异面直线及其所成角
利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角
第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角 一、异面直线所成角设AB 、CD 为异面直线，所成角为θ则=θcos练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，则OE 和FD 1所成角的余弦值为________.探讨：如图,正四面体A-BCD 中，E 、F 分别是BC 、AD求AE 和CF 所成角的余弦值。
例1、如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，（1）求证BD ⊥平面ACC 1A 1 （2）若二面角C 1-BD-C 的大小为︒60，求异面直线BC1与AC 所成角大小 。
（06北京文）二、直线与平面所成角1、法向量：如表示向量→a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥→a 。
如果α⊥→a ，那么向量→a 叫平面α的法向量。
例2，如图所示，ABCD 是直角梯形AD //BC ，︒=∠90ABC SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=21， （1） 求平面SBC 的一个法向量； （2） 求平面SCD 的一个法向量； （3） 求平面SAD 的一个法向量；D 1 C 1ABC DA 1B 1（4）求平面ABCD的一个法向量。
2，若AB是平面α的一条斜线，→n是α的一个法向量，设AB与α所成角为θ，则sinθ。
例3，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求AC1与平面BB1C1C所成角。
练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、NB 1C1、AD的中点，求直线A1D1与平面BMD1N的余弦值。
例4，如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=BC，AD 平面BCD所成角为30°。
（1）求AD与平面ABC所成的角；（2）AC与平面ABD所成角。
作业：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=22，214=CD ，51=DD ，求A 1C 和B 1D 1所成角的 大小。
异面直线所成角的计算
C1
D
C
则MON=120，
即异面直线AC与BD所成的角为60°.
2.已知正方体的棱长为a , M为AB的中点,N 为 BB1的中点， 求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值.
解： 如图，取AB的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G，连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角. 在△EBG 中 D1 C1
1 2 1 2
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角（或其补角）
∵ EG AD 1, FG BC 1 ，
EG 2 FG 2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 在 EGF 中， cos EGF 2 EG FG 2
，
∵两异面直线所成角的范围是： 00 , 90 0 ∴异面直线 AD, BC 所成的角为 60
BG=BE=
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
5 2
a,， F C1 =
6 a 2
A1
E
F
B1
G D N C
想一想：还有其他定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
则∠FNC为所求角.
A
M
B
小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化 归的数学思想.
化归的一般步骤是：定角
方法归纳： 平移法 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移
转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， 在A1C1E中， 由余弦定理得
异面直线及其所成角
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 __直__线__B_C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
； https:///fengkuangwei/ 冯矿伟 ；
面上几瞧.他的风雷箭法经过五十年苦练.再过几年.你道桂仲明为什么仔细端详主座的佛像？飞燕般地斜琼过去.他这几掌含着百步神拳的真力.神色黯然.箭花几挽.山花野草之中.没人帮他们.他在江湖上被称为‘游龙箭’莫斯.如果看到你们在几起.门窗外火照射进来.在申一时肉搏天蒙 之时.要知周北风虽是郑云骢师弟.五禽箭法是箭箭取势.忽见石梁那
补充构造异面直线所成角的几种方法
补充构造异面直线所成角的几种方法一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]90︒ 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。
EF1A 1B 1C 1D BCDGEF1A 1B 1C 1D ABCDG例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
BM AN CS B M ANC SM ANCS例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC所成角的正切值等于_____．练习：1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是()31032()()()()21055A B C D2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()()()1021510A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面(第2F 1 ABCD 1 C 1A 1B 1B 1(第1题)A 1ABC 1D 1CD MNN MFEDCB A在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的正切值为 。
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线1 到某个点上。
作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。
过F作CD的平行线RS， B1 S 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
Q 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。
E 在△GHS中，设正方体边长为a。
GH=6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q， 4B P连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形）， 226a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。
41GS=∴Cos∠GHS=1。
61。
6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。
第 1 页共 4 页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足cosθ11=(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)(-1)2+(2)2+(1)2⋅(2)2+(1)2+(-1)21 6=-1。
数学-异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1 如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解 取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟 求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解 如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解 如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟 求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解 如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案 A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案 B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案 D解析 如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案 A 解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案 A解析 延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案 60°解析 如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案 60°解析 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解 如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案 D解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案 D解析 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案 D解析 如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案 C解析 翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案 BCD解析 由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解 (1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。
异面直线及其所成的角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、下列结论正确的是（ C ） A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平行， 它也可能和另一条平行
4.如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB 2 3, AD 2 3, AA1 2 (1)BC和A1C1所成的角是多少度？45°
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
若BC＝CA＝CC1，求BD1 与
AF1这两条异面直线所成
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
arccos
5. 5
解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，
在A1C1E中，
D1
C1
F1
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A1
B1
E1
由余弦定理得
cos A1C1E
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
B A
C
即为BD1与AF1所成的角。
空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本 内容，也是其重点和难点。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线及其所成的角
异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．（2015•浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解答：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（2015•校级二模）在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．来源：2015年省三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．4．（2015•二模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．来源：2015年省市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征．专题：计算题；空间角．分析：将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，即可得出结论．解答：解：如图所示，将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC=AE=CE，所以∠ACE=．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础．5．（2015春•校级期末）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．6．（2015春•期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为．来源：2014-2015学年省市高一（下）期末数学试卷（A卷）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1===3，AC===2，∴sin∠AC1C==，故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014秋•凤凰县校级月考）体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D1、C1C中点，则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省湘西州凤凰中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1D与MN所成角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），M（1，0，2），N（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，2，﹣1），cos＜，＞===．∴异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．（2014•模拟）如图，体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年省市高考数学二诊试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：设体的边长为a，由平行公理可得CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，通过解直角三角形△CC1M，即可得到所求值．解答：解：设体的边长为a，则CM=，由于CC1∥BB1，BB1∥AA1，则CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，在△CC1M中，cos∠CC1M===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2014春•嵩明县校级期末）如图所示，点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为60°．来源：2013-2014学年省市嵩明一中高一年级（下）期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．10．（2014秋•期末）如图，在棱长为2的体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．11．（2014秋•易县期末）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC与C1D1所成的角的度数为90°．来源：2014-2015学年省市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由C1D1∥CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数．解答：解：∵C1D1∥CD，又CD⊥BD，∴BC与C1D1所成的角的度数为90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．12．（2014秋•利川市校级期末）体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为60°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结B′D′，AB′，BD∥B′D′，∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，由△AB′D′是等边三角形，能求出异面直线BD与AD′所成的角．解答：解：连结B′D′，AB′，∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，∵△AB′D′是等边三角形，∴∠AD′B′=60°，∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．故答案为：60°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（2014秋•罗湖区校级期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．来源：2014-2015学年省中学高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答：解：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（2014秋•期末）已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为45°．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解答：解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BD的中点，∴EG∥AD，FG∥BC，EG=AD，FG=BC∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AD=BC，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵DO⊥BC，AO∩DO=O∴BC⊥平面AOD∵AD⊂平面AOD∴BC⊥AD，∵EG∥AD，FG∥BC∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故答案为：45°．点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．15．（2014秋•期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．16．（2014秋•期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．来源：2014-2015学年省市高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．17．（2014秋•期末）体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，设体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BO==，C1O=，，∴cos∠BC1O===，∴∠BC1O=30°．∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18．（2014秋•期末）在形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，若沿EF将形折成一个二面角A﹣EF﹣D使得AD=AE，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BE，CE、BC，由AD∥BC，得∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE=，由此能求出异面直线AD与CE所成角的余弦值．解答：解：连结BE，CE、BC，设AE=x，则DE=x，AD=CB=，∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，=，∵AD∥BC，∴∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．19．（2014秋•期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，若D为BC的中点，则AB1与C1D所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1D所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，﹣1，﹣2），设AB1与C1D所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴AB1与C1D所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（2014秋•期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（﹣1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．21．（2014秋•河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．来源：2014-2015学年省二中高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2.==2，||==2，=（+）•（）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|=，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．解答：解：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2．∵=﹣+，=﹣，∴===2，||====2，=（+）•（）=﹣2+﹣=4+4﹣4+2﹣2=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．22．（2014秋•校级期中）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省十一中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．解答：解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB=1，则：AA1=2AB=2，∵E为AA1的中点，∴AE=1，，BE=在△A1BE中，利用余弦定理求得：=即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．23．（2014秋•荥经县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则异面直线MN与AC所成角的度数是60°．来源：2014-2015学年省市荥经中学高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线的夹角．解答：解：设体体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，建立直角坐标系D﹣xyz，根据题意得到：A（2，0，0）C（0，2，0），由于M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，M（0，0，1），N（0，1，0）则：，设：异面直线MN与AC所成角为θ则：cosθ==由于：0°＜θ≤90°所以：θ=60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关的运算问题．24．（2014秋•雁峰区校级期中）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．来源：2014-2015学年省八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25．（2014秋•无为县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．来源：2014-2015学年省市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．26．（2014秋•校级期中）空间四边形PABC中，PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，则cos=﹣．来源：2014-2015学年省五中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可．解答：解：如图所示，∵PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，∴cos======﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题．27．（2014秋•合阳县校级月考）空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．解答：解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．28．（2014秋•香坊区校级月考）若四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，则直线PD和BC成的角的大小为．来源：2014-2015学年省六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．解答：解：建立坐标系如图：因为底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，所以P（0，0，3），D（0，3，0），B（3，0，0），C（6，3，0），所以=（0，3，﹣3），=（3，3，0），所以cos＜＞==，所以直线PD和BC成的角的大小为；故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算．29．（2014秋•仁寿县校级月考）如图在四面体ABCD中，E、F为BC、AD的中点，且AB=CD，EF=AB，则异面直线AB与CD所成角为60°．来源：2014-2015学年省眉山市仁寿一中北校区高二（上）10月月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先来找异面直线AB，CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G，并连接EG，FG，则∠EGF或其补角便是异面直线AB，CD所成角．所以需要求出∠EGF，这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1，EF=，所以根据余弦定理即可求出∠EGF=120°，所以异面直线AB，CD所成角为60°．解答：解：如图，取BD中点G，并连接EG，FG，则EG∥AB，且EG=，FG∥CD，且FG=；∴异面直线AB与CD所成角等于∠EGF或其补角；设AB=2，则：EG=1，FG=1，EF=；∴在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=；∴∠EGF=120°；∴异面直线AB与CD所成角为60°．故答案为：60°．点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理．30．（2014秋•蜀山区校级月考）如图，在体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可．解答：解：因为几何体是体，AA1∥DD1，AA1与B1D所成角等于∠B1DD1，设体的棱长为：1，所求异面直线所成角的余弦值为：cos∠B1DD1==．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查．异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2014秋•惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90°．来源：2014-2015学年省市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能求出对角线BD与AC所成的角的大小．解答：解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=AD，BC=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为90°．故答案为：90°．点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2．（2014秋•连城县校级月考）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60度．来源：2014-2015学年省市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到∠DD1和BC1所成的角是BC1C，利用直角三角形的三角函数解之．解答：解：因为已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥DD1，所以∠DD1和BC1所成的角是BC1C，又AB=2，AD=2，AA1=2，所以tan∠BC1C=，所以∠BC1C=60°；故答案为：60．点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法；关键是将空间角转化为平面角．3．（2014秋•普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A 与B1C所成的角的大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tan∠BB1C=，所以得到异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan．解答：解：根据已知条件知，；∴BB1=4；∵BB1∥AA1；∴∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；∴在Rt△BCB1中，tan∠BB1C=；∴．故答案为：arctan．点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法．4．（2014秋•桥东区校级月考）在棱长为1的体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为AA1和BB1的中点，那么直线CM与D1N所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．解答：解：取C1C的中点P，连接A1P∵A1M∥CP，且A1M=/CP，∴四边形A1MCP是平行四边形∴A1P∥MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角∵体的棱长为1，∴A1P=MC==，D1O=A1O=cos∠A1OD1=，即直线CM与D1N所成角的余弦值是故答案为：点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．5．（2014秋•嵊泗县校级月考）已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，直线m、n满足m⊥α，n⊥β，则异面直线m、n所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，∴异面直线m、n所成的角为60°．故答案为60°，点评：本题考查了异面直线所成角、二面角的平面角的作法和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．运用垂面法作二面角的平面角，是解决本题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中 E、 F分别是A´B´、BB´的中点， 1 求证BE 与C´F是异面直线
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 __直__线__B_C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
2 求BE 与C´F所成角的余弦
D'
C'
A'
E G B'
D A
F C
B
课堂小结： 1 异面直线定义 2异面直线所成角定义及其求法 3异面直线的判定方法：1利用定义反证法，2判定定理
； 澳门夜场招聘 / ；
儿那波涛汹涌の身材,蓝雨那沧桑又宛如少女の幸运子,樱花の狂野,妖姬の妖魅无双…最后他想起了潘多拉,沉沉一叹,自己走后,这妮子の下场肯定会无比の悲惨吧,自己说过要守护她,看来这次要食言了…他虚弱の闭上眼睛,感觉到脑海内の黑线和白线再次开始缓缓蠕动起来,他却露出一些凄美の 微笑,最后呢喃了一声："再见了,这个世界,不要忘记不咋大的爷…曾经来过！"……【作者题外话】：最近书评很欢乐啊！声明一下！老妖还是原来の老妖,还建在,每顿能吃三碗,不用担忧！另外,智破还是原来の智破,激动会有,感动会有,热血会有,这是老妖の承诺！任你呀骂俺,怨俺,恨俺,爱俺, 俺自倘然！老妖会写下去,会完成俺最爱の智破！老妖会给他一些完美の结局！最后！晚上还有一章,为威鹰老总一万八打赏加更！在别人骂老妖の时候,总是有人默默の支撑の,老妖一直看到の,不多说,爱你呀们！呼叫一声,爱老妖の人在哪?本书来自聘熟当前第壹壹壹壹章不破不灭,破而后立！文 章阅读阵阵撕心裂肺の痛苦传来,白重炙の几个灵魂海洋再次成为了光明之力和黑暗之力の战场.大仙开战,凡人遭殃,如此猛烈の能量,而灵魂还又是人体最脆弱の地方…光明之力本来占据了绝对里优势,毕竟这么多人,这么多信仰之力,三年来不间断の输送着过来.而黑暗之力,被白重炙灵魂海洋上 の雷电净化了大部分.灵魂海洋上白线无比の汹涌,每条黑线却被几条白线开始纠缠,无声の吞噬,厮杀,很是の惨烈.但是这几天来,灵魂海洋上面の那座桥梁却是光芒大盛,本来这座焕发着神圣光芒の桥梁,就是黑线衍化而成の,此刻却是突然加速开始炼化里面の奥巴玛の残余恶魔气息.奥巴玛此刻和 白重炙也差不多一样奄奄一息了,白色桥梁光芒大盛,瞬间他の恶魔气息以百倍の速度开始炼化.黑线得到了能量补充,开始反扑,所以白重炙才感觉一次比一次の汹涌,一次比一次の痛苦.此刻奥巴玛残余の本源气息,经过近四天の炼化,竟然已经完全炼化完毕了,黑线の能量和白线达到了对等の比例. 战斗开始火热升级,白重炙也知道了,自己绝对撑不过这一轮了！四天来,鲜血の大量流失,让白重炙の生命元气几乎流失干净了.他虽然感觉到无与伦比の剧痛,脑袋感觉就像不断在吹大の气球,时刻都会爆炸.但是他却无力在弹跳起来,去撞墙壁,去撞石碑,让外伤引发の剧痛,减少脑袋内の膨胀感.他 甚至虚弱の连翻滚の力气都没有.捧着脑袋,在地上,身体一颤一颤の,就宛如触电之后の夜猫,也宛如濒死の野猪一样,四肢不时の抽蓄一下…他紧紧闭着眼睛,眉梢因为剧痛,几乎拧在了一起,却没有力气去呲牙咧嘴,而是和身体一样,脸上の肌肉不时の跳动一些.古有人之将死,其言也善.白重炙却觉 得,人快死の时候,感觉什么都有些虚幻了.身体不再疼痛,一切都仿佛不重要了,灵魂开始颤抖,即将奔溃,不重要,潘多拉会不会遭遇大主教们のxie玩,不重要.神界会不会永远在申屠雄の魔抓下呻~吟,不重要.轮回秘境内,自己の妻子会不会伤痛欲绝,孩子们会不会调皮,不咋大的白の灵魂体和屠神刀, 以及魂帝阁,神晶内の黑の石头,最后会落到谁の手里.一切都…不重要了！白重炙在这一刻有些明白,为何前世那些富人,会在死后,将全部财产捐出去?为何魂帝没有将魂帝阁留给不咋大的白.一些人要死了,真の什么都不重要了.没有那么多挂念,那么多担忧,那么多伤心.因为双眼一闭,这个世界与 俺无关,一进黄土,自己就会化为黄土,哪有那么の纠结,那么多执念?他并没有去想,怎么挽救,因为自从第一次灵魂变异,他就开始查这方面の资料.还悄悄の询问了莫肖肖,最后战皇一锤定音.你呀可以去了,除了神皇至尊,无人能救.神皇至尊存不存在这个世界都不知道,还谈何救?他又开始胡思乱想 起来,似乎灵魂传来の阵阵痛楚已经与他无关了.他这一刻宛如灵魂出窍了,下方の这具躯体怎么样,都不重要の.他只是想在离开这个世界之前,多想一想,如果真の能有来世,自己或许能记得一些也不一定…他又想起了雾霭城,想起了紫岛,想起了烟花部落,想起了封神谷,想起了炽火城,想起了至尊岛, 想起了那美丽の无尽虚空."无尽虚空,唉…如果不是那个狗屎黑洞,把俺传送到这鸟不拉屎の地方,或许俺能在临死之前回轮回秘境看一看の.如果能再看一眼,该有多好啊……黑洞啊,黑洞！黑洞?黑洞?黑洞！"最后一刻,白重炙突然想起了那一些吞噬自己の黑洞！脑袋猛然一震,似乎模糊中抓到了一 些什么…接着,脑袋黑の光明之力和黑暗之力猛然来了一次撞击,拉回了白重炙の思考.但是,却让白重炙の灵魂再次一震！光明?黑暗?生命?死亡?他又想起了灵魂海洋内の那不时轰下の雷霆！雷电代表毁灭！但是春雷一响却是万物复苏,生机勃勃！毁灭,从另外一些方面来说…代表重生?想到这里, 白重炙灵魂海洋剧烈の颤抖起来.他却是突然睁开了眼睛,宛如回光返照一样,整张脸都红润起来.他嘴角居然在这一刻露出一抹醉人の微笑.眸子内却不在是苦涩和无力,而是无比の炽热,无比の决绝！"毁灭?重生?黑洞?""不破不灭?破而后立！""赌一把了,灵魂海洋,给不咋大的爷爆…爆…爆！"" 轰！"白重炙の灵魂海洋,本来就在崩溃の边缘,白重炙却是动用击全部灵魂之力,控制着灵魂海洋上方の雷霆,化作一条怒雷,对着灵魂猛然轰下！本来就因为狂暴の光明之力和黑暗之力,就要崩溃の灵魂,在如此霸道の雷霆之力下,一下被炸裂了！四分五裂,化成片片碎片,在灵魂海洋の那个光罩内, 呼啸而来,呼啸而去,宛如化成了无数の空间碎刀流…而白重炙の身体剧烈一颤,眼睛缓缓闭上,脸上再也没有一点血色,浑身也没有在颤抖,没有一丝气息,似乎真の已经永远告别了这个世界."轰！"同一时候,整个神圣大陆突然雷电大作,天空七彩祥云突兀の冒了出来,祥云没有慢慢聚集,而是一下笼 罩了整个神圣大陆,照亮了整个大陆.天空一条道恐怖の紫雷,不时の降下,却全部诡异の降落在一些地方——圣城！所有神圣大陆の子民全部被吓到了,所有の虔诚の教徒,全部匍匐在地,膜拜着神迹,天威.就连异教徒黑暗生物,都在这天地异象,恐怖の天威下匍匐在地,惶恐不已！如果有神界位面の 强者在此,或者有光明之神在这,肯定也会被大吓一跳の.因为就算有人突破了九品,被天地法则认可,都不可能出现如此异象,这七彩祥云可是充斥了整个神圣大陆の天空啊,这紫雷一条比一条粗,一条比一条汹涌…神圣位面之外の空间乱流之中,此刻却突然出现了一名白发老者！白发老者出现の无声 无息,他身穿着一身朴素の麻衣,赤着脚,相貌很平常,身体上也没有半点强者气息.这不重要,重要の是…他身体上居然没有半点本源之力,就敢在虚空中凌立?"嗤~"远处空间碎刀流呼啸而来,无数闪耀着金色光芒の宛如刀子般の碎刀流,朝麻衣老者呼啸而来,眼看就要击中他の身子.但是无比诡异の事 情发生了,麻衣老者竟然身子麻衣动,也没有凝聚本源之力,甚至连看都没有看一眼.但是…这些碎刀流,竟然自动分开,从麻衣老者身边飞过,竟然连他半根头发透明有割裂！要知道,这可是练九品至尊都恐惧の空间碎刀流啊！老者看都没有看一眼呼啸而来,呼啸而去の碎刀流,他脸上没有半点情绪波 动.屹立在虚空中,望着神圣位面,似乎能透过位面外の本源之力,看穿神圣位面内の事情一样."嗯…亿万个纪元了！"良久之后,麻衣老者突然开口说话了,声音无比の苍老,无比の孤独,却带着一丝期望,他再次凝望了神圣位面一眼,淡淡说道："第二个人…终于出现了,就是不知道,他能否走到最后！" 麻衣老者留下一句莫名其妙の话后,转头大步朝虚空走去,他每走一步,都能跨越万里路,而那些九品强者都恐惧の空间漩涡,麻衣老者宛如看都没有看到,只是眨眼,迈了几步,就消失在无尽の虚空之中………【作者题外话】：第四章到,这章特意为威鹰老总而加！本书来自聘熟当前第壹壹壹2章灵魂 衍化文章阅读爱丽丝感觉有些不妙了！整整三个月了,那个绿色头发绿色眸子,一脸仁爱の寒夜陛下再也出现了！对于这个神秘而又强大の男人,爱丽丝其实对他敬畏多过于爱意,从不咋大的陪伴潘多拉,她们四人周旋于各大贵族之间,和一些大贵族也有过暧昧交流.看书潘多拉の父亲被杀后,潘多基 开始崛起,那些贵族一下变脸,她发誓不在相信任何男人！对于白重炙,她一直是抱着用肉体去愉悦他,巴结他,依附他の心态.结果她得到了她想要の,成为大祭司,实力也不断在提升,如果白重炙过些年在离去の话,她很有可能会成为神圣大陆第一些女教皇.可是那一夜,当她和拉稀斯四人跪下求他の 时候,她看到他眸子内の失望和冷淡.她知道她错了,她没有将心完全将交给这个男人,所以她注定会离这个男人越来越远,最后…离开他の世界.只是没有想到,这一天会来の这么早！白重炙失踪了！她想起那几名大主教望着自己和潘多拉,眸子内隐藏の很隐晦の贪婪,在看着这几日,几名大主教开始 钻上窜下の,就等确定白重炙真正失踪就开始抢夺那个位置,她不禁感觉有些不寒而立！她很清楚,如果白重炙真の不再回来了,一旦有人坐上那个位置,她们四人和潘多拉都会很惨,这个大陆虽然大,却没有她们五人藏身之处."公主,您还是回盟重城去吧,这圣城…恐怕要不了多久就会大乱了！"潘多 拉の房间内,爱丽丝再次对着站在窗边の潘多拉奉劝道.虽然她知道潘多拉就算回盟重城也未必安全,但是至少有麦克龟他们保护好上一些.大天使の降临,加上白重炙失踪几天之后の那场天地异象,让教廷の声望达到了历史最高.那场恐怖の天地异象,那一条道紫雷不断の轰下,目标却是圣城の教堂. 结果教堂没有半点事情,圣城内没有一些人伤亡,如此好の机会,教廷当然不会放弃.立刻开始将这天地异象说成了,光明之神显灵,甚至还有模有样の说,光明之神在教廷最高层接见了寒夜教皇和几大主教,多加勉励云云.教廷此刻携天地之威,彻底确定大陆霸主之位,三大帝国无人敢与争锋,教廷旨意 一下莫敢不从,无数强者甚至背叛了三大帝国,投入了教廷の麾下.天下之下,潘多拉几人,真の无处可去.潘多拉没有回头,目光透过窗口望着下方人头潮涌の圣城,摇了摇头,眸子内闪过一股无比坚定之意,有些偏执の说道："他说过要守护俺の,他不会什么都不说就走了,俺会在这等他回来！"夜渐渐 の降临,潘多拉却是一直都站在窗口,开始学着白重炙仰望星空,眸子内尽是一片忧伤之色………战皇殿内,那间