大学物理2-1质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
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物理-质心与质心运动定理
x
——动量中心系
在质质心心参位考矢系中r：C x 质心速度 υC
0drC
dt
0
质点系m的i总i 动m量C 0
质心系是零动量系
质心的运动轨迹？
——抛物线.
0 O x1
m xC x2 C
mx
二、 质心运动定理
锥体为什么会上滚？
锥体上滚是由其质（重）心下降所引起的。
令人称奇的“水往高处流”。
上坡省力，下坡费劲的“怪坡 ”
三、 质心参考系
【质心参考系】：以质心为坐标原点的参考系。
y
r2
O
y
mi
m2 ri
ri
C
rC m1 r1
m1
l
C
m2
x
O
xC
m2 m1 m2
l
m1
l
C
m2
m1l1 m2l2
l1
l2
（与坐标系无关）
质心坐标与所选坐标系有关，
但质心相对物体各部分位置是确定的.
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
y
Rdθ
dθ
R
θ
O R cos θ
y R sin θ
x
一、 质心
例2 求半径为R的匀质半圆环的质心.
C 恒矢量
当质点系所受合外力为零时，其质心保持原来的 静止或匀速直线运动状态不变。 ——质心的“惯性运动”
质心的“惯性运动”与质点系动量守恒等价！
随堂练习
例：设有一枚炮弹发射的初速率为 0，发射角为 ，它飞 行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直 下落，另一个水平抛出，求这两部分的着地点（忽略空气 阻力）。
(1) 直角坐标系中的质心坐标
大学物理 质心、动量
F
dP
dt
p mvc
F mac
2.内容
质点系质心的运动决定于质点系合外力
若 F合外力 0 ，
则 vc (Pc ) 不变
即系统内力不会影响质心的运动
如抛掷的物体、 跳水的运动员、 爆炸的焰火等
例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球， 球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为 F， 求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
N
mi ri
i 1
m
i 1
N
mi xi
y
xc
i 1
m
2.质量连续分布的物质
N
rc
mi ri
i 1 N
mi
rdm m
i 1
z
r
xO
dm
×C
rC m
y
xdm
ydm
zdm
xc m
yc m
zc m
3. 质心的计算 1) 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心 —— 几何中心 2) 小线度物体质心和重心是重合的
3) 对于确定的质点系,质心位置是唯一确定的
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y
（x1，y1）
o
x2 x
N
mi xi
xc
i 1
m
1.质心公式 2.求质心
xc
mx1 mx2 3m
x1 x2 3
yc
my1 3m
y1 3
[例] 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块
半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O′相距为d，
第二章 运动的守恒量和守恒定律
2 - 1 质心 质心运动定理
动量定理 质心运动定理_guys
§2 质心与质心运动定理
一．质点系 内力与外力 二．质心 1、质心的概念 2、质心位置 3、质心计算 三．质心运动定理 四．质心运动定理的应用 五．质心系
§3 质心与质心运动定理 一、质点系 内力与外力
1、质点系 一定量的质点(或物体)组成的系统 任何物体都可看成由许多质点组成的质点系 2、外力与内力 F2
T
a
aC a
T
解：研究对象：三个小球及轻绳组成的质点系 所受外力： O点对绳子的拉力T 采用质心运动定理求解
解：
m
m
m
T
a
aC a
T
在系统决定的直线上，与O点相距为 (1)质心位置：
Lc (am 2am 3am) 3m 2a
(2) 由质心运动定理：F 得：
ac R 2 Lc 2 该质心C绕O点以角速度匀速转动
三、质心运动定理
drc dvc dp mac m Fe m dt dt dt
其中：
drc vc m dt 2 dvc d rc 2 ac dt dt p mi vi mvc ——系统总动量
mi v i
c
y
yC o
(2)竖直方向作用于链条的合外力为
(3) 由质心运动定律:
d yC F y g l 2 dt
而
2
y
F
c
d yc d y ( ) 2 dt dt 2 l
2
2
2
y
yC
dy d y dv o 考虑到 v 2 , 0 dt dt dt 2 2 d yC v 得到 F y g l l 2 dt l
外力(External Force)
一．质点系 内力与外力 二．质心 1、质心的概念 2、质心位置 3、质心计算 三．质心运动定理 四．质心运动定理的应用 五．质心系
§3 质心与质心运动定理 一、质点系 内力与外力
1、质点系 一定量的质点(或物体)组成的系统 任何物体都可看成由许多质点组成的质点系 2、外力与内力 F2
T
a
aC a
T
解：研究对象：三个小球及轻绳组成的质点系 所受外力： O点对绳子的拉力T 采用质心运动定理求解
解：
m
m
m
T
a
aC a
T
在系统决定的直线上，与O点相距为 (1)质心位置：
Lc (am 2am 3am) 3m 2a
(2) 由质心运动定理：F 得：
ac R 2 Lc 2 该质心C绕O点以角速度匀速转动
三、质心运动定理
drc dvc dp mac m Fe m dt dt dt
其中：
drc vc m dt 2 dvc d rc 2 ac dt dt p mi vi mvc ——系统总动量
mi v i
c
y
yC o
(2)竖直方向作用于链条的合外力为
(3) 由质心运动定律:
d yC F y g l 2 dt
而
2
y
F
c
d yc d y ( ) 2 dt dt 2 l
2
2
2
y
yC
dy d y dv o 考虑到 v 2 , 0 dt dt dt 2 2 d yC v 得到 F y g l l 2 dt l
外力(External Force)
大学物理第2章-质点动力学基本定律
②保守力作功。
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
大学物理-质心质心运动定律
角动量守恒条件
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
当刚体绕定轴转动时，如果作用于刚体上的外力矩为零，则刚体的 角动量守恒。
角动量守恒应用
利用角动量守恒原理可以解决一些实际问题，如陀螺仪的工作原理、 天体运动中行星轨道的确定等。
角动量不守恒情况
当作用于刚体上的外力矩不为零时，刚体的角动量将发生变化。此时 需要根据外力矩的作用时间和大小来计算角动量的变化量。
适用范围和条件
01
适用范围：质心运动定律适用于任何由多个质点组成的系统，无论这 些质点之间是否存在相互作用力。
02
适用条件：质心运动定律的应用需要满足以下两个条件
03
质点系所受的外力可以视为作用于质心上的合力。
04
质点系内部的相互作用力对质心的运动没有影响，或者其影响可以忽 略不计。
质点系相对于质心参
角动量
描述刚体绕定轴转动时动量的大小 和方向，等于转动惯量与角速度的 乘积。
刚体绕定轴转动时质心位置变化规律
质心位置不变
刚体绕定轴转动时，其质 心位置保持不变，始终位 于转轴上。
质心速度为零
由于质心位于转轴上，因 此质心的速度为零。
质心加速度为零
由于质心速度为零，因此 质心的加速度也为零。
刚体绕定轴转动时角动量守恒原理
02
考系运动
质点系内各点相对于质心参考系位移
01
02
03
定义
质点系内各点相对于质心 的位置矢量称为相对位移。
性质
相对位移是描述质点系内 各点相对于质心位置变化 的物理量，具有矢量性。
计算方法
通过几何方法或解析方法 求出各点相对于质心的位 置矢量。
质点系内各点相对于质心参考系速度
定义
质点系内各点相对于质心的速度称为相对速度。
大学物理力学：1.5 从质点到质点系统、质心、 质心运动定理
dP
F外 dt
m1
F2
F1
F 外dt＝d P 微分形式 F3
m2
t2 t1
F外dt＝
P2 P1
d
P
P
积分形式
m3
17
二、质点系的动量守恒定律
当F外
0时，d P dt
0 ，P
常矢量
pi mi vi 常矢量
i
i
一个质点系所受的合外力为零时，
说明 这一质点系的总动量就保持不变。
t2
Fdt
t1
单位：Ns 量纲：MLT－1
三、动量定理 将力的作用过程与效果〔动量变化〕 联系在一起
10
I
t2
Fdt
t1
F
dP
dt
dP Fdt
P2
dP
t2
Fdt
P1
t1
P2
P1
I＝
t2
t1
Fdt
I Fdt＝P 在坐标下可有分量表达式
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增 量。这个结论称为动量定理。
dt
x
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F ρ v2 M v2 而v2 2gx F 2Mgx / L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg = Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
16
2.2 动量守恒定律
一、质点系的动量定理 质点系（内力、外力）
以F外和P表示系统的合外力和总动量，则：
此半圆形铁丝的质心。
y
解：选如图坐标系，取长为dl 的铁丝，质量为dm，以λ表示
质量线密度，dm= dl。分析得
质心应在y轴上。
2-1 质心 质心运动定理
Ch2 运动的守恒量和守恒定律§2-1质点系的内力外力质心质心运动定理§2-1 质心质心运动定理动量守恒定律1、质点系的内力和外力质心质心的位置例：任意三角形的每个顶点有一质量m 的小球，求/r m r M =∑G Gz yOΔm ir微元分割！例3-7 求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。
3、质心运动定理质心运动定理G G G G G d v1 G m 1 a1 = m 1 = F1 外 + f 12 + f 13 + " + f 1 n , dt G G G G G d v2 G m 2a2 = m 2 = F2 外 + f 21 + f 23 + " + f 2 n , dt G G G G G d vn G = Fn外 + f n 1 + f n 2 + " + f n ( n − 1) , m nan = m n dt G G G G 由于内力 f12 + f 21 = 0," , f in + f ni = 0, ...由牛顿第二定律:""∴G ∑ m i ai =G ∑ F i外11/18中国矿业大学（北京）质心运动定理G ∑ m i ai =G ac =G ∑ F i外 G ∑ m i aiG ac =G ∑ Fi外∑m∑m=G ∑ Fi外 Mi∑G G Fi外 = M a ci质心运 动定理不管物体质量如何分布，也不管外力作用在物体 什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全都集 中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质 点的运动一样。
12/18 中国矿业大学（北京）补充例题1例1 质量为m1 和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用 绳彼此拉对方。
开始时静止，相距为l。
问他们将在何 处相遇？m2m1Ox20x10x13/18中国矿业大学（北京）补充例题1解：可直接由质心运动定律求出。
初始静止时，小孩系统的质 心位置： m 1 x 10 + m 2 x 20 1 xc = m1 + m 2m2C xcx10m1∑G G G Fi外 = M a c ⇒ a c = 0O x20x质心位置，在过程中应该始终保持静止。
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
4.将坐标原点取在质心上，坐标轴与某惯性系平行 的平动参照系称作质心坐标系或质心系．对于外力 的矢量和为零或不受外力作用的体系的质心参照系 为惯性系，否则为非惯性系．
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、质点系的内力与外力 内力: 质点系内各个质点间的相互作用。 外力: 质点系外物体对系统内质点所施加的力。
系统内，内力是成对出现的。
返回 退出
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
二、质心
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平 均意义上代表着质量分布的中心。
rC
r dm/m
(m dm)
分量式： xC x d m / m yC y d m / m
zC z d m / m
线分布 d m dl
面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心与重心是两个不同的概念，重心是地球对物 体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心 的位置不一定重合。
返回 退出
对于N个质点组成的质点系：
m 1
r1,
,r2m,2,, ri,,mi，,rN，mN
质心的位矢：
rC miri / m
(m mi )
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m yC mi yi / m zC mi zi / m
返回 退出
对于质量连续分布的物体
质心的位矢：
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 能量 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、质点系的内力与外力 内力: 质点系内各个质点间的相互作用。 外力: 质点系外物体对系统内质点所施加的力。
系统内，内力是成对出现的。
返回 退出
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
二、质心
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平 均意义上代表着质量分布的中心。
rC
r dm/m
(m dm)
分量式： xC x d m / m yC y d m / m
zC z d m / m
线分布 d m dl
面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心与重心是两个不同的概念，重心是地球对物 体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心 的位置不一定重合。
返回 退出
对于N个质点组成的质点系：
m 1
r1,
,r2m,2,, ri,,mi，,rN，mN
质心的位矢：
rC miri / m
(m mi )
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m yC mi yi / m zC mi zi / m
返回 退出
对于质量连续分布的物体
质心的位矢：
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 能量 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
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直角坐标系中
M mi
mN y c mi
rc mi ri / M
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
m1
rN
ri
r2 m2 x
rc
r1
O
z
对于质量连续分布的物体
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
由牛顿第二定律得
dv m a m
n n n
d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt
n
dt
Fn f n1 f n 2
f nn 1
对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac mi 质心运 动定理 Fi Mac
yc
ydl
m
0
R sin Rd m
2 R 2 R R m
2
2
例
确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
y dy
R
d m dV R y d y
2 2
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
dm 2 x dx
三角形质心坐标xc是
y a
2
xc
xdm
m
a/ 2
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
直角坐标系下
xc x d m / M yc y d m / M zc z d m / M
r
O x
线分布
面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
z
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，注意质心与重心位置重合的 特例。
Fi fi
内力之和
二、 质心
Y
质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
C
O 抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,mN
r1 , r2 ,, ri , rN
m1r 1 m2 r 2 mn r n m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d ri mi d rc dt dt mi
mi vi mi
质心的加速度为
d vi m i d vc mi ai d t ac dt mLeabharlann miO
2
x
yc
y d m 0 m
2
R
y ( R y ) d y
2
2R / 3
3
R
R 0
y2 d y2
3
4R / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质 心的位矢是：
mi ri rc mi
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。 f 内力：系统内部各质点间的相互作用力 特点：成对出现；大小相等方向相反
fi 0
i
'
f
质点系
结论：质点系的内力之和为零
F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
0
2 x dx
1 2 a 2
2 a 3
O x
x
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。 解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
d m dl xc 0 , yc 2R /
M mi
mN y c mi
rc mi ri / M
xc mi xi / M yc mi yi / M zc mi zi / M
m1
rN
ri
r2 m2 x
rc
r1
O
z
对于质量连续分布的物体
rc
rdm rdm m dm
y c rc dm
由牛顿第二定律得
dv m a m
n n n
d v1 m1a1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 a2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt
n
dt
Fn f n1 f n 2
f nn 1
对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac mi 质心运 动定理 Fi Mac
yc
ydl
m
0
R sin Rd m
2 R 2 R R m
2
2
例
确定半径为R的均质半球的质心位置。
解：建立如图所示坐标 已知薄圆盘的质心位于圆心，取 厚度为dy的薄圆盘为质量微元。
y dy
R
d m dV R y d y
2 2
例题2-1求腰长为a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。 解:建立图示坐标, 在离原点x处取宽度为dx的面积元， 由于面积元的高度为2y，所以其面积为2ydx=2xdx。设 薄板每单位面积的质量为 则此面积元的质量
dm 2 x dx
三角形质心坐标xc是
y a
2
xc
xdm
m
a/ 2
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
直角坐标系下
xc x d m / M yc y d m / M zc z d m / M
r
O x
线分布
面分布 体分布
d m dl dm dS d m dV
z
注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，注意质心与重心位置重合的 特例。
Fi fi
内力之和
二、 质心
Y
质点系的质 量中心，简称质 心。具有长度的 量纲，描述与质 点系有关的某一 空间点的位置。
C
O 抛手榴弹的过程
X
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
m1 , m2 ,, mi ,mN
r1 , r2 ,, ri , rN
m1r 1 m2 r 2 mn r n m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d ri mi d rc dt dt mi
mi vi mi
质心的加速度为
d vi m i d vc mi ai d t ac dt mLeabharlann miO
2
x
yc
y d m 0 m
2
R
y ( R y ) d y
2
2R / 3
3
R
R 0
y2 d y2
3
4R / 3
3R 8
质心在距球心 3R/8处。
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质 心的位矢是：
mi ri rc mi
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。 f 内力：系统内部各质点间的相互作用力 特点：成对出现；大小相等方向相反
fi 0
i
'
f
质点系
结论：质点系的内力之和为零
F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
0
2 x dx
1 2 a 2
2 a 3
O x
x
dx
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
例 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R,求此半圆 形铁丝的质心。 解：建立如图坐标系 任取一小段铁丝， 其 长 度 为 dl ， 质 量 为 dm ， 以 λ 表 示 铁 丝的线密度
d m dl xc 0 , yc 2R /