优化建模练习题解答
数模优化问题作业答案
解 设分别购买饲料A B C D E 各i x 个单位，每单位营养成分为ij a ，单价为j c ，每天对营养成分的需要量为j b 。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==5,4,3,2,1,03,2,1,..min 5151i x j b x a t s x c f ii ji ij i ii model : title ex1; sets :s1/1..5/:c,x; s2/1..3/:b; link(s1,s2):a; endsets data :c=2 7 4 3 8; b=700 30 100; a=; enddatamin =@sum (s1:c*x);@for (s2(j):@sum (s1(i):a(i,j)*x(i))>b(j));end每天购买饲料D 39.743kg,E 25.641k ，最少费用324.359元.解 设分别生产三种产品i x 个单位。
model : title ex2;max =3000*x1+2000*x2+2900*x3; 8*x1+2*x2+10*x3<300; 10*x1+5*x2+8*x3<400; 2*x1+13*x2+10*x3<420; end分别生产22.5,23.2,7.3个单位，利润最大，为135266.7元。
设备B 的单位租金为300元，高于影子价格266.67元，所以不合算。
产品Ⅰ的单位利润在（3000-1454.55,3000+333.33）上变化都不用改变生产计划。
3.队员选拔问题 某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表：队员号码 身高（厘米） 技术分 位置1 185 8.6 中锋2 186 9 中锋3 193 8.4 中锋 4 190 9.5 中锋5 182 9.1 前锋6 184 9 前锋7 188 8.1 前锋 8 186 7.8 后卫9 190 8.2 后卫 10 192 9.2 后卫队员的挑选要满足下面条件： （1）至少补充一名前锋。
数学建模培训-最优化方法练习题
练习1、求解下列线性规划问题。
（1）()131********max 43112.22233332436400,1,2,3,4i f x x x s tx x x x x x x x x x i =--++-=+=-+=≥= （2）()123123123max 23.2222320,1,2i f x x x x s tx x x x x x x i =---+≤-+-≤-≥=（3）()1231212312max 564.22553415100,1,2,3i f x x x x s tx x x x x x x x i =+++≤++≤+≤≥=（4）12312312312123min 33..25231612,,0x x x s t x x x x x x x x x x x -++-+≤-+≤+≤≥ （5）1212312412515max 2..506221,,0x x s t x x x x x x x x x x x +++=-++=++=≥ （6）()123412341234max 30354045..34647043658001,2,3,4i x x x x s t x x x x x x x x x i ++++++≤+++≤≥=2、建立线性规划模型，求解下列问题。
（1）某工厂生产甲、乙两种产品。
已知生产甲种产品t 1需耗A 种矿石t 10、B 种矿石t 5、煤t 4；生产乙种产品t 1需耗A 种矿石t 4、B 种矿石t 4、煤t 9。
每t 1甲种产品的利润是600元，每t 1乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过t 300、B 种矿石不超过t 200、煤不超过t 360。
甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？（2）设有A 1，A 2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B 1，B 2，B 3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。
优化设计习题答案
第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量 、 目标函数 、 约束条件。
2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，海赛矩阵 为2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数。
4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题，的基础上力求简洁。
5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。
6.随机方向法所用的步长一般按加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例递增的方法。
7.最速下降法以负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法，其收敛速度较 慢 。
8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ∇=必要条件是该点处的海赛矩阵正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束优化问题变成无 约束优化问题，这种方法又被称为升维法。
10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩，收缩，压缩11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为单变量的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现相互矛盾的约束，，另外应当尽量减少不必要的约束。
13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。
14.数学规划法的迭代公式是1k k k k X X d α+=+，其核心是建立搜索方向，和计算最正确步长15协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。
16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。
二、名词解释1．凸规划对于约束优化问题()min f X..s t ()0j g X ≤(1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸规划。
数学建模实验答案_简单优化模型
实验03 简单的优化模型（2学时）（第3章简单的优化模型）1. 生猪的出售时机p63~65目标函数（生猪出售纯利润，元）：Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640其中，t≥ 0为第几天出售，g为每天价格降低值（常数，元/公斤），r为每天生猪体重增加值（常数，公斤）。
求t使Q(t)最大。
1.1（求解）模型求解p63(1) 图解法绘制目标函数Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640的图形（0 ≤t≤ 20）。
其中，g=0.1, r=2。
从图形上可看出曲线Q(t)的最大值。
(2) 代数法对目标函数Q(t) = ( 8 – g t )( 80 + rt ) – 4t – 640用MATLAB求t使Q(t)最大。
其中，r, g是待定参数。
（先对Q(t)进行符号函数求导，对导函数进行符号代数方程求解）然后将代入g=0.1, r=2，计算最大值时的t和Q(t)。
要求：①编写程序绘制题(1)图形。
②编程求解题(2).③对照教材p63相关内容。
相关的MATLAB函数见提示。
★要求①的程序和运行结果：★要求②的程序和运行结果：1.2（编程）模型解的的敏感性分析p63~64对1.1中(2)所求得的符号表达式t(r,g)，分别对g和r进行敏感性分析。
(1) 取g=0.1，对t(r)在r=1.5:0.1:3上求r与t的关系数据，绘制r与t 的关系图形（见教材p65）。
(2) 取r=2，对t(g)在g=0.06:0.01:0.15上求g与t的关系数据，绘制g 与t的关系图形（见教材p65）。
要求：分别编写(1)和(2)的程序，调试运行。
★给出(1)的程序及运行结果：★给出(2)的程序及运行结果：2.（编程）冰山运输模型求解p77~81按函数调用顺序。
(1) 每立方米水所需费用),(),(),(000V u W V u S V u Y =u 为船速，V 0为冰山的初始体积。
优化建模练习题解答
例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。
建立以下线性规划模型：6543218121110913m in x x x x x x z +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++=+=+=+6,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600400..654321635241 i x x x x x x x x x x x x x t s i例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。
一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：约束条件为：线性规划模型：212124323848x x x x +=⨯⨯+⨯⨯21211282)%5158%2258(x x x x +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤⨯⨯≤⨯⨯≥⨯⨯+⨯⨯0,0180015818002581800158258212121x x x x x x 213640m in x x z +=例3 投资问题某单位有一批资金用于四个工程项目的投资，用于各工程项目时所得到得净收益（投入资金的百分比）如下表所示：由于某种原因，决定用于项目A 的投资不大于其它各项投资之和；而用于项目B 和C 的投资要大于项目D 的投资。
数学建模与优化考试试题
数学建模与优化考试试题题目一：某市的公交公司需要对公交车的发车时间进行调整，以满足市民的出行需求，并尽量减少公交车的等待时间和拥挤情况。
为了有效地解决这个问题，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。
1. 问题描述某市公交车的运营时间为早上6点至晚上10点，每天间隔一段固定的时间发车。
公交车站点数量为M，每个站点的上下客时间为Ti。
现有数据显示，在早高峰时段（7点至9点）和晚高峰时段（17点至19点）市民出行需求较大，其他时间段市民出行需求较小。
公交公司希望尽量减少市民的等待时间和公交车的拥挤情况，提高出行效率。
因此，需要调整公交车的发车时间以适应市民的出行需求。
2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的公交车发车时间。
首先，我们将问题简化为一个最小化等待时间和最小化拥挤度的目标函数。
然后，通过对每个站点发车时间的调整，最大限度地优化这个目标函数。
3. 数据收集与分析为了准确建立模型，需要收集和分析以下数据：- 各个站点在早高峰时段和晚高峰时段的平均上下客时间；- 各个站点在各个时间段的客流量统计数据；- 公交车到站时间的统计数据。
4. 模型求解利用收集到的数据和已经建立的数学模型，可以通过数学优化算法求解最优的公交车发车时间。
该算法将最小化等待时间和拥挤度作为目标函数，并考虑到市民出行需求的变化。
5. 结果分析与改进根据模型求解的结果，可以进行结果分析，并对公交车发车时间进行进一步的调整和优化。
同时，还可以对模型进行改进，如引入更多的因素，如天气、节假日等。
题目二：某工厂需要优化生产线的排布和生产策略，以提高生产效率和降低成本。
为了完成这个任务，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。
1. 问题描述该工厂的生产线包括多个工作站，每个工作站都有不同的生产能力和工作时间。
目前，生产线的排布和生产策略并不完善，导致生产效率低下和成本较高。
工厂希望通过优化生产线的排布和生产策略，提高生产效率，降低成本。
2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的生产线排布和生产策略。
13.建模作业_优化问题
《数学建模》课程作业题一13第五章优化模型•优化问题1、已知某工厂计划生产I, 11,111三种产品，各产品需要在A, B,C 设备上 加工，有模型得建立及求解：设生产I, 11,111产品xl, x2,x3件z 为所获得得利润。
于就是数学模型如下:利用mail a b 求解（附录一）得到最优值Z =1 3 5、2667（千元）, 生产方案如下表.生产I, I I, III 产品分别为2 3 , 23,7利润最大为125、2667千元.（2）若为了增加产量，可租用别得工厂设备B,每月可租用60台，租金1、8万 元，租用B 设备就是否划算？ 模型得建立及求解：租用别得工厂设备B 以后模型为：利用matlab 求解（附录二）得到最优值Z 二129（千元）， 生产方案如下表。
生产I, II, IH 产品分别为31, 28, 0利润最大为129千元.（3）若另有俩种新产品IV 、V,其中新产品IV 需用设备A 为12台时，B 为 5台时,C 为10台时,单位产品盈利2、1千元;新产品V 需用设备A 为4台时，B 为4台时，C 为12台时，单位产品盈利1、87千元，如A,B, C 得设备台时不 增加,这两种新产品投产在经济上就是否划算？ 模型得建立及求解：添加两个新产品IV 、V 后，IV 、V 对应得产品数分别为x4,x5,建立模型如下: 利用ma t lab 求解（附录三）得到最优值Z =136、96 2 5 （千元），生产方案如下告产I, II, III, IV, V产品分别为27, 16, 0, 0, 14利润最大为136、962 5千兀。
（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构、改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位盈利4、5千元,这时对原计划有何影响？模型得建立及求解：改进结构后，建立得模型如下：利用mat la b求解（附录四）得到最优值Z二1 53、1 618 （千元），生产方案如下表.生产I,II, III产品分别为23, 2 5, 0利润最大为153、1618千元。
优化建模练习题
模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
表 A、B、C三地出产原料、消耗产品情况表
地点 年产原料（万 年销产品（万 生产费用（万元/万
吨）
吨）
吨）
A
20
7
150
B
16
13
120
C
24
0
100
解：
例7 生产计划的最优化问题 某工厂生产A和B两种产品，它们需要经过三种设备的加工，其工时
如表所示。设备一、二和三每天可使用的时间分别不超过12、10和8小 时。产品A和B的利润随市场的需求有所波动，如果预测未来某个时期内 A和B的利润分别为4和3千元/吨，问在那个时期内，每天应安排产品A、 B各多少吨，才能使工厂获利最大？
的产品（见表）。已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：
A-B：150km，A-C：100km，B-C：200km。假定每万吨原料运输1km的运
价是5000元，每万吨产品运输1km的运价是6000元。由于地区条件的差
异，在不同地点设厂的生产费用也不同。问究竟在哪些地方设厂，规模
多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B处建厂的规
解：设用于个项目的投资金额为。 目标函数： 约束条件：
例4 裁料问题 在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9m、
2.1m和1.5m三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。 目前在市场上采购到的同类钢筋的长度每根均为7.4m，问应购进多少根 7.4m长的钢筋才能满足工程的需要？
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例1 (任务分配问题)某车间有屮、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900,三种工件的数量分别为400、600和500,且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，乂使加工费用最低？
解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为在乙车床上加工工件1、2、3
的数量分别为七，召,心。
建立以下线性规划模型：
nin z = 13斗 + 9x2 + 10x3 + llx4 + 12x5 + 8x6
x{ + x4 = 400
x2 + x5 = 600
+ x6 = 500
0.4Xj +1」兀+x3 <800 0.5X4+l.2x s + 1.3X6 < 900
兀n0J = 12 …,6
例2某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。
一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98眾计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%, II-时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各儿名？解：设需要一级和二级检验员的人数分别为州宀人,则应付检验员的工资为:
8x4xx t +8X3XX2 =32召 + 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8x25x2% XX] +8x15 x5%xx2)x2 = 8x)+12x2
故LI标函数为：
nin z = (32X] +24x?) + (8X] +12吃)=40“ +36x2
约束条件为：
8x25xx t +8xl5xx2 > 1800
8x25xx, <1800
8X15XX2 S1800
%! >0,x2 > 0
线性规划模型:
min z = 40X] + 36x2
5X[ + 3X 2 > 45 x. <9 s.t.
x 2<i5
Xi > 0,x 2 > 0
例3投资问题
某单位有一批资金用于四个工程项□的投资，用于各工程项口时所得到得净收益(投入 资金的白分比)如下表所示：
由于某种原因，决定用于项LI A 的投资不大于其它各项投资之和；而用于项UB 和C 的 投资要大于项目D 的投资。
试确定使该单位收益最大的投资分配方案。
解：用羽宀宀，兀分别代表用于项SJA 、B 、C 和D 的投资百分数，由于各项目的投资百分数
之和必须等于100%,所以x }+x 2+x 3+x 4=\ 9 据题意，可以建立下面的数学模型：
max z =0.15召 + O.lx 2 + (LOS® + 0.
12X 4
.V| <x +x + x si.
< x 2 +x % > x 4
X, + x 2+ x 3 + A 4 = 1
4 > 0,
例4裁料问题
在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋111 2. 9m. 2・lm 和l ・5m 三种不同 长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。
LI 前在市场上采购到的同类钢筋的长度每 根均为7. 4m,问应购进多少根7.4m 长的钢筋才能满足工程的需要？
解：首先分析共有多少种不同的套裁方法，该问题的可能材料方案如表所示。
设以“（匸1, 2, 8）表示按笫i 种裁料方案下料的原材料数量，则可得该问题的数学模型
为:
niii z = x x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x y +
2xj + x2 + + x4 > 10000
2X2+ X3+3X5+2X6 + x7 > 10000 s』.<
X] + 勺 + 3X4+2X6+3x? + 4x g > 10000
X； > 0,整数
例5工作人员计划安排问题
某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4小时为一个时间段）所需的值班人数如表所示，这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间），问该公交系统至少需要多少名工作人员才能满足值班的需要？
解：设A; （/=1, 2, 6）为第：个时段开始上班的人员数，据题意建立下面的数学模型:
nin z = £ + Ji? + X3 + X4 + X5 + 兀6
x6 + Xj = 60
X] + 尤2 = 70
x2 + x3 = 60
s』・]勺+ x4 = 50
x4 + x5 = 20
例6 厂址选择问题
考虑A、B、C三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见表9-15） o 已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A-B： 150km, A-C： 100km, B-C： 200km。
假定每万吨原料运输lkm的运价是5000元，每万吨产品运输lkm的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
表A、B、C三地出产原料、消耗产品情况表
C240100
解：令心为山i地运到J地的原料数量（万吨），y”为山i地运往丿•地的产品数量（万吨），。
•二1,2, 3 （分别对应A、B、C三地）。
根据题意，可以建立问题的数学模型（其中目标函数包括原材料运输费、产品运输费和生产费）：
min z=75X12 + 50x B + 75x21 + 1 OOx23 + 50x3l +1 OOx32
+150〉、］ + 240V12 + 210y21 +120）® +160y31 + 220y32
“2 + 册3 + 3戸i + 3y12 - x21一x31 < 20
勺1 + 勺3 + 3〉‘2I + 3）‘22 一“2 一< 1 6
X31 + X32 + 3）5 + 3力2 —坷3 — X23 < 24
sJ.
y2i + $22 s 5
>'11 + >'2! +>*31 =7
丿12 +）‘22 +『32 =13
例7生产计划的最优化问题
某工厂生产A和B两种产品，它们需要经过三种设备的加工，其工时如表9-16所示。
设备一、二和三每天可使用的时间分别不超过12、10和8小时。
产品A和B的利润随市场的需求有所波动，如果预测未来某个时期内A和B的利润分别为4和3千元/吨，问在那个时期内，每天应安排产品A、B各多少吨，才能使工厂获利最大？
产品设备一设备二设备三
A （小时/吨）334
B （小时/吨）432
设备每天最多可工作
12108
时数（小时）
解：设每天应安排生产产品A和B分别为小吨和七吨，山题意建立下面的数学模型:
nnx z = 4%| + 3X2
3x, + 4X2 S 12
3“ + 3X2 < 10
4X| + 2X2 < 8。