平面及表示法
工程制图 (5)
4.平面的迹线表示法
从前述可知，特殊位置面的积聚性投影即可确定平面的空间 位置，而平面投影的目的主要是表达平面的空间位置，因此对于 特殊位置面，我们完全可以只用平面有积聚性的一面投影来表达 。此时用有积聚性的平面迹线表示特殊位置平面就相当简单。
PV
X
SV
X
铅垂面T
X
TH
正垂面P
水平面S
为了表明该积聚直线表达的是平面而不是直线，我们规定用一个 大写字母加上投影面字母作为角标表示所表达的平面。
正平面 水平面 侧平面 正垂面 铅垂面 侧垂面
3.各类平面的投影特征
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规定：平面与H、V、W投影面的夹角α、β、γ
3.各类平面的投影特征
正平面
位置特点 平行于V面，垂直于H、W面
投影特征
正面投影反映平面实形，水平投影 、侧面投影都积聚为Y轴的垂直线， 即正平面上所有点的Y坐标都相等。
迹线在投影图上 应加上迹线符号
正面迹线
侧面迹线
水平迹线
平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线(H面迹线)，用PH表示 平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线(V面迹线)，用PV表示 平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线(W面迹线)，用PW表示
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各类平面的投影特征
《工程制图》
目录
1.平面的几何表示法 2.平面的分类 3.各类平面的投影特征 4.平面的极限表示法
1.平面几何表示法
2.平面的分类
根据平面在三投影面体系中的位置不同，将平面分为三类
倾斜面 ∠H、V、W
投影面平行面
平面及表示法
例3.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
αa
A
a
a
α A
α A
l
l
B β
B β
练习：根据下列条件作图： （1）A∈α，a α，A∈a； （2）a α，b α，c α且a∩b=A，b∩c=B，
c∩a=C （3）α∩β=l，A∈α且A∈β （4） A∈α， A∈l，l∩β=B， α∩β=m，B∈m
作业： P48练习 4 P56习题 1 练习： “世纪”P20
1、2
； / 就要来海淘 ；
声之后就逃之夭夭了丶仙路这么广,逃出南风圣城の话,再想抓の话确实是很困难丶而他们の人这边,虽有伤亡,但是人数极少,只有少数几十人不小心,中了招或者是被他们有些自爆元灵の家伙给伤了丶死了大概有四五人,但是这个还是可以在根汉の接受范围内,擒获了将近二十万修仙者, 都是那些个势力中の成员或者是分坛の人员,还有壹些是参与贩卖の人员,都被他们给抓了起来了丶不仅如此,这回城主府の行动,得到了城中大部分修仙者の鼎力支持,甚至现在还有壹些修仙者散修,自动组成了队伍,去抓捕那些余孽丶城主府雷励风行,组织了这次除害行动,极大の提升 了城主府の地位,得到了城中绝大部分修仙者の拥护与支持丶可以说贩卖女人,小孩,这种事情,在什么时候,什么地方都是遭人唾弃の,只是以为没有人去做这些事情罢了,而且像蚕蛇帮等势力,做の也极为隐蔽,本身の实力又很强所以也没人敢去拔他们の虎须丶这回可以说是大快人心,将 他们给彻底铲除了丶第二天,根汉来到了乾坤世界中,在北部の壹座新城中,有几万人正在这里连夜赶工,在分拣地面上各种天材地宝,还有上百万の傀儡人,在这里运送各种宝物到乾坤世界中の各个地方去丶根汉也有壹段时间,没有好好の在乾坤世界转了,尤其是修为步入了魔仙之境后, 乾坤世界又大了壹圈,就算是自己这个乾坤世界の主人,想要将乾坤世界看光,都要花不少の时间丶根汉来到城中,白狼马过来接待,城中の这几万人大部分人,立即给根汉行大礼丶"不用管咱,都好好干活吧。"根汉摆了摆手,示意大家别停,他和白狼马只是过来看看丶这座城周围の环境有 些空荡,也有些贫瘠,根汉对白狼马说："咱怎么看着,还有些是你の子孙后代?""呵呵,这有什么嘛。"白狼马笑道："管他是谁,只要是考验不合格,或者是在斗法场输了の,就会自己过来这边帮忙丶""斗法场?"根汉不太明白,白狼马介绍道："是这样の,这分捡宝物の事情,算不得美差,但也 不算差了丶""咱们の几座大城中,都有斗法场,孩子们经常在那里斗法比试,若是输了の话,咱让他们来这里捡七天の宝物"白狼马说："还有壹些,是之前不听话の,在考核当中在同阶当中,排名比较靠后の,也都派过来了丶""叶家都排在前面?"根汉说："若是他们在后面,也要送来这里,别 搞特殊对待。""大哥你是什么人咱还不清楚呀,当然没有了。"提到这个,白狼马是羡慕不已呀："你呀,虽说子女不多吧,但是个个天赋异禀呀。""感觉她们不需要修行,这境界也比咱家那些不争气の强不少呀,这怎么比也轮不到她们呀丶"白狼马说丶根汉挑了挑眉,这个倒没有太了解,起 码自己女尔们现在是什么修为,他现在都没个数丶有段时间没有见她们了,根汉看了看面前の这几万人,他们の修为也有了壹个大概の数了丶大部分人,按九华红尘界の分类の话,可能都是宗王境左右,修为确实是有些低了丶不过他们の年纪也都不大,最大の不会超过五百岁,大部分都是在 二三百岁以下の,潜力还是有の,也不能着急丶"这些东西就是全部の吗?"根汉问丶白狼马摇了摇头叹道："咱们这回清剿可真是赚大了,现在从芥子里倒出来の,只是壹小部分呀,还不到百分之壹,还有大把の东西,都放在其它の芥子当中丶""有这么多?"根汉有些意外,白狼马说："可不是 嘛,咱们这回抓了近二十万人,各种储物芥子就有上百万枚,这一些势力虽然说不是特别の强,但是这财物可是不少呀丶几乎所有人都是干の劫掠の买卖,咱们这回算是赚大了,等分完这些东西,才知道总共有多少宝物丶""上百万枚。"听到这个数字,根汉也属实是有些吓到了,上百万灵石现 在都只是毛毛雨了,这上百万枚储物芥子,天知道会有多少东西呢丶"壹人壹天就算能清理几枚芥子,这几万人の话,估计也要半年时间才能分理完了。"白狼马虽说表情有些郁闷,但是心里那是乐开了花呀,根汉问他："救下多少女人和孩子?""这个嘛。"提到女人,白狼马の嘴角就扬了起 来："这些就好清理得多了,女人三十多万,小孩子也有四五万,不过女孩子居多,男孩子只有二千多人丶""这些生畜,死の活该呀。"根汉低骂了壹句,在这些混蛋の眼里,人命当真是草芥,几十万人就这样被这么一些势力给抓了丶几十万个家亭,就此妻离子散,根汉也向白狼马了解清楚了她 们の情况丶这三十多万女人当中,没有被祸害の完整女修,可能大概有七八万人丶还有二十来万,都被祸害了,有想回家の,他们已经先放走了丶那些人大概有,八千多人,大部分女修并没有要回家の意愿,都愿意跟着白狼马他们这些救命恩人壹起生活丶因为她们当中绝大部分,都是苦出身, 在壹些修仙实力很弱の地方来の,被抓の时候,家人,师兄弟,几乎都被杀光了丶孩子们也就更没有走の意思了,有些就是那些被祸害の女人们生下来の,虽说人是被坏人沾污了,可是她们还是舍不得自己の孩子们丶白狼马等人,也将这些人做了壹个分派,因为还不知道她们现在の情况,所以 并没有安排她们住在根汉の乾坤世界怕是会出现意外丶大部分人,分散到他们几大亭,由他们の子弟,在各自の乾坤世界中,分开安置这些可怜の女人和孩子们丶对于这些事情,根汉也没有再过问了,由白狼马他们自己去安排,都会处理妥当丶不过根汉就只有壹个要求,别给他乱来,要约束 好下面の人,别搞出什么不堪入目の事情来丶因为根汉之前在地下世界龙脉区闭关有壹段很长の时间现在乾坤世界中,也有了许多の变化,他都没有时间进来仔细看壹看丶这壹趟,正好与白狼马在自己乾坤世界中转壹转丶他们来到了壹座银石城外面,这座银石城十分威武,城墙高有三百多 米,四周の树林与石城隔开有几百里,城外四周几百里都是草地,中间有壹圈宽约近百里の人造河丶石城占地约有方圆二万余里,可以说是壹座宏伟の大城了,根汉看了看面前の这座银石城,也看到了那边城墙上の守卫,个头都不高,但是都是精壮精壮の壹个个,大部分都是矮人壹亭の人丶" 这座城扩建了是吧?"根汉记得当年是让他们建の时候,只有四座城,每壹座大概方圆万里左右,现在这座城明显不止那么点大了,大了有好几倍了丶两人坐在城前の草地上,白狼马说："人数越来越多了三十多年前,四大城都扩大了,现在每壹座都有方圆两万里了,是之前の四倍了。""还有, 咱们又在乾坤世界中,新建了几十座中小城池。"白狼马说：
空间平面的几种表示法
空间平⾯的⼏种表⽰法
空间平⾯在放射坐标系下有下⾯四种表⽰形式：
⼀参数式过⼀点，且平⾏于两个不共线的向量可确定⼀个平⾯。
思路为三向量共⾯。
两个已知向量前的系数称为参数.
⼆三点式过不共线的三点可确定⼀个平⾯。
导出可⽤参数式的思路。
不共线的三点，可构造两个不共线的向量。
将参数⽅程理解为关于两个参数与—1的三元线性齐次⽅程组，有⾮零解的充要条件是对应的系数⾏列式（三阶）等于零。
好记忆的是相应的四阶⾏列式等于零。
三截距式过坐标轴上的三点确定的平⾯。
思路⽤三点式的结论。
因为坐标轴上的点的坐标⽐较简单，所以能整理成与平⾯截距式直线类似的特殊形式。
四⼀般式即⼀般的三元⼀次⽅程。
思路与三点式紧密相关。
由三点式的三阶⾏列式的展开式可得，平⾯⽅程为三元⼀次⽅程；再由三元⼀次⽅程的三个解与原⽅程组成的关于A,B,C,D的四元齐次线性⽅程组，有⾮零解的充要条件是系数⾏列式等于零可知，正好是三点式表⽰的平⾯。
空间平⾯在直⾓坐标系下还有两种表⽰形式，与上⾯的形式⼀道排列为：
五点法式过⼀点，且与⼀个已知的⾮零向量垂直的平⾯是确定的。
导出思路:以已知点为起点，任⼀点为终点的向量与已知⾮零向量垂直，其充要条件是其内积等于零。
这种形式可化为前⾯的⼀般式。
六法线式已知平⾯法线与平⾯的交点（垂⾜）及原点到平⾯的距离，可确定⼀个平⾯。
思路是以垂⾜为起点，任⼀点为终点的向量与法线垂直，其内积等于零。
这种形式也是⼀般式的特例。
工程制图04第二章 平面
侧垂面的迹线表示法
V S Sw W X
Z β
O
Sw α
Y
Y
1．水平面 ．
a′ b" a" C b a c c a c" b b' c′ b" a" c"
a' A
b' c' B
投影特性： 投影特性：
(1) 正面投影和侧面投影积聚为直线； 正面投影和侧面投影积聚为直线； (2) 水平投影反映∆ ABC实形。 水平投影反映∆ 实形。 实形
二、一般位置平面
1．铅垂面 ．
b' P B A a b C PH c a a' c' a" c" b"
β
b
γ
c
投影特性： 投影特性：
(1) 水平投影积聚为直线，且反映β、γ角的真实大小 ； 水平投影积聚为直线， (2) 另外两投影具有类似性。 另外两投影具有类似性 类似性。
铅垂面迹线表示法
P
β
PH PH
投影特性： 投影特性：
(1) 正面投影和水平投影积聚为直线； 正面投影和水平投影积聚为直线； (2) 侧面投影反映∆ ABC实形。 侧面投影反映∆ 实形。 实形
二、一般位置平面
b' a' B b" a' c' A C c" b c a a c a" b c" b' b" a"
投影特性： 投影特性：
[例题 例题1] 例题
已知点D 两点在∆ 已知点 、E两点在∆ ABC上，试求其另一投影。 两点在 上 试求其另一投影。
[例题 试判断点 是否属于∆ ABC平面。 例题2] 试判断点D是否属于 是否属于∆ 平面。 例题 平面
平面及其表示方法
平面及其表示方法平面其表及法示一平面.的概念：滑的桌面光平静的、湖面都是等我们熟的悉面形象，平学中数的面平念概是实现面平加抽象的结果以。
二.平的特征面:面平有没大小厚、薄宽和，窄面平空在间无限是延的。
伸.三平的面法画:1)水(平置的放面平：()2垂放直置的面：平ßa通常把表平示面平行四的边的形角锐画成4053)(在画图时，果如形的一图分部被一另部分住，遮以可把住部遮分成虚线，也可画以不画。
四.平面表的方示：法平面以用希可腊母表字示，可也以代用表表示平的面行四边平形四的顶个或点对相两的顶点个母字示表。
DC BA如平：面α平，面，平面AβCBD,平A面平面CD等B。
五.用数学符来表示点、号、线之面的位间置系：(1)关点与直线的置关位系:点在A线a上直记：:A∈a为点B不在直线上a:为：记Ba∈()点2与面的平置位系：点关在平面α上：记A:A为α∈为：B∈α记B点在平面不上：αAαAaBB()直线与平3面位置的关：系线直上a的有点都所平面α上在称，线a在直面α内，或称平平面α过通线直.记为：aaα直线与平a面α只有一公共点A个时称，线a直与平α面相交。
记：a∩α为A=直线a 平与α面没公有点共，称直时a与线平α面行。
记为：a平α∩=φa 或∥αaa.ααaAα(4)平与面面的位置关系：平当平面α上所有点都的平在面上时β,平面称α与平β重合。
面当两个不平同α面与面平有公共点β,时它的们共公组成集合点a称平面α,与平面β交。
记相：α∩β=当a面α与平面β平有没公点时，共称平α面平与β平面。
记：行α∩β=或φα∥。
ββaαααββ.用数学五符号表示点来、线、面间之位置关的系:BaBαab AαaAAαA∈aB∈aAα∈B∈βαaaαb∩α=Aa∩=φα或aα∥αβαβαΑβ与合α重∩β=a∩αβ=或φ∥α例1β画.出两竖个直放的相交平面置。
例.把下2列语句集用合号表示符并画出，直观。
图()点1A在面平内，αB点在不面α平，内A,点B都在线直a上；(2)平面α与平β相交于直面线，m线直a在平α面且内平于直线行m.BααAmaaβ例.把3下图列中形点、线的面、关用集系合符表号示出来laαaAααAlβBABlaβ练习根：下据列件作图条:1)(∈A,aαα,A∈a;(2)aα,bαc,αa且b=∩Ab∩,=Bc,c∩a=C()3∩αβl=,∈Aα且Aβ∈4()A∈α,A∈l,∩βl=B,α∩β=,B∈mm作业:P48练习4P56习题1练习：“纪世P”021、2。
工程制图之平面
实形性 积聚性 类似性
上一级
⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
a●
a
a
● c
c
b c
da
c
c
a
b
b
b
b
a
c
c
不在同一直线上的
三个点
直线及线外一 点
两平行直线
两相交直线
平面图形
返回
二、平面的迹线表示法
V
Pv
Pv
P
x
o
PH
PH
V
Qv
Qv
x
oQ
QH
QH
返回
平面的迹线表示法
V
z
迹线
迹线
Z
PV
W
PV
P
x
o PW
X
PH
y
PH
H
• 迹线是平面与投影面的交线，具有属于投影面的 直线的投影特性
1、投影面垂直面—— 铅垂面
z
V
z
c’
c’’
B
a’
a’’
b’
PW x
o
by’’
A
x
o
a
θV
a b
C
PH c y
H
c θW b
y
投影特性： 1、 abc积聚为一条线 2、 a’b’c’、 a’’b’’c’’为ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映θv 、 θW角的真实大小
平面的三种表示方法
平面的三种表示方法
三维的地理空间可以通过多种方法来表示，其中平面的三种表示方法是地图投影、曲面空间表示和分层空间表示法。
地图投影是一种将地球表面从立体到平面的方法，通过各种类型的地图投影，把它们投射到同一个平面表面上。
这种投影类型广泛，形式多样，主要分为正射投影和投影地图。
其中正射投影是一种将球面投影到视椎体（摄影架）上的投影方法，是目前使用最广泛的一种投影地图形式；投影地图指的是将球面投影到观察架（摄影架）上，并在一个平面上按不同的方式绘制出来的。
投影地图的类型有等几何投影、几何投影、轴对称投影等。
曲面空间表示指的是将地球表面上的山脉、海洋等自然地形在曲面上进行反映的方法。
曲面空间表示可以将大地形象精确地投射到三维曲面空间上，这是一种利用几何坐标技术对三维场景进行表示的方式，能够描绘出大地形象的完整性、准确性和客观性，同时可以提高三维空间建模和分析的精度和精细度。
分层空间表示法是一种将空间精细化分析的方法，将空间视为一个由多个层组成的包络体，每一层表示一个空间的一个特性，比如气候、土壤、地形等，并据此建立一个系统的分层模型，把常用语言中描述某种地理空间特性的词语转换为数字特征。
比如，建立地貌因子层，用地貌因子来表示某个地区的地形特征，它有以下几种：山地（M）、垂直弯曲线（V）、平原（P）、湖泊（L）、海湾（B）等。
总之，地图投影、曲面空间表示和分层空间表示法都是平面的三种表示方法，都被广泛应用于地理系统，它们能够描述地球表面上的大地形象，有效地将三维模型表示为平面模型。
另外，它们同时能够提高三维空间建模和分析的精度和精细度，并被用于不同的应用中，为人们提供更加丰富和客观的地理信息。
机械制图之平面投影
水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
机械制图之平面投影
平面的表示法
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
4．点在平面上的投影作图
（1）点在特殊位置平面上
（2）点在一般位置平面上
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
1)平面的概念 公理123
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三直线FH，EG，AC共点．
教学反思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号语言表示为：
公理3的作用：。
推论1.图形表示为：
推论2.图形表示为：
推论3.图形表示为：
六．应用：
例1.已知E. F .G. H是空间中的四个点，设命题甲：点E. F .G. H不共面；
命题乙：直线EF和GH不相交，那么（）
A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件
③空间四点中存在三点共线，则此四点共面
④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面,其中正确的有() A.②和③B.①②③C.①和②D.②③④
例2.已知：三个平面两两相交，得三条直线，若其中有两条相交，则第三条也过它们的交点。
例3.如图，△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，
它向四周
二、平面的画法
通常画平行四边形表示平面，当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°横边画成邻边长的2倍。
三.平面的表示法
⑴平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，在一个希腊字母的前面加“平面”二字，如平面，平面，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内.
⑵用表示平面的平行四边形的顶点或者相对的顶点的大写字母来表示，如平面，平面等。
⑶用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面
注：如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，
应画成或
α
α
例1已知命题：
①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚；
第三章 平面画法几何及土木工程制图
动画
第三章 平面 23
§3-3 平面上的直线和点
例3-2 已知五边形ABCDE上A、D、E 三点的两投 影及另两点B、C 的正面投影，要求补全五边形的
水平投影。
第三章 平面 24
§3-3 平面上的直线和点
解：问题的实质是面
内作点。 A、D、E 确
定了五边形所在的平面，
B、C 是该面内的点，利
用面内辅助直线可求出 其水平投影。最后连成 五边形的水平投影。
平投影e，试过点E作直线KL，使其平行于AB和
CD。
(点击鼠标5次看作图过程）
解：先求出点
E的正面投影e’，
过e和e’按平行直 线的投影特性作
出kl和k’l’。
第三章 平面 27
§3-3 平面上的直线和点
二、平面上的投影面平行线
1.各种类型的平面内都存在三个投影面的平行线； 2.在一般斜平面和投影面垂直面上同一投影面的 平行线是同面迹线的平行线，彼此间互相平行； 3.投影面平行面上的任何直线都是投影面平行线。
直接反映出水平倾角。现在ABC
不是正垂面，但通过作辅助投影 可以使它在新投影面体系中成为 正垂面。
第三章 平面 34
§3-4 平面的辅助投影
在面内作水平线AB，建立V1投影面垂直于AB,则 V1能与H组成新的二投影面体系，这时ABC是新体 系中的正垂面，作出ABC在V1面上的投影，则可直 接获得水平倾角。
2.面内（上）的点
点在平面的一条直线上，则点属于该平面。
Ⅰ点在AB上，Ⅱ点在
AC上，所以它们都属
于ABC；
连接ⅠⅡ，则直线ⅠⅡ属 于ABC；
K点在ⅠⅡ直线上， 所以它属于ABC。
第三章 平面 20
§3-3 平面上的直线和点
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一.平面的概念： 光滑的桌面、平静的湖面等都是我 们熟悉的平面形象，数学中的平面概念 是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
三.平面的画法：
（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
a a
α α
a
A
α
(4)平面与平面的位置关系： 当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与 平面β重合。 当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公 共点组成集合a，称平面α与平面β相交。 记： α∩ β＝a。
当平面α与平面β没有公共点时，称平面α与平面β 平行。记： α∩ β＝φ或α ∥ β。
B α α A m a
a
β
例3.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
a l α α a A α A l B β A l B a
β
练习：根据下列条件作图：
（1）A∈α，a α，A∈a；
（2）a α，b α，c α且a∩b=A，b∩c=B，
c∩a=C （3）α∩β=l，A∈α且A∈β （4） A∈α， A∈l，l∩β=B， α∩β=m，B∈m
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上： 记为：A∈a
点B不在直线a上： 记为：B∈a (2)点与平面的位置关系： 点A在平面α上： 记为：A∈α 记为：B∈ α 点B不在平面α上：
α A A
a
B
B
(3)直线与平面的位置关系： 直线a上的所有点都在平面α上，称直线a 在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：a α 直线a与平面α只有一个公共点A时，称直 线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A 直线a与平面α没有公共点时，称直线a与 平面α平行。 记为：时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也 可以不画。
四.平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D C
A B
如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
作业： P48练习 4 P56习题 1 练习： “世纪”P20 1、2
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粗实的麻绳绑扎结实了。看看一切收拾妥当了，耿正兄妹三人与张老大一家人道别，互祝发财„„这时候，隔壁的大哥大嫂也拉着两 个娃儿出来了。耿正兄妹三人都摸摸娃儿们的脑袋，又与他们道别。耿英说：“大嫂子，多谢你了！这几年来，你为我们的‘南北小 饭庄’出了不少力啊！”邻居大哥却急着说：“大妹子说的哪里话啊！她在你们的小饭店里帮忙，轻轻松松地在家门口做事，你们又 给那么多工钱，我们家这几年的日子过得宽裕多了，该是我们谢谢你们呢！”大嫂则兴奋地对耿正兄妹三人说：“张婶儿说了，我今 后还帮她包饺子„„”张老大婆姨笑着说：“是啊，我今后还得主要靠她帮忙呢！”耿正兄妹三人都笑着点头。李老乡开心地笑着对 送行的两家人说：“各位都回去吧，我们还得赶路呢，这就上车走了啊！”大骡子一昂头，精神抖擞地驾起骡车，载着老乡四人向东 直奔十字大街而去了。路过“盛元酒店”时，耿正对李老乡说：“叔叔您停车稍等一刻，我们进去和这家酒店的老板和伙计们简单辞 别几句！”李老乡听了，赶快将骡车停在路旁，兄妹三人都下车快步走进酒店。与老板和伙计们做了简单话别后，大伙儿把他们送出 酒店，互祝保重拱手道别。一阵春风吹过，兄妹三人回头望着渐渐远离视线的瓷都景德镇，近四年来的所有酸甜苦辣涌上心头，忍不 住眼圈都有些发红。善解人意的李老乡看在眼里，轻轻叹息一声说：“唉，这人哪，在一个地方呆得久了，会错把他乡当故乡的啊！” 兄妹三人慢慢收回视线默然不语。稍停一刻，耿正长叹一声说：“咳，所发生过的一切，历历在目啊！无论如何，很感谢景德镇！我 们永远忘不了这些年来在这里奋斗的经历啊！”李老乡点头应道：“是啊，所有的经历，都是人生的财富噢！孩子们，咱们往前看， 好好创一番事业去！”兄妹三人听了，都点头微笑，满怀希望地乘坐着这位稷山老乡的大骡车，往他们创业的下一站：曾经听爹爹多 次提起过的人间“天堂”杭州去了。李老乡坐在驾车位置上高兴地大声对兄妹三人说：“咱的大骡子脚力好，天黑之前到达四十里外 的客栈绝对没有问题！”耿正回头看看个头窜起了一大截子的弟弟，无限感慨而又非常欣慰地长长叹息了一声，对和他并排而坐的李 老乡说：“咳——，李叔您是不知道，我们兄妹三个在景德镇上的这三年多有多不容易啊，让我们兄弟小小年纪的就跟着哥哥姐姐受 苦。可他愣是挺过来了，而且这个头还长高了不少呢！”李老乡回头看看并排坐在骡车中间的耿英和耿直，感觉这半大小伙子确实就 好像是一棵挺拔的小树一样，浑身焕发着蓬勃昂扬的朝气，赞许地点点头说：“是啊，他正处在长身子的年龄呢，这苦点儿累点儿的， 都挡不住他长个儿啊！”耿英转头端详着弟弟机灵可爱的模
β a
α α α β
β
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
B a B α
b a
α A
a
A
A
α
A∈a
B∈a
A∈α B∈α
β a
a α
b∩α＝A
a∩α＝φ 或 a∥α
α β
α
α
β
Α与β重合
α∩β ＝a
α∩ β＝φ
或α ∥ β
例1.画出两个竖直放置的相交平面。
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B 都在直线 a上； （2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平 面α内且平行于直线 m.