《实际问题与二次函数》(拱桥问题)
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题(有答案)
专题五： 利用二次函数来处理抛物线型拱桥问题（有答案）
➢ 知识指引
拱桥是我们生活中常见的一种建筑物，可以把它近似的看作抛物线，，通过建立适当的平面直角坐标系，求出其解析式，然后利用其有关性质可以解决相关的问题，下面我们来学习一下抛物线型拱桥问题：
➢ 知识要点：
解决抛物线型问题的一般步骤：
（1）建立合适的平面直角坐标系；
（2）把问题中的已知数据与坐标进行联系；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的解析式；
（4）利用二次函数的图象及性质分析并解决问题.
➢ 知识小结：
（1）在建构二次函数模型，把实际问题转化为二次函数时，能够将实际距离准确的转化为点的坐标，并选择运算简便的方法进行计算
（2）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
➢ 典型例题：
类型一：与拱桥有关的水位升降问题
【例1】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，建立如图所示的平面直角坐标系：
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水面下降1m时，则水面的宽度为多少？
【解析】（1）由题意设抛物线解析式为：y=ax2＋b（a≠0）
∵当拱顶离水面2m时，水面宽4m ∴点C（0，2），点B（2，0）
代入，得{𝑏=2，4a＋b=0，解得{a＝−12，b＝2，
∴拱桥所在抛物线的解析式为y=－12x2＋2
（2）当水位下降1m时，水位纵坐标为－1，由y=－12x2＋2，
令y=－1，则－1=－12x2＋2.解得x=±√6.
∴水面宽度为√6−(−√6)＝2√6
【变式】如图所示，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20m，若水位上升3m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10m．
（1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？
人教版九年级上册数学实际问题与二次函数--拱桥问题专项练习
人教版九年级上册数学22.3 实际问题与二次函数--拱桥问题专项练习
一、单选题
1．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m，在两侧距地面3.5 m高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）
A．2182yx B．2172yx C．2182yx D．2172yx
2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（ ）
A．6m B．26m C．64m D．264m
3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．45米 B．10米 C．46米 D．12米 4．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
5．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数的表达式为 y=﹣14x2，当水位线在 AB位置时，水面宽 12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3m B．6m C．4m D．9m
6．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A．1 B．1.5
C．2 D．3
7．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（ ）
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题(拱桥问题)
2022年中考数学专题复习：二次函数实际问题（拱桥问题）
一、单选题
1．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m，如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（ ）
A．22.45yx B．22yx C．212yx D．214yx
2．如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
3．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．45米 B．10米 C．46米 D．12米
4．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）
A．45米 B．10米 C．46米 D．12米
5．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽1.6mAB时，涵洞顶点与水面的距离是2m．这时，离开水面1.5m处，涵洞的宽DE为（ ）
A．235 B．435 C．0.4 D．0.8
6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝125x2＋58x B．y＝－125x2＋85x
C．y＝－58x2－125x D．y＝－125x2＋85x＋16
7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9 8．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
二次函数拱桥问题
1 二次函数的应用-拱桥问题
一、自学：
1、抛物线y=241x的顶点坐标是______,对称轴是______,开口向______；抛物线y=-3x2的顶点坐标是______，对称轴是______，开口向______．
2、图所示的抛物线的解析式可设为 ，若AB∥x轴，且AB=4，OC=1，则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；代入解析式可得出此抛物线的解析式为 。
3、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。现测得水面宽AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A的坐标是 ，点B的坐标为 ；根据图中的直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为
。
二、探索学习：
例题：有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．
(1)如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：
(2)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米。求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
练习．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
三、当堂练习：
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的解析式为y=2251x，当水位线在AB位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ ）
A、5米 B、6米； C、8米； D、9米 2 2、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
景县十中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点一：建立二次函数模型
【类型一】运动轨迹问题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－19(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中．
(2)将x＝1代入解析式，得y，所以盖帽能获得成功．
【类型二】拱桥、涵洞问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－12，∴y＝－12x2，当y＝－3时，－12x2＝－3，x＝±6.故答案为26.
实际问题与二次函数-拱桥问题
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新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网 22．3 实际问题与一元二次方程（1）
说课稿
各位老师:
今天我说课的内容是第二十二章 《一元二次方程》的第三节——实际问题与一元二次方程（第1课时）．我通过以下几方面分别进行说明：
一、教材分析
1、 教材所处的地位和作用
整个第三节共安排了3个探究活动.本节课讲授的是探究1传播问题和探究2增长率问题，比前面出现的实际问题在分析数量关系方面更复杂些，问题情境与实际情况也更接近．它在教材中起着承前启后的作用，所选取的实际问题具有一定代表性，有利于帮助学生进一步讨论如何建立和利用方程模型来解决实际问题，有利于帮助学生体验一元二次方程的数学模型是解决实际问题的重要工具.本节课列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容．
2、教学目标：根据学生学习的实际情况，结合教材特点、新课程标准的要求，我拟定了本节课的教学目标：
（1）知识技能：1、会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
（2）数学思考：经历分析实际问题中数量关系的过程，进一步培养学生分析问题和合理推理能力.
（3）解决问题：通过学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题，提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力，进一步培养学生数学建模的能力.
（4）情感态度：让学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯，获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心，感受数学学习的乐趣.
3、教学重、难点：
重点：进一步反应医院二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧
拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。然后，我们需要考虑到已知条件。例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。这些值就是拱桥的支点的位置。
二次函数---(拱桥问题)
1 22.3（4.1）---（拱桥问题）
一．【知识要点】
1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.
二．【经典例题】
1. 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。
2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？
三．【题库】
【A】
1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________. 2
【B】
1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.
【C】
1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是 m．
【D】
1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
二次函数应用(拱桥问题)
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完美WORD格式 二次函数综合应用题（拱桥问题）
适用学科 数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 60
知识点 二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用
教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。
2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。
3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。
教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；
2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标
教学难点 如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
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教学过程
一、 复习预习
平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
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二、知识讲解
考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式
1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
22.3.3拱桥问题和运动中的抛物线
22.3.3——拱桥问题和运动中的抛物线
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)
一、利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
例1、如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米.
（1）以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，求出抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若水位上升1.5米时，求此时的水面宽度；
（3）在（1）的条件下，若水位下降1米时，水面宽度比初始时增加多少？
例2、如图1是一座抛物线型拱桥𝐶1侧面示意图．水面宽𝐴𝐵与桥面长𝐶𝐷均为24𝑚，点𝐸在𝐶𝐷上，𝐷𝐸=6𝑚，测得桥面到桥拱的距离𝐸𝐹为1.5𝑚，以桥拱顶点𝑂为原点，桥面为𝑥轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部𝑂离水面的距离；
(2)如图2，在(1)的条件下，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线C2，C3，其最低点与桥面𝐶𝐷的距离均为1𝑚.
①求出C2的解析式；
②求拱桥抛物线𝐶1与钢缆抛物线𝐶2的竖距离的最小值．
二、利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例3、如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
例4、跳绳运动中，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1𝑚，并且相距4𝑚，现以两人的站立点所在的直线为𝑥轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0,1).身高1.50𝑚的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1𝑚时，绳子刚好经过她的头顶．