数个数的最大值是1998．7．21【详解】当21x k =+为奇数时，依题意得4(21)13101k ++≥，221k ≥，22x ≥；当2x k =为偶数时，依题意得25101k ⨯≥，220.2x k =≥，21x ≥，故正整数x 最小是21．8．17．【详解】最小三个合数为4，6和8，46818++=．故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数．当18m >时，若218m k =>，则()4625m k =++⨯-；若2118m k =->，则()4927m k =++-．因此，任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和．故17m =．9．53【详解】质数中只有2是偶数，由条件易知，2a =，所以3331,4413,6653b a c b d c =-==-==-=．10．2【详解】由题设，m 可取1，2，3，4，相应地，n 可为4，3，2，1，并且m 与n 一奇一偶．故2x m +与2x n -一奇一偶．又2x m +与2x n -均为质数，因此，22x m +=或22x n -=，解得1,1x m ==或22x n -=±．当1,1x m ==时，4n =．23x n -=．所以，1x =符合条件．当22x n -=时，22{3,4,5,6}x n =+∈，则2x =．此时，22,3,7n m x m ==+=．所以，2x =符合条件．当22x n -=-时，22{1,0,1,2}x n =-∈-，则1x =．当1x =时，23,2,3n m x m ==+=是质数．所以，1x =符合条件．因此，x 的可能取值有2个．11．111【详解】填111.理由：设12,,,n a a a 为奇合数，122005n a a a +++=，则n 为奇数．由于9是最小的奇合数，而200520079223<=⨯，故223n <．从而，221n ≤．因220200519802599925=+=++++个，故221是好数．故221是好数．又当()219k -⨯是奇合数时，()()21999219k k -⨯++=+⨯也是奇合数．因此，可将上式右端逐步并项，从而，n 可取221，219，…，5，3.由于2005本身也是奇合数，则n 可取1.于是，1，3，5，…，221都是好数，共计111个．12．18【详解】填18.理由：设甲､乙､丙分别买书x 本，y 本，z 本，则()x y z ++是偶数．可知x ，y ，z 或者都是偶数，或者是两个奇数､一个偶数．32396023511x y z ⨯⨯==⨯⨯⨯．若x ，y ，z 都是偶数，则它们分别为221122,2318,2510⨯=⨯=⨯=．若x ，y ，z 是两奇一偶，则它们分别为32324,3515,11⨯=⨯=．所以乙最多买18本．13．91【详解】填91.理由：观察拐弯处的数的规律，可得第n 个拐弯处的数：当n 为奇数时，为1(135)n +++++；当n 为偶数时，为121232n ⎛⎫+⨯++++ ⎪⎝⎭． 将18n =代人，得91.14．8026【详解】填8026.理由：1不能表示为两个正整数的平方差，则1是第1个非智慧数．大于1的奇数()21n n ++∈N 可表示为22(1)n n +-．能被4整除的偶数4m 可表示为22(1)(1)(1)m m m +-->．而4不能表示为两个正整数的平方差．能被2整除而不能被4整除的数42()m m +∈N 不能表示为两个正整数的平方差．否则，22()()42x y x y x y m -=+-=+．由于x y +与x y -同奇偶，42m +为偶数，因此，x y +与x y -同为偶数． 则2(),2()x y x y +-． 故()224x y -． 于是，4(42)m +，与矛盾．所以，42m +是非智慧数． 则非智慧数按从小到大的顺序排列是：1，2，4，6，10，14，……．当3n >时，第n 个非智慧数为410n -．因此，第2009个非智慧数为42009108026⨯-=．15．B ，D ，G ．【详解】填B ，D ，G ．理由：有7盏灯，7个拉线开关，因为200072855÷=，所以前5盏灯的开关被拉了286次（偶数次），原来亮着的B ，D 仍然亮着；后两盏灯的开关被拉了285次（奇数次），原来暗着现在变亮的是G ，原来亮着的F 现在则变暗．所以，最后亮着的灯是B ，D ，G ．16．105【详解】填105.理由：个位是0时，百位有6种选法，十位有5种选法，有65⨯个；个位是2时，百位有5种选法，十位有5种选法，有55⨯个；个位是4，6时，情况与个位是2时的相同． 所以满足条件的三位偶数共有6555552105⨯+⨯+⨯⨯=（个）．17．503【详解】填503.理由：从1，2，…，2006中选出两个奇数，和为2008的共有如下501组： 32005,52003,,1031005+++．由于1与其中的任意一个奇数的和都不会等于2008，因此，至少要取出503个奇数，才能保证其中一定有两个数，它们的和为2008.18．504【详解】解 填504，理由：从1，2，…，2008中选出两个偶数，和为2012的共有501组，即42008+，62006+，…，10041008+．由于2或1006与其中的任意一个偶数之和均不等于2012，因此，至少取出50121504++=个偶数，才能保证其中一定有两个偶数之和为2012.19．1【详解】解 填1，理由：因为p 是正奇数，设21()p k k =-∈N ，所以，222(21)4414(1)1p k k k k k =-=-+=-+．因(1)k k -为偶数，所以，2p 除以8余1.20．一种【详解】解：根据奇偶数的性质：奇数=奇数+偶数．而在所有的偶数中只有2是质数，所以两个□中必有一个是质数2，另一个质数是1997，只有这一种填法．所以只有一种填法．21．（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）奇数可写成21n 的形式，其中n 为整数，2(21)4(1)1n n n +=++．n 与1n +中必有一个为偶数，所以4(1)n n +被8整除，奇数21n 的平方被8除余1.（2）由（1），每个奇数的平方和除以8余1，8个奇数的平方和被8整除，10个奇数的平方和除以8余2，2006除以8余6.因此，2006不能表示成10个奇数的平方和．22．4个【详解】因为59A B C D +++=，和为奇数，那么这四个数就只有下面两种可能：（1）偶､偶､偶､奇，三个偶数，一个奇数；（2）偶､奇､奇､奇，三个奇数，一个偶数．故奇数的个数为奇数个．又因任意个数的奇数相乘，积仍为奇数，比如A 为奇数， 则2345,,,A A A A 等仍为奇数．所以题干四个算式，无论属于（1）､（2）的哪种情况，其和均为奇数．故这四个数中共有4个奇数．23．没有可能，见解析【详解】解 可以把这道题换一种说法，然后，从最简单的问题开始研究这道题的规律．在N 张纸片的正面各写上整数1到N 中的一个；然后把这些纸片搞乱，把纸片翻过来，在它们的反面，同样各写上整数1到N 中的一个．问：有没有可能，N 张纸片正面和反面数字的差都不相同？若有可能，请举例说明；若没可能，请说明理由．当1N =时，纸片正面是1，反面也是1，差是0.当2N =时，显然没有可能．当3N =时，也没有可能．当4N =时，是能办到的．例如，当纸片正面是1，2，3，4，在它们的反面分别写上4，1，3，2时，正面和反面数字的差分别是3，1，0，2，符合题目要求．当5N 时，也是能办到的，例如，当纸片正面是1，2，3，4，5，在它们的反面分别写了5，2，4，1，3时，正面和反面数字的差分别是4，0，1，3，2，符合题目要求． 如果我们定义1N =是能办到的，这样就可以猜想出当6N =时是办不到的．可以用奇偶性加以说明．假设6张纸片的正面和反面的数字都不相同，差必然是0，1，2，3，4，5，差的和是15，15是个奇数（当N 是1，4，5时，差的和都是偶数；当N 是2，3时，差的和是奇数）． 由于1到6的整数有6个，在6个减法算式中，每个数字分别出现两次，可以把这些数字分成3类：第1类是两次都在被减数中出现；第2类是两次都在减数中出现；第3类是一次在被减数中出现，另一次在减数中出现．求差的和时，相当于第1类数的2倍之和，减去第2类数的2倍之和（第3类数恰好互相抵消），其差只能是偶数，与15是奇数相矛盾，所以没有可能．24．（1）没有，见解析；（2）有，157人，见解析【详解】解 （1）因为1998与64都是偶数，所以报偶数的总是报偶数，报奇数的总是报奇数，没有既报偶数又报奇数的人．（2）1998643114÷=．如果某人在第n 圈时报5，那么在第(1),(2),(3),(4),(5)n n n n n +++++圈时将依次报19，33，47，61，11，也就是说在前5圈中报过5的人，在10圈内必然能报11.由19985641566⨯÷=知，前5圈中有157人报过5，这157人是既报过5又报过11的人． 如果某人在第n 圈时报过11，经推算，在以后的10圈内不会报5.经上所述，报过5又报过11的有157人．25．不能，见解析【详解】解 将国徽朝上赋予“1+”，朝下赋予“1-”，则1997枚硬币的国徽朝向情况可用1997个数的乘积表示，若这些数之积为1-（或1+），表明有奇数（或偶数）枚国徽朝下，开始时，其乘积为1000997(1)(1)1+⋅-=-．每次翻转6枚硬币，即每次改变6个数的符号，其结果是1997个数之积仍为1-，所以经有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币永远有奇数枚，故回答是否定的．26．星期六【详解】解 根据奇偶数的性质：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数．又根据“某个月里有三个星期日的日期为偶数”得，这个月第一个星期日的日期可能为1，2，3日．经过进一步筛选，可知这三个星期日的日期分别为2，16，30日．故这个月的15日是星期六．27．3【详解】解 设正整数t ，使得21t b a =±．显然，a 为奇数．（ⅰ）若b 为奇数，()1232(1)1t b b b a a a a a ---=±++．由于a ，b 均为奇数，而奇数个奇数相加或相减的结果一定是奇数，因此，12311b b b a a a a ---++=也是奇数．从而只可能12311b b b a a a a ---++=， 得211t b a a =±=±．故1b =，这与2b ≥矛盾．（ⅰ）若b 为偶数，令2b m =，则1(mod 4)b a ≡．若21t b a =+，则212(mod 4)t b a =+≡．从而，1t =．故1211b a =-=，矛盾．若()()2111t b m m a a a =-=-+，两个连续偶数的乘积为2的方幂，只能是12,14m m a a -=+=． 从而，3,22a b m ===．因此，221318t b a =-=-=．综上，满足题设的2的正整数次幂是32，即3t =．28．130【详解】解 若n 为奇数，则1234,,,d d d d ，全为奇数，则22221234=d d d d ++为偶数，与n 为奇数矛盾，故n 为偶数，故121,2d d ==．若n 为4的倍数，则3d ，4d ，必有一个为4，而n 为偶数，则另一个为奇数，22221234d d d d +++除4的余数为2，与题意不符，故n 不是4的倍数．设3d a =（a 为奇数），则4d 必为偶数，故42d a =．则()2222212(2)51n a a a =+++=+，可见n 是5的倍数，故345,10,130d d n ===．29．和是奇数的比和是偶数的多，多了100个．【详解】解 把这些算式分为100类，它们第1个加数分别为1，2，3，…，100类99个算式．++++，那么所有这些算式中和是奇数的与和是如果每一类都分别添上11,22,33,,100100++++这100个和是偶数的，就使和是偶数的各一半（同样多），缺了11,22,33,,100100奇数的比和是偶数的多了100个．。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
数学竞赛知识点整理
上海市初中数学竞赛知识点整理*1.3组合恒等式*6．图论一．正整数A 的p 进制表示：012211a pa pa pa Am mm m，其中1,,2,1},1,,2,1,0{mi p a i且01ma 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p mm a a a A)(021。
二．整除在数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。
定义：设b a ,是给定的数，0b，若存在整数c ，使得bc a则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a记作ba 。
由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b 即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv aub 。
更一般，若n a a a ,,,21都是b 的倍数，则)(|21n a a a b 。
或着i b a |，则ni i i b c a 1|其中n i Z c i,,2,1,；(3)若a b |，则或者0a，或者||||b a ，因此若a b |且b a |，则b a；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0b，则存在整数q 和r ，使得r bqa，其中b r，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r称为a 被b 除得的余数。
注意：r 共有b 种可能的取值：0,1， (1)。
若0r，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为ba （不超过ba 的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛辅导资料
零的特性
甲内容提要
一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0⇔b是负数
c≥0⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质
1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，
反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数⇔a+b=0
5，减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b;若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下：
1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605
乙例题
例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？
答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，
相除商是－1。
例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？
答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。
因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。
例3．要使下列等式成立X 、Y 应取什么值？为什么？
①X （Y －1）＝0，②｜X －3｜＋（Y ＋2）2＝0
答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X ＝0时，Y 可取任何数；
当Y ＝1时，X 取任何数等式X （Y －1）＝0都是能成立。
②∵互为相反数相加得零，而｜X －3｜≥0，（Y ＋2）2≥0，
∴它们都必须是0，即X －3＝0且Y ＋2＝0，
故当X ＝3且Y ＝－2时，等式｜X ｜＋（Y ＋2）2＝0成立。
丙练习4
1，有理数a 和b 的大小如数轴所示:b 0a
比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）
2a 0,－3b
0,a 10,－b 20，－a 20,－b 3
0,a+b 0,a －b 0,ab
0,(－2b)30,b a 0,b
a -02,a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。
｜a|>a,a 2>－a 2,a>－a,a+1>a 3,x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。
①（x －2）2有最小值0，③－｜x+3|有最大值0，
22－x 2有最大值2，④3＋｜x －1｜有最小3。
4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5，要使下列等式成立，字母X 、Y 应取什么值？
①X 0＝0，②X （X －3）＝0，③｜X －1｜＋（Y ＋3）2＝06，下列说法正确吗？为什么？
①
a 的倒数是a 1②方程（a －1）X ＝3的解是X ＝13-a 3n 表示一切自然数，2n －1表示所有的正奇数
4如果a>b,那么m 2a>m 2b (a 、b 、m 都是有理数)7，X 取什么值时，下列代数式的值是正数？
①X （X －1）②X （X ＋1）（X ＋2）。