浙江省宁波市九校2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题 含解析
宁波市2018学年第一学期期末九校联考高二数学试题一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
”（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、填空题.11.双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算．【详解】解：双曲线1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．且焦点在y轴上，∴双曲线1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y．故答案为：（0，），y＝±2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12.在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.【答案】 (1). （） (2).【解析】【分析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出||．【详解】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，∴（）（）[]，∵x y z，∴（x，y，z）＝（）．∵⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，∴2（）22，∴||．故答案为：（），．【点睛】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵，，∴z＝（）2018+（）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，∴，则的虚部为1．|z|．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算．【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15．∴几何体的体积V＝1；故答案为：15；，【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15.已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数形结合法把x化为|PA|﹣|PF|+2，从而求得最大值．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示；由图形知，x＝|PA|﹣x＝|PA|﹣（|PM|﹣2）＝|PA|﹣（|PF|﹣2）＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+22；即x的最大值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．16.已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】由条件可得，转化为，从而得到椭圆的离心率的取值范围.【详解】由可得∴，即，∴∴故答案为：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17.已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.【答案】【解析】首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H，连接DH交AE于G，由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为：，，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知，设命题：当时，函数恒成立，命题：双曲线的离心率.（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（Ⅱ）由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）当时，因为在上为减函数，在上为增函数，∴在上最小值为.当时，由函数恒成立，得，解得.（Ⅱ）若命题为真命题，则，解得，若为真命题且为假命题，则，可得，若为假命题且为真命题，则，此时，由上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题．19.如图，在四面体中，，，.（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）作平面于，连,证明是的角平分线，由求得，即可得到点到平面的距离；（Ⅱ）取空间基底为，，，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）作平面于，连作于，于，连，∴平面，平面，∴，，所以，∵，四边形为正方形，∴是的角平分线，∴∴，即，∴，∴.（Ⅱ）（方法1）记，，，则，记，∵，又，，，∴，即，所以异面直线与所成角的大小为.（方法2）以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，设异面直线与所成角为，则,,∴，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查空间点到平面的距离，异面直线所成角，考查空间问题坐标化，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题.20.如图，已知多面体中，，平面，，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由余弦定理得PB，从而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能证明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，从而sin∠PCD，S△ACD＝2，设直线PA与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为h，由V A﹣PDC＝V P﹣ACD，得h，从而sinθ，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）在中，，，，所以，，所以，，因为，所以，，，四点共面.又平面，平面，所以.又，，所以平面.（Ⅱ）（方法一）在中，，在中，.在直角梯形中，.在中，，.所以，.设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以，，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设直线与平面所成的角为，设平面的一个法向量为，由得取，则，，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法三）延长，相交于点，连结.因为，，所以为的中位线，点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.取中点，连，.所以，，，所以平面，又平面，所以平面平面.作于，连，所以平面.所以就是直线与平面所成的角.因为，，，所以，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，可得可得,故，结合均值不等式可得结果.【详解】（Ⅰ）∵点是线段的垂直平分线上的点，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，∴，，.因此，点的轨迹方程是.（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：，设，，则即，代入椭圆方程可得：，设，到直线的距离分别为和，则,,,,当，即时取“”的最大值.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.（Ⅰ）求切线，的方程；（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：∴∴切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，，所以.设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-
绝密★启用前【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．椭圆的短轴长为（ ）A ．8B ．10C ．5D ．42．设复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 ， ， ，则 B ．若 ， ，则 C ．若 ， ，则D ．若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 4．有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题；④“若 ，则方程 有实根”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴……○…………※※请※※不※……○…………A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题正确的是（ ）A ． 是向量 ， 不共线的充要条件B ．在空间四边形 中，C ．在棱长为1的正四面体 中，D ．设 ， ， 三点不共线， 为平面 外一点，若，则 ， ， ， 四点共面 7．若椭圆与双曲线有公共的焦点， ，点 是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，且 ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．8．已知 为双曲线右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形 ， ， 现将 沿 折起，当二面角 的大小在时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若长方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， 上的点， ， ， .分别记二面角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与 的值有关………外……装…………○…订…………○※※要※※在※※装※※订※内※※答※※题※※………内……装…………○…订…………○第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.12．在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.13．设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.14．一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.15．已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.16．已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.17．已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为____.三、解答题………外……………装…………○……………○…………__姓名：___________班级：_：___________………内……………装…………○……………○…………18．已知 ，设命题 ：当 时，函数恒成立，命题 ：双曲线的离心率 .（Ⅰ）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（Ⅱ） 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数 的取值范围.19．如图，在四面体 中， ， ， .（Ⅰ）求点 到平面 的距离； （Ⅱ）求异面直线 与 所成角的大小.20．如图，已知多面体 中， ， 平面 ， ， ， ， .（Ⅰ）证明： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.21．已知点 是圆 上的动点，定点 ，线段 的垂直平分线交 于点 .（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作两条斜率之积为的直线 ， ， ， 分别与轨迹 交于 ， 和 ， ，……○…………线…………题※※……○…………线…………22．如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别为 ， ，记线段 的中点为 .（Ⅰ）求切线 ， 的方程；（Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上；（Ⅲ）设点 为圆 上的点，当取最大值时，求点 的纵坐标.参考答案1．A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2．D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4．C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5．A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则＞0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6．B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8．D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PF A＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到P A的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9．C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（，，），∴，，，，，，设AB、CD的夹角为α，则cosα ，∵，∴cos，，∴|1|[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由 β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴ β∴β，设θ为，则θ=＜，又β，∴＜∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷含答案
浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A. ，2B. ，2C. ，D. ，2.直线的倾斜角为A. B. C. D.3.已知空间向量1，，，且，则A. B. C. 1 D. 24.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A. 1B.C. 或1D. 2或15.对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.若x，y满足约束条件，则A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值7.设a，b为空间两条直线，，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是A. 若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB. 若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC. 若不平行，则在内不存在a，使得a平行D. 若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直8.已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A. B.C. D.9.已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.10.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．12.命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一13.已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C外切，则a的值为______．14.已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条15.已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示16.如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．17.已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．19.如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．20.如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．21.已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．22.已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试高二数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）23.已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A. ，2B. ，2C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可．本题考查了圆的标准方程，是基础题．24.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．直线的斜率等于，设它的倾斜角等于，则，且，求得值，即为所求．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到，是解题的关键．25.已知空间向量1，，，且，则A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】解：解得故选：C．利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x 的值．本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和．26.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A. 1B.C. 或1D. 2或1【答案】D【解析】解：，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距为，解得；综上所述，实数或．故选：D．根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．27.对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示双曲线，则，得，则“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键．28.若x，y满足约束条件，则A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】解：x，y满足的平面区域如图：当直线经过A时z最小，经过B时z最大，由得到所以z的最小值为，由于区域是开放型的，所以z无最大值；故选：B．画出x，y满足的平面区域，利用的截距的最值求得z的最值．本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．29.设a，b为空间两条直线，，为空间两个平面，则下列命题中真命题的是A. 若a不平行，则在内不存在b，使得b平行aB. 若a不垂直，则在内不存在b，使得b垂直aC. 若不平行，则在内不存在a，使得a平行D. 若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直【答案】D【解析】解：若a不平行，则当时，在内存在b，使得，故A错误；若a不垂直，则在内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若不平行，则在内在无数条直线a，使得a平行，故C错误；若不垂直，则在内不存在a，使得a垂直，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．30.已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．31.已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：双曲线，的渐近线方程均为，，，，，，，，，，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B．根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式即可求出．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题32.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：四棱锥为阳马，且，底面是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，，．故选：A．由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而．本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）33.椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】解：由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．直接由椭圆的性质得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．34.命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】解：命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题．35.已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C外切，则a的值为______．【答案】3【解析】解：由得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可．本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．36.已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】解：作出长方体，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数．本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．37.已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】解：双曲线的一个焦点为，，，，为双曲线上一点，且，，，或，故答案为：17或1根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可．本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义，是解题的关键，属基础题．38.如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】解：由，得，在平面内，以D为原点建立坐标系如图，设，则，整理得，设圆心为M，求得，的取值范围是：，故答案为：．首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解．此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中．39.已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】解：两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，，，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为：时，取最小值．本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）40.在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ由，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得．故所求直线l的方程为．圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【解析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．41.如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】Ⅰ证明：连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．，平面，平面，，则，同理，由，可得，则．；Ⅱ解：，，或其补角就是直线AD与CF所成的角．，，，，又，，由余弦定理可得，得．直线AD与CF所成的角为．【解析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题．42.如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．【答案】证明：Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，平面ADM．解：Ⅱ由平面ADM，知，，过M作，交CD于O，平面平面MCD，平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，，解得，是DM的中点．【解析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．43.已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ设，焦点以及的外接圆的圆心为Q，点的纵坐标为，Ⅱ抛物线C的准线方程为，，解得，抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，解得，即，直线l的方程为【解析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．44.已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】解：Ⅰ可知，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线：的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线 ：，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【解析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线 ：与椭圆E相切，联立，利用，得出m 的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l 距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题．。
2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案
2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114． ，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分） 解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分 若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即 所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分 （方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分 设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=， 所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分 在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分 设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分 故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别 为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，， 所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分 所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |， 故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =， 所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =， 所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ， 所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ， 所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===， 故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分 设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ） 证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分 所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=， 即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分 （Ⅲ）解 由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分 设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。
浙江省宁波市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)
浙江省宁波市2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A. ，2B. ，2C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.已知空间向量1，，，且，则A. B. C. 1 D. 2【答案】C【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A. 1B.C. 或1D. 2或1【答案】D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.6.设x,y满足( )A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.考点：线性规划.7.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于B. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于D. 若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于【答案】D【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【详解】当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9.已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为，所以，，则，，所以，，所以，即，所以则，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点含端点，设SE与AD所成的角为，SE 与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念，分别求得三个角的正切函数，根据正切函数的性质，即可得到答案.【详解】由题意，四棱锥为阳马，且，底面是线段AB上的点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，当点E与A点不重合时，在上取点，分别连接，使得，则,,，因为，所以，所以，又由，所以，所以，所以。
2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷 解析版
绝密★启用前2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷解析版一、单选题1．已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A．，2 B．，2 C．，D．，【答案】C【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知空间向量1，，，且，则A．B．C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B．C．或1 D．2或1【答案】D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.6．设x,y满足( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.考点：线性规划.7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若不平行于，则在内不存在，使得平行于B．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C．若不平行于，则在内不存在，使得平行于D．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于【答案】D【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【详解】当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为，所以，，则，，所以，，所以，即，所以则，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而，得到答案.【详解】由题意，四棱锥为阳马，（如图所示）且，底面是线段AB 上的点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，则，即，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．13．已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C 外切，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，圆，可得得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】【分析】作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数，得到答案．【详解】由题意，作出长方体，如图所示，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异面直线的概念，利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题.15．已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】【分析】根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案．【详解】由题意知，双曲线的一个焦点为，，又由，，因为为双曲线上一点，且，根据双曲线的定义可知，所以，或，故答案为：17或1【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定义是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解．【详解】由题意知，，根据三角形的面积公式，可得，在平面内，以D为原点建立坐标系，如图所示，设，则，整理得，设圆心为M，求得，所以的最小值为，的最大值为，所以的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到圆上点的距离的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为时，取最小值，得到答案．【详解】由题意知，两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，由两平行线间的距离公式可得，因为，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，所以当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题．三、解答题18．在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【详解】Ⅰ由题意，联立，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得，故所求直线l的方程为．由，可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.19．如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．由，平面，平面，所以，则，同理，由，可得，则．所以；Ⅱ因为，，所以或其补角就是直线AD与CF所成的角．因为，，所以，，又，，由余弦定理可得，得．即直线AD与CF所成的角为．【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F 在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F 的位置．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点．【解析】【分析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【详解】Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，由线面垂直的判定定理可得平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，所以，过M作，交CD于O，因为平面平面MCD，所以平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，所以，解得，即是DM的中点．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.21．已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【详解】Ⅰ由题意，设，因为焦点以及的外接圆的圆心为Q，则线段的垂直平分线的方程为，所以点的纵坐标为.（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为，所以，解得，所以抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，即，解得，即，所以直线l的方程为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题.22．已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l 外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为，且在直线上，可得，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。
浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析
浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别得到的范围，即可得出结果.【详解】由题意可得，，，所以.故选D【点睛】本题主要考查对数与指数幂比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于基础题型.2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则p=（）A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.3参考答案：C【分析】首先确定随机变量X所服从的分布列，然后结合分布列的计算公式可得p的值.【详解】由题意可知：，则：，解得：或0.6，，则：，整理可得：，故.故选：C.【点睛】本题主要考查二项分布的数学期望公式，二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是A. B.C.2D. 3参考答案：C略4. 设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．5. 函数的图象如图1所示，则的图象可能是（）参考答案：D6. 命题“?x∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5参考答案：C【分析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案.【详解】解：命题“?x∈[1，2]，”为真命题，可化为?x∈[1，2]，，恒成立，即“?x∈[1，2]，”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义.7. 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为参考答案：C【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．【分析】本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等∴得到每个个体被抽到的概率是故选C．8. 是的等差中项，是的正的等比中项，大小关系是（）A. B. C. D.大小不能确定参考答案：A9. 下列命题中，错误的是（）A．平行于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个D．若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用平面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析，指出错误的选项．解答：解：对于A，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质定理和判定定理可以判断正确；对于B，垂直于同一个平面的两个平面平行是错误的；如墙角的三个平面；对于C，若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个；根据异面直线的定义以及线面平行的判定定理可以判断C是正确的；对于D，若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行；根据面面平行的性质定理知道D 是正确的．故选B．点评：本题考查了平面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练灵活地运用定理是关键．10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十进制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A． B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为l的等腰梯形，则该平面图形的面积等于_________．参考答案：略12. 在正三棱锥中，过点作截面交分别，则截面的周长的最小值是________________.参考答案：13. 已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为．参考答案：10【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：10【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14. 二次方程,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_______________参考答案：（－1,0）15. 刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中两人说对了．参考答案：乙丙【考点】进行简单的合情推理．【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．故答案为：乙、丙．16. 设，则的从大到小关系是 .参考答案：17. 在△ABC中，∠ABC=，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为，则sinθ=．参考答案：【分析】过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∠ADO=，∠ABO=θ，由此能求出sinθ．【解答】解：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∴∠ADO平面ABC与平面α所成的二面角为，即∠ADO=，∠ABO是直线AB与平面α所成角，即∠ABO=θ，由题意可知，AO=AD，AB=AD，sinθ==三、解答题：本大题共5小题，共72分。
浙江省名校协作体2018-2019学年高二上学期9月联考试题数学(含答案)
2018学年第二学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合},032{},0{2R x x x x B y y A ∈<--=>=,那么AB = （ ▲ ）A ．)3,0(B ．),1(+∞-C ．)1,0(D ．),3(+∞2.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则 （ ▲ ） A ．b c a <<B ．a c b << C ．c b a << D ．c a b <<3.将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位得到)(x f 的图象，则 （ ▲ ） A ．x x f 2sin )(= B ．x x f 2cos )(=C ．x x f 2sin )(-=D ．x x f 2cos )(-=4.函数4cos xy e x =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是 （ ▲ ）5．设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-,1,032,02x y x y x 则y x z -=的取值范围是（ ▲ ）A ．[2,1]--B ．]0,1[-C ．]1,1[-D ．[2,1]-6.已知1234{,,,}x x x x {0|(3)sin 1}x x x π⊆>-⋅=,则1234x x x x +++的最小值为 ( ▲ ) A.12 B.15 C.12π D.15πA. ()f x 的周期为4B. ()f x 是奇函数C. (4)0f =D. (1)f x +是奇函数 7.已知函数()tan cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是 （▲ ）A. ()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于(,0)2π中心对称C.()f x 在区间(,)2ππ上单调递减 D.()f x 的值域为[1,1]-8.记min{,,}a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，令12min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则M 的最大值是（ ▲ ）A.3B.2239.平面向量,a b 满足，()240aa b -⋅-=，3b =，则a 最大值是 （ ▲ ）A.3B. 4C. 5D. 6 10.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3341S S S -=．若11a >，则 （ ▲ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a <>C ．1324,a a a a >< D ．1324,a a a a >>第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）11.已知向量，若 ，则 ▲，若则 ▲．12.已知3sin()45πα+=，则3sin()4πα-=____▲____；sin2α=___▲___. 13.已知函数()1f x x x a =---，若()f x 为奇函数且非偶函数，则a =__▲___； 若()1f x >的解集为空集，则a 的取值范围为__▲____.14.已知数列{}n a 中，2111,1(2),n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的通项公式为___▲___； 若1223111110n n a a a a a a ++++<+++，则n 的最大值___▲___.15.已知,a b 都是正数，满足23a b +=，则2a b ab+的最小值为 ▲ .16.已知2()1,f x x x =+若()()1,(,),f a f b a b R ⋅≤∈其中则a b +的最大值为__▲___. 17.已知函数222()|2|(21)22f x x x x m x m =+---+-+有三个不同的零点，则实数m 的 取值范围是 ▲ .三、解答题（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（14分）已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )m x n x x ==, 记()f x m n =⋅． (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)若3(),[,]10312f x x ππ=-∈--，求cos2x 的值； 19.（15分）如图所示， ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b ccb=．(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)点D 为边AB 的中点， 2BD =，求ABC ∆面积的最大值．20.（15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且555, 5.S a ==数列{}n b 满足12,b =-且113n n nnb b a ++-=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的通项公式.21.（15分）已知函数：),()(2R n m n mx x x f ∈++=.(Ⅰ)若0=+n m ，解关于x 的不等式x x f ≥)(（结果用含m 式子表示）； (Ⅱ)若存在实数m ，使得当[]2,1∈x 时，不等式x x f x 4)(≤≤恒成立，求负数．．n 的最小值.22.已知函数,21)(2xx x f +=b a ,均为正数. (Ⅰ)若2=+b a ，求证：;3)()(≥+b f a f (Ⅱ)若)()(b f a f =-，求：b a +的最小值.2018学年第一学期浙江省名校协作体高二数学参考答案AD1-5 ADCCD 6-10 ABDBC11.4； 12. 37,525-； 13. 1,[0,2]- ；14.n a =，119； 15.3； 16.0；17.127,13⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- 17、解：函数()y f x =有三个不同的零点即()()()222()-2-2,,21,22224,2,1f x mx m x x m x m x ⎧⎤⎡⎦⎣⎪⎨⎪⎩∈-∞-+∞=--+-+∈-有三个不同零点 则必有2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解，且()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解．由2220mx m +=在(),21,x ⎤⎡⎦⎣∈-∞-+∞上有一解得2m -≤-或1m -≥，即2m ≥或1m ≤-．由()22222240x m x m --+-+=在()2,1x ∈-上有两解转化为2222422x x mx m ++=+有两解即二次函数与一次函数相切的临界状态由()()22228420m m ∆=++-=解得127m ±127127,13m ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-∈-18. （1）31cos 21()2sin(2)262x f x x x π+=+=++． ——————2分 若()f x 单调递增，则2[2,2],622x k k k Z πππππ+∈-++∈ ————————4分解得 ()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ ———————5分（2）由7()10f x =-知4sin(2),65x π+=- 又∵[,]312x ππ∈--，即 2[,0]62x ππ+∈-———————8分∴3cos(2)65x π+=， ——————11分 ∴334cos 2cos[(2)]66x x ππ-=+-==； —————14分19.（1sin sin BC=,所以tan 3C =故3C π=——————— 5分(2)在BCD ∆中，设BC=,,x CD y =由余弦定理知224x y xy xy +-=≥ , ———10分所以，2sin ABC BCD S S xy C xy ∆∆==⋅=≤此时 2x y == -----------15分20. ()25n a n =-Ⅰ -------------5分 （Ⅱ）当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ 232(3)3(1)3(27)3n n =-+-⋅+-⋅+-⋅记23(3)3(1)3(27)3n t n =-⋅+-⋅++-⋅则3413(3)3(1)3(29)3(27)3n n t n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅23412(3)32[333](27)3n n t n +-=-⋅+⋅++⋅--⋅ --------10分所以32123(13)227(27)313n n t n -+⋅--=-+--⋅-154(28)3n n +=---⋅所以127(4)3n t n +=+-⋅ 所以 ()12543n n b n +=+- ----------14分 当1n =时也满足 所以 ()12543n n b n +=+- ----------15分21.2()x x mx m ≤+-Ⅰ()(1)0x m x ∴+-≥ ------------------2分()()(){}21211.21101,-.11.m x R m x m x m x x m m x x x m =-∈≠-+--===>-≥≤-时，时，解得：①时，原不等式的解集为或{}11.m x x m x <-≥-≤②时，原不等式的解集为或 --- -- 7分 [][][]21,24141,2,141,2x x x mx n x nx m x xn nm x m x x x x∈≤++≤≤++≤∈-+≤≤--+∈（Ⅱ）时，恒成立，等价于对恒成立.即存在实数使得-对时恒成立.--------------11分 max min14n n x x x x ⎛⎫⎛⎫∴--+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,42nn n ∴-≤-≥-即4.n ∴的最小值为- --------------15分（注：其它做法相应给分）22222.1,0121111()()4242421322a b ab t ab t f a f b a b ab t a b ab t+⎛⎫≤==<≤ ⎪⎝⎭+=+++=-+=-+≥-+=令则 ------7分222211()2221,002a ba b a b a b ab a b a b ab+-=+-=>∴-=>Ⅱ由知2222()()4()a b a b ab a b a b+=-+=+-- -----------------10分 设x a b =-，则0x >，可设2()=()0a b g x x +>（）[][)()21222121212121212121212122()0,11,+1222()()21,2,2,()()0.g x x xx x g x g x x x x x x x x x x x x x x x g x g x x x =+∞>≥⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭>≥∴+><∴->下证：在上递减，上递增.设121212()()0()().g x g x x x g x g x ∴>≥>><，同理，当1时， ----------13分()min 3.a b ∴+= 3131a b +-==此时, -------------15分（注：其它做法相应给分）。
2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷及解析
2018-2019学年宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B 正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小. 【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C二、填空题.11.双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算．【详解】解：双曲线1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．且焦点在y轴上，∴双曲线1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y．故答案为：（0，），y＝±2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12.在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.【答案】 (1). （） (2).【解析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出||．【详解】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，∴（）（）[]，∵x y z，∴（x，y，z）＝（）．∵⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，∴2（）22，∴||．故答案为：（），．【点睛】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵，，∴z＝（）2018+（）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，∴，则的虚部为1．|z|．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算．【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15．∴几何体的体积V＝1；故答案为：15；，【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15.已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数形结合法把x化为|PA|﹣|PF|+2，从而求得最大值．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示；由图形知，x＝|PA|﹣x＝|PA|﹣（|PM|﹣2）＝|PA|﹣（|PF|﹣2）＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+22；即x的最大值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．16.已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】由条件可得，转化为，从而得到椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由可得∴，即，∴∴故答案为：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17.已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为 ____.【答案】【解析】【分析】首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H，连接DH交AE于G，由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为：，，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知，设命题：当时，函数恒成立，命题：双曲线的离心率.（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（Ⅱ）由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）当时，因为在上为减函数，在上为增函数，∴在上最小值为.当时，由函数恒成立，得，解得.（Ⅱ）若命题为真命题，则，解得，若为真命题且为假命题，则，可得，若为假命题且为真命题，则，此时，由上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题．19.如图，在四面体中，，，.（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）作平面于，连,证明是的角平分线，由求得，即可得到点到平面的距离；（Ⅱ）取空间基底为，，，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）作平面于，连作于，于，连，∴平面，平面，∴，，所以，∵，四边形为正方形，∴是的角平分线，∴∴，即，∴，∴.（Ⅱ）（方法1）记，，，则，记，∵，又，，，∴，即，所以异面直线与所成角的大小为.（方法2）以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标，，，，则，设异面直线与所成角为，则,,∴，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查空间点到平面的距离，异面直线所成角，考查空间问题坐标化，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题.20.如图，已知多面体中，，平面，，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理得PB，从而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能证明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，从而sin∠PCD，S△ACD＝2，设直线PA 与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为h，由V A﹣PDC＝V P﹣ACD，得h，从而sinθ，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）在中，，，，所以，，所以，，因为，所以，，，四点共面.又平面，平面，所以.又，，所以平面.（Ⅱ）（方法一）在中，，在中，.在直角梯形中，.在中，，.所以，.设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以，，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设直线与平面所成的角为，设平面的一个法向量为，由得取，则，，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法三）延长，相交于点，连结.因为，，所以为的中位线，点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.取中点，连，.所以，，，所以平面，又平面，所以平面平面.作于，连，所以平面.所以就是直线与平面所成的角.因为，，，所以，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，可得可得,故，结合均值不等式可得结果.【详解】（Ⅰ）∵点是线段的垂直平分线上的点，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，∴，，.因此，点的轨迹方程是.（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：，设，，则即，代入椭圆方程可得：，设，到直线的距离分别为和，则,,,,当，即时取“”的最大值.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.（Ⅰ）求切线，的方程；（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：∴∴切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，，所以.设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。