2023年重庆市第八中学校自主招生数学试卷练习(一)
重庆市第八中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题
重庆市第八中学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．．．3．反比例函数ky x=经过点()1,4--，则反比例函数的解析式为（A ．4y x=-．4y x=4y x=-4．若两个相似三角形的相似比为1:3，则这两个三角形的面积比为（A ．1:3．1:91 3∶5．如图，直线a b ∥55=︒，290∠=3∠的度数为（A ．35︒B 45︒6．甲、乙两种物质的溶解度之间的对应关系如图所示，错误的是（）A ．71B ．78C ．85D ．899．如图，在Rt ABC △中，4AB =，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形若16AMEF S =正方形，则ABC S = （）A ．43B ．83C ．12D ．1610．对于多项式a b c d e --++，在任意一个字母前加负号，称为“加负运算对b 和d 进行“加负运算”，得到：()()a b c d e a b c d e ---+-+=+--+．规定甲同学每次对三个字母进行“加负运算”，乙同学每次对两个字母进行“加负运算”，下列说法正确的个数为（）----；②对于乙同学“加负运算”后得①乙同学连续两次“加负运算”后可以得到a b c d e到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”后得到与之相反的代数式；③乙同学通过“加负运算”后可以得到16个不同的代数式A．0B．1C．2D．3二、填空题14．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为长，该公司4月份投递的快递总件数将达到Y15．如图，在ABCDAB=2，23BC=，则17．若关于x 的一元一次不等式组⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩程24111y a y y y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数18．两个多位正整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为数”．例如：49与76，因为49+=三、解答题∴．在BAE 和DCF 中：BAE DCF BEA DFC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩五、解答题(1)请直接写出1y 与x 之间的函数关系式及对应的x 的取值范围；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出1y ，2y 的图像，并写出函数(3)结合你所画的函数图象，直接写出不等式12y y ≤的解集．24．甲、乙两旅游爱好者从点B 出发到点D ，甲沿B C D --的路线，乙沿路线．经测量，点C 在点B 的正北方向，点D 在点C 的北偏西60︒西方向，点D 在点A 的北偏东45︒，7000AB =米，00320CD =米．(1)求点D 到直线BC 的距离；(2)为方便联系，甲、乙两人各携带一部对讲机，对讲机信号覆盖半径是在点D ，乙在点A 时，乙能否收到甲的呼叫信号？请说明理由．（参考数据：(1)如图1，若点D 在ABC 内部，且AD 平分BAC ∠且点E 恰好落在线段AB 上，连接BD ，ABD ∠(2)如图2，若点D 在线段AB 上，E 为BC 上一点，且针旋转90︒得到DF ，连接EF 交AC 于点M ，求证：(3)如图3，点D 在ABC 外部，以AD 为直角边构造等腰直角将ADE V 绕着点A 顺时针旋转α度，且0360α<≤︒旋转过程中，过点C 作CG AD '∥交直线E A '于点。
重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学第一阶段月考模拟试卷
重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学第一阶段月考模拟试卷一、单选题1．15-的相反数是（ ） A ．5 B ．5- C ．15 D ．15- 2．下列音符中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知反比例函数k y x =的图象经过点（2，－2），则k 的值为 A ．4 B ．12- C ．－4 D ．－24．4月23日为世界读书日，为了解八年级1000学生的阅读时间，从中抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（ ）A ．样本容量是100名B ．每个学生是个体C ．100名学生是总体的一个样本D ．1000名学生的阅读时间是总体 5．如图，ABC V 和A B C '''V 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA '上．若:1:2OA AA '=，则ABC V 和A B C '''V 的周长之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．4:9D ．1:36．下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花．按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（ ）A ．44B ．58C ．74D ．927．二次函数y ＝2x 2﹣1的图象的顶点坐标是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（1，0）C ．（0，1）D ．（0，﹣1） 8．设m m 的值应在（ ）A ．7-和6-之间B ．6-和5-之间C ．5-和4-之间D ．4-和3-之间 9．如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接BE ， 过 点E 作EF BE ⊥，交DA 的延长线于点F，AE =2AF =， 则BE 的长为（ ）A．B．C ．6 D．10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数）．已知1,)0(1a x x x =≠≠，并规定：11n n n a a a +-=，123n n T a a a a =⋅⋅K ，123n n S a a a a =++++L ，下列说法：①215a a =；②123202421T T T T x +++⋯+=+；③对于任意正整数k ，都有()31332323132k k k k k k T S S T T T ++-++-=⋅-成立．其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题11．计算：01cos60()2+o =. 12．正八边形的一个内角的度数是 度．13．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5tan 12A =，则cos A 的值是． 14．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．15．如图，在Rt ABC △中， 90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，连接CD ，过点B 作BE CD ⊥于点E ，点F 为AC 上一点，CDF CBA ∠=∠，若1BC =，2AB =，则EF 的长为 ．16．若关于x 的不等式组341227x x a x +⎧-≥⎪⎨⎪->⎩无解，且关于y 的分式方程3122y a y y y +=---的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为．17．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 的对应点为点E ，BE 分别交AD ，AC 于点P ，Q ．若4AB =，BE AC ⊥，则PQ 的长为 ．18．如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足2a b c d ++=，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为22613++=，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为22514++≠，所以2514不是“和方数”．若354a 是“和方数”，则这个数是；若四位数M 是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N ，若M N +能被33整除，则满足条件的M 的最大值是．三、解答题19．化简：(1)()()()2223x y y x x y -+--； (2)2542111--⎛⎫++÷ ⎪--⎝⎭x x x x x x ． 20．重庆实验外国语学校举行了“书香文化节”知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理和分析，得分用x 表示．共分成四组： A ：4244x <≤；B ：4446x <<；C ：4648x <≤；D ：4850x <≤；下面给出了部分信息：男生在C 组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为： 50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a =，b =，m =；(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；(3)若该校有3000名男生和3200名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．21．在ABC V 中 ，AB AC =，AD BC ⊥ 于点D ，点 E 为线段AD 上一点，连接BE ，CE ．用直尺和圆规，在BC 的下方作CBF ∠，使得B CBF E C =∠∠，交AD 的延长线于点F ，连接CF ．小明想要研究两底角顶点B 、,C 底边高线上的点E ，及该点关于底边的对称点F 所形成的四边形BFCE 的形状，请根据他的思路完成以下填空：证明：AB AC =Q ，AD BC ⊥，BD ∴= ，又CBF BCE ∠=∠Q ，BDF CDE =∠∠，BDF CDE ∴V ≌，BF ∴= ，CBF BCE ∠=∠Q ，∴，∴四边形BFCE 是平行四边形．又EF BC ⊥Q ，∴四边形BFCE 是菱形．小明进一步研究发现，任意等腰三角形均有此特征．请你依照题意完成下面命题：在等腰三角形中， ．22．中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、团圆节等，是中国民间传统节日．中秋节这天人们都要吃月饼以示“团圆”．商家购甲，乙两种月饼礼盒，已知每盒乙月饼礼盒进价比甲月饼礼盒进价多40元，用8000元购进甲月饼礼盒和用10000元购进乙月饼礼盒的数量相同．(1)求甲、乙月饼礼盒的进价各为多少元？(2)甲月饼礼盒每盒售价为210元，每天可卖出30盒；乙月饼礼盒每盒售价为260元，每天可卖出15盒．在销售过程中为了增大甲月饼礼盒的销量，商家决定对甲月饼礼盒进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2盒．为更大程度让利顾客，每盒甲月饼礼盒售价多少元时，商家日盈利可达到3000元？23．如图，在ABC V 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，AP x =，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．点P ，Q 的距离为1y ，ABC V 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24．如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港． 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）(1)求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点()40A ，和点()10B -，，与y 轴交于点C ，连接AC BC 、．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，过点P 作直线PD AC ∥交x 轴于点D ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求出PE AD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，连接OP 交AC 于点Q ，将原抛物线沿射线CA单位得到新抛物线1y ，在新抛物线1y 上存在一点M ，使OQC MAC BCO ∠-∠=∠，请直接写出所有符合条件的点M 的横坐标．26．如图，在ABC V 中，45BAC ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 为AD 上一点，连接CE ．(1)如图1，若CE 平分ACD ∠，3CD =，求线段AE 的长；(2)如图2，过点E 作FE CE ⊥交CB 的延长线于点F ，连接AF ，G 为AF 的中点，连接GE ，若EF EC =，猜想线段GE ，AE ，AC 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，过点D 作AC 的垂线交AC 于点H ，点P 是直线DH 上一动点，连接AP ，将AP 绕A 点顺时针旋转60︒得'AP ，连接DP '，CP '，CP '与直线AP 交于点Q ，当AQ 最小时，请直接写出ADP PAHS S '△△的值．。
重庆市第八中学校2022--2023学年八年级下学期入学测试数学试题
重庆市第八中学校2022--2023学年八年级下学期入学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2022年2月在北京和张家界举行了第24届冬季奥林匹克运动会，下列四个图案分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．2．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（）A ．东经122︒，北纬43.6︒B ．礼堂6排22号C ．重庆市宏帆路D ．港口南偏东60︒方向上距港口10海里3．下列因式分解正确的是（）A ．()222x xy y x y ++=+B ．()()25623x x x x --=--C ．()3244x x x x -=-D ．()()22943232m n m n m n -=+-4．不等式组()2160.510.5x x ⎧+<⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．将点(2,6)P -，先向右平移4个单位，再向下平移4个单位，则平移后得到点为（）A ．(2,2)B ．(2,2)--C ．(6,2)-D ．(6,10)-6．小豪和小伟积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据5次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法合理的是（）A ．753aB ．503a 9．新世纪商场现销售某品牌运动套装，上衣和裤子一套售价调5%，将裤子价格上调8%，则这样一套运动套装的售价提高调价前单价分别为x 和y 元，则可列方程组为（A ．()()50015%18%500x y x y +=⎧⎨++-=⨯⎩500x y +=⎧二、多选题10．如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点M 处．折痕为AP ，再将PCM △和ADM △分别沿PM AM ，折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点N 处．下面结论其中正确的是（）A ．点M 是CD 的中点B ．90ABP ∠=︒C ．MN AP⊥D ．AD BC∥三、填空题14．如图，在ABC 中，AB AC =则ABC 的面积是．15．关于x 、y 的方程组345x y ax by -=⎧⎨+⎩(1)求旗杆的高度OM ；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN ．五、单选题21．如图，直线1234l l l l ∥∥∥，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD 的六、多选题八、解答题26．已知一个四位自然数n ，若n 满足千位上的数字等于个位上的数字，百位上的数字等于十位和个位上的数字之和，则称n 为“加油数”．对于一个“加油数”n ，将n 的百位数字记为x ，百位数字与十位数字的积记为y ，令()23F n x y =-．例如：当1541n =时，∵11=且541=+，∴1541是“加油数”：此时5x =，5420y =⨯=，()21541352055F =⨯-=；当3213n =时，∵33=但213≠+，∴3213不是“加油数”．(1)求直线AD 的解析式；(2)点P 为线段AD 上一动点，过点的中点时，求12PH HF OF ++的最小值及此时点(3)在直线AD 上是否存在一点P ，使得以存在，直接写出所有点P 的坐标及对应点28．已知，等腰直角ABC 中，AC 以CD 为斜边向右侧作直角CDE (1)如图1，当30CDE ∠=︒，1AD =，3BD =时，求线段DE 的长；(2)如图2，当CE DE =时，求证：点E 为线段AF 的中点；(3)如图3，点D 与点A 重合，4AB =，H 为BF 边上一点，G 为AB 边上一点，连接当BE 取最大值时，请直接写出三角形EHG 周长的最小值．。
重庆八中数学考试题
重庆八中数学考试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 一条直线B. 一个圆C. 一个抛物线D. 一个椭圆2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. -1B. 1C. 5D. -53. 若a > 0且b < 0，下列哪个不等式是正确的？A. a + b > 0B. a - b > 0C. ab > 0D. a/b > 04. 计算下列表达式的值：(2x - 3)(x + 2)。
A. 2x^2 + x - 6B. 2x^2 + x + 6C. 2x^2 - x - 6D. 2x^2 - x + 65. 一个等差数列的首项是3，公差是2，求第5项的值。
A. 13B. 11C. 9D. 76. 下列哪个图形是中心对称图形？A. 等边三角形B. 矩形C. 等腰梯形D. 正五边形7. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}8. 计算下列三角函数值：cos(π/6)。
A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. -1/29. 已知向量a = (3, -2)，b = (-1, 4)，求向量a·b。
A. -2B. 10C. -10D. 210. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) / (x^2 - 1)。
A. 3x + 2B. 3x - 2C. 3x + 1/(x - 1)D. 3x - 1/(x + 1)二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算等比数列的第4项，首项为2，公比为3。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
13. 计算下列概率：在一个标准正态分布中，随机变量X小于1的概率。
14. 计算下列二项式展开的系数：(2x + 3)^3中含x^2的项。
重庆市第八中学2023-2024学年下期九年级开学模拟考试数学试题
重庆市第八中学2023-2024学年下期九年级开学模拟考试数学试题一、单选题1．以下各数是有理数的是（ ）A ．1 2B ．2πC ．D ．2．下列图形属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．整数a a <a 的值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．下列调查中，宜采用抽样调查的是（ ） A ．了解全班学生的期末考试数学成绩情况 B ．调查“福建号”航母的机器零件情况C ．了解一沓钞票中假钞情况D ．调查长江流域水质情况5．两个相似多边形的面积之比为1:4，则它们的对应边之比为（ ）A ．B ．1:2C ．1:4D ．1:86．某品牌新能源汽车2021年的销售量为10万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了21.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x ，那么可列出方程是（ ） A ．()101221.2x += B ．()10121021.2x +-= C ．210(1)21.2x +=D ．210(1)1021.2x +-=7．用同样大小的黑、白色正方形按如图的方式搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有3个黑色正方形，图③中有5个黑色正方形，图④中有6个黑色正方形，…，按照这个规律，则图⑨中的黑色正方形个数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．168．如图，四边形ABCD 内接于O e ，M 为边CB 延长线上一点．若98AOC ∠=︒，则ABM ∠的度数是（ ）A ．42︒B ．49︒C ．51︒D ．59︒9．如图，在正方形ABCD 中，2AB a =，点E 是边AB 上的一点，13BE AE =，连接DE ，AM DE ⊥于点M ，CN DE ⊥于点N ，连接CM ，则CM 的长为（ ）A B C D 10．数学课上李老师把54张扑克牌按照1、2、3、⋯、54的顺序进行编号后（所有扑克牌除编号外其余均相同），背面朝上摆成一排，如图．班里恰有54名学生，同样把这54名学生按照1、2、3、⋯、54的顺序进行编号．然后学生按编号由小到大依次进行操作，第1次：1号学生把扑克牌中编号为1的倍数的所有牌翻一次；第2次：2号学生把扑克牌中编号为2的倍数的所有牌再翻一次；第3次：3号学生把扑克牌中编号为3的倍数的所有牌也翻一次⋯第54次：54号学生把54号牌翻一次，所有操作结束．（其中所有倍数均为整数），下列结论：①2号学生操作结束后，共有27张牌正面朝上； ②4号学生操作结束后，共有32张牌正面朝上；③54号学生操作结束后，共有6张牌正面朝上，且这6张牌对应编号之和为91． 其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题 11．若分式11x +有意义，则x 的取值范围是． 12．分解因式：25a a -=．13．已知直线3y x a =+与直线2y x b =-+交于点P ，若点P 的横坐标为5-，则关于x 的不等式32x a x b +<-+的解集为．14．一个不透明的袋子中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余均相同，从中随机摸出一个小球并将其标号作为十位上的数字（不放回），然后再摸出一个小球并将其标号作为个位上的数字，则所组成的两位数恰是3的倍数的概率是．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，以点C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点N ，则图中阴影部分的面积为．16．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE ，将ADE V 沿AE 折叠，使点D 落在同一平面内的点M 处，且AM BC ⊥，垂足为N ．若152AN =，1MN =，则DE 的长为．17．若整数a 使关于x 的分式方程4122ax x x+=--的解为整数，且使关于y 的不等式组2062y a y y ->⎧⎨->⎩有解且最多有1个整数解，则符合条件的所有整数a 的和为． 18．若一个各数位均不为0的四位自然数M 满足千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个数为“如意数”．将“如意数”M 的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“如意数”M '，记()101M M F M '-=，则(96)F =；若P 、Q 都是“如意数”，其中P xyxy =，(19Q zxzx y x =≤<≤，19z x ≤<≤且x ，y ，z 均为整数），若P 能被5整除，且()()27F P F Q -=，则P Q -的最大值为．三、解答题 19．计算：(1)(21)(21)4(1)a a a a +---；(2)22341n m n m n m n -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭． 20．人造月亮、飞马踏冰、冻梨变刺身、豆腐脑放糖、吃地瓜配勺、热气球在松花江起飞…隆冬伊始，各大社交媒体平台上与哈尔滨相关的热词频出．甲、乙两名记者为了进一步了解游客对“冰雪大世界”的喜爱程度，各自随机调查了20名游客的游玩时长（单位：小时），分别记为甲组、乙组，并对收集的数据进行了整理、描述和分析（游玩时长用x 表示，共分为四个等级：其中02A x ≤<：，24B x ≤<：，46C x ≤<：，6D x ≥：），下面给出部分信息： 甲组游客的游玩时长在C 等级中的全部数据为：4，4，4，5，5，5，5，5，5；乙组游客的游玩时长中，B ，D 两等级的数据个数相同；A ，C 两等级的全部数据为：4，4，4，4，4，4，4，5，5，5； 甲、乙两组游客游玩时长统计表：根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：a =；b =；甲组扇形统计图中C 所在扇形的圆心角的度数为；(2)根据以上数据分析，从甲、乙两组游客的游玩时长来看，哪个组更喜欢玩“冰雪大世界”？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)甲，乙记者调查当天入园游客约30000人，请你估计当天共有多少名游客的游玩时长低于4小时？21．如图，在ABC V 中，AB AC =，60ABC ∠<︒，点D 是边BC 上一点，作射线DA ，且满足60ADC ∠=︒．(1)用尺规完成以下基本作图：在射线DA 上截取DE ，使得DE DC =，连接CE ，在AC 上方作FAC B ∠=∠，AF 交CE 于点P （保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，证明：AE BD =． 证明：AB AC =Q ， ∴① ．又FAC B ∠=∠Q ，FAC ACB ∴∠=∠．∴② ．60EAP ADC ∴∠=∠=︒． 60ADC ∠=︒Q ，DE DC =，∴V DEC 是等边三角形．60DEC ∴∠=︒，DE CE =．AEP ∴V 是等边三角形． 60APE \??，AE PE AP ==．DE AE CE PE ∴-=-．即③ ．又60BAD ADC B B ∠=∠-∠=︒-∠Q ，60ACP APE PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠，BAD ACP ∴∠=∠．在BAD V 和ACP △中，AB AC BAD ACP AD CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()SAS BAD ACP ∴V V ≌，∴④ ， BD AE ∴=．22．某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒．(1)一个罐头盒是由一个盒身和两个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底，现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？(2)甲、乙两个车间接到任务生产一批罐头盒，若甲车间单独完成，则需要比规定工期多用3天；若乙车间单独完成，则需要比规定工期少用2天；若甲、乙两车间合作5天，剩下的由甲车间单独完成，则比规定工期提前3天完成．问甲车间单独生产完这批罐头盒的时间为多少天？23．如图在ABC V 中，1012AB AC BC ===，，过点A 作AD BC ⊥于点D ．动点E ， F 同时从点B 出发，点E 以每秒53个单位的速度沿折线B -A -C 运动．点F 以每秒1个单位的速度沿线段BC 运动．当点E 到达点C 时，E 、F 两点同时停止运动．设点E 的运动时间为x 秒，线段EF 和线段DF 的长度和记为1y ．(1)请直接写出1y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y 的图象，并写出该函数的一条性质；(3)在运动过程中记线段DF 的长度为2y ，结合函数图象，请直接写出1223y y =时x 的值．（保留1位小数，误差不超过0.2）24．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，AB l ⊥，且50cm AB =，连杆BC 长度为70cm ，机械臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且,AB BC与CD 始终在同一平面内．(1)转动连杆BC ，机械臂CD ，使150ABC ∠=︒，CD l ∥，如图2，求机械臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到0.1cm 1.73≈）．(2)物品在操作台l 上，距离底座A 端125cm 的点M 处，转动连杆BC ，机械臂CD ， 机械臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-过点()2,4-且交x 轴于点A ()4,0，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，点D是线段OC的中点，连接AD，点P是直线AD下方抛物线上的一动点，连接AP，BP，且BP交AD于点M，求PMBM的最大值及此时点P的坐标；(3)如图3，点F为y轴正半轴上一点，且满足OF AB=，将该抛物线沿射线AD方向平移后的新抛物线过点()0,1，点E为新抛物线对称轴在x轴上方的一点，作射线EO，射线EF，是否存在点E，使得射线EO，EF中一条射线平分另一条射线与新抛物线对称轴组成的角，请写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程．26．在Rt90ABC AB BC ABC=∠=︒，，V，点D是边BC一点，连接AD ABD∠，的角平分线交AD于点E．(1)如图1所示，30BAD ∠=︒，若2CD =，求边DE 的长；(2)如图2所示，点F 为AC 上一点，过点F 作FO AD ⊥于点O ，若点O 恰好平分线段AD ，求证：CF BE =； (3)如图3所示，点P 为边AC 上一点，且满足AP BE =，过点P 作PQ AD ⊥于点Q ，连接BQ ，当BQ 最短时，请直接写出ABQ BEDS S △△的值．。
2024年重庆市八中九年级上学期开学考数学试题及答案
重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试自测模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣32．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列调查中，最适合抽样调查的是（）AB．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯C．调查某种面包的合格率D．调查某校足球队员的身高4．（4分）估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知AO：OD＝2：1，△ABC周长为8，则△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．4 D．66．（4分）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y27．（4分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（）A．（x+1）2＝100 B．1+（x+1）2＝100C．x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝1008．（4分）用一样长的小木棒按如图的方式搭建图形，图①需要6根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（）A．36 B．41 C．42 D．469．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，F为AD上一点，连接BE，BF，DF+CD＝BF，若∠ABE＝α，则∠ABF的大小为（）A．2α﹣15° B．α+10° C．3α﹣45° D．90°﹣2α10．（4分）a﹣b，a+b，a﹣b，a+b，...是由a﹣b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（1≤m≤n，且m，n均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当n＝3，m＝2时，第1次操作后可能得到；﹣a+b，﹣a﹣b，a﹣b或﹣a+b，a+b，﹣a+b或a﹣b，﹣a﹣b，﹣a+b．下列说法：①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；②当n＝6，m＝5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；③当n＝6，m＝3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：＝．12．（4分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（4分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB ＝OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象于点D，连结AD，且S△ABD＝3，则k的值为．15．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以CD为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．17．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝2，M为边BC上任意一点，连接AM，将△ACM沿AM翻折得到△AC′M，连接BC′并延长交AC于点N，若点N为AC的中点，则CM的长为．18．（4分）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝a+b+c+d，G（M）＝．若为整数，G（M）是4的倍数，则b+c＝；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）4a（a+b）﹣（a+2b）2；（2）．20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：AB+CD＝AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴．∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°．∴∠B＝90°，∴．∠B＝∠AFE．在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）．∴．同理可得：CD＝DF∴AB+CD＝AF+DF＝AD．小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么．21．（10分）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．抽取的七、八年级学生的评分统计表年级七年级八年级平均数8.75 8.75中位数9 a众数9 b满分率c% 15%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a、b、c的值．（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演？请说明理由．（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人？22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D为AB中点，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，当点P运动到点B时停止运动．设运动时间为x秒，△APD的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出y1的一条性质；（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）23．（10分）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加10m支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m 的值．24．（10分）金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60°方向400m处，入口D在入口A 的北偏西45°方向1000m处．（参考数据≈1.41，）（1）求AB的长度；（结果精确到1米）（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口B的500m处．小明可以选择鹅卵石步道①D ﹣C﹣B﹣M，步行速度为50m/min，也可以选择人工步道②D﹣A﹣M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点，与x轴交于点，点C为AB中点，反比例函数y＝刚好经过点C．将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD，直线AD与x轴交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，点Q为射线BA上一动点，当DQ+BQ取最小值时，求△DCQ的面积；（3）将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D′C′A′且C′刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数y＝上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，D′为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N 的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F 作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP 绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．重庆市第八中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试自测模拟试卷答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（）A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3【答案】D2．（4分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B3．（4分）下列调查中，最适合抽样调查的是（）A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯C．调查某种面包的合格率D．调查某校足球队员的身高【答案】C4．（4分）估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知AO：OD＝2：1，△ABC周长为8，则△DEF的周长是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C6．（4分）若点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【答案】B7．（4分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（）A．（x+1）2＝100 B．1+（x+1）2＝100C．x+x（1+x）＝100 D．1+x+x2＝100【答案】A8．（46根小木棒，图②需要11根小木棒，图③需要16根小木棒，…，按照这个规律，图8需要小木棒的根数是（）A．36 B．41 C．42 D．46【答案】B9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，F为AD上一点，连接BE，BF，DF+CD＝BF，若∠ABE＝α，则∠ABF的大小为（）A．2α﹣15° B．α+10° C．3α﹣45° D．90°﹣2α【答案】D10．（4分）a﹣b，a+b，a﹣b，a+b，...是由a﹣b，a+b交替排列的n个多项式，其中a≠b，将这n个多项式中的任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（1≤m≤n，且m，n均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…．例如：当n＝3，m＝2时，第1次操作后可能得到；﹣a+b，﹣a﹣b，a﹣b或﹣a+b，a+b，﹣a+b或a﹣b，﹣a﹣b，﹣a+b．下列说法：①当n为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n个多项式的和为0；②当n＝6，m＝5时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a；③当n＝6，m＝3时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：＝ 3 ．【答案】3．12．（4分）已知关于x mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜2且m≠0 ．【答案】m＜2且m≠0．13．（4分）不透明的盒子中有四个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标着数字1，2，3，4，将四个小球放入盒中摇匀，从盒中随机取出一个小球，记下数字后放回，摇匀后再从盒中随机取出一个，则两次抽取的小球上的数字之积为奇数的概率为．【答案】．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB ＝OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象于点D，连结AD，且S△ABD＝3，则k的值为 4 ．【答案】4．15．（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以CD为直径作半圆，点E是半圆的中点，则图中阴影部分面积为2+π．【答案】2+π．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程a的和为8 ．【答案】8．17．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝2，M为边BC上任意一点，连接AM，将△ACM沿AM翻折得到△AC′M，连接BC′并延长交AC于点N，若点N为AC的中点，则CM的长为．【答案】．18．（4分）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是M的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“好数”．一个“好数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝a+b+c+d，G（M）＝．若为整数，G（M）是4的倍数，则b+c＝ 5 ；所有满足条件的M 的最大值和最小值的差为8082 ．【答案】5，8082．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）4a（a+b）﹣（a+2b）2；（2）．【答案】（1）3a2﹣4b2；（2）﹣．20．（10分）在学习了角平分线的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在直角梯形中，如果两内角（非直角内角）的角平分线相交于腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．她的解决思路是：将问题转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等使问题得到解决，请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点E作AD的垂线，垂足为点F（只保留作图痕迹）．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．求证：AB+CD＝AD．证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE．∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°．∴∠B＝90°，∴．∠B＝∠AFE．在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）．∴AB＝AF．同理可得：CD＝DF小红再进一步研究发现，只要梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个梯形满足夹同一条腰的两个内角的角平分线相交于另一条腰上同一点，那么两底边的长度之和等于这两内角夹边的长度．．【答案】见试题解答内容21．（10分）学校在七、八年级开展了主题为“以艺润心，向暖而行”的艺术节文艺汇演，为了解两个年级学生对文艺汇演的喜欢程度，学生处发放问卷并让学生评分，现从该校七、八年级中各随机抽取了20名学生的评分进行整理和分析（评分均为整数，满分为12分，9分以上为非常喜欢），相关数据统计、整理如下：抽取的七年级学生的评分：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，10，11，11，12，12．抽取的七、八年级学生的评分统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a、b、c的值．（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生更喜欢此次文艺汇演？请说明理由．（3）该校七年级有1500名学生参加评分，八年级有1800名学生参加评分，请估计两个年级本次评分为非常喜欢的学生共有多少人？【答案】（1）a＝9.5，b＝10，c＝10；（2）八年级的学生更喜欢此次文艺汇演，理由见解答；（3）1425人．22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D为AB中点，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，当点P运动到点B时停止运动．设运动时间为x秒，△APD的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中画出y1的图象，并写出y1的一条性质；（3）如图2，的图象如图所示，结合函数图象，直接写出y1≥y2时，x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）y1＝；（2）见解析，性质：当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；当4＜x＜12时，y随x的增大而减小；（3）1.7≤x≤11.5．23．（10分）“卖花担上，买得一枝春欲放”，用鲜花装点生活，既能在装饰家居时收获审美体验，也能在观赏养护中熨帖心灵，是一种避入日常又跳出日常的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和郁金香共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支郁金香的进价为4元，售价定为10元．（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和郁金香全部售完，要求总获利不低于1500元，求花店最多购进玫瑰多少支？（2）花店在第二次购进玫瑰和郁金香时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和郁金香共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加10m支，售价比第一次提高m元，郁金香售价不变，但郁金香在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m 的值．【答案】（1）100支；（2）2．24．（10分）金秋十一月，阳光大草坪ABCD正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东60°方向400m处，入口D在入口A 的北偏西45°方向1000m处．（参考数据≈1.41，）（1）求AB的长度；（结果精确到1米）（2）小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在AB上，距离入口B的500m处．小明可以选择鹅卵石步道①D ﹣C﹣B﹣M，步行速度为50m/min，也可以选择人工步道②D﹣A﹣M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）【答案】见试题解答内容25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点，与x轴交于点，点C为AB中点，反比例函数y＝刚好经过点C．将直线AB绕点A沿顺时针方向旋转60°得直线AD，直线AD与x轴交于点D．（1）求反比例函数解析式；（2）如图2，点Q为射线BA上一动点，当DQ+BQ取最小值时，求△DCQ的面积；（3）将△DCA沿射线AB方向进行平移，得到△D′C′A′且C′刚好落在y轴上，已知点M为反比例函数y＝上一点，点N为y轴上一点，若以M，N，B，D′为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点N程．【答案】（1）y ＝；（2）S△DCQ＝8；（3）点N的坐标为（0，﹣5）或（0，6）或（0，﹣6）．26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F 作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN +BD；（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP 绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R 的运动过程中，直接写出的最大值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最大值为．第21页（共21页）。
重庆市第八中学2023-2024学年高一上学期九月检测(一)数学试题含答案
重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：x ∀∈R ，20x +>，则p ¬为（）A.x ∃∈R ，20x +>B.x ∃∈R ，20x +≤C.x ∃∈R ，20x +<D.x ∀∈R ，20x +≤2.已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}1,2,4B =，则U B A = （）A.{}1,3,5 B.{}1,3 C.{}1,2,4 D.{}1,2,4,53.已知集合{A =，{}1,B m =，且A B A = ，则m 等于（）A.0B.1C.0或3D.1或3或04.下列说法中正确的个数为（）①0.333Q ∈；②0∈∅；③{}0∅⊆；④{}{}0∅⊆；⑤{}0∅=；⑥{}{}11,2,3∈；⑦{}{}22x x m m ≥=≥；⑧{}{}2211x y x y y x =+==+A.2B.3C.4D.55.已知p 是r 的充分条件，q 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，p 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是p 的必要不充分条件；②r 是s 的充分不必要条件；③q 是p 的充分不必要条件；④s 是q 的充要条件.正确的命题序号是（）A.①B.②C.③D.④6.若{}{}2,0,1,,0a a b −=，则20232023a b +的值是（）A.1− B.0C.1D.27.已知全集U =R ，集合{}18,P x x x Z =−<≤∈，{}05M x x x =∈≤>R 或之间关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合中的元素共有（）A.8个B.6个C.5个D.4个8.对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N −=∈∉，()()M N M N N M ⊕−⊂−，设9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则A B ⊕=（）A.9,04 −B.9,04−C.[)9,0,4−∞−+∞D.()9,0,4−∞−+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.a Q ∈是a ∈R 的充分不必要条件B.x y =是x y =的必要不充分条件C.21x >是1x >的充分不必要条件 D.0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件10.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，x x> B.x ∀∈R ，2350x x −−>C.{}x y y ∀∈是无理数，4x 是有理数D.,a b ∃∈R ，()2210a b −++≤11.下列命题为真命题的是（ ）. A.若0a b >>，则11a b a b+>+ B.若0m n >>，则11m mn n +<+C.如果0c a b >>>，那么a c a −D.1a b ≥>−，则11a ba b ≥++12.若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M −∈，则称M 为“优集”.已知A ，B 是优集，则下列命题中正确的是（）A.A B 是优集B.A B 是优集C.若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D.若A B 是优集，则A B 是优集三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足12x −≤<，01y <≤，则2x y −的取值范围是______.14.已知(){},12A x y xy ==，(){},,,B x y x y y x =∈<N ，则A B = ______.15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.16.若集合{}1,2,3,4,5,6,7M ，且M 中至少含有两个奇数，则满足条件的集合M 的个数是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设集合{},03U A x x ==≤≤R ，{}12B x m x m =−≤≤.（1）3m =，求()U A B ； （2）若B A ，求m 的取值范围.18.新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防消毒工作，开学初购进A ，B 两种消毒液，购买A 种消毒液花费了2500元，购买B 种消毒液花费了2000元，且购买A 种消毒液数量是购买B 种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B 种消毒液比购买一桶A 种消毒液多花30元. （1）求购买一桶A 种、一桶B 种消毒液各需多少元？（2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资.其中A ，B 两种消毒液准备购买共50桶.如果学校此次购买A 、B 两种消毒液的总费用不超过3250元，那么学校此次最多可购买多少桶B 种消毒液？19.现有A ，B ，C ，D 四个长方体容器，A ，B 的底面积均为2x ，高分别为x ，y ；C ，D 的底面积均为2y ，高分别为x ，y （其中x y ≠）.现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？ 20.设{}1,3A =−，{}230Bx xax b =−+=，已知B ≠∅，且“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求34a b +的值.21.已知a ，b 是实数，求证：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=. 22.已知n 为正整数，集合(){}{}122,,,,1,1,1,2,,2ni A x x x x i n αα==⋅⋅⋅∈−=⋅⋅⋅∣具有性质P ：“对于集合A中的任意元素()122,,,n x x x α=⋅⋅⋅，1220n x x x ++⋅⋅⋅+=，且120i x x x ++⋅⋅⋅+ ，其中1,2,,21i n =⋅⋅⋅−”.（1）当3n =时，写出满足条件的集合A ；（2）当9n =时，求129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能的取值.重庆八中高2026级高一（上）数学检测试题（一）参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B ACBCBCCABDADBCD ACD13.[)3,2−14.()()(){}12,1,6,2,4,315.62a −<≤−16.871.命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即p ¬：x ∃∈R ，20x +≤，故选B2.由{}3,5U B = ，而{}1,3A =，所以{}1,3,5U B A = .故选：A3.由题意，集合{A =，{}1,B m =，因为A B A = ，可得B A ⊆，则满足3m =或m =1m ≠，解得3m =或0m =.故选：C. 4.①③⑦正确，故选：B.5.因为p 是r 的的充分条件，所以p r ⇒.因为q 是r 的充分不必要条件，所以q r ⇒，r q . 因为s 是r 的必要条件，所以r s ⇒.因为p 是s 的必要条件，所以s p ⇒. 因为r s ⇒，s q ⇒，所以r p ⇒，r 是p 的充分条件，命题①错误；因为s p ⇒，p r ⇒，所以s r ⇒，又r s ⇒，所以r 是s 的充要条件，命题②错误；因为q r ⇒，r s ⇒，s p ⇒，所以q p ⇒，p q ，故q 是p 的充分不必要条件，命题③正确； 因为r q ，r s ⇔，所以s q ，又q s ⇒，所以s 是p 的必要不充分条件，命题④错误，故选：C.6.因为{}{}2,0,1,,0a a b −=，所以①21a a b ==−或②21a b a = =− ，由①得01a b = =− 或11a b = =− ，其中01a b = =− 与元素互异性矛盾，舍去，11a b = =− 符合题意，由②得11b a = =− ，符合题意，两种情况代入202320230a b +=，答案相同.故选：B7.因为{}05M x x x =∈≤>R 或，所以{}05U M x x =<≤ .题图中阴影部分表示的集合为()UP M ，因为{}{}18,0,1,2,3,4,5,6,7,8P x x x Z =−<≤∈=，所以(){}1,2,3,4,5UP M = ，所以该集合中共有5个元素.8.集合9,4A x x x =≥−∈R ，{}0,B x x x =<∈R ，则R9,4A x x x =<−∈R ， {}R 0,B x x x =≥∈R ，由定义可得：{}{}[)R 0,0,A B x x A x B A B x x x −=∈∉==≥∈=+∞R 且 ，{}R 99,,44B A x x B x A B A x x x−=∈∉==<−∈=−∞−R 且 ，所以()()[)9,0,4A B A B B A⊕=−−=−∞−+∞，选项ABD 错误，选项C 正确.故选：C.9.对于A ，a Q ∈是a R ∈的充分不必要条件，正确；对于B ，x y =等价于x y =±是x y =的必要不充分条件，正确； 对于C ，21x >等价于1x >或1x <−是1x >的必要不充分条件，错误； 对于D ，0a b +<是0a <，0b <的必要不充分条件，正确；故选：ABD 10.对于A ：当0x <时，0x x x =−>>，故A 正确；对于B ：当1x =时，23570x x −−=−<，故B 错误； 对于C ：当x π=时，4x 是无理数，故C 错误；对于D ：2a =，1b =−时，()()22210a b −++=，A 正确；故选：AD. 11.对于A ，令2a =，12b =，则11a b a b+=+，A 错误； 对于B ，()1011m m n m n n n n +−−=<++，11m mn n+<+，B 正确. 对于C ，000a b a b c a c b >>⇒−<−<⇒<−<−，同乘以()()1c a c b −−，得110c b c a<<−−，又0a b >>，∴a bc a c b>−−，C 正确. 对于D ，1a b >− ，则110a b +≥+>，()()11a b a ab b ab b a +=+≥+=+，则11a ba b≥++，D 正确.故选BCD.12.对于A 中，任取x A B ∈ ，y A B ∈ ，因为集合A ，B 是优集，则x y A +∈，x y B +∈，则x y A B +∈ ，x y A −∈，x y B −∈，则x y A B −∈ ，所以A 正确；对于B 中，取{}2,Ax x k k Z ==∈，{}3,Bx x m m Z ==∈，则{}23,A B x x k x k k Z ===∈或 ，令3x =，2y =，则5x y A B +=∉ ，所以B 不正确；对于C 中，任取x A ∈，y B ∈，可得,x y A B ∈ ，因为A B 是优集，则x y A B +∈ ，x y A B −∈ ，若x y B +∈，则()x x y y B =+−∈，此时A B ⊆；若x y A +∈，则()y x y x A =+−∈，此时B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A = 为优集；或B A ⊆，则A B B = 为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.13.因为01y <≤，所以220y −≤−<，因为12x −≤<，所以322x y −≤−<，所以2x y −的取值范围是[)3,2−14.由12,xy x y y x=∈ <N 解得121x y == 或62x y = = 或43x y = = ，所以，()()(){}12,1,6,2,4,3A B = . 15.命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++−≥”的否定为：“x ∀∈R ，()()22210a x a x +++−<”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，所以当20a +=即2a =−时，10−<恒成立，满足题意；当20a +≠即2a ≠−时，只需()()220Δ2420a a a +< =+++< ，解得：62a −<<− .综上所述，实数a 的取值范围是62a −<≤−.16.考虑反面的两种情况：若M 中不含有奇数，则集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数，即328=.若M 中只含有一个奇数，则有4种可能，集合M 的个数等价于集合{}2,4,6的子集的个数的4倍，即32432×=.不考虑奇数条件时集合M 共721127−=，故共有12783287−−=个. 17.解：（1）由题意知当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{}26U B x x x =<>或 ， 而{}03A x x =≤≤，故()[)0,2UA B =（2）当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m≤−≤ −≤，且01m ≤−，23m ≤中等号不能同时取得，解得312m ≤≤， 综上所述，m 的取值范围为1m <−或312m ≤≤. 18.解：（1）设购买一桶A 种消毒液x 元，购买一桶B 种消毒液y 元，则有25002000230xy y x =×−=， 解得5080x y ==所以，购买一桶A 种消毒液需50元，购买一桶B 种消毒液需80元. （2）设购买A 种消毒液m 桶，购买B 种消毒液n 桶， 则有5050803250m n m n +=+≤ ，(),N m n ∈得()5050803250n n −+≤，解得25n ≤，所以最多可以购买25桶B 种消毒液19.解：①当x y >时，则3223x x y xy y >>>，即A B C D >>>；在此种条件下取A ，B 能够稳操胜券 ②当x y <时，则3223y y x yx x >>>，即D C B A >>>；在此种条件下取D ，C 能够稳操胜券.③又()()()()332232322()0x y xy x y x x y y xy x y x y +−+=−+−=−+>.∴在不知道x ，y 的大小的情况下，取A ，D 能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握. 故可能有1种，就是取A ，D . 20.详解：因为B A ⊆，B ≠∅，所以①当{}1B =−时，则222Δ4301(1)303a a b b a b =− −×⇒ =−++=， 所以()1143432433a b +=×−+×=−， ②当{}3B =时，则226Δ43033330a a b b a b =−× ⇒ =−+=， 所以34364330a b +=×+×=③当{}1,3B =−时，则2Δ4302131133a b a a b b −×>=−+=⇒=− −×=， 所以()3432412a b +=×+×−=，综述：①当{}1B =−即213a b =−=时，14343a b +=−， ②当{}3B =即63a b == 时，3430a b +=，③当{}1,3B =−即21a b ==−时，342a b +=. 21.解：先证明充分性：若221a b −=，则()()44222222222222221a b b a b ab b a b b a b −−=−+−=+−=−=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的充分条件； 再证明必要性：若44221a b b −−=，则442210a b b −−−=， 即()442210a b b −++=， ∴()24210a b −+=，∴()()2222110a b a b ++−−=， ∵2210a b ++≠， ∴2210a b −−=， 即221a b −=成立.所以“221a b −=”是“44221a b b −−=”成立的必要条件. 综上：44221a b b −−=成立的充要条件是221a b −=.22.解：（1）3n =时，由题设，在126,,,x x x ⋅⋅⋅中，有3个1+，3个1−集合A 中的元素为()11,1,1,1,1,1α=−−−，()21,1,1,1,1,1α=−−−，()31,1,1,1,1,1α=−−−，()41,1,1,1,1,1α−−−，()51,1,1,1,1,1α=−−−∴()()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1A=−−−−−−−−−−−−−−−（2）9n =时，首先证明11x =，且181x =−，在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令1i =，得10x ，从而有11x =， 在120i x x x ++⋅⋅⋅+ 中，令17i =，得12170x x x ++⋅⋅⋅+ .又12180x x x ++⋅⋅⋅+=，故)1812170x x x x =−++⋅⋅⋅+ ，从而有181x =−，考虑()1,,1,1,,1α=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−，即1291x x x ==⋅⋅⋅==，1011181x x x ==⋅⋅⋅==−此时1299x x x ++⋅⋅⋅+=为最大值，现交换9x 与10x ，使得91x =−，101x =，此时1297x x x ++⋅⋅⋅+=，现将91x =−逐项前移，直至21x =−，在前移过程中，显然1297x x x ++⋅⋅⋅+=不变，这一过程称为1次“移位”，依此类推，每次“移位”，129x x x ++⋅⋅⋅+的值依次递减2，经过有限次移位，129,,,x x x ⋅⋅⋅一定可以调整为1，1−交替出现.注意到9n =为奇数，所以1291x x x ++⋅⋅⋅+=为最小值， 所以129x x x ++⋅⋅⋅+的所有可能取值，1，3，5，7，9.。
2023年重庆八中(两江金溪八中)小升初数学试卷附详细答案
2023年重庆八中(两江金溪八中)小升初数学试卷2023.10.06一、填空题(每小题4分，共16分)1、烟火晚会上每8秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花。
在同时看到这两种礼花后，还要_____秒才可以同时看到这两种礼花。
2、若规定a ㊣b=3a −4b ，则4㊣(5㊣3)=_____。
3、某工程队修一条公路，已经修了70米，还剩170米。
那么再修_____米之后，剩下的工作量是已修的工作量的1.5倍。
4、一天，李老师准备步行从家到某小学开会，出发前，他发现如果每分钟走70米，他会迟到2分钟；于是他就以每分钟85米的速度向开会地点走去，当到达会场时早到了1分钟，请你算出李老师家离开会地点共有_____米。
二、计算题5、计算(每小题4分，共24分)(1)( 12+28)×89−1 (2)39÷5×15−(13−27)×21(3)(333+667)÷[63×(47−49)] (4)1118×[(5−14×12)÷29](5)41720×0.36−3.6÷10+0.615×335(6)49×37+51×62+51×37+49×62三、填空题(每小题6分，共36分)6、下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有3个矩形，第②个图形中一共有5个矩形，第③个图形中一共有8个矩形，……则第⑧个图形中矩形的个数为_____。
7、一列客车通过860米长的大桥需要45秒，用同样的速度穿过610米长的隧道需要35秒，则这列客车的车身长度为_____。
8、一个班不足50人，现大扫除，其中12扫地，14摆桌椅，15擦玻璃，这个班没有参加大扫除的人数有_____人。
9、如图，三角形ABC 是边长为1的等边三角形，则图中阴影部分的面积为_____ (结果保留π)。
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2023年重庆八中自主招生数学试卷练习（一）一．填空题（共10小题）
1．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是
．
2．如图，点M是线段AC的中点，点B在线段AC上，且AB＝6cm，BC＝2AB，则线段BM的长为．
3．已知a、b、c、d互不相等的四个整数，且（a﹣3）（b﹣3）（c﹣3）（d﹣3）＝25，则a+b+c+d＝．4．某文具店有5元一支和4元一支的钢笔，王老师带48元去买钢笔，钱正好全部用完，共有种购买方案．
5．如图，已知∠AOB＝2∠BOC，OD平分∠AOC，且∠BOD＝20°，则∠AOC的度数为°．
6．小金在放假期间去参观科技馆．已知小金家距科技馆的路程为31km，小金需要先在家附近乘坐公交车再步行至科技馆，小金步行的速度为4km/h，公交的速度是步行速度的10倍．若小金乘坐公交和步行的时间共需要1h，那么小金步行的路程为km．
7．已知一件标价为400元的上衣按八折销售，仍可获利50元，这件上衣的进价是元．
8．有5位教师和一群学生一起去公园，教师的全票票价是每人7元，学生票收半价．如果买门票共花费206.5元，那么学生有多少人？
设学生有x人，填写下表：
人数/人票价/元总票价/元
教师
学生
根据题意，得方程，所以学生有人．
9．一项工程，甲、乙两人合作需要8天完成任务，若甲单独做需要12天完成任务．（1）若甲、乙两人一起做6天，剩下的由甲单独做，还需要天完成；
（2）若甲、乙两人一起做4天，剩下的由乙单独做，还需要天完成．
10．学校为美化春藤校园，计划购买梧桐树、香樟树、樱花树三种树苗，已知三种树苗单价之和为100元，计划购买三种树苗总量不超过148株；其中香樟树苗单价为30元，计划购进48株，樱花树苗至少购买25株，梧桐树苗数量不少于樱花树苗的2倍．小明在做预算时，误将梧桐树苗和樱花树苗的单价弄反了，结果实际购买三种树苗时的总价比预算多了112元，若三种树苗的单价均为整数，则学校实际购买这三种树苗最多需要花费元．
二．解答题（共14小题）
11．计算：+++…+．
12．计算：
（1）﹣3×2﹣（﹣8）；
（2）﹣9÷3×3﹣（﹣2）3．
13．计算：
（1）
（2）
14．计算：[（2x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）﹣2x（x﹣2y）]÷3x．
15．解方程：x﹣＝+1．（要求步骤完整）
16．元宵节前夕，某超市从厂家购进了甲、乙两种发光道具，甲种道具每件进价比乙种道具每件进价少2元．若购进甲种道具7件，乙种道具2件，需要76元．
（1）求甲、乙两种道具的每件进价分别是多少元？
（2）若该超市从厂家购进了甲乙两种道具共50件，在销售时，甲种道具的每件售价为10元，乙种道具的每件售价为15元，要使得这50件道具所获利润为160元，应购进乙道具多少件？
17．某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元．
（1）求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
18．研学旅行继承和发展了我国传统游学，“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育
的新内容和新方式，提升了中小学生的自理能力，创新精神和实践能力．某校组织甲、乙两班学生分别乘坐两辆校车从学校出发，前往300km外的红色革命圣地﹣﹣延安，开展“传承红色基因争做时代新人”研学旅行，已知乙班比甲班晚出发1.5h，且乙班以80km/h的速度行驶了1h后，提高了速度，并以提高后的速度匀速行驶至终点．如图，线段OA表示甲班离学校的距离y甲（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示乙班离学校的距离y乙（km）与甲班行驶时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）图中m＝，n＝；
（2）求线段CD所在直线的函数表达式；
（3）乙班出发多久后追上甲班？此时两班距离延安有多远？
19．已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝36，a3+b3+c3＝48．
（1）求的值；
（2）求a⋅b⋅c的值．
20．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
21．一座大山的高度是320米，某公园里有一座大山的模型，它的高度与大山高度的比是1：10，这座模型高多少米？（用比例解）
22．下表是某次篮球联赛积分的一部分
球队比赛现场胜场负场积分
前进1410424
光明149523
远大147721
卫星1441018
备注：总积分＝胜场积分+负场积分
（1）请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）；
（2）某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？
（3）若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值．
23．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“超极数”．
（1）请写出两个小于3000的“超极数”；；
（2）猜想任意一个“超极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“超极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．
24．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：因为，所以＝4即x+＝4，所以x2+﹣2＝16﹣2＝14．
根据材料回答问题（直接写出答案）：
（1），则x+＝．
（2）解分式方程组，解得方程组的解为．。