线性规划问题求解
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划问题求解的基本方法
线性规划问题求解的基本方法线性规划是一种重要的数学方法，可用来解决许多实际问题。
它的核心是寻找目标函数下的最优解，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
在实际应用中，我们通常使用线性规划求解器来解决这些问题。
本文将介绍线性规划问题求解的基本方法。
一、线性规划问题的标准形式线性规划问题可以写成如下的标准形式：$$ \begin{aligned} &\text{最小化} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ &\text{满足} \quad A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \mathbf{x} \geq\mathbf{0} \end{aligned} $$其中，$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 是一个 $ n $ 维向量，$ \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n $ 是目标函数的系数向量，$ A \in\mathbb{R}^{m \times n} $ 是约束条件矩阵，$ \mathbf{b} \in\mathbb{R}^m $ 是约束条件的右侧向量。
二、线性规划问题的求解方法1. 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题最常用的方法，基本思想是不断循环迭代，利用基变量与非基变量的互换来寻找可行解，并逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）将标准形式化为相应的单纯形表。
（2）从单纯形表的行中选择一个入基变量，使目标函数值减小。
（3）从入基变量所在列中选择一个出基变量。
（4）用入基变量和出基变量生成一个新的单纯形表。
（5）重复上述步骤直到达到最优解。
单纯形法的优点在于可以找到最优解，但当变量数量增多时，计算时间随之增加。
因此，对于大规模问题来说，单纯形法可能不是最优的求解方法。
2. 内点法内点法是一种比单纯形法更高效的求解线性规划问题的方法。
它选取一个内点作为初始点，逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）选取一个内点作为初始点。
线性规划问题的Lingo求解
Lingo中参数设置与调整
01
参数设置
02
调整策略
Lingo允许用户设置求解器的参数， 如求解方法、迭代次数、收敛精度等 。这些参数可以通过`@option`进行 设置。
如果求解过程中遇到问题，如无解、 解不唯一等，可以通过调整参数或修 改模型来尝试解决。常见的调整策略 包括放松约束条件、改变目标函数权 重等。
02
比较不同方案
03
验证求解结果
如果存在多个可行解，需要对不 同方案进行比较，选择最优方案。
可以通过将求解结果代入原问题 进行验证，确保求解结果的正确 性和合理性。
感谢您的观看
THANKS
问题，后面跟随线性表达式。
02 03
约束条件表示
约束条件使用`subject to`或简写为`s.t.`来引入，后面列出所有约束条 件，每个约束条件以线性表达式和关系运算符（如`<=`, `>=`, `=`, `<`, `>`）表示。
非负约束
默认情况下，Lingo中的变量是非负的，如果变量可以为负，需要使用 `@free`进行声明。
问题的解通常出现在约束条件的边界上 。
变量通常是连续的。
特点 目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题应用场景
生产计划
确定各种产品的最优生产量， 以最大化利润或最小化成本。
资源分配
在有限资源下，如何最优地分 配给不同的项目或任务。
运输问题
如何最低成本地将物品从一个 地点运输到另一个地点。
金融投资
03
求解结果
通过Lingo求解，得到使得总加工时间最短的生产计划安 排。
运输问题优化案例
问题描述
某物流公司需要将一批货物从A地运往B地，可以选择不同的运输方式和路径，每种方式和路径的运输时间和成本不 同。公司需要在满足货物送达时间要求的前提下，选择最优的运输方式和路径，使得总成本最低。
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
线性规划问题的求解算法和应用
线性规划问题的求解算法和应用线性规划是一种常见的数学优化问题，求解线性规划问题具有广泛的应用。
本文将对线性规划相关算法进行介绍，并讨论线性规划在实际问题中的应用。
一、线性规划基本概念线性规划是指在一定约束条件下，优化一个线性目标函数的问题。
线性规划问题的一般形式如下：\begin{equation}\begin{aligned} \max/min & \quadc_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...c_{n}x_{n} \\ \text{s.t.} & \quada_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...a_{1n}x_{n}\leq b_{1} \\ & \quada_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...a_{2n}x_{n}\leq b_{2} \\ & \quad ... \\ & \quad a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...a_{mn}x_{n}\leq b_{m} \\ & \quad x_{i}\geq 0(i=1,2,...,n) \end{aligned}\end{equation}其中，$c_{i}$是目标函数的系数，$a_{ij}$是约束条件的系数，$b_{i}$是约束条件的右端常数，$x_{i}$是决策变量。
线性规划的基本概念包括可行解、最优解、最优值等。
可行解是指满足约束条件的解。
最优解是指目标函数取得最优值时的决策变量取值。
最优值是指目标函数在可行解集合中取得的最大或最小值。
二、线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要分为两种：单纯形法和内点法。
下面对这两种方法进行简要介绍。
1. 单纯形法单纯形法是目前解决线性规划问题的最主要方法。
其基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，最终找到最优解。
它的具体步骤是：选择一个基本可行解作为起始点，然后通过寻找相邻可行解的方式来不断移动，直至找到最优解。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
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高中线性规划问题简析
何江南
数学与信息学院学科教学专业 2014级
摘要：线性规划问题是高中阶段一个比较重要的知识点，它是在学习了不等式的基础上，对不等式的应用及延伸。
解决线性规划问题是沟通几何知识和代数知
识的桥梁是，数形结合思想的集中体现。
高中线性规划一般考的比较简单，但类
型比较多，比较繁琐。
因而高中阶段很多学生线性规划这个知识点掌握的不够好，
在考试中经常失分。
本文主要针对高中阶段学生作图难的情况，总结了可行域的
画法、简单的线性规划问题的分类、以及解决一些简单线性规划问题的简便方法。
关键词：线性规划问题;作图;分类;简便方法
一、线性规划问题在中学的作用和地位
线性规划这节课是在学习了直线方程和不等式的基础上，介绍直线方程的一
个简单应用，反映了对数学知识在实际应用方面的重视．在实际生活中，经常会
遇到在一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排的问题.用
最少的资源取得最大的效益就是线性规划研究的基本内容．中学所学的线性规划
体现了数学的工具性、应用性，同时渗透了化归、数形结合的数学思想。
因此，
本节内容的学习，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是提高学生解决实际问
题能力的一种途径，更是加强学生应用意识的良好素材；其次就是为高等数学的
学习打下基础；而且线性规划问题也经常在高考中出现。
二、线性规划问题的求解步骤
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；有的是以应用题的形式给出，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解。
在解此类题目时要注意，在实际问题中有些隐含的约束条件，因此在寻找约束条件的时候一定要把所有的约束条件全，还有的题目直接给出约束条件，要求求出目标函数的最优解，相对于第一类问题来说，此类问题相对简单，因为不必去找约束条件。
可行域的画法：
准确的画出可行域是求解线性规划问题的前提，画出可行域最根本的问题是确定二元一次不等式所表示的区域，确定二元一次不等式所表示的平面区域有
多种方法，常用的一种方法是“选点法”，具体的做法如下，任选一个不在直线
上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为
不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过 原点，通常选择原点代入检验。
例 直线x+y-1=0将平面分成两个区域分别记作A 和B ，取区域A 内的一
个点（0,0），将（0,0）代入x+y-1>0得到0+0-1>0，即-1>0不成立，故点（0,0）
不在x+y-1>0所表示的区域内，即A 不是x+y-1>0所表示的区域，从而B 是
x+y-1>0所表示的区域
确定二元一次不等式所表示的区域还有一种常用的方法：根据不等式的系数
来判断，笔者将其称之为“系数判断法”或者“极限判断法”，“系数判断法”也
是一种比较简单实用的方法。
具体做法如下，先将不等式化为Ax+By+C>0(Ax+By+C<0)的形式，然后由不等式的系数以及极限的思想判断出不等式所表示的区域，
例 2x+3y-1≥0，A=2，B=3均为正数，若要使2x+3y 尽可能大，由极限思想，
x 与y 的值都要尽可能的大，故2x+3y-1≥0所表示的区域位于直线2x+3y-1=0的右上方。
线性规划问题的分类
线性规划问题可分为：
1求目标函数的最优解问题，这类问题按照目标函数的类型又可以分为很多不同的种类
（1）目标函数为线性型设 例1 设 z = 2x + y, 式中的 x, y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-+≤+-102553034x y x y x
求 z 的最大值和最小值.
z = 求: (1)z = x 2+ y 2- 10y + 25 的最小值;(2)z = | x + 2y - 4 | 的最大值.
例4 (点 P( x, y) 在平面区域⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上, 点Q 在曲线x 2+ (y + 2)2
= 1 上, 则 z = | PQ | 的最小值是（ ）
（4）目标函数为曲线型
例5已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x 求z = x 2+ 3y 2的最大值和最小值.
2 求参数的取值问题，在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类
有一个, 则实数 a 的取值范围为（
）
（2）目标函数中的参数
1. 已知最优解无穷, 求参数的值
例 3已知三点 A ( 5, 2) , B( 1, 1), C(3,4), 平面区域为∆A BC 的内
部及边界， 若使目标函数 z= ax+ y 取得最大值的最优解
有无数多个, 求实数a 的值.
2. 已知最优解唯一, 求参数的范围
例 4 已知变量 x, y 满足约束条件 1 ≤x+ y ≤ 4, - 2 ≤ x- y ≤ 2. 若目 标函数 z= ax+ y(其中 a> 0) 仅在点( 3, 1) 处取得最大值, 则 a 的取值范围为（ ）
. 3. 已知参数的范围, 求平面图形的面积
例 5 若 A 为不等式组 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域, 则当 a 从
- 2 连续变化到 1 时, 动直线 x+ y= a 扫过 A 中的那部分 区域的面积为（ ）
. 4. 已知平面图形的面积, 求参数的值
分为面积相等的两部分, 则 k 的值是( )..
三、有些线性规划问题的简便方法
不可否认的是，几何方法直观，从形的角度刻画了数量关系，然而，几何方法往往会受到图形直观的影响，而使得所获结果不够精细，如若图形不准确，有时还会直接误导结果。
线性规划问题在普通高考数学全国卷中每年都会出现是高考的重点和难点,但又考得不深,笔者与学生多年在教学相长的过程中发现:用“几何作图法”解线性规划问题,学生得分率并不高,因为画图的过程是有些学生的一个弱点。
笔者认为，导致这种结果有两种原因，一是作图错误，不能正确地画出可行域，二是觉得作图麻烦，根本不想画图。
对于有些问题，可以不用几何作图法来解答，不用几何方法解题的方法称之为“纯代数法”或者“交点法”。
交点法最主要的是解决线性规划中求最优解问题，运用交点法的前提是必须要求约束条件所表示的区域要封闭。
交点法解题原理：对于最优解问题，当可行域封闭时，无论求最大值还是最小值，还是与之类似的问题，都会在可行域的某两条边界直线的交点处取得。
因此，只需要将约束条件的不等式变为等式，求出交点代入目标函数就可以解决问题。
交点法的基本步骤如下:(1)列二元一次方程组求解:各个二元一次不等式变成等式,互相联立,得到各组解 ( 交点 )。
(2) 检验可行解:将各组解代入各个不等式,看它们是否都成立厂不等式成立就是我们需要的可行解,只要有一个不等式不
成立就把此解去掉 。
( 3)求值比较:将(2) 中的可行解代入目标函数z,把得到的z 的值相互比较,最大 ( 小 ) 的数就是要求的最大 ( 小 ) 值,也可得到取最值的最优解。
下面用具体的例子来解析交点法解题的步骤
例 2012年的全国新课标高考试卷 ( 理 )
设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤+-≥-≥310,y x y x y x ，则y x z 2-=的取值范围为( )
如果用“几何作图法”：(1) 取点；(2) 描点；(3) 作出4条直线；(4) 找出可行域；(5) 求交点；(6) 画平行的目标函数直线；(7) 根据可行域找目标函数直线的截距的最值—Z 的相应最值—Z 的范围。
仅看步骤就很麻烦了,而且还要熟练掌握基本的直线作图方法，把 目标函数也要看成Z 已知的一条条平行直线，最后还要转换成截距，要按部就班地把这道题完成，并把答案完整地写出来，没有一定的数学基础和一定的时间，本题基本得不到分数。
但用“纯代数法”就不会这么麻烦，直 接可从上面的第5步开始：
列方程组求解(交点)：⎩⎨⎧==00y x ，解得)(0,0； ⎩⎨⎧-=-=1
0y x x ，解得)(1,0；
⎩⎨⎧=+=30y x x ，解得)(3,0 ；
⎩⎨⎧=-=-01y y x ，解得)(0,1-； ⎩⎨⎧==+03y y x ，解得)(0,3；
⎩
⎨⎧=+-=-31y x y x ，解得)(2,1。
检验：将上面的6个解代入上面的4个不等式，(0,3)和 (－1,0) 使其中的不等式不成立，因此去掉，从而剩下其余的4个解即为可行解。
求值比较：把第2步的4个可行解分别代入目标函数得:z= x 一2y 的4个值分别为0，一2，3，一3。
最大为3，最小为一3，因此：z=x 一2y ∈][3,3-。
交点法解答线性规划问题比较方便，而且易懂，可以节省很多时间，但是这种方法也有不足之处，它的使用范围较小，只能够解决最优解问题，不能解决线性规划中其它类型的题目。
因此这种方法具有它的局限性。