3实验三 矩阵代数(2)
matlab实验三
1 + 2i 2 1 2 A= , B = 3 4 i 1
例3-9
求：A‘,A.',B’,B.’
19
矩阵函数
1、矩阵的共轭 MATLAB中求矩阵的共轭矩阵的函数是conj，其调用 格式为： B=conj(A) 求矩阵A的共轭矩阵B，复数矩阵的共轭与 复数的共轭类似，复数矩阵的共轭矩阵与复数矩阵的 实部相同，虚部相反。
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方法二： 通过M文件创建矩阵
当矩阵的规模较大时，直接输入法就力不从心， 出现差错也不容易修改。因此可以使用M文件生成 矩阵。 方法：建立一个M文件，其内容是生成矩阵的命令， 在MATLAB的命令窗口中输入此文件名，即将矩阵 调入工作空间（写入内存）。
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方法二： 通过M文件创建矩阵
例3-2 用建立M文件的方式生成矩阵 (1) 建立M文件mydata.m内容如下
注意： 注意：在A.\B的结果中，“Inf”表示无穷大，在MATLAB中，被零 除或浮点溢出都不按错误处理，只是给出警告信息，同时用“Inf” 标记。
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4、 矩阵的幂运算：^ A^B A的B次方。 （1）A和B都是标量时，表示标量A的B次幂。 （2）A为矩阵，B为标量时要求A必须是方阵。
（3）当A为标量，B为矩阵时，要求B为方阵。
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矩阵的算术运算
例3-4
1 2 3 A = 2 3 4 , 3 4 5 3 2 4 B = 2 5 3 2 3 1
求A+B，A-2
例3-5 两个矩阵如下所示,维数不同，求两者相 减的差。
mathematica矩阵运算
二、实验目的
熟悉Mathematica软件中关于矩阵运算的各 种命令
三、常用命令
1. MatrixForm[A] 功能：把矩阵A屏幕输入．
2. Transpose［A］ 功能：乘矩阵A的转置矩阵．
3. A+B 功能：求矩阵A与B的和运算．
4. A-B 功能：求矩阵A与B的减运算．
MatrixForm[A]
Out[1]:={{-2,5,-1,3},{1,-9,13,7},{3,-1,5,-5},{2,8,-7,-10}}
2 5 1 3
Out[2]//MatrixForm=
1
3
9 13 1 5
7
5
2
8
7
10
In[3]:=Det[A]
Out[3]:=312
2.In[4]：B=Transpose[A] MatrixForm[B]
四、例子
简单操作步骤
In[1]:=A={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}} MatrixForm[A]
Out[1]:={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,3}}
Out[2]//MatrixForm=
3 1 1
2
1
2
1 2 3
In[3]:=B={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}} MatrixForm[B]
Out[4]:={{-2,1,3,2},{5,-9,-1,8},{-1,13,5,-7},{3,7,-5,-10}}
2 1 3 2
Out[5]//MatrixForm=
5
9 1
8
1 13 5 7
3
矩阵理论作业3：最小二乘法拟合
用最小二乘法确定m 次拟合多项式()m y P x =摘 要在实际问题中测得的实验数据有时需要较简单的函数逼近来解 , 最小二乘法拟合在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛 ,已成为这类问题数据处理的重要且可靠的技术手段。
本文针对最小二乘法的多项式拟合，进行了拟合曲线系数矩阵的理论公式推导，并由matlab 工具实现了拟合函数的编程。
然后在实际数据上进行了应用，并通过对结果的比较分析得出了结论，旨在提升对这种在工程中应用广泛的方法的理解和应用能力。
关键字：最小二乘法 多项式 拟合引言最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用某种方法由已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间距离的平方和达到最小。
最小二乘拟合在工程中具有普遍应用，是数据分析的重要方法。
最小二乘法拟合的模型有很多种，其中多项式拟合模型应用比较广泛。
()m P x 表示次数不高于m 次的多项式。
本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识[2]，在最小二乘法多项式拟合基本公式的推导[1][3]基础上，应用matlab 工具进行编程实现[3]，并对实际的例子进行一次、二次及多次拟合，做出拟合曲线。
实验发现，程序运行良好，基本可以很好地进行数据拟合分析。
最小二乘法基本原理对于一组给定数据点1122(,),(,),,(,)N N x y x y x y ，求一个次数不高于m 次的多项式2012()m m m y a a x a x a x P x =++++= (1)使得拟合出的近似曲线尽可能反映所给数据点的变化趋势（一般来说m N ）。
那么，就要求()m P x 在所有数据点i x 上的偏差()i m i i P x y δ=-，(=12i N ，，，) (2)都较小。
为达到这个目标，令偏差的平方和最小，即2211()[()]min N Nimiii i P x y δ===-=∑∑ (3)称这种方法为最小二乘法，利用这一原则确定拟合多项式()m P x 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
矩阵运算基础实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的创建、基本运算和常用函数。
3. 熟悉MATLAB软件在矩阵运算中的应用。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 软件环境：MATLAB R2020b三、实验内容1. 矩阵的创建与基本运算（1）创建矩阵在MATLAB中，可以使用多种方式创建矩阵，如：- 使用方括号[]直接输入矩阵元素。
- 使用冒号(:)生成向量。
- 使用linspace()、logspace()、zeros()、ones()等函数生成特殊矩阵。
（2）矩阵的基本运算- 矩阵加减法：两个矩阵的对应元素相加或相减。
- 矩阵乘法：包括标量乘法、矩阵乘法和转置运算。
- 矩阵除法：使用除号(/)或乘方运算符()实现。
- 矩阵求逆：使用inv()函数计算矩阵的逆。
2. 矩阵的常用函数（1）矩阵转置：使用T()或'符号实现。
（2）矩阵求行列式：使用det()函数。
（3）矩阵求特征值和特征向量：使用eig()函数。
（4）矩阵求条件数：使用cond()函数。
3. 矩阵的应用实例（1）求解线性方程组给定线性方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x - y = 1\end{cases}$$在MATLAB中，可以使用以下代码求解：```A = [2, 3; 1, -1];b = [8; 1];x = A\b;disp(x);```（2）求解矩阵的逆给定矩阵A：```A = [4, 7; 2, 6];A_inv = inv(A);disp(A_inv);```四、实验结果与分析1. 创建矩阵（1）创建一个3x3矩阵：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];```（2）创建一个向量：```v = [1, 2, 3, 4, 5];```2. 矩阵的基本运算（1）矩阵加减法：```A = [1, 2; 3, 4];B = [5, 6; 7, 8];disp(A + B); % 结果为[6, 8; 10, 12] disp(A - B); % 结果为[-4, -4; -2, -4] ```（2）矩阵乘法：```A = [1, 2; 3, 4];B = [5, 6; 7, 8];disp(A B); % 结果为[19, 22; 43, 50] ```（3）矩阵求逆：```A = [4, 7; 2, 6];disp(inv(A)); % 结果为[-3, 7; 2, -1] ```3. 矩阵的常用函数（1）矩阵转置：```A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];disp(A'); % 结果为[1, 4; 2, 5; 3, 6] ```（2）矩阵求行列式：```A = [4, 7; 2, 6];disp(det(A)); % 结果为-12```（3）矩阵求特征值和特征向量：```A = [1, 2; 3, 4];[V, D] = eig(A);disp(V); % 特征向量disp(D); % 特征值```五、实验总结通过本次实验，我们掌握了矩阵的基本概念、创建方法、基本运算和常用函数。
矩阵式实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括加法、减法、乘法等。
3. 学习矩阵的应用，如线性方程组的求解。
4. 提高数学建模和解决问题的能力。
二、实验内容本次实验主要围绕矩阵的运算和应用展开，具体内容包括：1. 矩阵的加法与减法2. 矩阵的乘法3. 矩阵的逆4. 线性方程组的求解三、实验步骤1. 矩阵的加法与减法（1）选择两个矩阵A和B，确保它们具有相同的行数和列数。
（2）将矩阵A和B对应位置的元素相加或相减，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数和列数与矩阵A和B相同。
2. 矩阵的乘法（1）选择两个矩阵A和B，确保矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
（2）计算矩阵A的每一行与矩阵B的每一列的点积，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
3. 矩阵的逆（1）选择一个可逆矩阵A。
（2）使用高斯-约当消元法求解矩阵A的逆。
（3）验证矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵。
4. 线性方程组的求解（1）选择一个线性方程组，例如：AX = B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
（2）使用高斯-约当消元法求解线性方程组。
（3）验证求解得到的X矩阵是否满足原方程组。
四、实验结果与分析1. 矩阵的加法与减法通过实验，我们发现矩阵的加法与减法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数和列数与原矩阵相同。
2. 矩阵的乘法实验结果表明，矩阵的乘法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
3. 矩阵的逆实验发现，对于可逆矩阵，其逆矩阵存在，且满足A A^(-1) = A^(-1) A = E（单位矩阵）。
4. 线性方程组的求解通过高斯-约当消元法，我们成功求解了线性方程组，并验证了求解结果的正确性。
五、实验结论1. 理解了矩阵的基本概念和性质，掌握了矩阵的运算方法。
2. 学会了使用矩阵求解线性方程组，提高了数学建模和解决问题的能力。
数学院的实验报告
实验名称：线性代数矩阵运算实验实验日期：2023年4月10日实验地点：数学院计算机实验室一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
3. 熟悉矩阵运算在科学计算中的应用。
二、实验原理矩阵是一种由数字构成的矩形阵列，是线性代数中的一个基本概念。
矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法、转置等。
矩阵运算在科学计算、工程应用、经济管理等领域有着广泛的应用。
三、实验仪器与材料1. 计算机2. 线性代数教材3. 矩阵运算软件（如MATLAB）四、实验内容与步骤1. 矩阵的创建与显示（1）创建一个3x3的矩阵A：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]（2）创建一个2x2的矩阵B：B = [9 8; 7 6]（3）显示矩阵A和B：disp(A)disp(B)2. 矩阵的加法与减法（1）计算矩阵A和B的和：C = A + B（2）计算矩阵A和B的差：D = A - B（3）显示矩阵C和D：disp(C)disp(D)3. 矩阵的乘法（1）计算矩阵A和B的乘积：E = A B（2）显示矩阵E：disp(E)4. 矩阵的转置（1）计算矩阵A的转置：F = A'（2）显示矩阵F：disp(F)五、实验结果与分析1. 矩阵A和B的创建及显示成功，矩阵A为：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为：9 87 62. 矩阵A和B的加法运算成功，结果C为：10 1012 11矩阵A和B的减法运算成功，结果D为：-8 -23 03. 矩阵A和B的乘法运算成功，结果E为：57 5439 364. 矩阵A的转置运算成功，结果F为：1 4 72 5 83 6 9六、实验结论通过本次实验，我们掌握了矩阵的基本概念和性质，以及矩阵的运算方法。
实验结果表明，矩阵运算在科学计算、工程应用、经济管理等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，熟练掌握矩阵运算对于解决实际问题具有重要意义。
线性代数实验报告
线性代数实验报告一、实验目的线性代数是一门重要的数学基础课程，它在工程、科学、计算机等领域都有着广泛的应用。
本次实验的目的是通过实际操作和计算，加深对线性代数基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。
二、实验环境本次实验使用了软件名称软件进行计算和绘图。
三、实验内容（一）矩阵的运算1、矩阵的加法和减法给定两个矩阵 A 和 B，计算它们的和 A ＋ B 以及差 A B。
观察运算结果，验证矩阵加法和减法的规则。
2、矩阵的乘法给定两个矩阵 C 和 D，其中 C 的列数等于 D 的行数，计算它们的乘积 CD。
分析乘法运算的结果，理解矩阵乘法的意义和性质。
（二）行列式的计算1、二阶和三阶行列式的计算手动计算二阶和三阶行列式的值，熟悉行列式的展开法则。
使用软件验证计算结果的正确性。
2、高阶行列式的计算选取一个四阶或更高阶的行列式，利用软件计算其值。
观察行列式的值与矩阵元素之间的关系。
（三）线性方程组的求解1、用高斯消元法求解线性方程组给定一个线性方程组，将其增广矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵。
求解方程组的解，并验证解的正确性。
2、用矩阵的逆求解线性方程组对于系数矩阵可逆的线性方程组，计算系数矩阵的逆矩阵。
通过逆矩阵求解方程组，并与高斯消元法的结果进行比较。
（四）向量组的线性相关性1、判断向量组的线性相关性给定一组向量，计算它们的线性组合是否为零向量。
根据计算结果判断向量组的线性相关性。
2、求向量组的极大线性无关组对于给定的向量组，通过初等行变换找出极大线性无关组。
（五）特征值和特征向量的计算1、计算矩阵的特征值和特征向量给定一个矩阵，计算其特征值和对应的特征向量。
验证特征值和特征向量的定义和性质。
2、利用特征值和特征向量进行矩阵对角化对于可对角化的矩阵，将其化为对角矩阵。
四、实验步骤（一）矩阵的运算1、首先在软件中输入矩阵 A 和 B 的元素值。
2、然后使用软件提供的矩阵加法和减法功能，计算 A ＋ B 和 A B 的结果。
矩阵实验
矩阵理论实验报告学院：电气学院专业：控制科学与工程姓名：学号：实验一：矩阵奇异值分解1、原理设A ∈C m ×n ，s 1，s 2，…，s r 是A 的非零奇异值，则存在m 阶酉矩阵U ∈C m×n及n 阶酉矩阵V ，m ×n 矩阵D ，D= 10000000000000r s s 骣琪琪鬃?琪琪琪琪桫= 000骣S 琪琪桫 使得A=UDVH 这就是矩阵A 的奇异值分解。
2、算法第一步：求出AHA 的特征值1λ≥2λ≥…≥r λ＞0=1r λ+=…=n λ，确定非零奇异值i si=1,2，…，r 。
第二步：分别求出矩阵A H A 的对应于特征值i λ的特征向量并将其单位正交化，得到标准正交向量组α1，α2，…，αn 令V=（α1，α2，…，αn ）=（V1，V2），V1=（α1，α2，…，αr ），V2=（αr+1，αr+2，…，αn ）。
第三步：若U=（γ1，γ2，…，γr ，γr+1，γr+2，…，γm ）=（U1，U2），其中U1=（γ1，γ2，…，γr ），U2=（γr+1，γr+2，…，γm ），则因（A α1，A α2，…，A αr ）=（s 1γ1，s 2γ2，…，s r γr ）即有U 1=A V 1 1-S 。
其中1-S =11121r s s s ---骣琪琪琪琪鬃?琪琪桫第四步：解方程组AAHy=0，对基础解系单位正交化可以求得γr+1，γr+2，…，γm ，令U=（γ1，γ2，…，γr ，γr+1，γr+2，…，γm ）。
3、程序及结果矩阵A=[1 0;0 1;1 0] 求矩阵A 的奇异值分解A=[1 0;0 1;1 0];A*A' ans =1 0 10 1 01 0 1>> A'*Aans =2 00 1第一步：求出AHA的特征值eig(A'*A)ans =21确定非零奇异值1.4142 ，1的特征向量并将其单位正交化第二步：分别求出矩阵AHA的对应于特征值i[v,d]=eig(A'*A)v =0 11 0d =1 00 2第三步：若U=（U1，U2）求U1，U2M=[1.4142 0;0 1]M =1.4142 00 1.0000>> N=inv(M)N =0.7071 00 1.0000>> U1=A*v*NU1 =0 1.00000.7071 00 1.0000解方程组AA H y=0 求U2r=rank(A*A')r =2>> y=null(A*A',r)y =0.7071-0.7071则U=(U1,U2)U2 =0 1.0000 0.70710.7071 0 00 1.0000 -0.7071D=[1.4142 0;0 1;0 0]D =1.4142 00 1.00000 0U2*D*v'ans =1.0000 00 1.00001.0000 0则有A= U2*D*v'实验二：矩阵奇LU 分解1、原理设A ∈C n ×n 若A 可以表示成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积A=LU ，则称其为矩阵A 的LU 分解（三角分解）。
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实验三：矩阵代数
一、实验目的
1. 掌握矩阵分析的方法。
2. 掌握特殊矩阵的生成方法。
3. 掌握用矩阵求逆法解线性方程组。
4. 进行简单的矩阵建模实验。
二、实验内容
1. 已知：
取出A 的前3行构成矩阵B ，前两列构成矩阵C ，右下角3×2子矩阵构成矩阵D ，B 与C 的乘积构成矩阵E.
2. 写出下列程序的输出结果，解释计算的数学原理！
s=0;
a=[12,13,14;15,16,17;18,19,20;21,22,23];
for k=a
for j=1:4
if rem(k(j),2)~=0
s=s+k(j);
end
end
end
s
3. 已知向量[]2,1,5,2T u =和矩阵123423453456A ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求：（1）Au ；（2）T T u A ；（3）T A ；（4）提取第2条对角线元素；（5）提取第2条对角线以上的元素.
4. 已知方阵311131113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求 （1）2A E +；（2）A 的每个元素加2；（3）A 的行列式；（4）A 的逆；（5）把A 旋转90°； （6）特征值及一组特征向量；（7）A 的迹.
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=14.35454.9632053256545410778.01023A
5. 求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量.
(1)412326123−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪−⎝⎭ (2) 1111111111111111⎛⎫ ⎪−− ⎪ ⎪−− ⎪−−⎝⎭ (3) 5阶方阵5615615615615⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
6. 试在Matlab 中计算矩阵A 在t=0.3时的矩阵指数e At 的值。
（1） 查找矩阵指数函数 expm(A), 指出exp(A) 与 expm(A) 的区别；
（2） 计算出在t=0.3时矩阵指数函数。
7. 找出数组⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−−−−=5311342024A 中所有绝对值大于3的元素。
8. 用矩阵求下列方程组的解x=[x1，x2，x3]，A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−318752436 B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛−743
9. 已知
1540783617A −−⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，831253320B −⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
求：A+6B ，A 2-B+I
A*B ，A.*B ，B*A
A/B ，B/A
[A,B]，[A([1,3], :); B^2]
10. 已知
23100.7780414565532503269.54
54 3.14A −⎡⎤⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦ （1）输出A 在[10,25]范围内的全部元素
（2）取出A 的前三行构成矩阵B ，前两列构成矩阵C ，右下角3x2子矩阵构成矩阵D ，B 与C 的乘积构成矩阵E
（3）分别求表达式E<D ，E&D ，E|D ，(~E) | (~D) 0123A ⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦。