2015年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷(含解析)

2015年成都市成都外国语学校自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题：每小题3分，共45分．1．﹣|﹣|的负倒数是（）A．B．C．D．2．计算：（a2b）3的结果是（）A．a6b B．a6b3C．a5b3D．a2b33．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米＝10﹣9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（）A．30×10﹣9米B．3.0×10﹣8米C．3.0×10﹣10米D．0.3×10﹣9米5．的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．2 D．±26．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°7．已知a2﹣5a+1＝0，则a+﹣3的值为（）A．4 B．3 C．2 D．18．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于原点对称，则a+b的值为（）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣19．下列命题中真命题是（）A．有理数都能表示成两个整数之比B．各边相等的多边形是正多边形C．等式两边同时乘以（或除以）同一个实数，所得结果仍是等式D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等10．已知|a|＝2，|b|＝3，则|a﹣b|＝5的概率为（）A．0 B．C．D．11．某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．2πC．πD．1212．某校九年级共有1100名学生参加“二诊”考试，随机抽取50名学生进行总成绩统计，其中有20名学生总成绩达到优秀，估计这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为（）A．400 B．420 C．440 D．46013．若x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，则x12+x22﹣2是（）A．正数B．零C．负数D．不大于零的数14．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为s；△A′B′C′的三边长分别为a′，b′，c′，面积为s′，且a＞a′，b＞b′，c＞c′，则s与s′的大小关系一定是（）A．s＞s′B．s＜s′C．s＝s′D．不确定15．b＞a，将一次函数y＝ax+b与y＝bx+a的图象画在同一个直角坐标系内，则能有一组a、b的取值，使得如下四个图中为正确的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．16．函数有意义，则x 的取值范围是 ． 17．已知一组数据24、27、19、13、x 、12的中位数是21，那么x 的值等于 ．18．已知x 2﹣x ﹣1＝0，那么代数式x 3﹣2x+1的值是 ．19．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ．若S △APD ＝15cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则阴影部分的面积为 cm 2．20．已知直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，过点B 和点D 分别作直线l 的垂线BM 和DN ，垂足分别为点M 、点N ，如果BM ＝5，DN ＝3，那么MN ＝ ．21．已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x+2y+z ＝5，x+y ﹣z ＝2，若S ＝2x+y ﹣z ，则S 的最小值为 ．三、解答题：本大题共7小题，计69分，写出必要的推算或演算步骤．22．（7分）根据题意回答下列问题：（1）如果（a ﹣2）+b+3＝0，其中a 、b 为有理数，那么a ＝ ，b ＝ ．（2）如果（2+）a ﹣（1﹣）b ＝5，其中a 、b 为有理数，求a+2b 的值．23．（8分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化﹣﹣环境文化建设的重点项目之一，该项目2012年2月11日正式动工，经过四个多月的紧张施工，于2012年6月5日竣工，若该工程拆除旧设施每平方米需要80元，建造新设施每平方米需要800元，计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的90%而拆除旧设施则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？24．（8分）已知y＝m2+m+4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数）（1）求a、b、c的值；（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以，同时求其差再除以，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数，再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2012？证明你的结论．25．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．26．（12分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，∠A＝60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E 是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；（2）如图2，当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE＝x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）如果△DFG的面积为，求AE的长．27．（12分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ＝2PN．28．（13分）如图，已知抛物线y＝x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案与试题解析1．【解答】解：﹣|﹣|＝﹣，﹣的负倒数是．故选：B．2．【解答】解：（a2b）3＝a6b3，故选：B．3．【解答】解：有意义的条件是x≠1，有意义的条件是x≠2，有意义的条件是x≥1，有意义的条件是x≥2，故选：C．4．【解答】解：30纳米＝30×10﹣9米＝3×10﹣8米．故选：B．5．【解答】解：∵＝4，∴4的平方根为±2，故选：D．6．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠D＝∠DEC，∵∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°×2＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°．故选：B．7．【解答】解：∵a2﹣5a+1＝0，∴a2+1＝5a，∴a+＝5，a+﹣3＝5﹣3＝2，故选：C．8．【解答】解：∵点P（﹣2，a）与Q（b，3）关于原点对称，∴b＝2，a＝﹣3，则a+b的值为：2﹣3＝﹣1．故选：D．9．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，整数可以表示为整数：1的形式，分数本身就是分子：分母的形式，故本选项正确；B、各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故本选项错误；C、等式两边同时乘以（或除以）同一个实数（除数不为0），所得结果仍是等式，故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故本选项错误；故选：A．10．【解答】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，∴有|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5，|a﹣b|＝1，|a﹣b|＝5四种情况，∵|a﹣b|＝5的概率为＝．故选：B．11．【解答】解：根据三视图可以判断该几何体为圆柱，圆柱的底面半径为1，高为3，故体积为：πr2h＝π×1×3＝3π，故选：A．12．【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有20名学生成绩达到优秀，∴样本优秀率为：20÷50＝40%，又∵某校九年级共1100名学生参加“二诊”考试，∴该校这次“二诊”考试总成绩达到优秀的人数大约为：1100×40%＝440人．故选：C．13．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣k＝0的两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4﹣4×1×（﹣k）＞0，∴4+4k＞0，∴2+2k＞0，又∵x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣k，∴x12+x22﹣2＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2＝2+2k，∵2+2k＞0，∴x12+x22﹣2＞0，故选：A．14．【解答】解：已知a＞a′，b＞b′，c＞c′，分三种情况讨论：①△ABC∽△A′B′C′，此时＝＞1，∴s＞s'；②设a＝b＝，c＝20，则＝10，由勾股定理得：h c＝＝1，∴s＝×20×1＝10，取a′＝b′＝c′＝10，则h c'＝10×sin60°＝5，∴s'＝×10×5＝25＞10，即s＜s'；③设a＝b＝，c＝20，则同②h c＝1，s＝10，取a′＝b′＝，c′＝10，则由勾股定理得h c'＝＝2，∴s'＝×10×2＝10，即s＝s'．∴s与s′的大小关系不确定．故选：D．15．【解答】解：A、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误；B、假设y＝ax+b正确，则a＞0，b＞0，因为b＞a，所以函数y＝bx+a与y轴的交点在y＝ax+b与y轴交点的下方，故本选项正确；C、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，因为函数y＝ax+b与y ＝bx+a的交点坐标为（1，a+b），由图象可知a≠﹣b和b＞a，两结论矛盾，故本选项错误；D、假设y＝ax+b正确，则a＜0，b＞0，则函数y＝bx+a的图象过一、三、四象限，故本选项错误．故选：B．16．【解答】解：由题意，得，解得x≥2且x≠3．故答案为x≥2且x≠3．17．【解答】解：根据题意，x的位置按从小到大排列只可能是：12，13，19，x，24，27．根据中位数是21得（19+x）÷2＝21．解得x＝23．故答案为：23．18．【解答】解：根据题意，x2﹣x＝1，∴x3﹣x2＝x，即x3﹣x＝x2，∴x3﹣2x+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2，故答案为：2．19．【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF＝S△DEF，即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF，即S△APD＝S△EPF＝15cm2，同理可得S△BQC＝S△EFQ＝25cm2，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝15+25＝40cm2．故答案为40．20．【解答】解：如图1，在正方形ABCD中，∵∠NAD+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AM+AN＝8，如图2，在正方形ABCD中，∵∠DAN+∠BAM＝90°，∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠NAD＝∠MBA，在△ABM和△ADN中，∵，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝DN＝3，AN＝BM＝5，∴MN＝AN﹣AM＝2，综上所述：MN的值为2或8，故答案为：2或8．21．【解答】解：要使S取最小值，联立得到方程组，（1）+（2）得：4x+3y＝7，y＝，（1）﹣（2）×2得：x+3z＝1，z＝，把y＝，z＝代入S＝2x+y﹣z，整理得：S＝x+2，当x取最小值时，S有最小值，∵x、y、z是三个非负实数，∴x的最小值是0，∴S的最小值为2．故答案为：2．22．【解答】解：（1）由（a﹣2）+b+3＝0，得到a＝2，b＝﹣3；故答案为：2；﹣3；（2）由（2+）a﹣（1﹣）b＝5整理得：（a+b）+（2a﹣b﹣5）＝0，∵a、b为有理数，∴，解得：a＝，b＝﹣，则a+2b＝﹣．23．【解答】解：（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则答：原计划拆建各4500平方米．（2）计划资金y1＝4500×80+4500×800＝3960000元实用资金y2＝1.1×4500×80+0.9×4500×800＝4950×80+4050×800＝396000+3240000＝3636000∴节余资金：3960000﹣3636000＝324000∴可建绿化面积＝平方米答：可绿化面积1620平方米．24．【解答】解：（1）设m2+m+4＝k2（k为非负整数），则有m2+m+4﹣k2＝0，由m为整数知其△为完全平方数，即1﹣4（4﹣k2）＝p2（p为非负整数），（2k+p）（2k﹣p）＝15，显然2k+p ＞2k﹣p，∴或，解得：p＝7或p＝1，∴m＝，∴m1＝3，m2＝﹣4，m3＝0，m4＝﹣1，∴a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1．（2）三个数，任意两个求其和，再除以，同求其差，再除以，剩下的一个数不变，经过两次这样的操作就又变成原来的三个数了，即（）2+（）2+p2＝m2+n2+p2，∵32+（﹣4）2+（﹣1）2≠2012．∴对a、b、c进行若干次操作后，不能使所得三个数的平方和等于2012．25．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．26．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD＝AD＝BD，∵∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，AD＝BD＝AC，∵AC＝4，∴AD＝BD＝AC＝4，∵BM∥AC，∴∠MBC＝∠ACB＝90°，又∵CD⊥EF，∴∠CDF＝90°，∴∠BDF＝30°，∴∠BFD＝30°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BF＝BD＝4；（2）①证明：由翻折，得∠E′CD＝∠ACD＝60°，∴∠ADC＝∠E′CD，∴CE′∥AB，∴∠CE′D＝∠BDG，∵BM∥AC，∴∠CED＝∠BFD，又∵∠CE′D＝∠CED，∴∠BDG＝∠BFD，∵∠DBF＝∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得＝，∵D为AB的中点，∴BD＝AD，又∵BM∥AC，∴∠DBF＝∠DAE，∠BFD＝∠DEA，在△BFD和△AED中，∵，∴△BFD≌△AED（AAS），∴BF＝AE＝x，∴＝，∴BG＝，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝4，根据勾股定理得：BC＝＝4，∵点D到直线BM的距离d＝BC＝2，∴S△DFG＝FG•d＝（BG﹣BF）•d，即y＝×（﹣x）×2＝﹣x（0＜x＜4）；（3）（i）当点G在点F的右侧时，由题意，得6＝﹣x，整理，得x2+6x﹣16＝0，解得x1＝2，x2＝﹣8（不合题意，舍去）；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示：同理得到S△DFG＝FG•d＝（BF﹣BG）•d，即y＝x﹣（x＞4），由题意，得6＝x﹣，整理，得x2﹣6x﹣16＝0，解得x3＝8，x4＝﹣2（不合题意，舍去），综上所述，AE的值为2或8．27．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴．∴＝＝．又∵＝，∴OQ＝3DN．∴CQ＝OQ﹣OC＝3DN﹣OC＝3DN﹣AD，AN＝AD﹣DN．∴AN+CQ＝2DN．∴＝＝2．即MN+PQ＝2PN．28．【解答】解：（1）令y＝0，即y＝x2﹣（b+1）x+＝0，解得：x＝1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x＝0，解得：y＝，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB＝S△PCO+S△POB＝••x+•b•y＝2b，∴x+4y＝16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO＝∠EOD＝∠ODP＝90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD＝90°．∴∠EPC＝∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE＝PD，即x＝y．由解得由△PEC≌△PDB得EC＝DB，即﹣＝b﹣，解得b＝＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB＝∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO＝∠BAQ＝90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ＝∠AQB．此时∠OQB＝90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ＝∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO＝90°或∠OQC＝90°．（I）当∠OCQ＝90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ＝CO＝．由AQ2＝OA•AB得：（）2＝b﹣1．解得：b＝8±4．∵b＞2，∴b＝8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC＝90°时，△OCQ∽△QOA，∴＝，即OQ2＝OC•AQ．又OQ2＝OA•OB，∴OC•AQ＝OA•OB．即•AQ＝1×b．解得：AQ＝4，此时b＝17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．。