2-1牛顿运动定律和质心运动定理
2牛顿运动定律
例：一匀加速运动的车厢内，挂一单摆，求摆线与铅直线间夹 角 θ 及绳中张力T？ （加速度 a0 ，摆长 l ，质量 m） 解：在 S ’系 单摆静止
θ
S S ' ma0 mg a0
∴ a′ = 0 ∴ T + mg + ( − ma 0 ) = 0
⎧T sin θ − ma 0 = 0 ⎨ ⎩T cos θ − mg = 0
Tθ = 3mg sin θ
例题：质量为 M 长 L 为的匀质链条，放在一光滑的水平桌面 上，链子的一端有极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用 下开始下落，求在下列两种情况下，链条刚离开桌面时的速度： （1）在刚开始下落时，链条为一直线形式；（2）刚开始下落 时，链条盘在桌子的边缘。假定在链条未脱离桌面的那一部分的 速度，一直保持为零。并解释速度不同的原因。 解： 取坐标如图： 为变加速运动， t 时刻
2 gL 得： x = L 时因为（1）时机械能守恒；（2）时静止链条突然运动，相邻部 分发生了非弹性碰撞，部分机械能转化为其他形式的能量。所 以： v2 < v1
例题
此题不讲
y
已知传送带与砖之间的摩擦系数μs ，砖块质量m，皮带 倾角α，求：匀速运砖时，皮带和砖块间的静摩擦力。 解：1、分析力； 2、建坐标系； N fs x 3、根据牛顿定律建立方程。 α
s '相对 s a0 a = a ′ + a0
F = ma
F
不随参考系变化
F = m(a ′ + a0 )
F0 = − m a 0
F + (− ma0 ) = ma ′
在非惯性系引入虚拟力或惯性力： 在非惯性系 S ‘系：
F + F0 = ma '
质点动力学2019习题解析
(m1
m2 )g m1 m2
2m2a
a2
a
a
(m1 m2 )g 2m1a
m m 1
2大学物理教学中心
Northeastern University
7.一质量为0.05 kg、速率为10 m·s -1的刚球,以与钢板法线呈45º角
的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来;设碰撞时间
1
和m2
的星球,原来为静止,且相
距为无穷远，后在引力的作用下,互相接近 ,到相距为r 时。 求它
们之间的相对速率为多少？
解 由动量守恒，机械能守恒
mv1 mv2 0
1 2
m1v12
1 2
m2v22
G
m1m2 r
0
m1 v 1
v m2 2
解得
v1 m2
2G (m1 m2)r
v2 m1
2G (m1 m2 )r
相对速率 vr v1 v2 m2
2G m (m1 m2 )r 1
2G (m1 m2)r
大学物理教学中心
Northeastern University
x
F
m(x)
mg
o
9.一人从10m深的井中提水，开始桶连 水共10kg，由于水桶漏水，每升高1m 漏去0.2kg的水。水桶被匀速地从井底 提到井口，则人所做的功为多少？重 力做功为多少？(g=9.8m/s2)
m
dt
v dv
t 3t 2dt
2
0
v 2 t3 dx , v(1) 3 dt
x dx
t (2 t 3 )dt
5
0
x 5 2t 1 t 4; x(1) 7.25
DK-2-1
一、质心系的内力和外力
质心运
质点系内各个质点之间都有相互作用，我
们称这种相互作用为内力。
系统外物体对系统内质点所施加的力则为 外力。
如何区分内力和外力？
凡是一个力和它的反作用力成对
地出现在系统内， 那么，这个力
一定是内力。
由于系统的内力成对地出现在系 统内，因此系统的内力之和总是 零，所以它们对整体运动不发生 影响。
这个特殊点C是什么?
它有什么特性呢？
经过仔细研究，可发现：C点的
运动规律就像两个小球的质量都集 中在C点，同时全部外力也都集中
作用在C点，而引起的上抛运动一
样。这个特殊点C称为系统的质量 中心，简称质心。
在研究刚体的一般运动时，质心的概
念非常有用。如果刚体原来是静止的话，
那么，当合力的作用线通过刚体的质心时，
由牛顿第二定律得
质心运动定理 对于内力 f12 f 21 0,, f in f ni 0, mi ai F i Fi Fi ac mi ai M mi ac 质心运 mi
动定理 Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外 力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是 物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都 集中作用其上的一个质点的运动一样。
质心运动定理表明：质点系质心的
运动，可以看成为一个质点的运动，这
个质点集中了整个质点系的质量，也集
中了质点系受到的所有外力。
质心运动定理还表明：质心的运动状 态完全决定于质点系所受的外力，内力
m1 , m2 ,, mi ,mN
r1 , r2 ,, ri , rN
2-1 牛顿运动定律
dv 解：由牛二： − kv = m a = m dt
∫
v v0
∫
t 0
dt
k − t v k m ln = − t ⇒ v = v0e v0 m
快艇的运动方程？
南信大专用
0 0
kt kt k − − − t t m v m m 0 m m m )e = v0 (− )[e − 1] = [1 − e ] x = v0 (− 0 k k k
x
f =∫
d +l
d
df = ∫
d +l
d
mM mM G 2 dx = G lx l
∫
d +l
d
dx x2
mM =G d (d + l )
mM mM →G 2 当d >>l 时 G d(d + l ) d
• 作业：
南信大专用
P39,2-5,2-7,2-8
（1900年）
魔鬼的乌云并
相对论
（1905年）
带来了又一个繁 花似锦的春天。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)
惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
南信大专用
意义
惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；
“惯性”的概念－物体保持静止或匀速直线运动不变的属性，称为惯性。
k − t dx = v = v0e m 又 Q dt
∴
∫
x
dx =
∫
t
v0e
−
k t m
dt
南信大专用
dv? dv dx dv 解： − kv = = ⋅ =v dt dx dt dx
质心运动定理 动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理
212211m m r m r m r c++=r r r 代表一特殊点的位置矢量，i M m =∑质心的位矢cP Mv =v rcF Ma =r r 外2.2 动量定理动量守恒定律12P P I r r r −=在冲击和碰撞过程中，物体间相互作用时间较短，相互作 用力往往很大，而且随时间改变。
这种力通常叫冲力。
平均冲力：冲力对作用时间的平均值r F =F1 t 2 − t1∫t2 t1r r I F dt = ∆t这时动量定理可以写成： F 0 t1It2tr r r r I = F ( t 2 − t 1 ) = P2 − P1由此可以估计冲力的大小例. 一质量为 0.1kg 的小钢球从 2.5m 处 自由下落,与地上水平钢板碰撞后回跳高度 为1.6m. 设碰撞时间为 0.01s, 求撞击力。
解 m h1 h2 y 碰前 v1 =2gh1碰后v 2 = 2gh2小球所受的撞击力 mv 2 − mv 1 m − 2 gh2 − 2 gh1 F= = ∆t ∆t() )r v2 r v10.1 × − 2 × 9.8 × 1.6 − 2 × 9.8 × 2.5 = 0.01 = −126 N (负号表示什么意思?) 质量1kg（=20两），重力约为10N；((小球0.1Kg(2两)，重力约为1N) 撞击力126N, 约等于126个小球的重力。
二、 质点系的动量定理 r r dp r 对系统内第i个质点: Fi + ∑ f ji = i , i = 1,2,.., n j ( j ≠i ) dt r对所有质点n dP r r n ∑ Fi + ∑ ∑ f ji = ∑ i i =1 i =1 j ( j ≠ i ) i =1 dt r n dP n r d n r ∑ Fi = ∑ i = ∑ Pi i =1 i =1 dt dt i =1 n内力和为零质点系的合外力r r F外 dt = dPI =t2质点系的总动量 微分形式 质点系动量定理 （积分形式）∫t1r r r F 外 d t = P2 − P1注意:内力只改变系统内单个质点的动量,不影响质点系的总动量！三、动量守恒定律v v v ∫t1 F外 ⋅ d t = P2 − P1 r r P = 常矢量 F外 = 0t2r r r P = ∑ Pi = ∑ mi vi = 常矢量i i动量守恒定律若质点系所受合外力为零时，则质点系的总动量不随时间 改变。
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
普通物理学(第六版)上册第二章第一节课件
§2.2
动量定理和动量守恒定律
（力与运动的过程关系研究）
一、动量定理
dp 由牛顿第二定律： F = Fdt = dp dt 1、冲量 1）微分形式： dI Fdt Fdt 表示力的时间累积，叫时间 d t 内合外力 F 的冲量。
2）积分形式： I
牛顿运动定律适用的参考系称为惯性参考系。 一切惯性系，对于描述机械运动的力学规律来说是完全 等价的。 在一个惯性系内部所作的任何力学实验都不能够确定这 一惯性系本身是在静止状态，还是在做匀速直线运动。这 个原理叫做力学的相对性原理，或伽利略相对性原理。
二、经典（牛顿）力学时空观
据伽利略变换，可得到经典时空观 同时的绝对性
牛顿力学
时间的测量 长度的测量
与惯性系无关
-----牛顿力学的绝对时空观
三、惯性参考系与非惯性参考系
乙 甲
F
m l0
a
观察者甲： 有力 F 和加速度 a 即
F ma
牛顿定律在该参照系中适用 — 惯性系
观察者乙：有力 F 但没有加速度 a 即 m a 0, F 0
P Mvc P mv dp dp F F dt dt F ma F Mac
质点
质点系
例3 一质量m1=50kg的人站在一条质量为m2=200kg， 长度l=4m的船头上，开始时船静止。求当人走到船尾 时船移动的距离。水的阻力不计。
f 惯的方向与非惯性系的加 速度反向。
注意
惯性力不是真实力，无施力物体，无反作用力。
2、非惯性系中的力学规律
a ' 为物体相对非惯性系的加速度
F f 惯 ma '
质心运动定理讲解
质心运动定理讲解
质心运动定理指的是质点系的质心以恒定的速度沿着直线运动，
且其所受合外力等于其质量与加速度的积。
这个定理结合了牛顿第二
定律和质点系的质心公式，表达了质心运动的关键性质。
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量乘以加速度。
对于质点系，可以将其看成一个由若干个质点组成的系统。
此时，质
点系的质心可以看作是其所有质点质量之和的加权平均值。
因此，如
果我们知道了质点系受到的合外力，就可以计算出质点系的总加速度，从而推导出质心的运动规律。
具体来说，如果质点系受到的合外力为F，质点系的质量为M，
质心的速度为v，则根据牛顿第二定律有F=Ma。
又根据质点系的质心
公式，有Mv=Σmivi，其中Σmivi表示所有质点的质量与速度之积之和。
这里我们假设质点系并不发生转动，因此质心的速度与角速度均
为常数。
将上述两个式子联立，可以得到Mv=F/a，也就是质心的加速度与外力和质点系质量之比相等。
因此，质心的运动可以看成是一个受到
恒定加速度的匀加速直线运动，其速度随时间线性增加。
总之，质心运动定理给出了描述质点系运动的一个关键性质。
通
过计算质心的加速度，我们可以推导出质心的运动规律，从而了解整
个质点系的运动情况。
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vx
F0t dv x dt 0 m
t
x
F0t 2 dx vx 2m dt
竖直方向有 运动轨迹为
2015/3/17
0d x 0
x
t
F0t 2 dt 2m
F0 3 x t 6m
Fy ma y 0 F0 3 x y 3 6mv 0
y v 0t
11
DUT 常葆荣
二、惯性力
5
3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
m1
f 12 f 21
m2
f12 :物体2对物体1的作用
f 21 :物体1对物体2的作用
f12 f 21
说明：①相互作用力作用于两个不同的物体，不能互相抵消。
2015/3/17 DUT 常葆荣 7
例题 已知传送带与砖之间的摩擦系数s ，砖块质量m，皮带 倾角，求：匀速运砖时，皮带和砖块间的静摩擦力。
N
fs
解：1、分析力；
2、建坐标系；
mg sin f s max 0
mg
0
f s mg sin
砖块有下滑的趋势，摩擦力沿斜面向上， 当 fs>N s ,砖与皮带间有相对运动。 思考：若皮带加速运动，想保证砖与皮带 间无相对运动，加速度不可超过多大？
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 3. 第三定律：每一个作用力，总有一个等值的反作用与之 对应；或者说，两个相互作用的物体，彼此对对方的作用 总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
2015/3/17 DUT 常葆荣 2
1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。 惯性——质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的 性质, 其大小用质量量度。 力——使质点改变运动状态的原因 第一定律描述了力处于平衡时物体的运动规律。 提出了用于选择一类特殊参考系的标准。 惯性系——在惯性系中观察，一个不受力或处于受力平衡状 态的物体，将保持其静止或匀速直线运动的状态不变。 相对于惯性系做匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯 性系。
2015/3/17 DUT 常葆荣 21
2、质心运动定理
一个质点系由n个质点构成
mi ri 两边对时 rc mi 间求导
drc vc 左= dt dri mi dt 右= mi
质心的速度
Mvc mi vi
Mvc mi vi P
质点系的总动量就等于质点 系的总质量与质心速度之积
Fi ma0
2015/3/17 DUT 常葆荣
例题 已知人的质量 m=60 kg ，站在电梯中的台秤上，当电 梯以 (1) a= 0 ；(2) a=0.5 ms-2上升； (3) a=0.5 ms-2下降， 分别求台秤的读数。 解 台秤的读数表示人体对其的压力 N
N
（1）
N
a a
（2）
N mg 60 9.8 mg 588 N
（3） N N mg ma ma N
618 N
ma mg mg
DUT 常葆荣
N mg ma 558 N
2015/3/17
15
例题
估算地球转速增大到目前转速的多少倍时赤道 处的物体会飞离地球？
解 分析：飞离地球——惯性离心力大于万有引力
f 惯 m Re
2
2
F引 mg
a0
解 方法(一)
取地面为参考系
a a r a0 设物体的加速度为 a m g N m a m ( a r a0 )
x 方向 mg sin m ( ar a0 sin ) y 方向 N mg cos ma0 cos
y
m
ar
a0
N m ( g a0 ) cos
2015/3/17
ar ( g a0 ) sin
mg
N ar
x
17
DUT 常葆荣
方法（二） 取升降机为参考系 惯性力
y
Fi ma0
mg
mg N Fi mar x 方向 N sin ma cos r
2015/3/17 DUT 常葆荣 3
地球参考系，自转加速度a ~ 3.4 cms-2 地心参考系，公转加速度a ~ 0.6 cms-2 太阳参考系，绕银河系加速度a ~ 3 10-8 cms-2
客观上，没有最好的惯性系，只有更好的惯性系。
2015/3/17
DUT 常葆荣
4
2. 第二定律：物体运动的量的变化率与施加在该物体上的 力成正比，并且发生在该力的方向上。 动量 =质量 速度 动量 “运动的量”
惯性力
2015/3/17
a
a a a0
大小：mao
F m(a ao ) F ma mao
非惯性系中， 牛顿定律在形 式上成立！
方向： ao
DUT 常葆荣
惯性力不是真实力，所 以没有施力物体，没有 反作用力。虚拟力
12
转动参考系的惯性力
在转动的圆盘上，有一个相对圆盘静止的物体。 在地面参考系S中，物体做圆周运动， 牛顿运动定律成立
mi ri rc mi
mi M
质点系的 总质量
直角坐标系中，质心位置的三个直角坐标为
mi xi xc mi
mi yi yc mi
rc xc i yc j zc k
mi zi zc mi
பைடு நூலகம்19
2015/3/17
DUT 常葆荣
例题 质点系有两个质点m1和m2，求出质点系质心的位置。 y 解 l2 rc xc i yc j m1 l 1 m2 m1 x1 m2 x2 mi xi xc xc r c mi m1 m2 r
d vc d vi 两边对时 Mvc mi vi M mi 间求导 dt dt
P mv
“物体运动的量的变化率” 动量对时间的变化率
“力”物体在该方向所受的合外力
d P d mv F外 dt dt
质量不变
dv F外 m ma dt
牛顿第二定律的基 本形式
2015/3/17
[SI]
1N 1kg ms
DUT 常葆荣
2
只适用于低速宏观 物体的运动
2015/3/17 DUT 常葆荣
T 3mg sin
9
例题 一个水平的木质圆盘绕其中心竖直轴匀速转动，在盘 上离中心r=20cm处放一个铁块，如果铁块与木板间的 静摩擦系数 s=0.4，求圆盘转速增大到多少时，铁块 y N 开始在圆盘上移动。 解：对铁块分析，它在盘上不动时， 是作半径为r的匀速圆周运动，具有 法向加速度 a r 2
第二章 质点和质点系动力学
牛顿运动定律和质心运动定理
动量定理和动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
功能原理和机械能守恒定律
2015/3/17
DUT 常葆荣
1
2.1
牛顿运动定律和质心运动定理
一、牛顿运动定律 1. 第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动状态， 除非作用在其上的力迫使它改变这种状态。
mao Fi
DUT 常葆荣
例题
在加速运动的列车上分析悬挂与列车天花板上的小球 的受力 y′
ao
以车厢为参考系，计算悬线和竖 直方向之间的夹角。 解：以车厢为参考系，小球静止
ma0 T
mg
a 0
以车厢为参考系，对小球用 牛顿第二定律 O
x′
a0 arctg g
14
x′向： T sin Fi ma x 0 y′向： T cos mg ma y 0
相互作用力属同类，同时存在，同时消失。 系统的内力成对出现，并且内力之和为0.
2015/3/17 DUT 常葆荣 6
动力学问题： 力运动
运动力
解题步骤 1、确定研究对象； 2、分析物体的运动状态；(不同物质运动间的关系) 3、分析力，一个不多，一个不少； 4、选定坐标系按牛顿定律列方程； 5、解方程。先字母，后代数，结果有单位； 6、分析讨论所得结果，判断结果是否正确。
2015/3/17
DUT 常葆荣
8
例题 一个质量为m的珠子系在线的一端，线的另一端固定在墙 上，线长为l。先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使 珠子下落，求线摆下角时，这个珠子的速率和线的张力。 解：由于珠子沿圆周运动，所以我们按切向 和法向来列牛顿第二定律的分量式 在任意时刻，摆角为时，
S S’
非惯性系中，牛顿运动定律失效。 若在非惯性系研究问题，需寻找 适用的定律。
设
Fi
ao
S 为惯性系， S 为非惯性系， S 相对 S 做平动，加速度为 a0
S系： S’系:
F ma
F mao ma F Fi F ma
mao Fi
2 ydx 2 xdx
设薄板单位面积的质量为 小面元的质量为 dm 2 xdx
O x
a
x dx
xc
xdm dm
a/ 2
0 a/
0
2 a 2 3 2 x d x
2 x d x
2
质心和重心是两个不同的概念，质心是与物体质量分布有关 的一个特殊点，而重心是一个物体各部分所受重力的合力作 用点。
g 3 1 1.238 10 r a d s Re