了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

sor迭代法手算例题

sor迭代法手算例题SOR迭代法是求解线性方程组的一种经典方式，其基本思想是通过不断迭代来逼近方程组的解。

这种方法在大规模问题上具有很好的效率，因此得到了广泛的应用。

本文将介绍SOR迭代法的基本原理，并以一个手算例题来展示其具体步骤和计算结果。

一、SOR迭代法的基本原理在介绍SOR迭代法的原理之前，我们先来看一下迭代法本身的思想。

假设有一个线性方程组：$$Ax=b$$其中，A是一个$n\times n$的系数矩阵，b是一个$n\times 1$的常数向量，x是一个$n\times 1$的未知向量。

迭代法的基本思想是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+C$$其中，$x^{(k)}$表示第k次迭代的近似解，$T$是一个$n\times n$的矩阵，$C$是一个$n\times 1$的常数向量。

迭代法的步骤是从一个初始点$x^{(0)}$开始，不断应用上述公式来寻找更好的解$x^{(k+1)}$。

当接近真解时，迭代的过程会不断收敛，即$x^{(k+1)}$会不断逼近真解$x$。

那么，如何确定矩阵$T$和向量$C$呢？最简单的方法是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=(I-\omega A)x^{(k)}+\omega b$$其中，I是$n\times n$的单位矩阵，$\omega$是一个常数，称作松弛因子。

当$\omega=1$时，这就是最基本的迭代法——雅克比迭代法。

但是，雅克比迭代法的收敛速度比较慢，因此需要调整$\omega$的值，从而得到更好的迭代效果。

SOR迭代法就是一种改良的迭代方法，其基本思想是通过加速松弛因子的变化来改善雅克比迭代法的效率。

具体来说，SOR迭代法的公式为：$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$$其中，$i=1,2,\cdots,n$。

sor方法

sor方法
SOR方法是一种迭代数值解法，主要被用于求解线性系统Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右端向量。

SOR方法的全称为"Successive Over-Relaxation Method"，意为迭代超松弛法。

在使用SOR方法求解线性方程组时，首先需要将系数矩阵A分解为L、D和U 三个部分，其中L是A的严格下三角矩阵，D是A的对角线矩阵，U是A的严格上三角矩阵。

同时，SOR方法还需要一个松弛因子w。

SOR方法的迭代公式为：
x(k+1) = (1-w)x(k) + w(D-wL)^(-1)(b-Ux(k))
其中x(k)表示第k次迭代求得的解向量，x(k+1)表示x(k)的下一次迭代，^(−1)表示逆矩阵。

可以发现，SOR方法是基于Gauss-Seidel方法的改进，它在每一次迭代中添加了一个松弛因子w，从而使得解向量的迭代更快、更稳定。

在实际应用中，我们需要选择一个合适的松弛因子w，以使得SOR方法能够收敛并且收敛速度较快。

一般来说，选择一个小于1的w能够保证SOR方法的收敛性，而选择一个大于1的w能够加快SOR方法的收敛速度。

需要注意的是，SOR方法只能够求解特定条件下的线性方程组，如系数矩阵为对称正定矩阵、对角占优矩阵等。

当系数矩阵不满足这些条件时，SOR方法可能出现发散的情况。

总的来说，SOR方法是一种简单而有效的数值解法，被广泛应用于工程计算等领域。

在使用时，需要根据具体问题选择合适的松弛因子w，并且注意其收敛性和收敛速度。

第一次迭代解法之SOR

种相容范数都有 ρ(A)≤||A||
（6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相
容的矩阵范数，使
|| A ||≤ ρ(A) ＋ε
（6.3）
式（6.2）和（6.3）表明，矩阵A的谱半径是它所有相容范数的下确界。
定义6.4 设有n×n矩阵序列 A(k) (ai(jk) ), k 1, 2, 方阵A＝（aij）, 如果
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA1 1
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§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法
设有线性方程组
Ax=b
(1)
A∈Rn×n, b∈Rn .
对A 进行分裂， A=A1+A2 , 其中 A1 可逆，
则 (A1+A2)x=b A1x = - A2x+b x = - A1-1 A2 x + A1-1 b
再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x|| 1 A
x
b
得到解的相对误差为
x A
A1
b
x
b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14
2 30 4 0
14
20
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得

用sor法解方程组

用SOR法解方程组引言方程组是数学中常见的问题，解决方程组可以帮助我们理解和预测各种实际问题。

解方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是SOR（Successive Over Relaxation）法。

SOR法是一种迭代法，通过不断迭代逼近解的过程来求解方程组。

本文将对SOR法进行详细的介绍和分析。

SOR法概述SOR法是一种求解线性方程组的迭代算法，其基本思想是通过引入松弛因子来加速收敛速度。

对于线性方程组Ax=b，SOR法的迭代公式为：x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，x(k+1)表示第k+1次迭代的解向量，w为松弛因子（0 < w< 2），A被分解为下三角矩阵L、上三角矩阵U和对角矩阵D。

算法流程SOR法的算法流程如下：1.初始化解向量x^(0)2.对于每次迭代k = 0, 1, 2, …–计算下一次迭代的解向量x^(k+1)： x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))–判断迭代是否收敛：如果迭代误差小于预设的阈值就停止迭代，否则继续迭代3.返回最终的解向量x^(k+1)SOR法特点SOR法具有以下几个特点：1.相对于传统的迭代法，SOR法引入了松弛因子，能够加速迭代的收敛速度。

2.当松弛因子w=1时，SOR法等价于高斯-赛德尔迭代法。

3.大部分情况下，SOR法是收敛的。

收敛速度与松弛因子w有关，一般来说，选择一个合适的松弛因子可以加快算法的收敛速度。

4.SOR法对于对角占优的线性方程组具有较好的收敛性能，但对于一般的线性方程组效果可能不理想。

SOR法的数值实验为了验证SOR法的性能，我们进行了一系列的数值实验。

我们选取了不同规模的线性方程组，通过对比SOR法的迭代次数和收敛速度来评估其性能。

sor迭代法

SOR迭代法的Matlab程序function [x]=SOR_iterative(A,b)% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值tol=10^(-2); % 给定误差界N=1000; % 给定最大迭代次数[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶w=1; % 给定松弛因子k=1;% 迭代过程while k<=Nx(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)')/A(1,1);for i=2:nx(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)')/A(i,i);endif max(abs(x-x0))<=tolfid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'x的值\n\n');fprintf(fid, '%12.8f \n', x);break;endk=k+1;x0=x;endif k==N+1fid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');fclose(fid);end常微分方程的数值解法实验目的：熟悉在Matlab平台上直接求解常微分方程初值问题试验方法1、利用改进欧拉法解方程：程序内容为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.05;X=1:h:2;Y(1)=1;for i=2:21Y(i)=Y(i-1)+h/2*(fun(X(i-1),Y(i-1))+fun(X(i),Y(i-1))+h*fun(X(i-1),Y(i-1))); end;Y运行结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9989 0.9957 0.9909 0.9848 0.9778 0.9701 0.9618 0.9530Columns 10 through 180.9440 0.9348 0.9254 0.9160 0.9065 0.8971 0.8876 0.8783 0.8690Columns 19 through 210.8598 0.8508 0.8418真实解的求法为：x=1:0.05:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 81.0000 0.9988 0.9957 0.9911 0.9853 0.9785 0.9710 0.9630Columns 9 through 160.9546 0.9459 0.9370 0.9279 0.9188 0.9096 0.9004 0.8912Columns 17 through 210.8821 0.8731 0.8641 0.8553 0.8466用四阶R-K算法解常微分方程的程序为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.1;X=1:h:2;Y(1)=1;for n=2:11k1=fun(x(n-1),Y(n-1));k2=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k1);k3=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k2);k4=fun(x(n-1)+h,Y(n-1)+h*k3);Y(n)=Y(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)end;Y运行后了结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466真实解的求法为：x=1:0.1:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466可见其精确度至少已达到0.0012、MATLAB中数值解法“ode45”为：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],y0);符号解法“dsolve”求解为：dsolve('Dy=x^(-2)-y/x','y(1) = 1','x')ans =(log(x)+1)/x画出两种算法的图形位：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],1);fplot('(log(x)+1)/x',[1,2]);hold on, plot(x1,y1,'ro');数值算法同解析算法几乎完全吻合。

SOR与SSOR迭代法收敛速度的关系

Ｐｓ）１Ｉ＋ｌ（）（： ≤１Ｉ＋ｌ（）１Ｖｌ０１，（）０１（： ≤（一ｌＩＪ） ≤ＰＬ）一ｌＩＪ＜，Ｉ∈（，ｌＰＪ ∈［，］，，ｐ，，ｐ，
这推广了Ｗｚｉｉｏｎｋ的结果。ｃ最后给出一个例子来验证我们的结果。关键词：ＳＲ迭代方法；ＳＲ迭代方法；ＯＳＯ谱半径
中图分类号：０４．文献标识码：Ａ２１６文章编号：１０９９（０８０００００７— ７３２０）４— ０７— ３
对于线性方程组
Ａｘ＝ｂ・（）１
其中Ａ＝（Ｒ非奇异，ｂＥ口）∈ ，Ｒ．设Ａ＝Ｄ— Ｌ—Ｕ，中Ｄ、和一分别是Ａ的对角、格下三角和严格上三角矩阵。不失一般其一严性，Ｄ＝，取。则ＳＲ与ＳＯ０ＳＲ迭代方法分别为
Ｖｏ．８Ｎｏ４１２．
Ｊ１０８ｕ．２０
ＳＲ与ＳＯ０ＳＲ迭代法收敛速度的关系 ‘
李爱娟
（山东理工大学数学与信息科学学院，山东淄博２５４）５０９
摘要：当Ａ为非奇异的肘一阵时，ｚｉｉＷｏｃ只指出了ＳＯｎｋＳＲ迭代矩阵的谱半径Ｐ．）ＳＲ迭代（：小于０ｓ
维普资讯
‘
８‘
云南师范大学学报（自然科学版） Nhomakorabea第２８卷
Ｐ）Ｉ一∞Ｉｔ（）（ ≤ Ｉ＋ｏＪｐｐ）Ｉ一∞Ｉｔ（）（ ≤ Ｉ＋ｏＪ）ｐ
（）８（）９

数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）

数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。

SOR迭代法

aij x(jk )
3.1
若记
i1
n
r(k)
i
(bi
a x(k 1) ij j
aij
x
(k j
)
),
j 1
j i
i 1,2,L ,n
则 3.1 式可写为
x( k 1) i
x(k) i
1 aii
r(k)
i
3.2
由此可以看出， Gauss Seidel 迭代法的第 k 1
步，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加
SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ，然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法对于0 2 是收敛的。
其 Gauss Seidel 迭代格式可写为 (aii 0) ：
x(k1) i
x(k) i
1 aii
bi
a x(k1) i1 1
L
a x(k1) i,i1, i1