三角函数数列大题

高中数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=. (1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABCS，求CD 边长.2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE 的观光步行道，BE 为电瓶车专用道，120BCD BAE CDE ∠=∠=∠=︒，11km DE =，5km BC CD ==．(1)求BE 的长；(2)若sin ABE ∠=ABCDE 的周长． 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos b B =+． (1)求A ； (2)若31,cos 5a C ==，求ABC 的面积．4．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C ． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，a =△ABC 的面积．5．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.6．已知函数()sin 22f x x x =，R x ∈． (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间．7．已知函数()2sin 22sin 6x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数）.(1)求点P 距离水面的高度为h 关于时间为t 的函数解析式； (2)求点P 第一次到达最高点需要的时间（单位：s ）.9．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ＝n 2+r ，其中r 为常数． (1)求r 的值； (2)设()112n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ．11．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？12．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n －5an －85，n △N *. (1)证明：{an －1}是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式.13．已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()3log 1n nb a =+,n T 为数列1n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .在△21log n n n b a a +=+，△()()2211log 1log 1n n n b a a +=+⋅+，△n n b n a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿；该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．16．在△q d =△4q d ⋅=△4q d +=这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列{}n a 的公差为d (*d N ∈)，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，___________，10100S =.（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =．(1)证明：1A C ⊥平面BED ；(2)求异面直线BE 与1A C 所成角的大小； (3)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于P ，GC 垂直于ABCD 所在平面．(1)求证：EF ⊥平面GPC ．(2)若4AB =，2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且侧棱P A △底面ABCD ，P A ＝2AD ．E ，F ，H 分别是P A ，PD ，AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．20．如图在三棱锥O ABC -中，OA OC ==2AB OB BC ===且OA OC ⊥．(1)求证：平面OAC ⊥平面ABC(2)若E 为OC 中点，求平面ABC 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．21．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱13A A =，M N 、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111B C C D 、的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB ； (2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．22．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．23．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为：1ρ=.在平面直角坐标系中，曲线2C 的参数方程为3cos 33sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤<）.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)在极坐标系中，射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .24．已知直线 l的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，点M 的直角坐标为(1,0)-，求||||MP MQ +．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设点Q 的坐标为()3,0，直线l 与C 交于A ，B ，求QA QB ⋅的值.26．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为240x y +-=．(1)若点M 为曲线1C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值； (2)倾斜角为3π的曲线2C 过点()1,0P -，交曲线1C 于A ，B 两点，求11PA PB +． 27．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,5315x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB .28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．29．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，求PA PB ⋅的值． 30．直线l 过点()2,0A ，倾斜角为4π． (1)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O 作l 的垂线，垂足为B ，求点B 的极坐标()0,02ρθπ≥≤<；(2)直线l 与曲线22:2x t C y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）交于M 、N 两点，求MN ．31．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α为常数）的直线l 过点()2,4M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.(1)写出直线l 的一个参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当3πα=时，直线l 与曲线C 能否交于两点？若能，记两交点为A ，B ，求出11MA MB+的值；若不能，说明理由. 32．若a ，b ，c △R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥.33．已知函数()21f x x x =+--. (1)求max ()f x 及当()(0)f x f ≥时的解集；(2)若关于x 的不等式()12f x m ≥-有解，求正数m 的取值范围.34．已知函数()()223f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集 (2)若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．35．已知0m >，函数()2f x x x m =++-的最小值为3，()25g x x m =+． (1)求m 的值；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集. 36．已知函数()112f x x x =-+-的值域为M . (1)求M ；(2)证明：当,a b M ∈时，214a b ab -≤-. 37．已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明： （1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．38．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求12a b+的最小值；(2)≤39．已知函数()||2||(0,0)f x x a x b a b =+-->>. （1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b+的最小值.40.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。