线性代数课件1.1
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线性代数第一章课件,数学
n(n − 1) = 2
新的排列，这种变换称为排列的一个对换. 如果将排列32514中的2与4对调，则 得到的新排列34512，它的逆序数 τ( 34512 )=2+2+2+0=6，为偶排列.这说明， 奇排列32514经过一次对换得到偶排列 34512。一般地，有以下定理。 定理1.1.1 一次对换改变排列奇偶性. 证 分两种情况考虑.
定义1.1.2 在一个排列中，若一个较 大的数排在一个较小的数的前面，则称这 两个数构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序的总数称为这个排列的逆序数.用
τ(j1,j2,…,jn)表示排列j1,j2,…,jn的逆序数.
逆序数是偶数的排列称为偶排列，逆序数 是奇数的排列称为奇排列. 对一个n阶排列 j1,j2,…,jn ，如何求它 的逆序数呢？
τ (n(n − 1) L321)
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 + 0
排列32514为奇排列;排列n(n-1) …321, 当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时 为奇排列. 定义1.1.3 把一个排列中某两个数的 位置互换，而其余的数不动，就得到一个
1.1.2 二阶与三阶行列式 本段的目的是叙述行列式这个概念的 形成，这需要从解线性方程组谈起. 设二元一次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 .
（1.1.6）
用消元法去解此方程组.先分别用a22和-a12 去乘（1.1.6）式的一式和二式的两端，然 后再将得到的两式相加，得
D2 =
a11
线性代数PPT 1-1
3 4 2 1 1 4 2 3 1 2 4 3 1 2 3 4
5
2
1
0
结论：
①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
系列对换互变.
12
①的证明 相邻情形
设排列 …jk… (1) 经j,k对换变成 …kj… (2), 此时， (1)与(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化； 而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
(iii)项数为 3！=6
“-” 321 213 132 （奇排列） 17
推广之，有如下n 阶行列式定义 定义： n阶行列式
a11 D a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
1 2 n
( 1)
( j1 j 2 j n )
7
例2 计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
解:由主对角线法，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 (4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 1 4
4 6 32 24 8 4
0 0 0
2
0 0
n 1
0
n
解
由行列式定义, D
( 1)
( j1 j 2 j n )
a 1 j a 2 j a nj
1 2
n
和式中仅当 j 1 n , j 2 n 1 , , j n 1 2 , j n 1 时 ，
线性代数第一章 矩阵
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
线性代数课件1(华中科技大学)
行列式，并记作 a11 a12
(5)
a21 a22
即
D a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11
副对角线 a21
a12 a11a22 a12a21.
a22
对于二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
5 0,
同理可得
2 2 1
1 2 1
D1 1 1 3 5, D2 2 1 3 10,
0 1 1
1 0 1
1 2 2
D3 2 1 1 5, 1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
1.1.2 n元排列的逆序与对换
一、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
定义 自然数1，2，3…n按一定次序排成一 排，称为n元排列,记为 i1i2 in
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序(或称 自然排列1234….n).
例如：4231为奇排列，则经过1次（奇次）对换变 成为标准排列（自然排列）1234
1.1.3 n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
线性代数课件(高教版)1-1
元素全是实数的矩阵称为实矩阵,
元素中含有复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
A
aam1 amn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
0 0
0 0 1
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为
同型矩阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m行n列 矩阵.简称m n 矩阵.记作
主对角线 a11
A
a21
a12
a22
第一篇 线性代数 第一章
a12 a1n a22 a2 n 0 ann
a 11 32 Dn a11 (1) an2
a n 3 a nn
a11 Dn1 a11a22 Dn2 a11a22 ann
叫上三角行列式。
习题1.1
1．计算下列行列式：
（1） 2 1
1 1 2 1
（2）
2 x 3 y 12 0 3x 7 y 5 0
x2 4 9 2 1 3 0 1
4．解下列方程
（1） 1
x2 0
1 x2 0
0 。 1 x2
0
（2） x
1
5．写出下列行列式中元素
1 3 2 4 0 8 3 0 1 0 4 1 2 1 0 1
a12
到 a 21 用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的
值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得
的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。
a11
a12
a21 a22
图1-1
(1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的 aij 都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则 行列式的值是一个代数式。通常用字母Ｄ表示行列式。 利用二阶 行列式的概念，方程组(1-1-1)中 x , x 的分子也可以用二阶行列式表 示， b1 a12 a11 b1
(1-1-1)
用消元法消去 x2 ，得到
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 b2a12
同理消去 x1 ，得到 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 a21b1 当 a11a22 a12a21 0时，方程组(1-1-1)的解为
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
否则称之为无解或不相容。
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
2014线性代数课件-§1.1
i为行标，表明元素位于第i行， j为列标，表明元素位于第j列。
a11 【注】2阶行列式 a21
a12 表示一个代数式。 a22
行列式记忆方法：对角线法则
主对角线 (main diagonal) 副对角线 (minor diagonal)
a11
a21
a12 a22
= a11a22-a12a21
主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积。
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 当 a11a22-a12a210时，方程组有唯一解：
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
如果某个集合S中任意两个元素a, b经过某种运算得到 的结果仍属于S，就称S对这种运算封闭(closed)。 数域F对加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。
例1 任意一个数域都包含有理数域作为子域。 【证】设K为数域，则K至少包含元素0和1，从而 2=1+1K, 3=2+1K,…, n=(n-1)+1K， -n=0-nK， 因此K包含全体整数，即ZK(Z为整数集)。 又设a为有理数，则存在n, m(m0)Z，使 a=n/mK， 因此QK。
综合上例结论 1、任意一个数域都包含整数集作为子集。 2、任意一个数域都包含有理数域作为子域。
【注】有理数域是最小数域，复数域是最大数域。
二、2阶、3阶行列式 1、2阶行列式 用消元法解二元线性方程，其中系数都来自某数域F， a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2 (2) (1)a22：a11a22x1+a12a22x2=b1a22 (2)a12：a12a21x1+a12a22x2=b2a12 两式相减消去x2，得 (a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2 类似地，消去x1，得 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1
a11 【注】2阶行列式 a21
a12 表示一个代数式。 a22
行列式记忆方法：对角线法则
主对角线 (main diagonal) 副对角线 (minor diagonal)
a11
a21
a12 a22
= a11a22-a12a21
主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积。
a11 x1 a12 x2 b1 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 当 a11a22-a12a210时，方程组有唯一解：
a22b1 a12b2 a11b2 a21b1 x1 ， x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
如果某个集合S中任意两个元素a, b经过某种运算得到 的结果仍属于S，就称S对这种运算封闭(closed)。 数域F对加、减、乘、除(除数不为0)运算封闭。
例1 任意一个数域都包含有理数域作为子域。 【证】设K为数域，则K至少包含元素0和1，从而 2=1+1K, 3=2+1K,…, n=(n-1)+1K， -n=0-nK， 因此K包含全体整数，即ZK(Z为整数集)。 又设a为有理数，则存在n, m(m0)Z，使 a=n/mK， 因此QK。
综合上例结论 1、任意一个数域都包含整数集作为子集。 2、任意一个数域都包含有理数域作为子域。
【注】有理数域是最小数域，复数域是最大数域。
二、2阶、3阶行列式 1、2阶行列式 用消元法解二元线性方程，其中系数都来自某数域F， a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2 (2) (1)a22：a11a22x1+a12a22x2=b1a22 (2)a12：a12a21x1+a12a22x2=b2a12 两式相减消去x2，得 (a11a22-a12a21)x1=a22b1-a12b2 类似地，消去x1，得 (a11a22-a12a21)x2=a11b2-a21b1
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1. 2.
A nonzero row or column in a matrix means a row or column that contains at least one nonzero entry A leading entry of a row refers to the leftmost nonzero entry
Matrix Notation
Solving a Linear System
Solving a Linear System
Solving a Linear System
Note : row operations are reversible
1. 2.
3.
If two rows are interchanged, they can be returned to their original positions by another interchange If a row is scaled by a nonzero constant c, then multiplying the new row by 1/c produces the original row Suppose that c times row 1 is added to row 2 to produce a new row 2. Then adding –c times row 1 to (new) row 2 leads to the original row 2
Existence and Uniqueness Questions
Section 1.2 Row Reduction and Echelon Forms
Introduce a row reduction algorithm : this algorithm can be applied to any matrix, whether or not the matrix is viewed as an augmented matrix for a linear system. Answer the fundamental existence and uniqueness questions Definition :
Example :
Consistent vs Inconsistent
Example :
A system of linear equations has
1.
2.
3.
No solution, or Exactly one solution, or Infinitystem of linear equations is said to be consistent if it has either one solution or infinitely many solutions; a system is inconsistent if it has no solution.
Existence and Uniqueness Questions
Existence and Uniqueness Questions
Using row reduction to solve a linear system
1. 2.
3. 4. 5.
Write the augmented matrix of the system Use the row reduction algorithm to obtain an equivalent augmented matrix in echelon form. Decide whether the system is consistent. If there is no solution, stop; otherwise, go to the next step. Continue row reduction to obtain the reduced echelon form. Write the system of equations corresponding to the matrix obtained in step 3. Rewrite each nonzero equation from step 4 so that its one basic variable is expressed in terms of any free variables appearing in the equation.
Echelon Forms
Echelon Forms
Echelon Forms
Pivot Positions
The Row Reduction Algorithm
The Row Reduction Algorithm
Solutions of Linear Systems
Solutions of Linear Systems
Linear Algebra
Chapter 1. Linear Equations in Linear Algebra
Section 1.1 System of Linear Equations
A Solution of the Linear System
Consistent vs Inconsistent
Note: row operations do not change the solution of a linear system.
If the augmented matrices of two linear systems are row equivalent, then the two systems have the same solution set.
Section 1.3 Vector Equations
A nonzero row or column in a matrix means a row or column that contains at least one nonzero entry A leading entry of a row refers to the leftmost nonzero entry
Matrix Notation
Solving a Linear System
Solving a Linear System
Solving a Linear System
Note : row operations are reversible
1. 2.
3.
If two rows are interchanged, they can be returned to their original positions by another interchange If a row is scaled by a nonzero constant c, then multiplying the new row by 1/c produces the original row Suppose that c times row 1 is added to row 2 to produce a new row 2. Then adding –c times row 1 to (new) row 2 leads to the original row 2
Existence and Uniqueness Questions
Section 1.2 Row Reduction and Echelon Forms
Introduce a row reduction algorithm : this algorithm can be applied to any matrix, whether or not the matrix is viewed as an augmented matrix for a linear system. Answer the fundamental existence and uniqueness questions Definition :
Example :
Consistent vs Inconsistent
Example :
A system of linear equations has
1.
2.
3.
No solution, or Exactly one solution, or Infinitystem of linear equations is said to be consistent if it has either one solution or infinitely many solutions; a system is inconsistent if it has no solution.
Existence and Uniqueness Questions
Existence and Uniqueness Questions
Using row reduction to solve a linear system
1. 2.
3. 4. 5.
Write the augmented matrix of the system Use the row reduction algorithm to obtain an equivalent augmented matrix in echelon form. Decide whether the system is consistent. If there is no solution, stop; otherwise, go to the next step. Continue row reduction to obtain the reduced echelon form. Write the system of equations corresponding to the matrix obtained in step 3. Rewrite each nonzero equation from step 4 so that its one basic variable is expressed in terms of any free variables appearing in the equation.
Echelon Forms
Echelon Forms
Echelon Forms
Pivot Positions
The Row Reduction Algorithm
The Row Reduction Algorithm
Solutions of Linear Systems
Solutions of Linear Systems
Linear Algebra
Chapter 1. Linear Equations in Linear Algebra
Section 1.1 System of Linear Equations
A Solution of the Linear System
Consistent vs Inconsistent
Note: row operations do not change the solution of a linear system.
If the augmented matrices of two linear systems are row equivalent, then the two systems have the same solution set.
Section 1.3 Vector Equations