【金版学案】人教版高中数学选修4-4练习：1.4柱坐标系与球坐标系简介(含答案解析)

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数学人教A版选修4-4学案：第一讲四柱坐标系与球坐标系

四柱坐标系与球坐标系简介1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法． 2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组________(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作________，其中________________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为__________ 【做一做1－1】设点P 的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________．【做一做1－2】柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________． 2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ.这样点P 的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作__________，其中______________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为______________在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P (r ，φ，θ)的方位角，π2－φ称为高低角．【做一做2】已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．答案：1．(1)(ρ，θ，z ) P (ρ，θ，z ) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .【做一做1－1】 (2，π4，3)【做一做1－2】以Oz 轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2．(1)(r ，φ，θ) P (r ，φ，θ) r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.【做一做2】 (－2,2,22) (22，3π4，22)1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的．在直角坐标中，我们需要三个长度x ，y ，z ，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z 或者r ，φ，θ.空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就惟一地确定了一个有序数组x ，y ，z .这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 面上的点，y ＝0；如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．2．建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．题型一直角坐标与柱坐标的互化【例1】设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．题型二直角坐标与球坐标的互化【例2】已知点M 的球坐标为(2，3π4，3π4)，求它的直角坐标．分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr，tan θ＝yx. 反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M 所在的位置．题型三求空间一点的坐标【例3】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四柱坐标系、球坐标系的应用【例4】已知点P 1的球坐标是P 1(23，π3，π4)，P 2的柱坐标是P 2(6，π6，1)，求|P 1P 2|.分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决．题型五易错辨析【例5】设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．错解：点M 的球坐标为(2，2，2)．答案：【例1】解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．【例2】解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 3π4cos 3π4＝2×22×(－22)＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝2×(－22)＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【例3】解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置．∴点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．【例4】解：设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋(322－62)2＋(3－1)2＝30－102. 【例5】错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .正解：∵r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2， z ＝r cos φ＝2， ∴cos φ＝22.∴φ＝π4. 又∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4.∴点M 的球坐标为(2，π4，π4)．1在空间直角坐标系Oxyz 中，方程x ＝1表示( )．A ．点B ．直线C ．平面D ．以上都不对 2在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示( )． A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面3点M 的直角坐标为1，－2)，则它的球坐标为( )．A ．3,)46ππB ．,)46ππC ．,)43ππD ．3,)43ππ4空间点P 的柱坐标为(6，3π，4)，则点P 关于z 轴的对称点为________． 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2，,63ππ)；(2)(2，7,44ππ)．答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x ＝1表示与x 轴垂直且到原点的距离为1的平面．2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示半球面． 3．A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则sin cos ,1sin sin ,2cos ,r r r ϕθϕθϕ==⎨⎪-=⎩解得3,4.6r πϕπθ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．(6，43π，4) 5．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝(2,0，－2)，∴2cos 02,sin 00,2,x y z ==⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标． (2)∵(ρ，θ，z )＝(π，π，π)，∴cos ,sin 0,,x y z ππππππ==-⎧⎪==⎨⎪=⎩∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标． 6．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝(2，,63ππ)，∴1sin cos 2sin cos ,632sin 2sin sin 63cos 2cos 6x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∴1(2为所求点的直角坐标． (2)∵(r ，φ，θ)＝(2，7,44ππ)，∴7sin cos 2sin cos 1,447sin sin 2sin sin1,44cos 2cos 4x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===-⎨⎪⎪===⎪⎩∴(1，－1为所求点的直角坐标．。

高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)．解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22，由22cos φ＝－2得φ＝3π4，又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________．解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________．解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标．解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度．解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )，则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

人教版高中数学选修4-4《1.4柱坐标系与球坐标系简介》

φ r o θ
P(r,φ,θ) y Q
x OP与Oz轴正向所夹的角为φ
转过的最小正角为θ
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所
点P的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标
其中 r 0, 0 , 0 2
5 5 3 点M的直角坐标为（－，） 2 2
如图，建立空间直角坐标系Oxyz, z 设P是空间任意一点, P(ρ,θ,Z) p在平面Oxy的射影为Q o θ Q x 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy上的极坐标,
y
点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
3、已知点 N的球坐标是（2，，）， 3 4 求它的直角坐标。
3
1、通过这节课的学习，我们知道，为了表示空间中所有的点，我们可以建立 _______________________ 、 ______________ 和 ______________ 来表示这些点。
2、这节课我们需要了解的内容有：
谢谢
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标.
其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z＜+∞
注：柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立z)与柱坐标
(ρ,θ,Z)之间的变换关系为
x cos y sin zz

2019秋金版学案数学·选修4-4(人教A版)练习：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析

第一讲坐标系四、柱坐标系与球坐标系简介A 级　基础巩固一、选择题1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( )A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面D ．以原点为球心，半径为2的球面解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面．答案：C2．若点M 的球坐标为，则它的直角坐标为( )(8，π3，5π6)A ．(－6，2，4)B ．(6，2，4)33C ．(－6，－2，4)D ．(－6，2，－4)33解析：由x ＝8sin cos＝－6，π35π6y ＝8sinsin＝2，π35π63z ＝8cos＝4，得点M 的直角坐标为(－6，2，4)．π33答案：A3．设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( )A ．(2，0，2)B ．(2，π，2)C ．(，0，2)D ．(，π，2)22解析：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，所以ρ＝＝2，tan θ＝＝0，x 2＋y 2y x所以θ＝0，z ＝2，所以点M 的柱坐标为(2，0，2)．答案：A4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点P 的坐标为(0<θ≤π)( )A ．(－ρ，－θ，－z )B ．(ρ，θ，－z )C ．(ρ，π＋θ，－z )D ．(ρ，π－θ，－z )解析：点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为P ′(ρ，π＋θ，－z )．答案：C 二、填空题5．空间点P 的柱坐标为，则点P 关于z 轴的对称点为(6，π3，4)________．答案：(6，4π3，4)6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为_______，(4，π4，3π4)它的柱坐标是________．答案：(－2，2，2)　2(22，3π4，22)7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为，且点M (2，2π3，5)在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________．解析：设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影．因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面Oxy ，所以PN ⊥直线Oy .所以|OP |＝ρ＝2，|PN |＝＝1，|ρcos 2π3|所以|OM |＝＝＝3.ρ2＋z 222＋（5）2在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°，所以|MN |＝＝＝.|PM |2＋|PN |2（5）2＋126答案：3　68．在球坐标系中A 和B 的距离为________．(2，π4，π4)(2，3π4，3π4)解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1，1，)，B (－1，1，－2)．2所以|AB |＝＝2.[1－（－1）]2＋（1－1）2＋[2－（－2）]23答案：23三、解答题9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A 、B ，求出这两个截面间的距离．(8，π4，θA)(8，34π，θB )解：在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝，|OA |＝8，π4所以|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×＝4，222同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝，π4所以|OO 2|＝4，所以|O 1O 2|＝8，22所以两个截面间的距离为8.210．在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系．有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A ，B ，飞机沿球的大圆圆(R ，π4，π6)(R ，π4，2π3)弧飞行时，航线最短，求最短的路程．解：如图所示，因为A ，B ，(R ，π4，π6)(R ，π4，2π3)可知∠AOO 1＝∠O 1OB ＝，π4所以∠O 1AO ＝∠O 1BO ＝.π4又∠EOC ＝，∠EOD ＝，π62π3所以∠COD ＝－＝.2π3π6π2所以∠AO 1B ＝∠COD ＝.π2在Rt △OO 1B 中，∠O 1BO ＝，OB ＝R ，π4所以O 1B ＝O 1A ＝R .22因为∠AO 1B ＝，所以AB ＝R .π2在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，所以∠AOB ＝.π3故飞机经过A 、B 两地的大圆，航线最短，其路程为R .π3[B 级　能力提升]1．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0，0，0)的对称点的球坐标为________．答案：(r ，π－φ，π＋θ)2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为Ozx 坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.(R ，3π4，5π3)答案：(R ，3π4，5π3)3．在柱坐标系中，求满足{ρ＝1，0≤θ<2π，的动点M （ρ，θ，z ）0≤z ≤2)围成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，所以V＝Sh＝πr2h＝2π.。

高中数学第一章坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4-4(2021年整理)

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四柱坐标系与球坐标系简介教学目的：知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式:启发、诱导发现教学。

教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP,记| OP ｜=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ,P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0,0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题：1.4柱坐标系与球坐标系简介

四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A 组1.已知点A 的球坐标为(3,π2,π2),则点A 的直角坐标为( )A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=3×sin π2×cos π2=0,y=3×sin π2×sin π2=3,z=2×cos π2=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M 的直角坐标为(-1,-√3,3),则它的柱坐标是( )A.(2,π3,3)B.(2,2π3,3) C.(2,4π3,3)D.(2,5π3,3)M 的柱坐标为(ρ,θ,z ),则ρ=√(-1)2+(-√3)2=2,θ=4π3,z=3,所以点M 的柱坐标为(2,4π3,3),故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的( ) A.以x 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 B.以y 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 C.以z 轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面 D.以原点为球心,半径为3的球面4.导学号73574021已知点M 的球坐标为(4,π4,3π4),则点M 到Oz 轴的距离为( )A.2√2B.√2C.2D.4M 的直角坐标为(x ,y ,z ),因为(r ,φ,θ)=(4,π4,3π4), 所以{x =rsinφcosθ=4sin π4cos 3π4=-2,y =rsinφsinθ=4sin π4sin 3π4=2,z =rcosφ=4cos π4=2√2,即M (-2,2,2√2).故点M 到Oz 轴的距离为√(-2)2+22=2√2.5.在空间直角坐标系Oxyz 中,下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A .(1,π2,2)B .(2,π3,0)C .(3,π4,π6)D .(3,π6,π2)P 的柱坐标(ρ,θ,z )知,当θ=π2时,点P 在平面yOz 内,故选A .6.若点P 的直角坐标为(√2,√6,3),则它的柱坐标是 .√2,π3,3)7.已知在柱坐标系Oxyz 中,点M 的柱坐标为(2,π3,√5),则|OM|= .M 的直角坐标为(x ,y ,z ),且x 2+y 2=ρ2=4,故|OM|=√x 2+y 2+z 2=√4+5=3.8.若点M 的球坐标为(2,π3,5π4),O 为原点,则点M 到原点的距离为 ,OM 与平面xOy 所成的角为 .π69.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O 为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O (0,0,0),A (1,π2,0),B (√2,π2,π4), C (1,π2,π2),D (1,0,0),E (√2,π4,0), F (√3,φ,π4)(φ∈[0,π2],且cosφ=√33),G (√2,π4,π2).10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标: P (√5,π6,√3),Q (4,2π3,-3). (2)将下列各点的球坐标化为直角坐标: A (4,π2,5π3),B (8,3π4,π),C (0,π6,π5).设点P 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1),则x 1=ρcos θ=√5cos π6=√5×√32=√152,y 1=ρsin θ=√5sin π6=√5×12=√52,z 1=√3,故点P 的直角坐标为(√152,√52,√3).设点Q 的直角坐标为(x 2,y 2,z 2),则x 2=4cos 2π3=-2,y 2=4sin 2π3=2√3,z 2=-3, 故点Q 的直角坐标为(-2,2√3,-3).(2)设点A 的直角坐标为(x 1,y 1,z 1),则x 1=r sin φcos θ=4sin π2×cos5π3=4×1×12=2,y 1=r sin φsin θ=4sin π2sin 5π3=4×1×(-√32)=-2√3,z 1=r cos φ=4×cos π2=0,故点A 的直角坐标为(2,-2√3,0).设点B 的直角坐标为(x 2,y 2,z 2),则x 2=8sin3π4cos π=8×√22×(-1)=-4√2,y 2=8sin 3π4sin π=0,z 2=8cos 3π4=8×(-√22)=-4√2.故点B 的直角坐标为(-4√2,0,-4√2).设点C 的直角坐标为(x 3,y 3,z 3),因为r=0,所以x 3=0,y 3=0,z 3=0,即点C 的直角坐标为(0,0,0). 11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA 1|=2,M 是线段A 1B 1的中点.建立适当的坐标系,求点M 的直角坐标和柱坐标.,过点M 作底面xCy 的垂线MN.因为ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以点N 在线段AB 上.过点N 分别作x 轴、y 轴的垂线NE ,NF ,根据已知,可得△ABC 是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=12. 故点M 的直角坐标为(12,12,2).由于点M 在平面xCy 上的射影为点N ,连接CN ,|CN|=√22,∠ECN=π4,故点M 的柱坐标为(√22,π4,2). B 组1.在柱坐标系中,方程z=C (C 为常数)表示( ) A .圆B .与xOy 平面垂直的平面C .球面D .与xOy 平面平行的平面2.已知在空间直角坐标系Oxyz 中,点M 在平面yOz 内,若M 的球坐标为(r ,φ,θ),则应有( )A .φ=π2B .θ=π2C .φ=π2或3π2D .θ=π2或3π2M 向平面xOy 作垂线,垂足N 一定在直线Oy 上,由极坐标系的意义知θ=π2或3π2.3.在柱坐标系中,满足{ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )围成的几何体的体积为 .ρ=1,0≤θ<2π,0≤z ≤2的动点M (ρ,θ,z )的轨迹是以直线Oz 为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr 2h=2π.π4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A 1(8,0,10),C 1(6,π2,10),则该长方体外接球的体积为 .8,6,10,则其外接球的半径为5√2.故其外接球的体积为4π3×(5√2)3=1000√2π3.5.如图,点P 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P 的柱坐标为(6,π4,5),求该圆柱的体积.P 作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P (6,π4,5),所以点P'的柱坐标为(6,π4,0). 因此圆柱的底面半径为6,高为5. 故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A ,请建立适当的柱坐标系,把点A 的柱坐标求出来.O 为极点,选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203m,极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16,就是OA 在地平面上的射影,A 距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标(203,17π16,2.8)来表示点A 的准确位置. 所以点A 的柱坐标为(203,17π16,2.8).7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.,找到相应坐标.B 为极点O ,选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴,过点O 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A 作AA'垂直于平面BCD ,垂足为A',连接BA', 则|BA'|=3×√32×23=√3, |AA'|=√32-(√3)2=√6,∠A'Bx=π2−π6=π3,则A (√3,π3,√6),B (0,0,0),C (3,π6,0),D (3,π2,0).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

人教版高中数学选修4-4课件：第一讲四柱坐标系与球坐标系简介

且角 θ 的终边经过点(1，1，0)，所以 θ＝π4，

所以点 M 的柱坐标为

2，π4，1.
(2)设点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，
z)，

因为(ρ，θ，z)＝

2，34π，2，
x＝ρcos θ， x＝ 2cos 34π， x＝－1，

由公式y＝ρsin
tzρa＝＝nzθ＝x2xy＋（yx2，≠0），及rc＝os
x2＋y2＋z2， φ＝zr.
在用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值；若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值范围即可．
[变式训练]如图所示，已知长方体
ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB＝6 3， AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．
()
A．(2 2，2 2，3)
B．(－2 2，2 2，3)
C．(－2 2，－2 2，3) D．(2 2，－2 2，3)
解析：x＝ρcos θ＝4cos54π＝－2 2， y＝ρsin θ＝4sin 54π＝－2 2，
故其直角坐标为(－2 2，－2 2，3)．答案：C
4.如图所示，正方体 OABC-O1A1B1C1 中，棱长为 1. (1)在柱坐标系中，点 B1 的坐标为 ________________． (2)在球坐标系中，点 C1 的坐标为 ________________．
5．已知点 M 的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为(r， φ，θ)，则 tan φ＝________，tan θ＝________．