2013届高考数学一轮复习讲义：6[1].5 数列求和
主页
Tn－2 2＋2n－1·n＋1－2 2 若 >2 013，则 >2 013， 2n－1 2n－1 即2n 1>2 013. 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10. Tn－2 所以满足不等式 >2 013的n的最小值是10. 2n－1
＋
主页
裂项相消法求和
3 2
1 n 的前 n 项和 Tn＝ (3an＋1)时， 求证： 数列 b b . n n＋1 1＋n
1 an＋1＝2Sn， (1)解 由已知得 (n≥2)， 1 an＝ Sn－1 2 3 得到an＋1＝ an (n≥2)． 2 3 ∴数列{an}是以a2为首项，以 为公比的等比数列． 2
n个
1 1 1－ n 2 2 1 ＝ n－1＋2n－2. ＝2n－ 1 2 1－ 2
主页
错位相减法求和
例2 设数列{an}满足a1＋3a2＋3 a3＋…＋3 (1)求数列{an}的通项； n (2)设bn＝a ，求数列{bn}的前n项和Sn. n
2 n－1
主页
审题路线图
四审结构定方案
(14分)(2010· 山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26， {an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； 1 (2)令bn＝ 2 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. an－1 审题路线图
等差数列{an}中，特定项的值 (a3，a5，a7即为特定项) a3＝7，a5＋a7＝26 (从特定项，考虑基本量a1，d)
探究提高
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留 了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对 称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
主页
变式训练 3
1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1，n＋1＝ Sn(n＝1,2,3， 且 a …)． 2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)当 bn＝log
相加． 1 (2)写出通项an＝x ＋ 2n ＋2，可转化为两个等比数列{x2n}， x 1 2n与常数列{2}的求和问题． x
2n
主页
n·n＋1 2 1 解 (1)由于an＝ ＝n＋ n， 2n 2 1 1 1 1 ∴Sn＝1＋21＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n 1 1 1 1 ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋2＋22＋23＋…＋2n 1 1 1－ n nn＋1 2 2 ＝ ＋ 2 1 1－ 2 nn＋1 1 ＝ － n＋1. 2 2
主页Βιβλιοθήκη 解2 1 2 ∴Sn＝(Sn－Sn－1)Sn－2，
1 2 (1)∵Sn＝anSn－ ，an＝Sn－Sn－1
(n≥2)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， 由题意Sn－1·n≠0， S
1 1 ①式两边同除以Sn－1·n，得S － S ＝2， Sn－1 n 1 1 1 ∴数列S 是首项为 ＝ ＝1，公差为2的等差数列． n S1 a1 1 1 ∴S ＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝ . 2n－1 n
一轮复习讲义
数列求和
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
nn－1 na1＋an na ＋ d 2 1．等差数列前n项和Sn＝ 2 ＝ 1 ，推导方
倒序相加法； 法：
na1
等比数列前n项和Sn＝
a1 (1 q )
n
q=1, =
a1 an q 1 q
1 q
q≠1,
推导方法：乘公比，错位相减法．
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
4．常见的拆项公式 1 1 1 (1) ＝n － ； nn＋1 n＋1 1 1 1 1 (2) ＝ 2n－1－2n＋1； 2n－12n＋1 2 1 (3) ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1
主页
[难点正本
疑点清源]
1．数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． (2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消 法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 2．等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂 的数列转化为等差、等比数列问题来解决．
主页
探究提高
某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和 或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进 行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母 的数列中对字母的讨论．
主页
变式训练 1
1 1 1 1 1 1 求和Sn＝1＋1＋2＋1＋2＋4＋…＋1＋2＋4＋…＋2n－1.
2 n－2
②
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·n， 3
∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·n＋1. 3
③
④
主页
④－③得2Sn＝n·n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 3 ＋ 31－3n 2n－13n 1 3 即2Sn＝n·n＋1－ 3 ，∴Sn＝ ＋ . 4 4 1－3
探究提高
(1)证明 因为Sn＋n＝2an，即Sn＝2an－n， 所以Sn－1＝2an－1－(n－1) (n≥2，n∈N*)．
两式相减化简，得an＝2an－1＋1. 所以an＋1＝2(an－1＋1) (n≥2，n∈N*)， 所以数列{an＋1}为等比数列．
主页
因为Sn＋n＝2an，令n＝1，得a1＝1. a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.
(2)解 因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1， 所以bn＝(2n＋1)·n. 2 所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·n－1＋(2n＋1)·n， 2 2
2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·n＋(2n＋1)·n＋1， 2 2
① ②
①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·n＋1＝6＋ 2 ＋ 22－2n 1 2× －(2n＋1)·n＋1＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·n＋1＝－2－(2n 2 2 1－2 －1)·n 1. 2 所以Tn＝2＋(2n－1)·n＋1. 2
主页
(2)当x＝± 1时，Sn＝4n.当x≠± 1时， 1 2 2 1 2 1 2 n Sn＝x＋x ＋x ＋x2 ＋…＋x ＋xn 1 4 1 1 2 2n ＝x ＋2＋x2＋x ＋2＋x4＋…＋x ＋2＋x2n 1 1 1 2 4 2n ＝(x ＋x ＋…＋x )＋2n＋x2＋x4＋…＋x2n －2 －2n x2x2n－1 x 1－x ＝ 2 ＋ ＋2n x －1 1－x－2 x2n－1x2n＋2＋1 ＝ ＋2n. x2nx2－1 4n 2n ＋ ∴Sn＝x －1x2n 2＋1 ＋2n 2n 2 x x －1 x＝± 1， x≠± 1.
解 和式中第k项为 1 1 1 ak＝1＋ ＋ ＋…＋ k－1＝ 2 4 2
1 1－2k 1 ＝21－2k.
1 1 1 ∴Sn＝21－2＋1－22＋…＋1－2n
1 1－ 2
1 1 1 ＝ 2[(1＋1＋…＋1） －( ＋ 2＋…＋ n)] 2 2 2
n an＝ ，n∈N*. 3
(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减． (2)bn＝n·n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法． 3
主页
解
(1)∵a1＋3a2＋3 a3＋…＋3
2
n－1
n an＝ ， 3
①
∴当n≥2时，
n－1 a1＋3a2＋3 a3＋…＋3 an－1＝ ， 3 1 1 － ①－②得3n 1an＝ ，∴an＝ n. 3 3 1 1 在①中，令n＝1，得a1＝ ，适合an＝ n， 3 3 1 ∴an＝ n. 3 n (2)∵bn＝a ，∴bn＝n·n. 3 n
nn＋1 2 [ ] 2 .
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
3．数列求和的常用方法 (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形 式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项 相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．
解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n－1an}的前n项 和，从而利用an与Sn的关系求出通项3n 1an，进而求得an；另外 乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的 是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的 训练，重视运算能力的培养．
－
主页
变式训练 2
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an (n∈N*)． (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不 Tn－2 等式 >2 013的n的最小值． 2n－1
2 例3 已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn 1 ＝anSn－2.
(1)求Sn的表达式； Sn (2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn. 2n＋1
(1)通过an＝Sn－Sn－1 (n≥2)消去已知等式中的an，构造出含Sn的 新数列；(2)求出{bn}的通项，根据通项的结构特点，确定求和方 法．
主页
要点梳理
忆一忆知识要点
2．常见数列的前n项和
nn＋1 (1)1＋2＋3＋…＋n＝ ； 2
3.4数列求和(第1课时) 2013届高三数学第一轮复习课件
• •
得则当nx取 k1n或时,图x象 在n 1x1轴. 上截得的线段的长
度
• •
所以ak所 1k求- k线11段. 的长度的总和为
,
• 故选1-A1.1-1L1- 11- 1
2 23 nn1 n1
• 3.设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则
S17+S33+S50=C( )
• A. -1
a a2
an-1
设前n项和为Sn，则
Sn(11)(1 a4)(a12 7)L(a1n-13n-2)
(11 aa12 La1n-1)[147L(3n-2)].
• • • • •
设当a=1Tn时，1T1an=na12;当La≠1a时1n-1，, Tn=
Cn=1+4+7+…+(3n-2)= ( 3 n - 1 ) n
• •
两则式相Tn减得23[1(1112--1T21nn)-132(n1n]1243(2112-21Ln -2nn21n1-)1 -2n43n.),
2
题型3:裂项法求和
• 3. 求下列各数列的前n项和Sn.
• (1)
• (2) •
1, 1 , 1 , 1 ,L, 1 ; 12 123 1234 12Ln
• 已知等比数列{an}的前n项和为
• Sn=a·2n+b，且a1=3.
• (1)求a、b的值及数列{an}的通项公式
；
• •
证(2明)设：b nTn＜ann
4
,数列{bn}的前n项和为Tn,
.
3
•
(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1·a.
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。
（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。
2013届高三数学第一轮复习《数列求和》讲义
数列求和问题例题分析：题型一 分组转化求和例1 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n＋12n； (2)S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2.解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝n n ＋12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n n ＋12－12n ＋1.(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋1x n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4 ＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫x 2n ＋2＋1x 2n＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n)＋2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x4＋…＋1x 2n ＝x 2x 2n －1x 2－1＋x －21－x －2n1－x－2＋2n ＝x 2n －1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n x ＝±1，x 2n－1x 2n ＋2＋1x 2n x 2－1＋2n x ≠±1.探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.变式训练1 （1）)()2()1(2n a a a n-++-+-解：（1）)()2()1(2n a a a S nn -++-+-= )21()(2n a a a n +++-+++=当1=a 时，22)1(2n n n n n S n -=+-=当1≠a 时，2)1(1)1(+---=n n a a a S n n （2）求和S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . ∴S n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ]＝2[(1＋1＋…＋1n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①∴当n ≥2时， a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13②①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n ·3n.∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋ (3))，即2S n ＝n ·3n ＋1－31－3n1－3，∴S n ＝2n －13n ＋14＋34. 变式训练2 ①已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *). (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 013的n 的最小值.(1)证明 因为S n ＋n ＝2a n ，即S n ＝2a n －n ， 所以S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2，n ∈N *). 两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1. 所以a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2，n ∈N *)， 所以数列{a n ＋1}为等比数列. 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1. (2)解 因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1， 所以b n ＝(2n ＋1)·2n.所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 013，则2＋2n －1·2n ＋1－22n －1>2 013，即2n ＋1>2 013. 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n T n －22n －1>2 013的n 的最小值是10.②.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，等差数列{b n }中，b n >0 (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列. (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ∈N *)，∴a n ＝2S n －1＋1 (n ∈N *，n >1)， ∴a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n (n ∈N *，n >1).而a 2＝2a 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n －1(n ∈N *).∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，则有(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)＝(a 2＋b 2)2.∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2，∵b n >0 (n ∈N *)， ∴舍去d ＝－10，取d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1 (n ∈N *).(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①∴3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)3n，②∴①－②得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n－(2n ＋1)3n＝－2n ·3n. ∴T n ＝n ·3n.③．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
高三数学一轮复习数列求和(必修5)精品PPT课件
分组转化求和就是从通项入手， 若无通项，则先求通项，然后通过对 通项变形，转化为等差或等比或可求 数列前n项和的数列来求之．
课堂互动讲练
例1 已知数列{an}的前几项是3＋2－ 1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，写出 数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
课堂互动讲练
1．利用裂项相消法求和时，应 注意抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项，再就是将通项公式裂项 后，有时候需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项 公式相等．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
例2 已知等差数列{an}的首项a1≠0，前n项 和为Sn，且S4＋a2＝2S3；等比数列{bn}满足 b1＝a2，b2＝a4.
第4课时 数列求和
基础知识梳理
求数列的前n项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式
Sn＝
＝
.
基础知识梳理
(2)等比数列前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1；
基础知识梳理
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其 转化为几个等差、等比数列，再求 解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求 和，正负相消剩下首尾若干项．
课堂互动讲练
课堂互动讲练
课堂互动讲练
【误区警示】 利用错位相减法 求和时，转化为等比数列求和．若公 比是个参数(字母)，则应先对参数加 以讨论，一般情况下分等于1和不等于 1两种情况分别求和．
课堂互动讲练
考点四 数列求和的综合应用
对于由递推关系给出的数列，常 借助于Sn＋1－Sn＝an＋1转换为an与an＋1 的关系式或Sn与Sn＋1的关系式，进而 求出an或Sn使问题得以解决．
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第6章数列 第4节数列求和
=
+1-(+1)
=0,所以 bn+1=bn,所以{bn}是常数数列.
(+1)
(2)解 因为 a1=1,所以
因为
1+1
1+
bn=b1= 1 =2,所以 =2,所以 an=2n-1.
π
π
2n-1
cn=sin[2(2n-1)]+2 =sin(nπ-2)+22n-1,所以
π
3π
(3)利用倒序相加法可求得
sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.(
)
(4)若在数列{an}中,an=(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45.(
)
1
2. 在数列{an}中,an=
,则{an}的前n项和为
( + 1)
解析 因为
.
+1
1
第4节 数列求和
课标解读
1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式.
2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和法、
并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题.
目录索引
1 强基础 固本增分
知识梳理
1.特殊数列的求和公式
( 1 + )
(-1)
(1)等差数列求和公式:Sn=
①-②得(1-x)Sn=1+x+x +…+
2
∴Sn=
2 − 1- .
(1-)
1-
-1
-nx
n
1-
= -nxn,
高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文
已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1； 当 n 为奇数时，
分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分 组转化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求{an}的前 n 项 和．
3．等比数列{an}的首项为 a，公比为 q，Sn 为其前 n 项的和， 求 S1＋S2＋…＋Sn. [解] 当 q＝1 时，an＝a，Sn＝na， 所以 S1＋S2＋…＋Sn＝(1＋2＋…＋n)a＝n（n2＋1）a. 当 q≠1 时， 因为 Sn＝a（11－－qqn），所以 S1＋S2＋…＋Sn
Tn＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝
n n＋1.
利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就 是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开 的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两 式 作 差 ， 得 － Tn ＝ 3×[2×22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 － (n ＋
1)×2n＋2]＝3×4＋4（11－－22n）－（n＋1）×2n＋2
高三数学一轮复习课件：数列求和_高考复习优秀课件
= n 1 -1.
令 Sn=10, 解得 n=120. 故选 C.
考向2 裂项相消法求和 【例2】 (2013·江西高考)正项数列{an}满足：a2n－(2n－ 1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n＋11an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路点拨】 (1)通过解关于an的一元二次方程及 an>0，求an； (2)用裂项相消法求Tn.
解析： (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an， 所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为 an＝2n＋1，所以 an2－1＝4n(n＋1)， 因此 bn＝4nn1＋1＝141n－n＋1 1. 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝141－21＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1. ∴所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
答案： B
2.已知数列{an}的通项公式是
an=
1
,若 Sn=10,则 n 的值
n n1
是( C )
(A)11
(B)99 (C)120
(D)121
解析:∵an=
1
= n 1 - n ,
n n 1
∴Sn=( 2 -1)+( 3
- 2 )+( 4 - 3 )+…
+( n - n 1 )+( n 1 - n )
一种思路 一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项， 然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方 法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
高考数学一轮复习第六章数列第四节数列求和课件理
[典题 1] 已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋(－ 1)n·(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn.
[听前试做] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－ 1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3，
角度二：an＝
1 n＋
n＋k型
[典题 4] 已知函数 f(x)＝xa 的图象过点 (4,2)，令 an＝
fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 016＝(
)
A. 2 015－1
B. 2 016－1
C. 2 017－1
D. 2 017＋1
[听前试做] 由 f(4)＝2 可得 4a＝2，解得 a＝12，则 f(x)＝
＝－n＋2 12.所以 Tn＝－nnn2＋＋221，2，n为n为偶奇数数. ，
[典题 2] (2015·天津高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列， {bn}是等差数列，且 a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝ann＋1，记 Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，
2
求 Tn .
解：(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得 a1＝2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n.
(2)由题意知 bn＝ann2＋1＝n(n＋1)． 所以 Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)． 因为 bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当 n 为偶数时， Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn) ＝4＋8＋12＋…＋2n＝n24＋2 2n＝nn2＋2， 当 n 为奇数时， Tn＝Tn－1＋(－bn)＝n－12n＋1－n(n＋1)
2013年高考数学一轮复习 6.4 数列求和精品教学案(教师版) 新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案6.4 数列求和〔新课标人教版，教师版〕[考纲解读]1．掌握等差、等比数列求和的基本公式及须知. 2.理解并能运用数列求和的其他常见方法.[考点预测]高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有，在解答题中，经常与不等式、函数等知识相结合，在考查数列知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力. 2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. [要点梳理]数列求和的常用方法:1.公式法:直接应用等差数列,等比数列的前n 项和公式,以及公式222233332211123(1)(21),123(1)64n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅+=+等. 2.倒序相加法:如果一个数列{}n a ,与首末两项等〞距离〞的两项之和等于首末 两项之和,可采用把这个和中的项颠倒顺序,然后将两式相加,从而求得. 3.错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积所构成,那么此时可把其前n 项和的表示式两边同时乘以公比,然后两式相 减,从而求得.4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项(或多项)之差,在求和时一些正负项相互抵消,从而求得其和,5.分组转化法(或并项法):把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合, 使其转化为等差数列或等比数列,然后利用相关的求和公式求得. [例题精析]考点一 公式法与分组求数列的和 例1. 求11111,2,3,,(),2482n n +前n 项和.[解析]设所求的前n 项和为n S ，那么n S =〔1+2+3++n 〕+111242n +++=(1)1122nn n ++-.1. (2012年高考重庆卷文科11)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S =考点二 裂项相消法求数列的和例2.〔2010年高考山东卷文科18〕等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .〔Ⅰ〕求n a 及n S ；〔Ⅱ〕令211n n b a =-〔n N +∈〕,求数列{}n b 的前n 项和n T . 2.计算11111447710(32)(31)n n ++++⨯⨯⨯-+= .考点三 错位相减法求数列的和例3.(2012年高考浙江卷文科19)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.〔1〕求a n ，b n ；〔2〕求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[变式训练]3. (山东省济南市2012年2月高三定时练习)数列{}n a 为等差数列，且11=a ，55=a ；设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n b S =-. 〔Ⅰ〕求数列{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕假设(1,2,3,),n n n n c a b n T =⋅=…为数列{}n c 的前n 项和，求.n T[易错专区]问题：错位相减法求数列的和例. (2012年高考江西卷理科16)数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8.〔1〕确定常数k ，求a n ； 〔2〕求数列92{}2nna -的前n 项和T n 。
课堂新坐标2013届高考数学一轮复习课件：第五章第四节 数列求和(广东专用)
主 哪些项，保留了哪些项．
高
落 实 ·
2．常见的拆项公式有(1)nn1＋k＝k1(n1－n＋1 k)；
固 基 础
(2)2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
考 体 验
· 明 考 情
(3)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
课
时
知
能
训
练
菜单
第十七页，编辑于星期日：二十点 十六分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
4． 设函 数 f(x)＝ xm＋ ax 的 导函 数 f′(x)＝ 2x＋ 1，则 数 列
例 探
{f1n}(n∈N*)的前 n 项和是(
)
究 · 提
n
n＋2
知
A.n＋1
B.n＋1
能
自 主 落
C.n－n 1
实
n＋1 D. n
高 考 体
·
【解析】 ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，
探 究 ·
自 主 落 实
1 2n－
1)，…，试求数列{an}的前 n 项和 Sn.
【解】
∵an＝1＋21＋41＋…＋2n1－ 1＝1－1－1212
n
· 固 基
＝2(1－21n)，
础
∴Sn＝2[(1－12)＋ (1－212)＋…＋ (1－21n)]
提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
＝2[ 1＋1＋…＋1 －(12＋212＋…＋21n)]
菜单
第十页，编辑于星期日：二十点 十六分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）