高数下册总结
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高数下册公式总结
高数下册公式总结高等数学下册是大多数理工类专业大学生必修的一门课程，难度较大且内容繁杂。
在学习高等数学下册的过程中，熟记常用的公式是非常重要的。
下面我将为大家总结高等数学下册常见的公式。
1. 极限与连续：- 函数极限的定义：设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - A| < ε 成立，则称 A 是函数 f(x) 当x 趋于 x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) = A。
- 函数极限的四则运算：设函数 f(x) 和 g(x) 的极限分别为 A 和 B，若A、B 均存在，则* lim(x→x0) [f(x) ± g(x)] = A ± B* lim(x→x0) [f(x) ⋅ g(x)] = A ⋅ B* lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A / B (B ≠ 0)- 洛必达法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某个去心邻域内有定义且 f(x0) = g(x0) = 0，若lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)] 存在或为∞，则有lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)]。
2. 导数与微分：- 导数的定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若极限lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h 存在，则称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'(x0) 或 dy/dx∣(x=x0)。
- 基本导函数：设 u(x) = C (常数)、u(x) = x^n (n 为自然数) 和 y(x) = f(x) ± g(x) 是可导函数，C 为常数，则有以下基本导函数公式。
期末高数下册知识总结
期末高数下册知识总结本文将对高等数学下册的知识进行总结，主要分为以下几个部分：空间解析几何、多元函数与偏导数、重积分、无穷级数与幂级数、常微分方程五个部分。
一、空间解析几何（平面与直线、空间曲线与曲面、空间直角坐标系下的曲线与曲面）空间解析几何是指在空间情形下分析和研究几何形体、几何运动、数学方程和几何方程之间的联系的一门数学学科。
学习空间解析几何可以帮助我们理解空间形体之间的关系以及其运动规律。
1.平面与直线- 平面方程：点法式、一般式、截距式、两平面交线、平面与平面垂直、平行关系- 直线方程：点向式、两点式、一般式、向量叉乘、直线与直线垂直、平行、斜率、角度的概念与求解2.空间曲线与曲面- 空间曲线的方程：参数方程、一般方程- 空间曲面的方程：二次曲面、旋转曲面、柱面、锥面的方程3.空间直角坐标系下的曲线与曲面- 参数方程下的曲线计算：弧长、速度、加速度、切线、法平面、法线- 参数化的曲面计算：一类曲面的面积、体积、切平面、切向量二、多元函数与偏导数多元函数是指具有多个自变量的函数，偏导数是研究多元函数对其中一个自变量求导数的方法。
学习多元函数与偏导数可以帮助我们更加深入地了解多元函数的性质和变化规律。
1.多元函数的极限- 多元函数极限的定义与性质- 极限存在的条件与计算- 多元函数极限与连续函数2.多元函数的偏导数- 偏导数的定义与性质- 高阶偏导数的计算与应用- 隐函数的偏导数3.多元函数的微分与全微分- 多元函数的微分定义与性质- 链式法则与全微分的计算4.多元函数的方向导数与梯度- 方向导数的概念与计算- 梯度的概念与计算- 梯度的几何意义5.多元函数的极值与最值- 多元函数的极值的判定与求解- 条件极值的求解- 二次型的矩阵表示与规范形三、重积分重积分是对多元函数在给定区域上的积分，通过重积分可以计算出在多元函数定义的区域上的一些量的总和。
1.二重积分- 二重积分的概念与性质- 直角坐标系下的二重积分的计算- 极坐标系下的二重积分的计算2.三重积分- 三重积分的概念与性质- 柱坐标系下的三重积分的计算- 球坐标系下的三重积分的计算3.坐标变换与积分- 坐标变换的概念与方法- 二重积分与三重积分的坐标变换4.重积分的应用- 质量、重心、质心的计算- 总质量与平均密度的计算- 转动惯量与转动半径的计算四、无穷级数与幂级数无穷级数是指所含项的个数为无穷多个的数列之和，幂级数是指形如∑\(a_n(x-a)^n\)的形式的级数。
高等数学(下)知识点总结
高等数学(下)知识点总结1、二次曲面1）椭圆锥面：2）椭球面：旋转椭球面：3）单叶双曲面：双叶双曲面：4）椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：5）椭圆柱面：双曲柱面：6）抛物柱面：（二）平面及其方程1、点法式方程：法向量：，过点2、一般式方程：截距式方程：3、两平面的夹角：，，；4、点到平面的距离：（三）空间直线及其方程1、一般式方程：2、对称式（点向式）方程：方向向量：，过点3、两直线的夹角：，，；4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，；第九章多元函数微分法及其应用1、连续：2、偏导数：；3、方向导数：其中为的方向角。
4、梯度：，则。
5、全微分：设，则（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义122342、微分法1）复合函数求导：链式法则若，则，（二）应用1）求函数的极值解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点，令，，，① 若，，函数有极小值，若，，函数有极大值；② 若，函数没有极值；③ 若，不定。
2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线，则上一点（对应参数为）处的切线方程为：法平面方程为：2）曲面的切平面与法线曲面，则上一点处的切平面方程为：法线方程为：第章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、定义：2、计算：1）直角坐标，，2）极坐标，（二）三重积分1、定义：2、计算：1）直角坐标-----------“先一后二”-----------“先二后一”2）柱面坐标，3）球面坐标（三）应用曲面的面积：第一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分1、定义：2、计算：设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则（二）对坐标的曲线积分1、定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，、向量形式：2、计算：设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，则、（三）格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分在内与路径无关（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义2、计算：—“一投二代三定号”，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”，为下侧取“级数：（二）函数项级数1、定义：函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：3、收敛半径的求法：，则收敛半径4、泰勒级数展开步骤：（直接展开法）1）求出；2）求出；3）写出；4）验证是否成立。
高数下册复习知识点总结
高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结高数下册复习知识点总结：8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，掌握两个向量垂直和平行的条件。
3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。
空间曲线在坐标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。
2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。
4.利用充分条件判断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。
10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。
2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。
12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交错级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数展开3.傅里叶级数的和函数以及展开式扩展阅读：高数下册总复习知识点归纳(1)高等数学（一）教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca－b 单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0xx0yy0zz0mnp高等数学（一）教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x1x0 y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2n2p 2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)F x(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学（一）教案期末总复习第十章总结重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及注意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更方便1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长（3）rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190－3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满足条件直接应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加辅助线变力沿曲线所做的功P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关，与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④P dxQdy具有原函数u(x,y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间第二类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dtIP dxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）L条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1 高等数学（一）教案期末总复习应用：满足条件直接应用不是封闭曲线，添加辅助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2第二类曲面积分○Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用：满足条件直接应用不是封闭曲面，添加辅助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法：dydz( 所有类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
高数下公式总结
高数下公式总结高数下公式总结高等数学下册公式总结1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)22、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都临时看作常量。
比如，就可以了。
z表示对x求偏导，计算时把y当作常量，只对x求导x2z2z3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。
xyyx4、多元函数zf(x,y)的全微分公式：dzzzdxdy。
xy5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：dzzduzdv。
dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y6、隐函数F(x,y)=0的求导公式：，其中FxdXFy求偏导数。
方程组的情形：{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是：G(x,y,u,v)0FFxvGGuv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，v。
yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点M(x0,y0,z0)的法平面方程是：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。
(t0)(t0)(t0)8、曲面方程F(x,y,z)＝0在点M(x0,y0,z0)处的法线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)，FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。
切平面方程是：Fx9、求多元函数z=f(x,y)极值步骤：第一步：求出函数对x,y的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值其次步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C 第三步：推断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A大于零是微小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法推断10、二重积分的性质：（1）（2）(3)kf(x,y)dkf(x,y)dDD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)dDDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d(4)若f(x,y)g(x,y)，则（5）f(x,y)dg(x,y)dDDds，其中s为积分区域D的面积D（6）mf(x,y)M，则ms（7）积分中值定理：f(x,y)dMsDf(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随便选择积分次序，但是做题的简单性会消失不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以根据求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt（2）格林公式：(DQP)dxdyPdxQdyxyLL14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)，xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111x2y2z215、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1；数量积（向量之间可以交换挨次，其结果是一个数值）ab＝bax1x2y1y2z1z2＝baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab＝0；向量积（向量之间不行以交换挨次，其结果仍是一个向量）ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x 轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。
大一高数下知识点总结
大一高数下知识点总结一、极限与连续
极限的基本概念
极限的性质与运算
连续函数的定义与性质
二、导数与微分
导数的定义与计算
导数的性质与运算
微分的定义与应用
三、不定积分
不定积分的基本性质
基本积分公式与常用积分方法
变量代换法与分部积分法
四、定积分与曲线长度
定积分的概念与性质
定积分的计算方法与应用
曲线长度的计算
五、多元函数与偏导数
二元函数的定义与性质
偏导数的定义与计算
高阶偏导数与混合偏导数
六、多元函数的微分与全微分
多元函数的偏导数与全微分的关系全微分的定义与计算
多元复合函数的微分
七、多元函数的极值与最值
多元函数的极值点与最值点
拉格朗日乘子法的应用
二元函数的条件极值问题
八、一元函数的级数
级数的基本定义与性质
级数求和与收敛性判定
正项级数的收敛性判定
九、二元函数的级数
二元函数的多项式级数展开
二元函数的傅里叶级数展开
二元函数的泰勒级数展开
十、二重积分
二重积分的概念与性质
二重积分的计算方法
变量代换法在二重积分中的应用
以上是大一高数下的主要知识点总结，通过对这些知识点的学习与掌握，可以帮助我们建立起扎实的数学基础，并为将来的学习打下坚实的基础。
希望同学们在学习过程中能够认真对待每一个知识点，多做习题与练习，加深对知识的理解与应用能力，做到知识灵活运用。
祝大家在高数学习中取得优异的成绩！。
高数下知识点总结
高数下知识点总结一、微积分1. 函数和极限函数是自然界和社会现象中的一般规律性联系的数学抽象。
以实数域为定义域和值域的实函数是微积分的主要研究对象。
极限是微积分的基本概念，它是描述函数在某点附近的性质的数学工具。
在微积分中，我们讨论函数在某一点的极限，以及函数在无穷远处的极限和无穷大的极限等各种情况。
2. 导数和微分导数是函数在某一点的变化率的极限，用来描述函数的局部性质。
微分是导数的几何意义，它是关于函数的线性逼近的一种数学方法。
在微积分中，我们讨论导数的定义、求导法则、高阶导数、微分和微分中值定理等内容。
3. 积分和微积分基本定理积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间内的总体变化量。
微积分基本定理是微积分中的核心定理，它建立了积分和导数之间的联系。
在微积分中，我们讨论不定积分、定积分、变限积分、积分中值定理等内容。
4. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它是描述自然和社会现象中变化规律的数学模型。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类，涵盖了许多重要的理论和方法。
在微积分中，我们讨论微分方程的基本概念、解的存在唯一性、解的性质、微分方程的分类和常见的解法等内容。
二、矩阵论1. 矩阵和行列式矩阵是线性代数的基本工具，它是一个按照矩形排列的数的集合。
行列式是矩阵的一个重要性质，它是由矩阵的元素按照一定规则组合而成的一个数。
在矩阵论中，我们讨论矩阵的基本操作、矩阵的性质、矩阵的代数运算、矩阵的逆、行列式的性质和展开等内容。
2. 线性方程组线性方程组是矩阵论的一个重要应用领域，它是由线性方程组成的一种数学模型。
线性方程组的解是矩阵的一个重要性质，它描述了线性方程组的解空间和解的个数。
在矩阵论中，我们讨论线性方程组的标准形、增广矩阵、线性方程组的解的性质、线性方程组的解的分类和解的存在唯一性等内容。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵的变换规律和对称性质。
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第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求 1.向量代数
理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模） 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示
2.多元函数微分
理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法
3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange 乘数法求极值
4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法 A.求偏导、全微分
1.)(x f 有二阶连续偏导，)sin (y e f z x =满足z e z z x
yy xx 2''''=+，求
)(x f
解：u u e c e c u f f f -+=⇒=-21)(0''
2.y
x z y x y xy f x z ∂∂∂++=2)()(1，求ϕ
3.决定由0),,(),()(),(=+===z y x F y x xf z x z z x y y ，求dx dz /
B.空间几何问题
4.求a z y x =++上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之
和。
解：a d a z z y y x x =⇒=++000///
5.曲面21322
2
2
=++z y x 在点)2,2,1(-处的法线方程。
C.极值问题
6.设),(y x z z =是由01821062
22=+--+-z yz y xy x 确定的函数，
求),(y x z z =的极值点与极值。
三、补充习题（作业）
1.y
x z
x y g y x xy f z ∂∂∂+=2),(),(求
2.x
z x y g y x xy f z ∂∂+=求)),(,
(
3.dz x
y
y x u u z 求,arctan
,ln ,2
2=+==ϕϕ 第五讲 多元函数的积分
一、理论要求 1.重积分
熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧=D
r r b a x y x y rdr r f d dy y x f dx dxdy y x f 21)
(2)(1)(2)
(1),(),(),(θθθθθθ ⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨⎧
=V
r r z z z z z r z r b a x y x y y x z y x z dr r r f d d rdr
z r f d dz dz z y x f dy dx dxdydz z y x f βαθϕθϕϕθϕθθθθθϕϕθϕθθθ)(2)(1)
,(2),(12
21)(2)(1),(2)
,(1)(2)(1)
,(2),(1sin ),,(),,(),,(),,( 会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）
⎰⎰
++=⇒=D
y x dxdy z z A y x f z 2
2''1),(
2.曲线积分
理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法
⎰
⎰⎰⎰⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧+⇒=+⇒⎩⎨⎧==+⇒==L
t t b
a x d r r r r f r r L dt y x t y t x f t y y t x x L dx y x y x f x y y L dl y x f βαβα
θ
θθθ22222')sin ,cos ()(:''))(),(()()
(:'1))(,()(:),(
熟悉Green 公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件
3.曲面积分
理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系 熟悉Gauss 与Stokes 公式，会计算两类曲面积分
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅++==L S
S V
Dxy y x y x z z S S d F r d F Stokes dV E S d E Gauss dxdy z z y x z y x f dS z y x f 旋度）
通量，散度）
()(:(:''1)),(,,(),,(2
2),(:
二、题型与解法 A.重积分计算
1.Ω+=⎰⎰⎰Ω
,)(2
2
dV y x I 为平面曲线⎩⎨⎧==0
22x z
y 绕z 轴旋转一周与z=8
的围域。
解：3
1024)(20
220
80
22
28
22
π
θπ=
=+=
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
≤+z
z
y x rdr r d dz dxdy y x dz I
2.⎰⎰
--+=
D
D dxdy y x a y x I ,42
2222为)0(22>-+-=a x a a y 与
x y -=围域。
（)2
1
16(
2
2
-=πa I 3.⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他
,00,21,),(2x
y x y x y x f ，
求
⎰⎰
≥+D
x y x D dxdy y x f 2:,),(22 (49/20)
B.曲线、曲面积分 4.⎰
-++-=L
x x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (
)0,0(2)0,2(2O x ax y a A L 至沿从-=
解：令A y O L 至沿从01= 3220
1
1
2
)22
(
)()(a b a dx bx dxdy a b I a
D
L L L π
π
-
+=---=-=
⎰⎰⎰⎰⎰+
5.⎰+-=
L y x ydx
xdy I 224,为半径的圆周正向为中心，为以)1()0,1(>R L 。
解：取包含(0,0)的正向⎩⎨⎧==θ
θ
sin cos 2:1r y r x L ，
π==∴=-=⎰
⎰⎰
⎰⎰-1
1
1
0L L
L L
L L
6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S ，
0)()(2=--⎰⎰
S
x zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf ，且)(x f 在x>0有连续一
阶导数，1)(lim 0=+
>-x f x ,求)(x f 。
解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
--+=⋅∇=⋅=s
x dV e x xf x xf x f dV F S d F ))()(')((02
)1(1)11('2-=
⇒=-+x
x x e x
e y e x y x y 第七讲 无穷级数
一、理论要求
1.收敛性判别
级数敛散性质与必要条件
常数项级数、几何级数、p 级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法
交错级数判别法
2.幂级数
幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法
幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分） Taylor 与Maclaulin 展开
3.Fourier 级数
了解Fourier 级数概念与Dirichlet 收敛定理 会求],[l l 的Fourier 级数与],0[l 正余弦级数。