高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课时作业(含解析)新人教B版-新
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第6课时对数与对数函数精品 理
心尺引州丑巴孔市中潭学校第2章 第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．函数y ＝2－xlg x 的定义域是( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}解析： 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0x ＞0lg x ≠0解得0＜x ＜1或1＜x ≤2，∴定义域为{x |0＜x ＜1或1＜x ≤2}．答案： D2．设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，那么( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析： ∵0＜lg e ＜1，∴lg e ＞12lg e ＞(lg e)2.∴a ＞c ＞b .答案： B3．假设函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，那么f (x )＝()A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．x 2解析： 由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案： C4．0＜log a 2＜log b 2，那么a 、b 的关系是( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．b ＞a ＞1D ．a ＞b ＞1解析： 由得，0＜1log 2a ＜1log 2b⇒log 2a ＞log 2b ＞0.∴a ＞b ＞1.答案： D5．函数y ＝log 22－x2＋x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称解析： ∵f (x )＝log 22－x2＋x ，∴f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x2＋x .∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．应选A.答案： A6．(2021·卷)设函数f (x )＝假设f (a )＞f (－a )，那么实数a 的取值范围是()A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 假设a ＞0，那么由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ＝－log 2a ，即log 2a ＞0，∴a ＞1.假设a ＜0，那么由f (a )＞f (－a )得log 12(－a )＞log 2(－a )，即－log 2(－a )＞log 2(－a )，∴log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0.综上可知，－1＜a ＜0或a ＞1.答案： C二、填空题7．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，那么g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝________.解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＜0，∴g ⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫12＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案： 128．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析： 令u ＝x 2－2x ，那么y ＝log 3u . ∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x ＞0的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)． 答案： (－∞，0)9．函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ＋1 x ≤0log 2x x ＞0，那么使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________． 解析： 当x ≤0时，由3x ＋1＞1，得x ＋1＞0，即x ＞－1.∴－1＜x ≤0.当x ＞0时，由log 2x ＞1，得x ＞2.∴x 的取值范围是{x |－1＜x ≤0或x ＞2}．答案： {x |－1＜x ≤0或x ＞2}三、解答题10．f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．【解析方法代码108001018】解析： (1)由a x －1＞0，得a x＞1.当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，那么1＜a x 1＜a x 2， 故0＜a x 1－1＜a x 2－1， ∴log a (a x 1－1)＜log a (a x 2－1)，∴f (x 1)＜f (x 2)， 故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．11．f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．【解析方法代码108001019】解析： ∵f (x )＝log a x ，那么y ＝|f (x )|的图象如右图．由图示，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫13≤1， 即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 12．函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)假设f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由． 解析： (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3. 那么g (x )在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，那么h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，12a －44a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.。
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高考数学一轮复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第6讲 对数与对数函数课件 文
(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义 域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论 错误． (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优 先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定 要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的 限制条件．
A．3
B．13
C． 3
D．
3 3
解析：选 D.因为 xlog34＝1，即 log34x＝1.所以 4x＝3.即 2x＝ 3，
所以
2－x＝
1＝ 3
3 3.
12/11/2021
(必修 1 P71 例 7(1)改编)函数 y＝log2x2 的大致图象是( )
解析：选 D.法一：f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)． 所以 y＝log2x2 的图象关于 y 轴对称，故选 D. 法二：y＝log2x2＝2log2|x|＝22lloogg22x（，－x＞ x）0， ，x＜0. 作出图象可知选 D.
【答案】
(1)D
1 (2)4
12/11/2021
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合 要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题，利用数形结合法求解．
12/11/2021
【对点通关】 1．(必修 1 P73 练习 T1 改编)若函数 y＝a|x|(a>0，且 a≠1)的值 域为{y|y≥1}，则函数 y＝loga|x|的图象大致是( )
12/11/2021
【对点通关】
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)若 a>b>0，0<c<1，则( )
近年年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数学案理北师大版(2021学年)
２0１９年高考数学一轮复习第２章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数学案理北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(201９年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数学案理北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六节对数与对数函数[考纲传真] (教师用书独具)1。
理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2。
理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,1０,错误!的对数函数的图像．3。
体会对数函数是一类重要的函数模型。
4。
了解指数函数y=a x（a＞0,且a≠１)与对数函数ｙ=loｇａｘ(ａ＞０，且a≠1)互为反函数．(对应学生用书第22页）[基础知识填充］1.对数的概念如果ａ（ａ>０,ａ≠１)的b次幂等于Ｎ，即a b＝N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作lｏg a N＝b,其中a叫作对数的底数，N叫作真数.2．对数的性质与运算法则(1）对数的运算法则如果ａ>0且a≠1,Ｍ＞0,Ｎ＞０,那么①log a(MN)＝loｇａM＋loｇa N;②log a错误!＝loｇa M－loｇa N;③lｏg a M n=nｌoｇaＭ(n∈Ｒ）;④ｌoｇamＭn＝错误!logａM(ｍ,ｎ∈R且m≠０）.(2)对数的性质①a错误!=N；②log a a N＝N（a＞0，且a≠1).(3)对数的重要公式①换底公式:lｏｇb N=logａNｌｏｇa b(a,b＞0，a,b≠１，N＞０)；②lｏｇａb=错误!,推广ｌｏｇａb·loｇbｃ·loｇc d=ｌog a d。
高中数学高考09第二章 函数概念与基本初等函数 2 6 对数与对数函数
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数即方程|log0.5x|＝12x 的解的个数，
即函数 y＝|log0.5x|与函数 y＝12x 图象交点的个数，
作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点.
① alogaN ＝ N ；②logaaN＝ N (a>0，且a≠1).
(3)对数的换底公式
logab＝
logcb logca
(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
0<a<1
图象
定义域
(1)_(0_，__＋__∞__)
值域
(2)_R__
(3)过定点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0
若f(x)的值域为R，则实数a的取值
1＋log2x，x≥1，
范围是 (1,2] .
解析 当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1， 当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数， 且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，
a－1>0，
可得
解得 a∈(1,2].
a－1＋4－2a≥1，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.6 对数与对数函数
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_x_＝__
高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第6讲对数与对数函数理新人教A版
答案
解析
4．已知函数 f(x)＝flo2gx2x，，0x<≥x<11，，
则
f
22的值是(
)
A．0
B．1
1 C.2
D．－12
答案 C
解析
∵f(x)＝
log2x，x≥1， f2x，0<x<1，
0< 22<1，
2>1，
∴f
22＝f(
2)＝log2
f(x)＝
21－x，x≤1， 1－log2x，x>1，
则满足
f(x)≤2 的 x 的取值范围是( ) A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
答案 D
答案
解析 当 x≤1 时，由 21－x≤2 得 1－x≤1，∴0≤x≤1. 当 x>1 时，由 1－log2x≤2 得 x≥12，∴x>1. 综上，x 的取值范围为[0，＋∞)．故选 D.
答案 C
答案
解析 函数 y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除 A，B；又函数 y ＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除 D.故选 C.
解析
(2)当 0<x≤12时，4x<logax，则 a 的取值范围是(
)
A.0，
2
2
B.
22，1
C．(1， 2)
答案 B 解析 要使函数 f(x)＝ 1－ln x有意义，则1x>－0，ln x≥0， 解得 0<x≤e，则函数 f(x)的定义域为(0，e]．故选 B.
答案
解析
2．(2019·吉林模拟)不等式 log3(2x－1)≤2 的解集为( )
新高考数学一轮复习教师用书：第2章 6 第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)． 答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________． 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)． 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】 当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第6讲 对数与对数函数讲义 理(含解析)-人教版高三全
第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。
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第6讲 对数与对数函数课时作业1．(2019·某某某某一诊)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg 2－lg 125＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫22÷125＝lg 100＝2，故选B ．2．函数f (x )＝ln (x ＋3)1－2x 的定义域是()A ．(－3,0)B ．(－3,0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3,0) 答案 A解析 因为f (x )＝ln (x ＋3)1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝() A ．log 2x B ．12x C ．log 12 xD ．2x －2答案 A解析 由题意知f (x )＝log a x (x >0)．∵f (2)＝1， ∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .4．已知函数f (x )＝log 12x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，22，则f (x )的值域是()A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2 C ．[0,2] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 答案 A解析 函数f (x )＝log 12 x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，22是减函数，所以函数的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝log 1222＝12，函数的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选A ． 5．若x log 23＝1，则3x＋3－x＝() A ．53 B ．52 C ．32 D ．23答案 B解析 因为x log 23＝1，所以log 23x ＝1，所以3x ＝2,3－x ＝12，所以3x ＋3－x＝2＋12＝52.故选B ．6．(2019·某某某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此，a ＝b ，而log 233>log 22＝1，log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c ，故选B ．7．(2020·东城区综合练习)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为()A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析 因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 |x ＋3|的单调递增区间为()A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) 答案 B解析 因为函数y ＝log 13x 为减函数，y ＝|x ＋3|在(－∞，－3)上是减函数，所以函数y ＝log 13|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3)．9．(2019·某某模拟)若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值X 围是()A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) 答案 D解析 因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足23>a >0.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．故选D ． 10．(2019·某某模拟)函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0且a ≠1)在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值X 围是()A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 设u ＝6－ax ，由题意得该函数是减函数，且u >0在[0,2]上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，6－2a >0，∴1<a <3.故选B ．11．当0<x ≤13时，8x<log a x ，则a 的取值X 围是()A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B ．⎝⎛⎭⎪⎫33，1 C ．(1，3) D ．[3，3)答案 B解析 当0<x ≤13时，1<8x ≤2，要使8x<log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知只需2<log a x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x <a2对0<x ≤13恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>13，解得33<a <1.故选B ． 12．(2019·某某模拟)已知0<m 1<2<m 2，a >0，且a ≠1，若log a m 1＝m 1－1，log a m 2＝m 2－1，则实数a 的取值X 围是()A ．(2,3)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(3,4)答案 C解析 依题意，知方程式log a x ＝x －1有两个不等实根m 1，m 2，在同一直角坐标系下，作出函数y ＝log a x 与y ＝x －1的图象，显然a >1，由图可知m 1＝1，要使m 2>2，需满足log a 2>2－1，即a <2.综上知：实数a 的取值X 围是1<a <2.故选C ．13．计算：lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.答案 1解析 原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫16×0.06＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f (2x )，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值是________. 答案 12解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，f (2x )，0<x <1，0<22<1，2>1， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝f (2)＝log 22＝12. 15．(2019·某某模拟)函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是________. 答案 [0，＋∞)解析 －x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以所求函数的值域为[0，＋∞)．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是________.答案 (1，＋∞)解析 如图，在同一直角坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与函数f (x )的图象只有一个交点．17．计算：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1；(2)log 3273·log 5[(412 )log210－(33)23 －7log72]．解 (1)原式＝lg 37×703－(lg 3)2－2lg 3＋1＝lg 10－(lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3.(2)原式＝log 3332 3×log 5[10－(332 ×23 )－7log72]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32log 33－log 33×log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1×log 55＝12.18．(2020·荆州月考)已知函数f (x )＝log 13 (x 2－2mx ＋5)．(1)若f (x )的值域为R ，某某数m 的取值X 围；(2)若f (x )在(－∞，2]内为增函数，某某数m 的取值X 围．解 (1)由f (x )的值域为R ，可得u ＝x 2－2mx ＋5能取得(0，＋∞)内的一切值， 故函数u ＝x 2－2mx ＋5的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝4m 2－20≥0，解得m ≤－5或m ≥ 5. 故实数m 的取值X 围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)． (2)因为f (x )在(－∞，2]内为增函数，所以u ＝x 2－2mx ＋5在(－∞，2]内单调递减且恒正，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，9－4m >0，解得2≤m <94.故实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94. 19．(2019·某某某某联考)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 此时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令t ＝－x 2＋2x ＋3，则t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1]，单调递减区间是(1,3)． (2)存在．令h (x )＝ax 2＋2x ＋3，则h (x )有最小值1，在此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a＝1，解得a ＝12.20．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝log 2x8·log 2(2x )，函数g (x )＝4x －2x ＋1－3.(1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )－g (a )≤0对任意实数a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，试某某数x 的取值X 围． 解 (1)f (x )＝(log 2x －3)(log 2x ＋1)＝(log 2x )2－2log 2x －3＝(log 2x －1)2－4≥－4， 即函数f (x )的值域为[－4，＋∞)．(2)∵不等式f (x )≤g (a )对任意实数a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立， ∴f (x )≤g (a )min .g (a )＝4a －2a ＋1－3＝(2a )2－2×2a －3＝(2a －1)2－4，令t ＝2a，∵a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴t ∈[2，4]，设h (t )＝(t －1)2－4，t ∈[2，4]， 当t ＝2时，h (t )取得最小值－1－22， 即g (a )min ＝－1－22，∴f (x )≤－1－22，即(log 2x －1)2－4≤－1－22， ∴1－2≤log 2x －1≤2－1，即2－2≤log 2x ≤2， 解得22－2≤x ≤22，∴实数x 的取值X 围为[22－2，22]．。