数据拟合与最小二乘法
最小二乘法定义
最小二乘法定义最小二乘法（Least Squares Method，简称LS）是指在数学中一种最常见的数据拟合方法，它是一种统计学意义上的估计方法，用来找出未知变量和已知变量之间的关系，其中模型参数是通过最小化数据集误差的平方和来估计的。
一、定义：最小二乘法（Least Squares Method）是指在数学中最常见的数据拟合方法，它是一种统计学意义上的估计方法，用来确定未知变量与已知变量之间的关系，其中模型参数是通过最小化数据集误差的平方和来估计的。
二、基本原理：最小二乘法的基本原理是利用数据点与一个被称为“模型函数”的预设函数之间的差异，来从中估计出模型函数的参数。
具体来说，这一差异可以以误差的平方和来衡量，最小二乘法就是最小这一平方和的方法。
三、步骤：1. 构造未知变量的模型函数，其中当需要拟合的参数数目大于等于给定数据点的个数时，就会导致一定的形式多项式模型函数有正解；2. 求解模型函数的最小平方误差的最优解，即求解参数的数值；3. 根据最优解找出最小平方误差的值；4. 对模型函数进行评价，判断是否尽可能地满足数据点；5. 若满足，则用找出的模型函数来预报未来的参数变化情况。
四、应用：1. 拟合统计图形：通过最小二乘法，可以得到曲线拟合的参数，绘制出统计图形的曲线，用来剖析统计数据；2. 回归分析：可以用最小二乘法预测变量和另一变量之间的关系，如：股票收益与股价价格之间的关系，从而得到有用的分析结果；3. 模型拟合：最小二乘法可以估计精确数据模型参数，这些模型参数可与实验数据相同；4. 图像分析：最小二乘法可用于分析图像特征，如：平面图像的特征提取与比较，目标图像分类，等；5. 信号处理：最小二乘法的应用也可扩展到信号处理领域，用该方法对信号和噪声之间的关系进行拟合，来消除信号中的噪声。
最小二乘法的概念
最小二乘法1. 概念定义最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化方法，用于找到一组参数，使得观测数据与模型预测值之间的平方误差最小。
它通过对误差的平方和进行最小化来估计未知参数的值。
在最小二乘法中，我们假设存在一个线性模型来描述观测数据与未知参数之间的关系。
给定n个观测数据点(xi, yi)，其中xi是自变量，yi是因变量，我们可以将线性模型表示为：yi = β0 + β1 * xi + εi其中β0和β1是待估计的未知参数，εi是服从正态分布的随机误差。
我们的目标是找到最佳拟合线，使得所有数据点到该线的距离之和最小。
2. 重要性最小二乘法在统计学和数据分析中具有广泛应用，并且具有以下重要性：2.1 参数估计通过最小二乘法可以估计出线性回归模型中的未知参数。
这些参数对于理解和解释观测数据与自变量之间关系非常重要。
例如，在经济学中，可以使用最小二乘法来估计供需曲线、收入弹性等经济模型中的参数。
2.2 模型拟合最小二乘法可以用于拟合数据，并找到最佳拟合线或曲线。
通过最小化误差平方和，我们可以找到与观测数据最接近的模型。
这对于预测和预测未来数据点非常有用。
2.3 假设检验在统计推断中，最小二乘法还可以用于假设检验。
我们可以利用最小二乘估计的参数进行假设检验，以确定自变量与因变量之间是否存在显著关系。
2.4 模型诊断除了参数估计和模型拟合外，最小二乘法还可以用于诊断模型的适应性和有效性。
通过分析残差（观测值与预测值之间的差异），我们可以检查模型是否满足所假设的条件，并进行必要的修正。
3. 应用最小二乘法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：3.1 线性回归分析线性回归是最常见的应用之一。
通过将观测数据与线性模型进行拟合，我们可以估计出自变量与因变量之间的关系。
线性回归可以用于预测、关联分析和因果推断等。
3.2 时间序列分析时间序列分析是对随时间变化的数据进行建模和预测的方法。
最小二乘法数据拟合与回归
最小二乘法数据拟合与回归简介：本文主要对PRML一书的第一章总结，结合moore关于回归的课件Predicting real-valued outputs: an introduction to regression。
什么是回归(regression)?1. 单一参数线性回归如上图考虑用一条过原点的直线去拟合采样点，y=wx,那么未知参数w取什么值可以使得拟合最好的，即整体拟合误差最小，这是一个最小二乘法拟合问题。
目标是使得(Xi-Yi)^2的总和最小。
2. 从概率的角度考虑上面的问题就是说我们假定模型是y=wx但是具体的(Xi,Yi)对应生成的时候按照高斯分布概率模型，以WXi为中心,方差未知。
具体每个采样点之间是独立的。
上面提到我们的目标是通过样本集合的实际观察值去预测参数W的值。
怎样预测W的值呢，有两个思路即上面提到的•MLE 最大似然法即参数W取什么样的值能够使得我们已经观察到的实际样本集合出现的概率最大。
ArgMax(P(Y1,Y2…Yn|X1,X2…Xn,W))，但是这样是不是有点奇怪，我们的目的其实是从观察的样本中估算最可能的W，ArgMax （W|x1,x2…xn,y1,y2…yn)可以看到优化的目标其实和最小二乘法是一样的。
•MAP 采用贝叶斯规则,后面再讲。
3.多项式曲线拟合贯穿PRML第一章的例子是多项式曲线拟合的问题（polynomial curve fitting)。
考虑order为M的多项式曲线，可以表述为下面的形式:曲线拟合的目标可以表述为优化是的下面的E(W)最小化(当然你可能会选取不同的error function这只是其中一种而已):对于取到最小值的我们表示为，最优的最小距离是。
如果我们选择不同的order值即M不同的多项式曲线去拟合，比如取M=0，1，3，9最小二乘法拟合的结果如下图:可以看到M=9的情况，曲线和采样观察点拟合的很好但是却偏离了整体，不能很好的反映,这就是传说中的over fitting过度拟合问题。
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
最小二乘法excel
最小二乘法excel
最小二乘法（Least Squares Method，LSM）用于拟合曲线，可以表述为：
一组已知数据点（xi，yi），拟合函数为f（x），最小二乘法要求最小化函数
∑（yi - f（xi））^2
由此可以求得最佳拟合曲线，用Excel拟合数据可以使用下列步骤：
1、载入数据
将拟合的数据输入到Excel中，假设输入的数据是
“A1:B10”，纵坐标的数据在A列，横坐标的数据在B列；
2、拟合函数
点击“工具”，点击“函数”，选择“最小二乘拟合”，弹出“函数参数”对话框；
（1）在“函数参数”对话框，单击“遵循”，选择“线性”；
（2）在“函数参数”对话框，单击“区域”，在“区域”文本框中输入拟合数据区域，即“A1:B10”；
（3）在“函数参数”对话框，单击“预测的结果”，单击“确定”；
（4）在“函数参数”对话框，单击“结果存放”，选择“图表中”，单击“确定”；
3、图表显示
此时，Excel会自动弹出图表，可以看到最小二乘拟合的曲线和数据点；
4、参数计算
在最小二乘拟合的曲线上，右键单击，选择“编辑数据系列”，弹出“编辑数据系列”对话框，在“编辑数据系列”对话框中可以计算出最小二乘拟合的具体参数；
通过以上步骤，可以轻松拟合一组数据点，并计算出最小二乘拟合函数的参数。
matlab最小二乘拟合二次多项式
在对Matlab最小二乘拟合二次多项式进行深度评估之前，我们首先需要了解最小二乘法和二次多项式的概念。
最小二乘法是一种数学优化技术，用于寻找一组参数，使得一个数学模型的预测值与观测值之间的残差平方和最小化。
而二次多项式则是指数为2的多项式，一般表示为y = ax^2 + bx + c。
这两者结合起来，就构成了Matlab中使用最小二乘法进行二次多项式拟合的基础。
接下来，我们来探讨如何在Matlab中进行最小二乘拟合二次多项式的操作。
我们需要明确拟合的数据和拟合的方式。
拟合数据通常是一组已知的点集，而拟合的方式则是通过最小二乘法来寻找二次多项式的系数。
在Matlab中，可以使用polyfit函数来实现这一过程。
该函数可以接受输入的数据点集和多项式的次数，然后返回拟合的多项式系数。
在使用polyfit函数时，我们需要注意一些参数的设置，比如数据点集的选择、多项式次数的确定以及拟合精度的评估。
通常情况下，我们可以先通过绘制原始数据的散点图来观察数据的分布规律，然后根据实际情况选择合适的多项式次数。
之后，可以使用polyval函数来计算拟合的多项式函数值，并与原始数据进行比较，以评估拟合的效果。
在实际应用中，最小二乘拟合二次多项式可以用于曲线拟合、数据分析、信号处理等各个领域。
在实验数据处理中，我们常常需要利用最小二乘法对实验数据进行拟合，从而得到实验数据的规律性和趋势。
又如在控制系统设计中，我们可以利用最小二乘法对系统的输入和输出数据进行拟合，从而得到系统的数学模型。
Matlab中的最小二乘拟合二次多项式是一种非常常用的数据拟合技术，可以广泛应用于科学研究和工程领域。
通过对拟合数据的深度评估和合理选择拟合方式，我们可以得到准确的拟合结果，并从中获取有价值的信息。
掌握和理解最小二乘拟合二次多项式的方法对于我们在科学研究和工程实践中具有重要意义。
最小二乘拟合是一项非常重要的数学技术，在工程领域尤其重要。
它可以应用于曲线拟合、数据分析、信号处理以及控制系统设计等多个领域。
matlab最小二乘法数据拟合函数详解
matlab最⼩⼆乘法数据拟合函数详解定义：最⼩⼆乘法（⼜称最⼩平⽅法）是⼀种数学优化技术。
它通过最⼩化误差的平⽅和寻找数据的最佳函数匹配。
利⽤最⼩⼆乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平⽅和为最⼩。
最⼩⼆乘法还可⽤于曲线拟合。
其他⼀些优化问题也可通过最⼩化能量或最⼤化熵⽤最⼩⼆乘法来表达。
最⼩⼆乘法原理：在我们研究两个变量（x,y）之间的相互关系时，通常可以得到⼀系列成对的数据（x1,y1.x2,y2... xm,ym）；将这些数据描绘在x -y直⾓坐标系中，若发现这些点在⼀条直线附近，可以令这条直线⽅程如（式1-1）。
Yj= a0 + a1 X （式1-1)，其中：a0、a1 是任意实数。
matlab中⽤最⼩⼆乘拟合的常⽤函数有polyfit（多项式拟合）、nlinfit（⾮线性拟合）以及regress（多元线性回归）。
⾃变量有2个或以上时，应变量⼀个，可以使⽤的有nlinfit和regress，线性时⽤regress，⾮线性时⽤nlinfit。
对于进阶matlab使⽤者还有更多的选择，如拟合⼯具箱、fit函数、interp系列插值拟合等等。
MATLAB中关于最⼩⼆乘法的函数主要有：help polyfit -- POLYFIT Fit polynomial to data.help lsqcurvefit -- LSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.help lsqnonlin -- LSQNONLIN solves non-linear least squares problems.help nlinfit -- NLINFIT Nonlinear least-squares regression.help regress -- REGRESS Multiple linear regression using least squares.help meshgrid -- MESHGRID X and Y arrays for 3-D plots.本⽂主要讲解的函数：polyfit，lsqcurvefit，lsqnonlin，regress1.多项式曲线拟合:polyfit1.1 常见拟合曲线直线： y=a0X+a1多项式：，⼀般次数不易过⾼2，3双曲线： y=a0/x+a1指数曲线： y=a*e^b1.2 matlab中函数P=polyfit(x,y,n)[P S mu]=polyfit(x,y,n)polyval（P，t）：返回n次多项式在t处的值注：其中x y已知数据点向量分别表⽰横纵坐标，n为拟合多项式的次数，结果返回：P-返回n次拟合多项式系数从⾼到低依次存放于向量P中，S-包含三个值其中normr是残差平⽅和，mu-包含两个值 mean（x）均值，std（x）标准差。
计算方法 第三章曲线拟合的最小二乘法20191103
§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理 法方程的解是存在且唯一的。
证： 法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章 曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章 曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章 曲线拟合的最小二乘