2019-2020学年广东省揭阳市高二下学期期末考试数学试题【含答案】

广东省揭阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。

考试结束后，请将本试题及答题卡交回。

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝t ＋i ，且z ·2z 是实数，则实数t ＝ A.
32 B.－32 C.23 D.－23
2.若随机变量X 服从两点分布，其中P(X ＝0)＝
2
3
，则E(3X ＋1)和D(3X ＋1)的值分别是 A.3和4 B.3和2 C.2和4 D.2和2
3.已知随机变量X ～N (μ，δ2)，若P(μ－δ<X<μ＋δ)＝a ，P(μ<X<μ＋2δ)＝b ，则P(μ＋δ<X ≤μ＋2δ)为
A.b －
2a B.a －2b C.b ＋2a D.a ＋2b 4.设z ＝3i
13i
+-，则z ＋z 2＋z 3＋…＋z 2020＝
A.1
B.0
C.－1－i
D.1＋i 5.函数f(x)＝sin(2x ＋3
π
)的导函数f'(x)为 A.f'(x)＝cos(2x ＋
3π) B.f'(x)＝2cos(2x ＋3
π
) C.f'(x)＝cos2x D.f'(x)＝2cos2x 6.已知向量a 与b 满足|a|＝3，|b|＝4，(a －b)⊥a ，则向量a 与b 的夹角的余弦值为 A.－
35 B.35 C.－34 D.3
4
7.下面比较大小正确的是
A.(ac ＋bd)2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)
B.(ac ＋bd)2<(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)
C.(ac ＋bd)2≥(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)
D.(ac ＋bd)2>(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)
8.x(1－
1
x
)的展开式中的常数项为 A.－6 B.－4 C.4 D.6
9.若f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x 在区间[－a ，a]上是增函数，则a 的最大值是 A.
8π B.4π C.38π D.2
π
10.已知定义域为R 的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，当x ∈(2，＋∞)时，f'(x)<0，当x ∈(0，2)时，f'(x)>0，且f(3)＝0，则关于x 的不等式(x －1)f(x)>0的解集为
A.(－3，3)
B.(－3，0)∪(0，3)
C.(－3，0)∪(1，3)
D.(－∞，－3)∪(0，3) 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得1分，有选错的得0分。

11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

以下关于杨辉三角的猜想中正确的有
A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C n m ＝C n n
－m
B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
1n 1C C C r r r
n n -+=+
C.由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n ＝2n
D.由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051 12.已知函数f(x)＝e x ＋e －
x ，g(x)＝x 2＋2x ，以下结论正确的有 A.f(x)是偶函数
B.当a>0时，y ＝af(x ＋1)与y ＝g(x)有相同的单调性
C.当a>0时，若y ＝af(x ＋1)与y ＝g(x)的图象有交点，那么交点的个数是偶数
D.若y ＝af(x ＋1)与y ＝g(x)的图象只有一个公共点，则a ＝－1
2
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.投掷两枚骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)2为纯虚数的概率为 。

14.已知函数y ＝f(x)的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋1，则f(2)＋f'(2)的值是。

15.已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a
2＝2，S 3＝7，数列{log 2(S n ＋1)}的前n 项和为T n ，则
122020
111
+++T T T ⋅⋅⋅= 。

16.已知正六棱锥S －ABCDEF ，AB ＝3，SA ＝5，则该六棱锥的外接球的表面积为 。

四、解答题：本大题共6小题，共86分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分14分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。

已知asinA ＋2asinBsinC ＝bsinB ＋csinC 。

(1)求A ；
(2)若b ＝22，c ＝3，求sin(A ＋2B)。

18.(本小题满分14分)
2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各地医疗部门迅速进行防控意识宣传和流行病学调查。

某疫区随机抽取100人调查其外出时佩戴口罩的情况，结果如下表。

(1)是否有99.5%的把握认为“是否佩戴口罩与年龄有关”；
(2)该疫区某新冠肺炎定点治疗医院统计了确诊患者中年龄x(单位：岁)的重症患者比例(单位：%)，得到下表：
若y 与x 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程
y bx a =+，并预测该医院76岁确诊患者中的重症比例。

参考公式和数据：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑。

8
1i i
i x y =∑＝70×10.5＋65×7.5＋63×7.5＋53×5.5＋52×4.5＋45×3.5＋40×1.5＋32×0.5＝2454。

8
2
1
i
i x
=∑＝702＋652＋632＋532＋522＋452＋402＋322＝23256。

2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 。

19.(本小题满分14分)
已知四棱锥P －ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ，∠APD ＝90°，F 为AD 中点，BP ＝AD 。

(1)证明：平面PBF ⊥平面ABCD ； (2)求BF 与平面PBC 所成的角。

20.(本小题满分14分)
某游戏策划者策划了一个抽奖游戏，规则如下：一个口袋中装有完全一样的5张牌，分别写有数字“1”“2”“3”“4”“5”，每次从口袋中摸出3张牌，若摸出3张牌的和为奇数，则获胜，否则为失败。

(1)求抽奖者每次摸牌获胜的概率；
(2)若每位抽奖者每交a(a 为正整数)元钱就可获得三次摸牌机会。

若三次摸牌均获胜则中一等奖，奖励价值10元的奶茶一杯；若三次摸牌获胜两次则中二等奖，奖励价值3元的可乐一瓶；其他均不中奖。

游戏策划者要想不亏钱，则a 至少是多少? 21.(本小题满分15分)
已知椭圆G ：22
221(0)x y a b a b +=>>，其短轴的端点B 1与右焦点F 1的距离为2，离心率e ＝
3。

圆C 是以原点为圆心，且过点B 1的圆。

过点(m ，0)(m>1)作圆C 的切线l 交椭圆G 于A ，
B两点。

(1)求椭圆G的标准方程和圆C的标准方程；
(2)求|AB|的最大值。

22.(本小题满分15分)
已知函数f(x)＝2x－lnx。

(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝f(x)＋(a－2)x，a>0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是3，求实数a的值。

(e是自然对数的底数)。