2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.5 高考小题 1 直线与圆
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题五 第1讲 直线与圆
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4kk2＋2 4. 由题设知4k2k＋2 4＝8，解得 k＝－1(舍去)，k＝1.因此 l 的方程为 y＝x－1.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)，即 y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0＝－x0＋5， （x0＋1）2＝（y0－x20＋1）2＋16， 解得xy00＝＝23，或xy00＝＝－11，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
4．已知直线 l 过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且点 P(0，4) 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为__________________． 解析：由x2－ x＋2y3＋y－3＝ 8＝0， 0，得xy＝＝21，，所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2)．显然直线 x＝1 不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－ k＝0，因为 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|－41＋＋2k－2 k|＝2，所以 k＝0 或 k＝43.所以 直线 l 的方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2 或 4x－3y＋2＝0
第二部分 高考热点 分层突破
专题五 解析几何 第1讲 直线与圆
数学01Leabharlann 做高考真题明命题趋向
02
研考点考向
破重点难点
03
练典型习题
提数学素养
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离
2020版高考数学大二轮文科通用版 教师课件：专题七 第1讲 直线与圆
设直线 l 与 x 轴交于点 E,结合题意知 B(0,2 3),E(-6,0),
则|BE|= 62 + (2 3)2=4 3.
因为|AB|=2 12-32=2 3,
所以 A 为 EB 的中点.
由题意知 AC∥BD,所以 C 为 DE 的中点,
即|CE|=|CD|=c|���o���s������π6| 答案:4
=
-1,
������0 +2 2
=
������ 0 -1 2
+
1,
解得 率为
������0 = ������0 = k=13--01
10,,即
=
1
2,
B'(1,0).因为
B'(1,0)在直线
AC
上,所以直线
AC
的斜
所以直线 AC 的方程为 y-1=12(x-3),
即 x-2y-1=0.故 C 正确.
一、直线的方程
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则 l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则 要考虑斜率是否存在.
2.两个距离公式 (1)两平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0 间的距离 d= |������������12-+���������2���|2. (2)点(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离公式 d=|������������0���+���2���+������������0���2+������|.
由于圆 M 过点 P(4,-2),因此������������ ·������������=0,
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第九章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
法二：圆心(0，0)到直线 y＝kx＋2 的距离 d＝ k22＋1，直线与 圆没有公共点的充要条件是 d>1，即 k22＋1>1，解得 k∈(－ 3，
3)．
【答案】 (1)B (2)k∈(－ 3， 3)
若将本例(1)的条件改为“点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 上”， 则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系如何？ 解：由点 M 在圆上，得 a2＋b2＝1，所以圆心 O 到直线 ax＋ by＝1 的距离 d＝ a21＋b2＝1，则直线与圆 O 相切．
【答案】 D
(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法 ①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一 半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. ②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得 一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其 公式为|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|.
(教材习题改编)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有 公共点，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3，－1] C．[－3，1]
B．[－1，3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选 C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为 2， 所以 1|2a＋－（0＋－11|）2≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选
与 r1，r2 的关系 _d_>_r_1_＋__r_2 __ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
成方程组的解的情况 _无__解__
一组实数解
方法 几何法：圆心距 d 与 代数法：两组的解的情况
_|_r1_－__r_2_|<__d_<_r_1_＋__r_2_ 两组不同的实数解
【答案】 (1)C (2)6
新(浙江专用)高考数学二轮专题突破 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 理-人教版高三全册数学试题
第1讲直线与圆1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y ＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·湖南)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.3．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题.直线与圆的位置关系特别是弦长问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.热点一直线的方程及应用1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知A (3,1)，B (－1,2)两点，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4 B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·杭州模拟)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________________．(2)已知直线l 的方程是x ＋y －6＝0，A ，B 是直线l 上的两点，且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点)，则△OAB 外接圆的方程是____________________． 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A．3 B.212C．2 2 D．2思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为( ) A．1 B. 2 C．2 D．2 2(2)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )A．－6 B．－3 C．－3 2 D．31．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )A．(x±33)2＋y2＝43B．(x±33)2＋y2＝13C．x2＋(y±33)2＝43D．x2＋(y±33)2＝132．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－2，则a的值为( )A．1 B．－5C．1或－5 D．53．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.提醒：完成作业专题五第1讲二轮专题强化练专题五第1讲 直线与圆A 组 专题通关1．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y －1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝02．若直线y ＝kx ＋2k 与圆x 2＋y 2＋mx ＋4＝0至少有一个交点，则m 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．[2,4]3．(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－84．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x ＋y ＋2＝05．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.176．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.7．(2014·湖北)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝____.8．(2015·湖北)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________________________________． (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.B 组 能力提高11．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝512．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1,2)13．(2015·宁波模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，则k ＝________.14．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2a ＋1)x ＋(a ＋1)y －7a －4＝0，其中a ∈R . (1)求证：不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 的方程和最短的弦长； (3)求过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线方程．学生用书答案精析专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 高考真题体验1．A [若直线l 1与l 2平行， 则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．] 2．2解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt△DOB 中，∠DOB ＝60°， ∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2. 3．4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2， 所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15. 4．[－1,1]解析 如图，过点M 作⊙O 的切线， 切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1， MN 与⊙O 相切于点N .设∠OMN ＝θ，则θ≥45°， 即sin θ≥22，即|ON ||OM |≥22. 而|ON |＝1，∴|OM |≤ 2. ∵M (x 0,1)，∴x 20＋1≤2， ∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1， ∴x 0的取值范围为[－1,1]． 热点分类突破 例1 (1)C (2)B解析 (1)当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率存在，则两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5.但必须满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，经检验知满足这个条件． (2)依题意，得|3m ＋5|m 2＋1＝|－m ＋7|m 2＋1.所以|3m ＋5|＝|m －7|. 所以(3m ＋5)2＝(m －7)2， 所以8m 2＋44m －24＝0. 所以2m 2＋11m －6＝0. 所以m ＝12或m ＝－6.跟踪演练1 C解析 由题意可知，直线AC 和直线BC 关于直线y ＝x ＋1对称．设点B (－1,2)关于直线y＝x ＋1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋1＝－1，y 0＋22＝x 0－12＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0，即B ′(1,0)．因为B ′(1,0)在直线AC 上， 所以直线AC 的斜率为k ＝1－03－1＝12，所以直线AC 的方程为y －1＝12(x －3)，即x －2y －1＝0. 故C 正确． 例2 (1)D (2)B解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，所以选D. (2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a >－2，半径为r ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B. 跟踪演练2 (1)(x －2)2＋(y －1)2＝10 (2)(x －2)2＋(y －2)2＝8解析 (1)由题意知KAB ＝2，AB 的中点为(4,0)， 设圆心为C (a ，b )，∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．则⎩⎪⎨⎪⎧b a －4＝－12，2a －b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1∴C (2,1)，∴r ＝|CA |＝5－22＋2－12＝10.∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(2)设△OAB 的外心为C ，连接OC ，则易知OC ⊥AB ，延长OC 交AB 于点D ，则|OD |＝32，且△AOB 外接圆的半径R ＝|OC |＝23|OD |＝2 2.又直线OC 的方程是y ＝x ，容易求得圆心C 的坐标为(2,2)，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 例3 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R )，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以kMN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)， 故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.跟踪演练3 (1)A (2)C解析 (1)因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22， 又坐标原点O 到线段AB 的距离为12，所以S △OAB ＝12×22×12＝1，故选A.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程分别为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9.由(a ＋b2)2≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．所以选C. 高考押题精练1．C [由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 故应选C.]2．C [圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2， 圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.]3.102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.二轮专题强化练答案精析专题五 解析几何第1讲 直线与圆1．A [方法一 由题意可得l 的斜率为－32，所以直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.方法二 设直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，将点(－1,2)代入，得C ＝－1， 所以l 的方程是3x ＋2y －1＝0.]2．C [由y ＝k (x ＋2)得直线恒过定点(－2,0)，因此可得点(－2,0)必在圆内或圆上，故有(－2)2＋02－2m ＋4≤0⇒m ≥4.又由方程表示圆的条件，故有m 2－4×4>0⇒m <－4或m >4.综上可知m >4.故选C.]3．B [由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a . 圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋(42)2得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.]4．C [圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)． 直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.]5．A [两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.] 6．4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1，而圆O 半径为5，所以圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 7．2解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点， 则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1， 满足题意，所以a 2＋b 2＝2.8．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)． 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.9．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.11．D [设圆心坐标为C (a ，2a )(a >0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故选D.]12．D [依题意并结合图形分析可知(图略)，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，且(a,0)不在直线2x ＋y ＝4上，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，2a ＋0<4，由此解得a <－1或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)．] 13．2± 3解析 x 2＋y 2－4x －4y －10＝0， 即(x －2)2＋(y －2)2＝18， 其圆心为C (2,2)，半径为r ＝3 2.圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上恰有三个不同的点到直线l ：y ＝kx 的距离为22，应满足图中A ，B ，D 到直线l ：y ＝kx 的距离为22，所以，C (2,2)到直线l ：y ＝kx 的距离为32－|2k －2|1＋k2＝22，整理得k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2± 3.14．(1)证明 方法一 在直线l 的方程中，分别取a ＝0，a ＝－1，得x ＋y －4＝0，－x ＋3＝0，联立方程得直线l 恒过定点N (3,1)． 因圆心C 的坐标为(1,2)， 圆C 的半径为r ＝5， |CN |＝3－12＋1－22＝5<5，故点N 在圆C 内，所以，不论实数a 取何值，直线l 和圆C 恒有两个交点． 方法二 直线l 的方程可以化为(2x ＋y －7)a ＋x ＋y －4＝0，由a 的任意性得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以直线l 恒过定点N (3,1)．下面的解答过程与方法一相同． (2)解 当l ⊥CN 时，直线l 被圆C 截得的线段最短． 因为k CN ＝2－11－3＝－12，所以－2a ＋1a ＋1＝2，解得a ＝－34，这时，直线l 的方程为2x －y －5＝0. 又|CN |＝5，r ＝5， 所以半弦长为52－5＝25， 最短的弦长为4 5.(3)解 因为(6－1)2＋(－4－2)2>25，所以M (6，－4)在圆外，过点M (6，－4)且与圆C 相切的直线有两条． 当斜率不存在时，所求的切线为x ＝6；当斜率存在时，设所求的切线方程为y ＋4＝k (x －6)， 即kx －y －6k －4＝0，由|k －2－6k －4|k 2＋1＝5，得k ＝－1160，这时，所求的切线方程为11x ＋60y ＋174＝0. 综上，所求的直线方程为x ＝6或11x ＋60y ＋174＝0.。
2020年浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题五 1 第1讲 直线与圆
第1讲 直线与圆直线的方程[核心提炼]1．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．2．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[典型例题](1)(2019·温州十五校联合体联考)已知直线l 1：mx ＋(m ＋1)y ＋2＝0，l 2：(m ＋1)x ＋(m ＋4)y －3＝0，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．【解析】 (1)当m ＝－2时，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝－2，k 2＝12，此时k 1×k 2＝－1，则l 1⊥l 2.而m ＝－1时，也有l 1⊥l 2，故选A.(2)动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10，所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5， 当且仅当|MA |＝|MB |时取等号． 【答案】 (1)A (2)5解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线及垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．[对点训练]1．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1解析：选C.因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，解得n ＝－4，即直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是5，所以|m ＋3|1＋4＝5，得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.2．(2019·金丽衢十二校高考模拟)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到该直线的距离最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0x ＋2＝0，解得x ＝－2，y ＝3.所以直线l 恒过定点Q (－2，3)， P (1，1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.答案：(－2，3)133．在△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝________．解析：由两点间距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |·d ＝12|m －3m ＋2|＝12|⎝⎛⎭⎫m －322－14|，又1<m <4，所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值． 答案：94圆的方程及应用[核心提炼]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[典型例题](1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(2)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．【解析】 (1)由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．(2)设圆心为(a ，0)(a ＞0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝（a －0）2＋（0－5）2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.【答案】 (1)(－2，－4) 5 (2)(x －2)2＋y 2＝9求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．[对点训练]1．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25解析：选A.y ′＝⎝⎛⎭⎫2x ′＝－2x 2，令－2x 2＝－2，得x ＝1，得平行于直线2x ＋y ＋1＝0的曲线y ＝2x (x >0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标为(1，2)，以该点为圆心且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的圆的面积最小，此时圆的半径为55＝5，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.2．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．26 B ．8 C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝4 6.3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则m ＝________； |MP |＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称， 所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过圆心C (1，2)， 所以1＋2m ＋1＝0.解得m ＝－1.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心(1，2)，半径r ＝2， 因为经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ， 所以|MP |＝（1＋1）2＋（2＋1）2－4＝3.答案：－1 3直线与圆、圆与圆的位置关系[核心提炼]1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系的判定(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．[典型例题](1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是() A．内切B．相交C．外切D．相离(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()A．3 B.21 2C．2 2 D．2【解析】(1)由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2 a2－a2＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，故两2圆相交．(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形P ACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形P ACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|＝12＋22＝5，k2＋1即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.【答案】(1)B(2)D解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．[对点训练]1．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－252．(2019·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O 1和圆O 2都经过点A (0，1)，若两圆与直线4x －3y ＋5＝0及y ＋1＝0均相切，则|O 1O 2|＝________．解析：如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋（－3）2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1， 设O 2(a ，b )，则由题意： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a 2＋（b －1）2b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋（－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.所以|O 1O 2|＝22＋12＝ 5.答案： 5直线、圆与其他知识的交汇问题[核心提炼]高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．[典型例题](1)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．(2)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．【解析】 (1)设P (x ，y )，则由P A →·PB →≤20可得， (－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点． 又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，（x ＋6）2＋（y －3）2＝65， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)． 易知－52≤x ≤1.(2)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝(a 29＋4b 29)(1a2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1. 【答案】 (1)[－52，1] (2)1对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法．[对点训练]1．(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，直线x ＋2y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝a ，则实数a 的值为( )A.5－654B.65－54 C.5－554D.55－54解析：选A.OA →·OB →＝cos ∠AOB ＝a ， 所以AB ＝1＋1－2cos ∠AOB ＝2－2a ，所以O 到直线AB 的距离d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22，又d ＝|a |5，所以1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a 22＝|a |5，解得a ＝5－654或a ＝5＋654>1(舍)．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．解析：作出可行域，如图，由题意知，圆心为C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.而直线y ＝1与可行域边界的交点为A (6，1)，B (－2，1)，目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与点A 重合时，z 取到最大值，z max ＝37.答案：37专题强化训练1．(2019·杭州二中月考)已知直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为α，则12sin 2α＋cos 2α＝( )A.25 B ．－15 C.14 D ．－120解析：选A.由题设知k ＝tan α＝3，于是12sin 2α＋cos 2α＝sin αcos α＋cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan α＋11＋tan 2α＝410＝25. 2．(2019·义乌二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10 C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.3．(2019·杭州七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，圆心(1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－0＋3|2＝2.由条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，可得0＜r ＜3.则p 是q 的充要条件．故选C.4．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )A ．1B ．2C ．－1D ．0解析：选D.由题意知圆心到直线l 的距离等于12r ＝1(r 为圆C 的半径)，所以|k ×0－0＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0.5．(2019·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，3]解析：选D.依题意，设点P (3＋cos θ，1＋sin θ)，因为∠APB ＝90°，所以AP →·BP →＝0，所以(3＋cos θ＋t )(3＋cos θ－t )＋(1＋sin θ)2＝0，得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin(θ＋π3)，因为sin(θ＋π3)∈[－1，1]，所以t 2∈[1，9]，因为t >0，所以t ∈[1，3]．6．圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0(D <0，E 为整数)的圆心C 到直线4x －3y ＋3＝0的距离为1，且圆C 被截x 轴所得的弦长|MN |＝4，则E 的值为( )A ．－4B ．4C ．－8D ．8 解析：选C.圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 由题意得⎪⎪⎪⎪4×⎝⎛⎭⎫－D 2－3×⎝⎛⎭⎫－E 2＋342＋（－3）2＝1，即|4D －3E －6|＝10，①在圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －3＝0中，令y ＝0得x 2＋Dx －3＝0. 设M (x 1，0)，N (x 2，0)，则x 1＋x 2＝－D ，x 1x 2＝－3. 由|MN |＝4得|x 1－x 2|＝4， 即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， (－D )2－4×(－3)＝16. 由D <0，所以D ＝－2.将D ＝－2代入①得|3E ＋14|＝10， 所以E ＝－8或E ＝－43(舍去)．7．动点A 与两个定点B (－1，0)，C (5，0)的距离之比为12，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12 解析：选D.设A 点坐标为(x ，y )． 因为|AB ||AC |＝12，所以2（x ＋1）2＋y 2＝（x －5）2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋6x －7＝0，即(x ＋3)2＋y 2＝16.所以A 的轨迹表示以(－3，0)为圆心，半径为4的圆． 所以△ABC 面积的最大值为 S max ＝12|BC |·r ＝12×6×4＝12.8．(2019·浙江省名校联盟质量检测)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2解析：选B.根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10， 此时|AB |min ＝214－10＝4，故选B .9．过点M ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l 的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12.即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝010．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则圆C 1的圆心C 1(m ，－2)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－1，m )，半径r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2，所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．答案：－5或211．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则|PC |的最大值为________．解析：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，所以圆心为C (1，2)，半径r ＝2，若等边△P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC ⊥AB .在△P AC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理得|AC |sin 30°＝|PC |sin ∠P AC，所以|PC |＝22sin ∠P AC ≤22，故|PC |的最大值为2 2.答案：2 212．(2019·台州调研)已知动圆C 过A (4，0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2<5，所以点M 位于圆C 内，点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，最短的弦是以该定点为中点的弦)时，|EF |最小，其最小值为2（5）2－（2）2＝2 3. 答案：2 313．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设直线系M ：x cos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．解析：因为点(0，2)到直线系M：x cos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)中每条直线的距离d ＝1cos2θ＋sin2θ＝1，直线系M：x cos θ＋(y－2)·sin θ＝1(0≤θ≤2π)表示圆x2＋(y－2)2＝1的切线的集合，①由于直线系表示圆x2＋(y－2)2＝1的所有切线的集合，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；②存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点(0，2)即符合条件，故②正确；③由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故③正确；④如图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以M中的直线所能围成的正三角形面积大小不一定相等，故④不正确．答案：②③14．(2019·南京一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝33(x＋1)上从左向右依次取点A k，B k(k＝1，2，…，其中A1是坐标原点)，使△A k B k A k＋1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是________．解析：直线y ＝33(x ＋1)的倾斜角为30°，与x 轴的交点为P (－1，0)，又△A 1B 1A 2是等边三角形，所以∠PB 1A 2＝90°，所以等边△A 1B 1A 2的边长为1，且A 2B 1∥A 3B 2∥…∥A 10B 9，A 2B 1与直线y ＝33(x ＋1)垂直，故△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，△A 4B 3B 4，…，△A 10B 9B 10均为直角三角形，且依次得到A 2B 2＝2，A 3B 3＝4，A 4B 4＝8，A 5B 5＝16，A 6B 6＝32，A 7B 7＝64，A 8B 8＝128，A 9B 9＝256，A 10B 10＝512，故△A 10B 10A 11的边长是512.答案：51215．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2（x －x 22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝2±6；所以此切线方程为y ＝(2±6)x .②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.所以此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，所以直线PO 的方程为2x ＋y ＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝02x －4y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－310y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 17.(2019·杭州市高三期末考试)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B (1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A (－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |. 证明：(1)设AE 切圆于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ， 则EM ＝EB ， 所以|EA |＋|EB |＝|AM |＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2＝AN 2－BN 2＝4为定值． (2)同理|F A |＋|FB |＝4，所以E ，F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上，设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，令x ＝4，y Q ＝3m ，直线与椭圆方程联立得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝ －6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |等价于－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m －y 1y 2，所以2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m，代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4成立，所以|EB |·|FQ |＝|BF |·|EQ |.18．(2019·金华十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，x 轴平分∠ANB .。
(浙江专版)高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分 专题五 第1讲 直 线 与 圆选择
一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710B.175C ．8D ．2解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0. 5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切， 且与直线ax －y ＋1＝0垂直， 则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝ |PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C.83D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ |2×－1＋a |5＜5，|2×－1＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6； 两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＞5，|2×－1＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7. 二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切． 答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。
(浙江专用)2020版高考数学大二轮复习专题四小题考法课一直线与圆课时跟踪检测
直线与圆[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2019·宁波模拟)直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 因为圆心(0,0)到直线的距离为d ＝|23|3＋1＝3，圆的半径为2，所以可知直线截圆所得弦长为2，所以可知该直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为π3，故选C.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋(－1)2＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选 C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B (2,0)，过A 的直线交x 轴于点C (a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a ＝( )A.14B.34 C ．1D.43解析：选B 设直线AC 的倾斜角为β，直线AB 的倾斜角为α， 即有tan β＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 又tan β＝1a ，tan α＝12，所以1a ＝2×121－14，解得a ＝34.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )被圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )可化为λ(2x ＋y ＋1)＋(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R )，若⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，所以直线恒过圆C ：(x －1)2＋y 2＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )与直线CP垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝24－(2)2＝2 2.故选C.8.(2019·绍兴调研)设圆M 、圆N 的半径分别为1,2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M 、圆N 上的两动点，则P A →·P B →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，34C ．[－8,1]D ．[－16,1]解析：选C 连接MN 并延长，分别交两圆于点E ，F ，因为两圆相切于点P ，所以点P 在直线MN 上，由题意得当点A 与点E 重合，点B 与点F 重合时，P A →·P B →取得最小值(P A →·P B →)min ＝P E →·P F →＝－2×4＝－8.设∠APB ＝ α，∠APE ＝β，∠BPF ＝γ，则α＋β＋γ＝π，P A →·P B →＝2cos α×cos β×4cos γ＝8cos αcos βcos γ，因为8cos αcos βcos γ＝4cos α[cos(β－γ)＋cos(β＋γ)]＝4cos α[cos(β－r )－cos α]≤4cos α(1－cos α)≤1，所以P A →·P B →∈[－8,1]，故选C.9．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )，即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0，x ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．不妨记Q (－2,3)，则P (1,1)到直线l 的距离的最大值为|PQ |＝(－3)2＋22＝13.答案：(－2,3)1312．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18. 答案：1813．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过点M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－3，得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1514．已知⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋x －2k ＝0与⊙C 交于A ，B 两点，当|AB |取最大值时，k ＝________；当△ABC 的面积最大时，k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB 为直径，|AB |最大，此时k ＝1.设∠ACB ＝θ，则S △ABC ＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，当θ＝90°时，△ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为22，由d ＝|1－k |(k ＋1)2＋1＝22，解得k ＝0或k ＝6.答案：1 0或615．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率是________，r ＝________.解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案： 3 216．(2019·绍兴上虞区调测)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m ＝________；圆x 2＋2x ＋y 2－15＝0被直线mx －y ＝1截得的最短弦长为________．解析：当l 平行于直线mx －y ＝1时，则1m ＝－m －1≠－1－1，即m ＝－1；又直线mx －y ＝1恒过点A (0，－1)，圆x 2＋2x ＋y 2－15＝0的半径r ＝4，过圆心B (－1,0)作直线mx －y ＝1的垂线，则由垂径定理，知弦长L ≥2r 2－|AB |2＝214，即弦长的最小值为214.答案：－1 21417．设A 是直线y ＝x －4上一点，P ，Q 是圆C ：x 2＋(y －2)2＝17上不同的两点，若圆心C 是△APQ 的重心．则△APQ 面积的最大值为________．解析：如图，∵圆心C 是△APQ 的重心，∴AC ⊥PQ ， 设C 到PQ 的距离为x ，则PQ ＝217－x 2， 则A 到PQ 的距离为3x ， ∴S △PAQ ＝12×217－x 2×3x＝317－x 2·x ≤3·17－x 2＋x 22＝512.当且仅当17－x 2＝x ，即x ＝342时等号成立． ∴△APQ 面积的最大值为512.答案：512[B 级——能力小题保分练]1．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34 解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[](22a )2＋(1＋2b 2)2＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋(－3)2＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1； 当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以(x －3)2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤ (t ＋1)2＋(2t －4)2≤3，开方得1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，26．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]。
新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训六直线与圆
小题考法专训（六） 直线与圆A 级——保分小题落实练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0解析：选D 由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求方程为2x ＋3y ＋12＝0，故选D.3．(2019·开封定位考试)已知圆(x －2)2＋y 2＝9，则过点M (1,2)的最长弦与最短弦的长之和为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选D 圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为(2,0)，半径为3，所以过点M 的最长弦的长为6，最短弦的长为232－[(2－1)2＋(0－2)2]2＝4，所以过点M 的最长弦与最短弦的长之和为10，故选D.4．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A. 5．已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( ) A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.6．已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.7．已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝(2－2)2＋(2－4)2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t＝6±2 5.8．(2019·石家庄模拟)已知圆C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆C 过点(－1,0)和(2,3)，则圆C 的半径为( )A ．8B ．2 2C ．5D ． 5解析：选D 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵圆C 经过点(－1,0)和(2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋b 2＝r 2，(a －2)2＋(b －3)2＝r 2，∴a ＋b －2＝0.①又圆C 截两坐标轴所得弦长相等，∴|a |＝|b |.② 由①②得a ＝b ＝1，∴圆C 的半径为5，故选D.9．若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3,0)，又P (1,1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.根据弦MN 所在的直线经过点P (1,1)得所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.故选D.10．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为( )A ．1B ．±1 C. 3D ．± 3解析：选D 圆的方程可以化为x 2＋(y －3)2＝3，圆心为C (0,3)，半径为3，根据△ABC 为等边三角形可知AB ＝AC ＝BC ＝3，所以圆心C (0,3)到直线y ＝ax 的距离d ＝32×3＝32，所以32＝|a ×0－3|a 2＋1⇒2＝a 2＋1⇒a ＝± 3. 11．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l 的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d＝ (9－d 2)d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.二、填空题13．已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝014．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为______________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：将已知圆化为标准方程得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×(42)2－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 815．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为_______．解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可．当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35 16．(2019·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k ＞0)关于y 轴对称，则k 的最小值为________．解析：由圆C 过点(0,1)，(0,3)知，圆心的纵坐标为1＋32＝2，又圆C 与x 轴正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标x ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3－122＝3，即圆心为(3，2)，所以圆C的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4.因为k ＞0，所以k 取最小值时，直线y ＝－kx 与圆相切，可得2＝|3k ＋2|k 2＋1，即k 2－43k ＝0，解得k ＝43(k ＝0舍去)． 答案：4 3B 级——拔高小题提能练1．[多选题]若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0，则下列关于yx －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3 B ．y x －1的最小值为－ 3C.yx －1的最大值为33D ．yx －1的最小值为－33解析：选CD 由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x ＋1)2＋y 2＝1，表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆，yx －1表示圆上的点(x ，y )与点(1,0)连线的斜率，易知，y x －1最大值为33，最小值为－33. 2．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是x 轴正半轴和y ＝x (x ＞0)图象上的两个动点，且|MN |＝2，则|OM |2＋|ON |2的最大值是( )A ．4－2 2B ．43 C ．4D ．4＋2 2解析：选D 直线y ＝x 的倾斜角为π4，所以由题意知∠MON ＝π4，则在△MON 中，|MN |2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |cos ∠MON ，即2＝|OM |2＋|ON |2－2|OM |·|ON |≥|OM |2＋|ON |2－2·|OM |2＋|ON |22，整理，得|OM |2＋|ON |2≤42－2＝4＋22，当且仅当|OM |＝|ON |＝2＋2时，等号成立，即|OM |2＋|ON |2的最大值为4＋22，故选D.3．已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP ―→＝PQ ―→，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则|x |的取值范围是( )A ．|x |≥1B ．|x |＞1C ．|x |≥2D ．|x |≥22解析：选A 由题意，设P (cos θ，sin θ)，则Q (2cos θ＋3，2sin θ)，所以k AP＝sin θcos θ＋3，所以直线PM 的方程为(cos θ＋3)x ＋y sin θ－3cos θ－1＝0，直线BQ的方程为x sin θ－y cos θ－3sin θ＝0，联立解得x ＝3＋cos θ1＋3cos θ＝33＋233(1＋3cos θ)，因为1－3≤1＋3cos θ＜0或0＜1＋3cos θ≤1＋3，所以x ≤－1或x ≥1，即|x |≥1，故选A.4．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0，－1)，圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为(x －1)2＋y 2＝9，圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为(0－1)2＋(－1－0)2＝2，所以动直线l 被圆C 截得的最短弦长为29－(2)2＝27.答案：0或2 275．已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， 所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)。
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方法二:由题意知,圆心为(2,1),半径为2,圆心在直线l上, 即2+a-1=0,解得a=-1,再由图知,|AB|=6.
设圆的标准方程为(x-m)2+y2=r2,
则有
（m4－2＋m4＝）2＝r 2，r 2，解得
m＝
3 2
,
r
2＝
25， 4
所以圆的标准方程为 (x－3 )2＋y2＝25 .
2
4
答案: (x－3 )2＋y2＝25
2
4
【拓展提升】 1.直接法求圆的方程,根据圆的几何性质,直接求出圆 心坐标和半径,进而写出方程.
【解析】1.选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:
(x-1)2+(y-4)2=4,
故圆心为(1,4),d= a 4=11,解得a=- . 4
a2 1
3
2.选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2 +(y－a)2=a2,
由题意,d= a ,所以有,a2= a+22,解得a=2.所以圆
1 2
ab≥12,即S△AOB的最小值为12.
答案:12
【拓展提升】 求直线方程的两种方法 (1)直接法:根据已知条件,找出直线方程的确定条件, 选择适当的直线方程的形式,直接求出直线方程.
(2)待定系数法:其具体步骤为:①设出直线方程的恰当 形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式); ②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组; ③解方程或方程组得到待定系数;④写出直线方程; ⑤验证所得直线方程是否为所求直线方程,如果有遗漏 需要补加.
5
2.一个圆经过椭圆 x2 ＋y2 =1的三个顶点,且圆心在x
16 4
轴的正半轴上,则该圆的标准方程为____________.
【题型建模】
1.设出圆心→运用点到直线的距离公式求出圆 心坐标→求半径→写出圆的方程 2.求出椭圆的顶点坐标→待定系数法求圆心和 半径的平方→确定圆的方程
【解析】1.因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),
答案:4
考向三 直线(圆)和圆的位置关系(压轴题型考点)
【典例】1.圆x2+y2-2x-8y+13=0①的圆心到直线ax+y-
1=0的距离为1②,则a= ( )
A. 4B. 3C. 3D.2
3
4
2.(2016·山东高考)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直 线x+y=0所得线段的长度是2 2 ,则圆M与圆N:(x-1）2 +(y－1)2=1的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【变式训练】
已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的
对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则
|AB|=( )
A.2
B.4 2 C.6
D.2 10
【解析】选C.方法一:由题设,得圆C的标准方程为(x2)2+(y-1)2=4,知圆C的圆心为(2,1),半径为2. 因为直线l为圆C的对称轴, 所以圆心在直线l上,则2+a-1=0,解得a=-1, 所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36, 所以|AB|=6.
【变式训练】
(1)已知直线l1:mx+y+1=0,l2:(m-3)x+2y-1=0,则“m=1” 是“l1⊥l2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)在△ABC中,A(1,1),B(m, m )(1<m<4),C(4,2),则 当△ABC的面积最大时,m=______.
k 2＋1
化简得12k2+25k+12=0,
解得k=- 4 或k=- 3.
3
4
3.依题意,设直线l的方程为
x ＋=y1(a>0,b>0).
ab
因为点P(2,3)在直线l上.
所以 2＋=3 1,则ab=3a+2b≥2
ab
6a,b
故ab≥24,当且仅当3a=2b(即a=4,b=6)时取等号.
因此S△AOB=
②圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2,过圆上一点(x0,y0)的切线 方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 当斜率存在时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kxy+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径,即可得出 切线方程.当斜率不存在时要加以验证.
1.有关弦长问题的两种求法 (1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l ,弦心距d和圆的
2
半径r构成直角三角形,即r2= ( l )2 +d2.
2
(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于
x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦
长|AB|= 1 k2 |x1-x2|= 1 k2 （x1＋x2）2－4x1x2 或|AB|=
【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足
为F,圆心到直线的距离d= |3m－ 3 |，所以在Rt△OBE中,
m2 1
BE2=OB2-d2=3,所以d= |3m－ 3 |，=3,得m=- 3 , 又在
m2 1
3
△CDF中,∠FCD=30°,所以CD= CF
2
m+2|
= 1 |( m－3 )2－1|，
2
24
又1<m<4,所以1<m <2,
所以当 m＝3即，m=
2
答案: 9
4
时9,S取得最大值.
4
考向二 圆的方程(保分题型考点)
【题组通关】
1.(2019·芜湖二模)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,
点M(0, 5 )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 4 5 ,则圆C的方程为____________ .
【解析】1.选A.当a=-2时,l1:-2x+2y-1=0,l2:xy+4=0,显然l1∥l2. 当l1∥l2时,由a(a+1)=2且a+1≠-8得a=1或a=-2, 所以a=-2是l1∥l2的充分不必要条件.
2.选D.由题知,反射光线所在直线过点(2,-3),设反射 光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0. 因为圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径为1,且 反射光线与该圆相切, 所以 |－3k－2－=2k1－,3 |
3.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 3 ④,则圆C的面积为 ______.
【题眼直击】
题目
1.
2. 3.
题眼 ① ② ③ ④
思维导引 想到化为圆的标准式方程 想到点到直线的距离公式 想到利用圆心距与两圆半径的和差关系 想到构建直角三角形,运用勾股定理分析
2
2
M:x2 +(y－a)2=22,圆心距=2 ,半径和=3,半径差=1,所
以二者相交.
3.由圆C:x2+y2-2ay-2=0可得x2+(y-a)2=a2+2,所以圆心 C(0,a),由题意可知 a 2a ,a解2 得2a23=2,所
2
以圆C的面积为π(a2+2)=4π.
答案:4π
【拓展提升】
【解析】(1)选A.“l1⊥l2”的充要条件是“m(m-3) +1×2=0⇔m=1或m=2”,因此“m=1”是“l1⊥l2”的充分 不必要条件.
(2)由两点间距离公式可得|AC|= 10,直线AC的方程为
x-3y+2=0,
所以点B到直线AC的距离d=| m－3 m＋2 |，
10
则S△ABC= 12
1＋ 1 k2
|y1-y2|=
1＋
1 k2
（y1＋y2）2－4y1y2
(其中k为斜率).
2.过一点求圆的切线的方法
(1)①过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k,由垂直关系知切线斜率 为- 1 ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存
k
在,则由图形写出切线方程x=x0.
A．－5 或－3B．－3 或－2
35
23
C．－5 或－4D．－4 或－3
45
34
3.过点P(2,3)的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A,B 两点,O为坐标原点,则S△AOB的最小值为______.
【题型建模】
1.判断两直线平行:利用两直线平行的充要条件 2.入、反射问题:光的入、反射问题可转化为对称 问题进行求解 3.求直线与坐标轴围成的面积:设直线的截距式方 程→利用基本不等式求在坐标轴上截距乘积的范围 →求面积最值
2.待定系数法求圆的方程:(1)若已知条件与圆心(a,b) 和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关 于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;(2)若已知条件 没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据 已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
【变式训练】已知直线l:mx+y+3m- 3 =0与圆x2+y2=12 交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若 |AB|=2 3,则|CD|=______.
第1课时 直线与圆
考向一 直线的方程(保分题型考点)
【题组通关】
1.设a∈R,则“a=-2”是直线l1:ax+2y-1=0与直线 l2:x+(a+1)y+4=0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件